中考数学复习学案-圆的证明和计算类重难点综合问题 （学生版）

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圆的证明和计算类重难点综合问题

备考指南〉

考点分布考查频率命题趋势

考点1不含三角函数的问题☆☆☆数学中考中，有关圆的证明与计算的部分，是每

年中考试卷解答题里必考的综合题，每年考查1

考点2含三角函数的问题☆☆

道题,分值为8T2分，一般略简单一些的会设置2

小问，综合一些的会设置3小问。一般会出现证

明某线段是切线，或者证明两个角相等，或者两

条线段相等。然后其他小问让计算某线段长度，

考点3创新型的问题☆☆

或者求某角的大小等。用到的知识比较综合，圆

周角定律、相似三角膨性质、勾股定理、三角函

数以及数学思想方法.

☆☆☆代表必考点,☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

函知识导图二＞

圆的证明与计算

不含三角函数圆的证明与计算含三角函数圆创新型圆的证明与计算

的证明与计算

能夯实基础

知识清单〉

1.判定切线的方法

(1)若切点明确，则“连_____,证______"。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转

化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直：

(2)若切点不明确，则“作_____,证______“。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一,

隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明:

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①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进

行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,

形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而

化未知为己知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段

可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型弦长一半、弦心距、半径④构造勾股定理模型⑤构造

三角函数.

（2）思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的柱等关系建

立方程，解决问题。

（3）思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本性形的问题,

通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜

半径与弦长计算,一来中间站。

圆上若有一切线,切点圆心_____连

切线长度的“算,定理最方便

要想证明是切线,—垂线仔细辨.

是直径，成半圆,想成—角径连弦

弧有中点圆心连,一定理要记全。

圆周角边两条弦,和弦端点连。

弦切角边切线弦,一对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出_线。

还要作个内接圆,—角平分线梦圆

如果遇到相交圆,不要忘作—弦。

内外相切的两圆,经过一点公切线

若是添上连心线,一点肯定在上面

要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线，是一线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，—旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

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切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

目I考点梳理一)

考点1.不含三角函数的问题

【例题1】(2024甘肃临夏)如图，直线/与OO相切于点O，48为OO的直径，过点A作/后1/

于点延长力8交直线/于点c.

(1)求证：川)平分/CAE；

(2)如果巡C7L，OC=3,求OO的半径.

【变式练1](2024山东济南一模)如图，在中，直径力月与弦CQ相交于点",连接/c、BD

(1)求证：AAECsADEB；

(2)连接力。，若力0=3,ZC=30%求。。的半径•

【变式练2](2024湖北--模)如图，力8为。。的直径，£为。。上一点，点C为标的中点，过点

C作CO_L4E,交4E的延长线于点。，延长。。交的延长线于点立

(1)求证：CO是OO的切线；

(2)若DE=1,DC=2,求0。的半径K.

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考点2.含三角密数的问题

【例题2】（2024山东泰安）如图，是O。的直径，力”是O。的切线，点。为OO上任意一

点，点。为前的中点，连接BD交力。于点〃，延长BD与相交于点/・'，若谶=1，tan8=1,

2

则力"的长为.

【变式练1］（2024湖南一模）如图，彳8为。。的直径，点P在48的延长线上，PC,PO与。0相

切，切点分别为C,D.若力8=10,PC=12,则sin/。。等于（）

【变式练2］（2024江苏徐州一模）如图，△49C中，AB=AC,点、D为BC上一点,且4。=。。,

过4B,。三点作。。，力£是。。的直径，连接

（1）求证：ZC是OO的切线：

（2）若sinC=a，47=6,求。。的直径.

5

【例题3】（2024云南省）如图，4％是。。的直径，点好、”是。0上异于A、〃的点.点。在

。。外，（：A=Q），延长8〃与C4的延长线交于点M，点留在历1的延长线上，

/AMN=/ABM,AM・BM=AB-MN.点H在直径ABE，/力〃。=90°，点“是线段班的

中点.

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（1）求乙4*B的度数;

（2）求证：直线CM与。。相切：

（3）看一看，想一想，证一证：

以下与线段C/，、线段阴、线段C8有关的三个结论：CE+EB〈（HCE+EB=CB,

C*+*8>C8,你认为哪个正确？请说明理由.

