福建省福州市闽清县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年福建省福州市闽清县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2025年10月11日，我国太原二星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥二运载火箭，将搭载的

吉林一号宽幅02807星、数天宇星01-02试验星顺利送入预定轨道，中国航天事业正以日新月异的速度

蓬勃发展.下列航天图标中，是中心对称图形的是（）

2.植物线y=（x-2）2+1的对称轴是（）

A.r=2B.x=-2C.x=1D.x=-1

3.己知。。的半径为5,圆所在平面上有一点尸到圆心。的距离是6,那么（）

A.点P在圆上B.点尸在圆内C.点P在圆外D.无法确定

4.如图，点4、B、。在。0上，ZABC=4O。，则乙4OC的度数为（）

A.20°

B.40°

C.60°

D.80°

5.如图，将△ABC绕点力逆时针旋转100。，得到若点。在线段8。的延长线上，则的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A.x2+1=0B.x2+2x+1=0C.x2+x4-1=0D.x2+x—1=0

7.小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x,根

据题意，下面所列方程正确的是（）

A.300(1+%)2=363B.300(1+2x)=363

C.300(1-%)2=363D.300(1-2x)=363

8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,点用表示筒车的

一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为圆心，5米为半径的圆，旦圆心在水

面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为()

9.关于x的一兀二次方程ax2+"+c=0,若4Q—2/J+C=0,则该方程必有一个根是()

A.x=-2B.x=2C.x=-jD.x=1

10.定义一种新函数：形如y=lax2+bx+c|(a0,b2—4ac>0)的函数

叫做“鹊桥”函数.己知某“鹊桥”函数y=|，一2%—3|的图象(如图所

示)，关于x的方程|/一2%-3|+旭=0有四个不相等的实数根，则加

的取值范围为()

A.-3<m<0—1O

B.0<m<4

C.-4<m<0

D.-4<m<4

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.一元二次方程%(%-2)=0的解是_____.

12.把抛物线y=2(x+I/-4向右平移3个单位，得到的抛物线表达式是—.

13.一元二次方程%2—2%+3=0配方为Q-I)2=m,WiJm的道是—.

14.如图，四边形48co为。。的内接四边形,E是8C延长线上的一点，已知NBOD=1000工

则NDCE的度数为______.(

□

B

15.已知点力（2,为），B（J3,y2），C（—3/3）都在二次函数丫=0-1）2+k的图象上，则力，为，丫3的大小关

系是

16.如图，在平面直角坐标系中，已知力（2—血,0）,8（2+7n,0）,点尸在以点C（一

4,-8）为圆心，半径为1的圆上运动，且满足乙4PB=90。，则m的最大值为_

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

解方程：%2+2x-5=0.

18.（本小题8分）

已知二次函数y=丫+以+（仄c为常数）的图象经过点（0,3）、（1,-2）,求该二次函数的解析式.

19.（本小题8分）

如图，在正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）,△力的顶点均在格点上，请结合所给的平面直

角坐标系解答下列问题：

（1）作出△48。关于原点。成中心对称的△44g,并直接写出点g的坐标；

（2）若△2）£1尸是由绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标为.

20.（本小题8分）

如图，点。是斜边4C边上的一点，04为。。的半径，4B4C的平分线交0。于点。，点。恰好

在线段8C上.求证：8c为。。的切线.

B

D

21.(本小题8分)

已知关于A-的方程%2+3依+炉-1=o.

(1)试说明：无论A取何值，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程有一个根为1,求忆2+3k+2025的值.

22.(本小题10分)

在矩形48CD中，点E在X。边上，£ABE=60°,将△力BE绕点8顺时针旋转得到△FBG,但点力的对应

点F在线段88上.

(1)请在图中作出△F8G：(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)FG与BC交于点Q,连接EG,EQ,若力B=2,请求△EQG的面积.

23.(本小题1()分)

某超市的某种商品进价为每件50元，当售价为每件80元时，每天可售出40件.市场调查反映：如有降价活

动，每降价1元，该商品每天可多售出8件.

(1)降价活动期间，设降价数额为x元。为非负整数).

①用含x的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是件；

②设该超市出售该商品每天所得利润为w元，请求出M，关于x的函数解析式：

(2)该超市的员工说：“只要降价后售价高于进价，每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大就该商

品而言，你认为这名员工的说法是否正确？请说明理由.

24.(本小题12分)

根据背景素材，探索解决实际问题.

乒乓球发球机的运动路线

如图1所示，乒乓球台规格约是长为2.7m宽为1.5m的矩形,

素可

球网高度约为0.14m.某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面

中轴线端点。正上方的点尸处.

图1

如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M

处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以0为原点，

素/

桌面中轴线所在直线为x轴.建立平面直角坐标系，设发球

机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为y=-0.25(x-0M丁

l)2+0.64.图2

y

如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路

(

索可线仍是抛物线.当球与。点的水平距离为3.2771时，球的高度护r

为0.42m：当球与。点的水平距离为3.6m时达到最高点，

0Mx

此时球与桌面的距离是用n.

