2025高二上学期数学期末模拟卷01（人教A版选修1~4章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）含答案

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修一全部内容+数列。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.经过两点（5,3）和（-1,9）的直线的倾斜角为（）

A.—B.—C.-7TD.-71

4346

2.已知数列拉，2,限,2及，M，…,瓜,，2〃+2，…，则瓦是这个数列的（）

A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项

3.已知四面体0ABe，历、N分别是0ABe的中点，且7=%而=反元=八用力石1表示（）

C.——Ia+1—b——IcD.——Ici+—1b+J—Lc

222222

13

4.正项等比数列｛q｝的前〃项和为S.，若%•4=%,§3=彳，则4=（）

A.9或9B.1C.9D.18

5.已知椭圆C:]+，=l（4＞方＞0）的左右焦点分别是K，鸟，椭圆上任意一点到片，鸟的距啕之和为4,

过焦点K且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,R两点,若线段A8的长为3,则椭圆C的方程为（）

))o，少o2

A.—+—=1B.—+y=1C.—+—=1D.—,+=1

434-16643

6.如图所示的多面体是由底面为/1BC。的长方体被截面AEG尸所截得到的，其中A/?=4,BC=2,CC、=3,

3£=1,则点C到平面AEC7的距离为（）

G

/zp-------丁一/C

/zI/

AB

A及35/2「4后「月

A・tR＞・-----I♦-------D•-----

221111

7.已知圆C:V+y2=4上到直线/：工+），+8=0的距离等于1的点恰有两个，则实数/?的取值范围是（）

A.（-V2,V2）B.（-oo,-V2jU（V2,+oo）C.（-3技3⑹D.（-3夜，-旬U（夜,3&）

8.已知双曲线£：捺-/=1（。＞（）力＞0）的离心率为半，左、右焦点分别为居，区,过点K且斜率为出的

直线/交后的两条渐近线于A,B两点,且|人囚=忸可，则人（）

A.±-B.+-C.+-D.土旦

4322

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.数列｛6｝的前〃项和S,=lE-〃2,则（）

A.4=10B.=-2/1+12

C.当〃=5或6时，数列卜“｝有最小项D.｛乎｝是等差数列

10.如图，已知正方体A8CD-A'8'CZ）'边长为1,则下列说法正确的是（）

A.直线A'H与八犷所成角为三

B.平面平面A8C。

C.三棱锥4-A8Q的体积是正方体的!

O

D.直线48与平面A3co所成角的正弦值为立

3

11.设抛物线E：）1=4大的焦点为尸，点、A,8是抛物线七上不同的两点，且|4日+忸曰=8,则（）

A.线段AB的中点到E的准线距离为4B.当直线AB过原点时，|AB|=6上

C.直线A8的倾斜角的最大值为学D.线段A8的垂直平分线过定点（5,0）

4

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知直线4：（a2）xlay2=0与右：尔।什।1=。互相垂直，则实数"的值为.

13.已知双曲线。—V=2的左右焦点为耳,鸟，点2为双曲线。上一点，若尸5，贝的周长

是.

14.已知数列｛4｝满足防+82%+82+…+8"4=9”—1,〃wN,"=型聚，若存在正整数及使得“工"

恒成立，则6=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知以点41,2）为圆心的圆A与直线4：3x-4y-20=0相切，直线广（2，〃+1）%+（,〃+1）），-7/〃-4=0.

（1）求圆A的标准方程，并求直线&所过的定点坐标；

（2）求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线4的方程.

16.（15分）

椭圆C:/+/lQ%>0）过点P（G』）且离心率为冬尸为椭圆的右焦点，过户的直线交椭圆C于M,

N两点，定点4（T,0）.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若aAMN面积为36，求直线MN的方程.

17.（15分）

已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且q=4,〃向=3S”+4.

⑴求｛%｝的通项公式；

o

（2）若数列｛2｝满足漫=幅4,求数列的前〃项和，.