【变式练1］（2024广州一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物

剖面图，图②是其示意图.图②中，点力在直线/上往复运动，推动点〃做圆周运动形成OO，AB

与表示曲柄连杆的两直杆，点C、。是直线/与OO的交点；当点力运动到E时，点8到达C；

当点彳运动到产时，点8到达。.若4B=12,08=5,则下列结论正确的是（）

图1图2

A..MT--3B./<1/<,=12

C.当力8与。。相切时，"4=4D.当OBLCD时，⑷4=41；

【变式练2］（2024福建一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早

的双轮马车始见年代为商代晚期（河南安阳殷城）.小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型,

他绘制了如图2的车轮侧面图.如图2,当过圆心。的车架力。的一端月落在地面上时，4C与的

另一个交点为点〃，水平地面,48切。。于点B.

⑴求证：Z4+2ZC=90°：

（2）若力。=2m,48=3m,求0。的直径.

中考数等

日I真题在

考点1.不含三角函数的问题

1.（2024辽宁）如图，OO是△48c的外接圆，/8是O。的直径，点。在诧上，AC=BD'

“在族的延长线上，NCEA=NCAD.

（1）如图1,求证：C4是OO的切线；

（2）如图2,若N（%A=2/DAB,3=8,求筋的长.

2.（2。24深圳）如图，化△力80中，48:81），0。为△450的外接圆，撤（为的切线，

力。为OO的直径，连接。。并延长交盘'于点£.

（1）求证：DEA.BE；

（2）若48二5指，BE=5.求。。的半径・

考点2.含三角函数的问题

1.（2024福建省）如图，在zJ8C中，ZBAC=90°,AB=AC,以为直径的O。交8C于点

⑪，AE1OC，垂足为/<,8"的延长线交茄卜点

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（2）求证：AAEBSABEC；

（3）求证：力。与班.互相平分.

2.（2024甘肃威武）如图，/8是O。的直径，就二丽，点£在力。的延长线上，且

NADC=/AEB.

（1）求证：8"'是。。的切线；

（2）当OO的半径为2,8。=3时，求的值.

3.（2024广西）如图，已知0。是△48。的外接圆，AB二AC.点D,E分别是BC，AC的中

点，连接并延长至点儿使连接/炉.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）求讦：曲’与相切：

3

（3）若tan/胡。=一，8c=12,求OO的半径.

4

考点3.创新型的问题

I.（2024广州）如图，在菱形48C7）中，/。=120。.点“在射线8。上运动（不与点心点。

重合），△44关于力"的轴对称图形为

C

（I）当/胡/：=30。时，试判断线段和线段力。的数量和位置关系，并说明理由：

（2）若AB=6+6>5,OO为△//〃,'的外接圆，设。。的半径为

①求"的取值范围：

②连接小7，直线"Q能否与O。相切？如果能，求翁媛的长度；如果不能，请说明理由.

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专项练习〉

考点1.不含三角函数的问题

1.如图，在RtZX/出。中，ZABC=90°,以川？为直径的。。交力。于点E,点。是8C边上的中点,

连接DE.

(1)求证：。月与OO相切;

(2)连接OC交OE于点尸，若的半径为3,DE=4,的值.

2.如图，在△力8。中，AB=AC，以48为直径的。0交器CF点0，交线段。力的延长线于点

",连接

E

(1)求证：BI)=CDi

(2)若tanC=一，80=4,求力

2

3.如图，在RtZ\/8C中，N/C8=90。，以涔C为直径作④。，交力8边于点口，在加上取一

点、E，使筋二丽，连接/)小，作射线C/V交力8边于点”•

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(1)求证：“二”(r；

4

(2)若/C=8，cosZACF=~,求B厂及DE的长•

5

考点2.含三角函数的问题

1.如图，△力4c中，以48为直径的。。交8C于点E,4E平分NB/C,过点E作EO_L1C于点。,

延长DE交AB的延长线于点P.

(1)求证：PE是OO的切线；

1.为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材

由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环。°