图3

问题解决

任务一：研究乒乓球着落点问题(1)点M的坐标为______；

任务二：研究乒乓球反弹后的最大而

(2)求/的值;

度

(3)某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线

任务三：研究乒乓球是否出界问题擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球着落点

的坐标；若不能实现，请说明理由.

25.(本小题14分)

如图1,已知等边三角形48C,点P为三角形内一点，连接力尸，BP,CP,将线段绕点力逆时针旋转60。

得到连接PA/,CM.

(1)求证：BP=MC；

(2)当乙BPC=120°时，

①直接写出乙PCM的度数______；

②如图2,若N为8c的中点，连接请猜想PN与4P的数量关系，并给出证明.

图1图2

参考答案

一、选择题：

1.C

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.B

9.A

10.C

二、填空题：

=

\\.x1=0,x22.

12.y=2(x-2)2-4.

13.-2

14.50°

15.白>yi>y?

16.11

三、解答题：

17解:%24-2x-5=0

x24-2%=5,

x24-2x+1=6,

Q+l)2=6,

x4-1=±

=—1+y/-6,x2=—1—>/-6.

18.解：•••丫=X2+8％+(：的图象经过点(0,3)、(1,-2)

.[c=3

''U+b+c=-2,

解得/6,

该二次函数解析式为y二好一6x+3•

19.解：(1)如图，即为所求.

由图可得,6(-2,3).

(2)连接力。，BE,并分别作线段.475,8E的垂直平分线，相交于点P,

则△DEr是由△4BC绕着点P逆时针旋转90。得到的，

••・这个点的坐标为(1,2).

故答案为：(1,2).

20证明：连接OQ,如图，

•••力0平分48AC,

:.Z.CAD=4BAD,

乂•；OA=OD,

Z.ODA=乙BDA,

vZ.B=90°,

Z.BDA+Z-BAD=90°,

/BZX4+=90°,

即=90。，

CD1BC,

vGD为。。的半径，

•••8C为。。的切线.

证明：连接如图，

•••力。平分乙8力C,

•••^CAD=乙BAD,

又,:OA=OD,

SODA=Z.BDA,

：.£BDA+/.BAD=90°,

•••/8ZX4+=90°,

即，ODB=90。，

:.CD1BC,

vCD为。。的半径，

・••BC为0。的切线.

21.解：(1)•••A=b2-4ac=(3k)2-4x1x(/c2-1)

=9k2-4k2+4

=5k2+4,

v/c2>0,

AZ1=5/C2+4>0,

.•・无论左取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(3)•.•方程有一个根是I,

•••1+3k+/—1=o,

；.后+3k=0,

:.好+3k+2025

=0+2025

=2025.

22.解：(1)如图,△/BG即为所求;

(2)、•四边形初CZ)是矩形,

N力=90°,

vAB=2,/.ABE=60°,

.•.N4EB=90°—匕/BE=30°,

BE=2AB=4,

.•.在Rt△4BE中，AE=VBE2-AB2=V42-22=2<3»

由旋转得48FG=90°,FG=AE=273»BF=AB=2,

•.•ZF8Q=9O°-47WE=3O°,

BQ=2FQ.

在AtZkBFQ中，BF2=BQ2-FQ2=(2FQ)2-FQ2=3FQ2,

即3FQ2=22,

QG=FG-FQ=273-学二竽，

Jo

114/34/3

S&EQG=2QGxEF=^x—x2二?一.

23解；(1)①用含x的式子表示该商品降价后每天多售出的件数是件;

故答案为：8工；

②w=(80-50-x)(40+8%)

=-8x2+200%+1200(0<x<30,x为整数)；

(2)这名员工的说法不正确.理由如下：

设降价后的销售利润与降价前的销售利润的差为%元，

Wo=w-(80—50)x40

=-8x2+200x+1200-1200

=-8X2+200X,

令Wo=0,得—+200x=0,

解得勺=0,%2=25,

va=­8<0.

•••=25<30时，Wo<0,

・•.这名员工的说法不正确.

24解：(1)当y=0时，-0.25(%-1)2+0.64=0,

d।8

x-1=±三，

X\=2.6,%2=—0.6,

”(2.6,0)；

故答案为：(2.6,0)；

(2)设反弹后抛物线解析式为y=a(x-3.6)2+h,

0.42=a(3.2-3.6)2+h

由题意得

.0=a(2.6-3.6)2+h

5

解明：；5

y=-0.5(x—3.6)2+05,

••.h的值为0.5；

(3)能.理由如下:

反弹后最高点为(3.6,0.5),球擦网点为(1.35,0.14),

设过这两点的直线解析式为y=kx+b,依题意得:

(3.6k+b=0.5

tl.35/c+b=O,14,

解瞰:端76,

:.y=0.16