18.（17分）

如图I,点££G分别是边长为4的正方形ABC。三边A&CD,A。的中点，先沿着虚线段AG将等腰直角三

角形皿裁掉，再将剩下的五边形48CFG沿着线段打折起，使得平面AEFG_L平面仍B,(如图2),

图1图2

(1)求证：A。//平面GCF；

(2)求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；

(3)在棱AG上是否存在点尸，使得平面曲P与平面GC77的夹角为4S?若存在，求出点。的位置.，若不存在,

请说明理由.

19.(17分)

圆锥曲线有着丰富的光学性质.从抛物线「：丁=2外(〃>0)的焦点尸处出发的光线照射到抛物线上点P(%%),

经反射后的光线平行于抛物线的轴.若点P在第一象限、直线/与抛物线「相切于点P.

(1)已知点求切线/的方程；

(2)过原点作切线/的平行线，交"'于点S,若|FS|=1.

(i)求抛物线「的方程；

(ii)过「准线上点N作圆M:(x-〃?)2+)，2=1(相>0)的两条切线//,且/，分别与「交于人(5"),3包出)

两点和C(邑出)，。(&4)两点.是否存在圆M,使得当点N运动时，区，也为定值？并说明理由.

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01

参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

ABDACAD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.113.2x/6+414.8

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

【洋解】（1）依题意，点41,2）到直线乙：3x-4y-20=0的距离

|3-8-20|u

即为圆4的半径7=132+(_4)2=5,(2分)

所以圆A的标准方程为(XT)?+(y-2)2=25；(3分)

y-4=0f

直线4：(x+y+4)+，〃(2x+)，-7)=0,由x<+,,解得<A=3i，(5分)

2x+y-7=01)'=1

所以直线4过定点M(3,l).(6分)

（2）由（1）知|“人|=后＜5,点M在圆A内，（7分）

当直线时，直线被圆4截得的弦长最短，最短弦长为2彳二为"=46,（10分）

因直线AM的斜率原”=-；，则直线4的斜率为2,（11分）

方程为yT=2(x-3),即2x-y-5=0.(13分)

16.（15分）

3।,

【详解】⑴由题意可知%］当

，解得仁,（4分）

所以椭圆。的方程为C=L（5分）

（2）当直线M/V的斜率为。时，显然不符合题意；（6分）

因为尸（2,0）,设MN:x=m），+2,M（x，），J,N&,），2），"分）

x=my+2/,、，

2；2（，可得"+3卜-+4冲-2=。,（8分）

{；r+3y=6'7

贝ljA=16/n2+8"+3）=24/w2+24>0,（9分）

4m2....

乂+乃=―-不,y%=--17（io分）

+3tn+3

因为2*N=g•IAHIX-乃I=3J（M+%『一4y%,（11分）

6y/6yjm~+1

=3x/J,解得〃7=±1,（14分）

nt2+3

所以直线MV的方程x±y-2=0.（15分）

17.(15分)

【详解】（1）在数列｛q｝中，q“=3S”+4,当〃=1时，a2=3d（+4=16,（1分）

当〃22时，％=35小+4,则a向=3S.+4,（2分）

所以4+「4=3勺=>/+i=4%，（5分）

又的=44,则数列｛《,｝是以4为首项，4为公比的等比数列，（6分）

所以%=4".（7分）

w

(2)由(1)知,bn=log2tin=log24=2n,(8分)

88_2___1_

则2〃x(2〃+4)〃(〃+2)〃〃+2'分)

他12

所以毒=(1--^1)+(----r)(11分)

32435〃-I〃+1〃〃+2

1

11-----一_（15分）

+2〃+1〃+22(/:+1)(/?+2)

18.（17分）

【详解】（1）取C尸中点，，连接OMG"（1分）

•・•四边形8CFE为矩形，

，点。为M中点,

：・OHHBC&OH=LBC,

2

又:•AG=g8C且AG//8C,（2分）

:.AG=OH且AG//OH,

，四边形。”G4为平行四边形，（3分）

即AO//G”,（4分）

*/GH1平面Gb,

・•・AO〃平面GCF.（5分）

（2）小，且平面AE%_L平面£故不，平面AEPGCI平面£比尸=所,

，平面（6分）

又；BEu平面EBCF,；・AE_LBE,

故以上为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E-xyz,（7分）

・•・40,0,2),8(2,0,0),*0,4,0),C(2,4,0),G(0,2,2),

福=(2。-2),CF=(-2,0,0),CG=(-2,-2,2),

设屋=（N,X,马）为平面GCF的一个法向量,

x=0

CF-/!]=-2x=01

则t，解得，）1=1，即，?；=（0,1/），（9分）

CG■q=-2X]-2y+2Z]=0

.4=1

设直线A8与平面GC/所成角为心

g,(ii分)

则福昨鼎二尔r

（3）由（2）可知平面GC尸的一个法向量为宿=（04,1）,（12分）

设存在P(0/,2),则加=(2,—。，―2),PE=(0-a-2),

设平面房》的一个法向量为兀=（w,必，），

x=0

方亍2—%。，解得2

则］力=-2即%=[0,-2,a),（14分）

PE•%—-ay2-2Z2-0

=今,（16分）

则cos45

=即P（o,o,2）（17分）

19.（17分）

【详解】⑴因为P（l,&）在抛物线「：y2=2px（p>0）上，所以〃=1,所以抛物线为丁=21（1分）

设切线方程为）」夜=2。-1）,与抛物线9=2上联立得：k\r-2y+2yf2-2k=O,（2分）

所以A=（-2）2-必（2&-2幻=8■-8&左+4=0,所以女=也（3分）

2

所以切线方程为：x-V2y+i=0（4分）

（2）（i）（法1）如图，因由光学性质可知尸7〃x轴，

因为入射角等于反射角，所以N1=N2,（5分）

所以NFPQ=NPPQ=/PQF,所以NOS/=NFOS,（6分）

所以O"=ES=l=5,p=2,所以抛物线方程为y2=4x（8分）

（法2）设切线/的方程为：y->0=A:（x-x0）

与抛物线方程丁=2px联立得ky?-2〃），+2pyQ-2kpx0=0,

由八=（一2〃）2-4及（2〃%—2切/）=0,整理）张2-2〃%攵+p2=o,即&=2（6分）

先

/\

如图,因为如•&=-线—=-1,所以又因为|PF|=|PU|,

P\>'o）

所以/。尸尸=/。尸尸，所以NQS”=NFOS,即。产=&=1=5,〃=2,（7分）

所似抛物线方程为9=以（8分）

（法3）点尸（天,为）在第一象限，同法2,求得k=2~（6分）

设直线LPF的倾斜角分别为%tana=fa”=,

2P

计算可得：32"^^二十歹科=才7=2=ta"（7分）

।一圉行房一

即2a=4，即"=FS=1=M〃=2,所以抛物线方程为产以（8分）

（ii）由（i）可得抛物线方程为：y2=4x,则准线方程为：x=-l（9分）

设N（-1,/?）,4:y=4（x+1）+〃，4：丁=“2（x+1）+〃，

2

将4方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：kxy-4），+4勺+4〃=0,

4k+4〃A-k+4〃

又A（S"）IG"2）,则由韦达定理可得他=节一，同理可得卬4=一^一.（10分）

/k.ky+n(k.+Z:,)+n2\〃(&+%)+//„

则3/由=]6*q~—=161+U-.(U分)

又4与圆M:（x—川）2+y2=iQ〃>o）相切，则人到圆心的距离为1,

+2〃(m+1)勺+〃2-1=0,(12分)

同理有(〃/+2〃?)k；+2〃(〃?+1)勺+/J-1=。，(13分)

则如融为方程9〃2+2〃?）公+2“加+l）k+〃2-1=。的两根,

2

4+""一2"卡("?3+1)’""而n-可1"分)

由韦达定理可得:

则仰内=16,1+-2/(〃?+1)"+〃2(?〃+2)〃?=16+16〃,「"言/一2Q5分,)

注意到当〃=±1时，切线中有一•条与X轴平行，不合题意，则

要使但夕4为定值，则加2—2=0，又加＞0,则〃?=&.（16分）

故存在圆M:（x-0）2+＞2=1,使得当点N运动时，/也也为定值.（17分）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修一全部内容+数列。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.经过两点（5,3）和（T,9）的直线的倾斜角为（）

A.—B.—C.-7tD.—it

4346

【答案】C

【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可.

［详解】经过两点（5,3）和（T9）的直线斜率为々=--=-1,

—1—5

3

所以该直线的倾斜角为：-

4

故答案为：C

2.已知数列拉，2,瓜,2&，M....何，＞/2n+2,…，则丘是这个数列的（）

A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项

【答案】C

【分析】令伍=屈，解出即互得.

［详解】令＞［2n=＞/42＞解得〃=20,

所以后是这个数列的第21项.

故选：C.

3.已知四面体OAAC,M、N分别是OA8C的中点，且。4=〃。6=反。。♦=3,用2氏1表示“Z二()

【答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.

【详解】因为M、N分别是0ABe的中点，所以OA/=；OAOM=；(O8+OC),

所以丽=而_两=g(而+反)_；^=_'a+g5+g^.

1q

4.正项等比数列｛q｝的前〃项和为工，若4・%=%，5,=y,则4=()

A.9或，B.-C.9D.18

99

【答案】A

【分析】运用等比数列性质解题即可.

【详解】正项等比数列｛为｝的前八项和为S.,

若则4•4=%寓2=4，则42=1.

又53=£，贝IJ&=6+。2+。3=£，即6+。3=与，即亍+%4=当，

则*=¥，化简392To4+3=0,解得4=：,%=3都满足题意.

则〃4=々24：=g或。4=。初=9.

故选：A.

5.已知椭圆C:£+菅=1（4>。〉0）的左右焦点分别是K，6，椭圆上任意一点到尸2的距离之和为4,

过焦点尸2且垂直于X轴的直线交椭圆C于A,8两点,若线段AB的长为3,则椭圆C的方程为（）

A.—+^-=1B.—+y2=lC.—+^=1D.+—=1

434-16643

【答案】A

【分析】根据给定条件结合椭圆的定义求出，，设出点6坐标，由给定弦长求出〃即可得解.

【详解】因为椭圆上任意一点到尸I，K的距离之和为4,由椭圆的定义得加=4,即a=2,

令椭圆C：£+3=1（〃>}>0）的半焦距为c（c>0）,

则娱（c,0）,则直线A6:x=c,

x=c（=£

由-2解得）'二二,

-r4—亍=1

护[X=C

□A2

于是得|A4|二子=3,则从=3，

所以椭圆C的方程为工+£=1.

43

故迄A

6.如图所示的多面体是由底面为八88的长方体被截面AEG"所截得到的，其中A8=4,BC=2,CCl=3,

BE=1,则点C到平面AEC7的距离为（）

11

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEO/J的法向量，利用点到面距离的向量公式d=医辿即得解

I川

【详解】以。为原点，分别以。4,DC,。产所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Q-JQZ,

G

fAB

则。(0,0,0),A(2,0,0)1(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),G(0,4,3),

uuu—.、

AAC,=(-2,4,3),AE=z(0,4,1).

设;;为平面AEG尸的法向量，G=(x,y,z),

ri-AE=0f4v+z=0

由一，得；4QC，

nAC.=0[-2x+4y+3z=0

x=\

令z=1,・1I,

所以7=(1,一；,1；

又苗=(0,0,3),

・••点C到平面AECiF的距离启田9型=—.

1〃111

故选:C.

7.已知圆C:/+)，2=4上到直线/：x+)，+〃=0的距离等于1的点恰有两个，则实数〃的取值范围是()

A.(-&,&)B.(f-@儿2词

C.(-3&,3&)D.(-3>/2,-V2)U(V2,3x/2)

【答案】D

【分析】先判断圆心到直线的距禽de（L3）,利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围.

【详解】圆C：f+y2=4的圆心是。（0,0）,半径r=2,

而圆C:V+V=4上恰有两个点到直线/:x+y+〃=0的距离等于1,

所以圆心C（0,0）到直线I的距离d,满足Ivdv3,

即d=0=裳"L"'解得-3®<b<-O或五<b<3®.

故选：D.

8.已知双曲线£/-，=1（〃>0力>0）的离心率为半，左、右焦点分别为大，鸟，过点々且斜率为攵的

直线/交E的两条渐近线于A,B两点，且|A段=忸段，则心（）

A.i—B.±—C.±—D.±―—

4322

【答案】B

【分析】由双曲线方程得到渐近线方程为£-£=0,设4%，耳），4区，为），的中点为CC%，%），将点AB

a~b~

代人渐近线方程，利用点差法得到g•限=；,设直线/的倾斜角为氏根据|A段二忸周推出

即得|OC|=|O用=|O巴即得tanOtan2e=,，解之即得直线/的斜率.

4

【详解】

如图，由£=-三二|可得双曲线的渐近线方程为二-1=0,

abab

Y2

Xo

7--

¥F

不妨设A（N，M），8（M，），2）,A8的中点为。（%,%），则，

7--o

两式相减，得：五了一比之=0,即上三.XI&=与=匚土=62_1=；,

a~b~玉一/X+Wa~a~4

即如•噎=；（*），因|4周=忸段，则C^LAB，在RtV^C6中，|OCHOA；\=\OF2\f

设直线/的倾斜角为0,则直线OC的倾斜角为20,

则由（*）可得tan6lan2e=1，即当*=_L,解得ta/e：!，

4l-tan-/949

HP（an=±i,也A=土;.

故选:B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.数歹叫4｝的前〃项和S,=ll〃一〃2,则()

A.%=10

B.an=-2n+12

C.当〃=5或6时，数列⑸｝有最小项

D.1是等差数列

n

【答案】ABD

【分析】根据:c、,作差求出｛%｝的通项，即可判断A、B,根据二次函数的性质判断C,根

据等差数列的定义判断D.

【详解】对于A：因为当〃=i时4=，=11-/=10,故A正确：

对于B：当2时5,1=11(〃-1)-(〃一1)2,

所以%=5,-5.7=11〃一〃2-[11(〃-1)-(〃-1)[=12-2〃，

经检验〃=1时4=12・2〃也成立，所以为二12・2〃，故B正确;

对于C：因为S.=U〃-〃2=一0_11]+在1,所以当〃=5或6时S,取得最大值，且(S.)a=30,即数列]S“｝

有最大项，故C错误；

qqqq

对于D：因为d=U—〃，则上—d=+-⑴—〃)二-1,又生=11-1=10,

n〃+1〃I

所以是首项为10,公差为-1的等差数列，故D正确.

X

故选：ABD

10.如图，已知正方体A8CO-AbC"。'边长为1,则卜列说法止确的是()

D'C’

A.直线43与47所成角为全

B.平面44O_L平面48co

C.三棱锥A'-480的体积是正方体的!

0

D.直线48与平面ABC。所成角的正弦值为立

3

【答案】AC

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法计算可判断ABD,根据三楂锥体积公式计算可判断C.

【详解】以。点为坐标原点，。4为x轴，OC为>轴，力力'为n轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则以1,0,1),5(1,1,0),A(l,0,0),0(0,0,1),D(0,0,0),

所以颁=(O,l,T),布=(一1,0,1),

因为8e/-rr反s皿二椁胸画而=反正-1二、1

所以IA'・/‘3,・AQO=rmr，即直线A'8与AO所成角为三TT，故A正确;

。月m;=(i,o,i),

设平面AfBD的法向量为”=(x,y,z),

ii-DB=x+y=0

则

”QA；=x+z=()

令工=1,则)，=z=-l,即月=(|,—i,—i),

在正方体中，平面A48的法向量可以为沅=(0,(),1),

因为-Iw0，

所以平面平面AA8不成立，故B错误;

匕-包=£Sv/。.A4'=三x彳x1x1x1=工,故C正确；

332o

设直线AH与平面A8CO所成角为e,

则否砌=鼎咤考，

所以直线AH与平面ABCO所成角的正弦值为自，故D错误.

2

故选:AC

11.设抛物线E：V=4X的焦点为F,点A,3是抛物线E上不同的两点，且卜6+忸目=8,则（）

A.线段的中点到E的准线距离为4B.当直线A3过原点时，|A8|=6拉

C.直线48的倾斜角的最大值为vD.线段AB的垂直平分线过定点（5,0）

4

【答案】AD

【分析】由|4目+忸目=8可得%+占=6,分析几何图形如线段AB的中点到准线的距离为工产+§,代入

相应值可判断A；由题意设玉=0,贝lj%=6,即可求出点A、8的坐标，代入两点间的距离公式即可判断B；

直线斜率存在时符合题意，斜率不存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理及A＞。可求出火的

范围判断C：斜率不存在时满足题意，斜率存在时根据垂直平分线过AB的中点且与AB垂直可写出其点斜

式方程，然后求出定点判断D.

【详解】设从（方2）,8伍,为），抛物线E：/=4x,得〃=2,网+网=p+w+p=8,所以摩+巧=6,

线段A8的中点到E的准线距离为工产+/=4,故A正确；

若直线48过原点，设芭=0,则当=6,所以A（0,0）,4（6,±2#）,所以|A8|=,36+24=2岳,故B错误；

当直线48斜率不存在时，AB:x=3,符合题意，当直线斜率存在时，设直线A3的方程为丁二丘+力，

由八”得公f+（2妨—4）x+〃=0,则N+*=4-2M=6,得）=2③卜，

y=4xk~k

又A=（2妨一4『一4&2〃＞0,得1-3犬＜0,故无＞正或&＜-且，则倾斜角无最大值，故C错误；

33

当直线48斜率存在时，线段A3中点的坐标为（3,3&+3，所以线段A3的垂直平分线方程为

y-（3k+b）=一■-（x-3）,

k

又b=.-3k,故化为妙+x-5=0.过定点（5.0）：当直线■的斜率不存在时其垂直平分线即为丫轴所在直

K

线，也成立，故D正确.

故选：AD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线4：(。-2)/+©，-2=0与/2：依+纱+1=。互相垂史，则实数〃的值为.

【答案】1

【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得.

【详解】由两直线垂直可得。(〃-2)+/=。，解得。=()或1,

当〃=o时，直线4：尔+缈+1=。不存在，故舍掉，

所以a=l.

故答案为：1.

13.已知双曲线C:f—V=2的左右焦点为小吊，点2为双曲线。上一点，若1P工，则.尸匕鸟的周长

是.

【答案】2娓+4

【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长.

【详解】双曲线C:工-£=1的实半轴长a=JL焦点”(-2,0),5(2,0),|月鸟|=4,

22

由点〃在双曲线C上，得||3|-|。耳|=2血，由P«_L"，得IPKF+IPEI=和%

222

(|历|+|”|尸=2(|PFS+|PF21)-(|尸甲一|PF21)=2|FXF2IY2正尸=24,

因此|Pf；|+|P鸟1=2几，所以△尸「用的周长是26+4.

故答案为：2#+4

14.已知数列｛q｝满足8q+82%+84+…+8"&=9"—1’4=——，若存在正整数小使得鬣

恒成立，则机=.

【答案】8

Q«-l«

【分析】利用〃”与S.的关系可得%=三?，进而可得a=(2〃+i)*yi,利用作差法找出数列的最大项即可

oy

求解.

【详解】8q+82%+8%3+…+8"%=9〃-1,当〃=1时，4=1,

当〃22时，8q+82%+8,6+…+8"T=r-1-1,

所以8"%=9"-9"T=8X9"T,

所以an”-—on-—l，〃-।时也适合，

9«->

所以巴=还「

所以"=网里=(2〃+1)令"\

%-々=(2〃+3)令一(2〃+1)哈严=-J"：[〉'，

当〃W7时，即4<4<一•<々，

当〃28时，bn+]-bt<0,即仇》…，

所以当〃=8时，”最大，

即对任意〃wN’，均有任《如

所以存在正整数机=8,使得“与力恒成立.

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知以点41，2)为圆心的圆A与直线(：3Iy-20=0相切,直线以(2Wi+l)x+(/W.+l)y-7m-4=0.

(1)求圆A的标准方程，并求直线4所过的定点坐标；

(2)求直线/会被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程.

【答案】(l)(x-1)2+()-2产=25,定点(3,1)；

(2)4石，2x-y-5=0.

【分析】(1)利用切线的性质求出半径即得圆A的方程，再求出直线4所过定点坐标.

(2)判断定点股与圆人的位置，利用圆的性质及弦长公式求解.

|3-8-20|=

【详解】(1)依题意，点4L2)到直线八3x-4y-2()=()的距离即为圆A的半径，.=©2+(.尸=5,

所以圆A的标准方程为。-1)2+()，-2)2=25；

x+v-4=0[A=3

直线，2：(x+y+4)+皿2x+y-7)=0,由J-,解得《，

2x+y-7=0=l

所以直线4过定点M(3,l).

(2)由(1)知|也|=石＜5,点M在圆A内，

当直线/?_LAM时，直线被圆4截得的弦长最短，最短弦长为2"2TAM『=46,

因直线AM的斜率心.“=-；，则直线4的斜率为2,方程为)=l=2(x-3),BP2x-y-5=0.

16.(15分)

椭圆专■=l(a>〃>0)过点p(61)且离心率为李，尸为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆。于M,

N两点，定点A(T,O).

⑴求椭圆。的方程：

(2)若△4WV面积为36，求直线MN的方程.

【答案】⑴工+工=1

62

(2)x±y-2=0

【分析】(1)待定系数法求解出广〃的值，则椭圆C的方程可知：

(2)设出直线MN的方程，联立直线MN的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据

5会的=!恒/卜加-%|，代人韦达定理求解出参数值,则直线MN的方程可知.

3।,

—+72=1

a'b-

c瓜，解得忱:,

【详解】（1）由题意可知e=—=——

a3

a2=b2+c2

所以椭圆C的方程为

（2）当直线MN的斜率为0时，显然不符合题意;

因为“（2,0）,设MN:x=m），+2,Ma，y）,Na,y2），

联立可得"+3）），2+4冲-2=0,

（厂+3y=6、,

则A=16m2+8（/M2+3）=24m2+24>0,

4〃？2

必=

y+m+3niF+-37'

因为=^-\AF\-\yi-%|=3j（M+）J-4y%，

6yf6\lm~+1

=3x/3»解得〃7=±1>

〃"+3

17.（15分）

已知数列｛4｝的前"项和为S"，且《=4M向=3S”+4.

⑴求｛q｝的通项公式；

Q

（2）若数列佃｝满足勿=\og2an,求数列标一的前〃项和Tn.

【答案】（1）q=4"

32〃+3

(2)2-(H+l)(n4-2)

【分析】(1)根据给定条件，利用为=5”-5“田〃22求出通项公式.

(2)由(I)的结论求出"，再利用裂项相消法求和即得.

【详解】(1)在数列｛q｝中，a“+|=3S.+4,当〃=1时，%=3q+4=16,

当时，4“=3szit+4,则4.I=3S.+4,

所以——4=34=4+i=44,又生=4%,

则数列｛q｝是以4为首项，4为公比的等比数列，所以“”=4”.

fl

(2)由(1)知，bn=log2<j„=log24=2n,

8_8_2__1_

则口22〃X(2〃+4)〃(〃+2)n〃+2

"I〃+1l〃+1232(〃+2〃l)+(〃3+2).

18.(17分)

如图1,点E,EG分别是边长为4的正方形A88三边8,A。的中点，先沿着虚线段AG将等腰直角三

角形8X；裁掉，再将剩下的五边形A8CFG沿着线段所折起，赞得平面AEFG_L平面反b,(如图2),

连接ARCG,。是四边形£BC户对角线的交点.

⑴求证：AO//平面Gb；

(2)求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；

(3)在棱AG上是否存在点P,使得平面EBP与平面Gb的夹角为45?若存在，求出点P的位置，若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴证明见详解

(3)存在，点P与点A重合.

【分析】(1)利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行；

(2)证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量

与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值；

(3)由(2)知道半囿CFG的法向星，设点。坐标，由空间向量求得平的相石的法向量，由两个囿的法向

量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点。坐标，即可知道点，的位置.

【详解】(1)取C尸中点〃，连接

•・•四边形8CFE为矩形，

・••点。为斯中