江苏泰州市姜堰区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

九年级数学试卷

（考试时间：120分钟总分：150分）

请注意：

L所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效.

2.作图必须用28铅笔，并请加黑加粗.

第一部分选择题（共18分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选顼中，只有

一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.一元二次方程的解为（）

A.x=1B.x=-1C.内=X1——1D.再=1,x：=—1

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了解•元二次方程，可利用直接开平方法解方程，即可作答.

【详解】解：・・・丁=],

***Xj=1,=-1,

故选：D.

2.下列函数中，随x的增大而增大的函数是（）.

A.y=2（j-3）2B.y=-3xC.y=x-3D.y=x2

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了一次函数和二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可.

【详解】解：A.y=2（x—3『是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=3,

・•・当x<3时，随x增大而减小，当x>3时.，）'随x增大而减大，不符合题意；

B.y=-3x是一次函数，一3<0,

・•・/随工增大而减小，不符合题意；

C.y=x-3是一次函数，1>0,

・•・/随工增大而增大，符合题意：

D.），二,一是一次函数，开口向上，顶点在*=（）,当”<0时y随x增大而减小，不符合题意.

故选：c.

3.以下四个三角函数值中，最大的是（）

A.sin29°B.cos43°C.cos60°D.sin45°

【答案】B

【解析】

【分析［本题主要考查了锐知三角函数值的大小比较.利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值,

再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可.

【详解】解：如图，

在RtAABC中，ZB=90o,ZC=cr,则ZA=90。—。,

BCBC

cosC=cosa=,sinA=sin（90°-a）=

ACAC

cosa=sin（90°-a）,

・•・cos43°=sin（90°-43°）=sin47°,cos60°=sin（90°-6（T）=sin300,

•・•在0。<。<90。范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且29。v30。v45。<47。，

・•・sin290<sin300<sin450<sin47°,

即sin290<cos60。<sin450<cos43°.

故选:B.

4.已知一组数据a,2,4,8,6的中位数是6,那么〃可以是（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查中位数的定义.需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定〃的取值范

围，再匹配选项即可.

【洋解】解：•・•中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位

数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数.

•・•这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6.

将已知数据从小到大排列:2,4,6,8.

要使排序后第3个数为6,则a26.

观察选项，只有D选项的6满足〃26的条件.

故选：D

5.如图,V4BC中,ZACB=90%AC=BC,。为AC边上的黄金分割点，AD>CD,E为AB边

上一点,DE1AC,连接30,记VAOE、△BCD的面积为S1,S”则()

S

B.S]<2c.s,=s2D.无法比较

1C

【解析】

【分析•】本题考查黄金比例的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关

键.

先推导出VABC是等腰直角三角形，ZA=45°,VADE是等接直角三角形，DE=AD>得到

S.=-ADDE=-ADAD=-AD2,S,=-CDBC,

1222-2

根据黄金分割点的性质，有AZ)2=AC-CO,推导出AZ)2=3CCD,得到则

S\=S"即可解答.

【详解】解：•・•在VA3C中，ZACB=9()O,AC=BC,

・・・VABC是等腰直角三角形，ZA=45°,

•：DE1AC.

・•・ZADE=90°,

•・•在VAOE中，NAOE=90。,NA=45。，

・・・VAQE是等腰直角三角形，DE=AD，

・•・Si=-ADDE=-ADAD=-AD2,S,=-CDBC,

1222~2

・・・0为AC边上的黄金分割点，且4。〉。。,

・，根据黄金分割点的性质，有AZ>2=AC・C。，

又•・,AC=8C,

:.AD2=BCCD,

将A£>2=8CC£>代入S]的表达式，

得$

:§2=-CDBC,

~2

:.S\=S].

故选：C.

6.如图，四边形AO8C内接于0O,A3为直径，CD平分NACB,要想求出四边形ADBC的面积,

只要知道()

A.AC的长B.A8的长C.CO的长D.lanNABC的值

【答案】C

【解析】

【分析】先结合A8为直径，得出NACB=NAQ4=90。，根据CO平分NAC8,得DN=DM,

ZACD=^BCD=Ix90°=45°,AD=DB,然后证明.AND^BMD(AAS),故

s四边形NCMD=S四边形MM，再证明四边形NCMO是矩形，又因为DN=DM,则四边形NCM。是正方形，

得出四边形NCMQ面积=LXCDXMN,即可作答.

2

【详解】解：:AB为直径，

・•・ZACB=ZADB=90°,

过点。分别作£W_LC4的延长线，DM1CB,连接MN,

•・・C。平分NAC8,

・•・DN=DM,

•••CO平分NACB,

:.乙4co=/BCD=1x90°=45°,

2

•'•AO=DB，

；・AD=DB，

・・•四边形ADBC内接于Q。，

・•・NC4力+NC8O=180。，

•・•NCAD+NNAD=180。,

:,乙NAD=/CBD,

•・・DN_LC4的延长线，DM上CB,

:.ZAND=/BMD=90。,

・•・AND^BMD(AAS),

・q_q

,•0.AND-.HMD»

•VR一q4q

••0AND十U四边形AGW)一°HMD十“四边形ACM。，

即S四边形NCMD=S四边形ACBC，

ZACB=NCMD=NCND=90°,

・•・四边形NCMD是矩形，

•・•DN=DM,

・•.四边形NCMD是正方形，

:.CD=MN,CD1MN,

:.四边形NCMD的面积=LxCDxMN,

2

即5四边形八丽=TCD?,

故选:C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的判定，角平分线的性质，圆内接四边形对角互补，矩形的判定与

性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

第二部分非选择题（共132分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案

直接填写在答题卡相应位置上）

x3,x-y

7.已知一=77，则-----=______.

y2y

【答案】：##0.2

【解析】

X-v

【分析】本题主要考查了比例的性质.根据题意可设x=3A,5=2々（&。0）,然后代入不：化简计算即

可.

x3

【详解】解：•••一二：;,

y2

，设％=3攵，y=2%（AwO）,

.x-y_3k-2k_k_\

**x4-y3k+2k5k5,

故答案为：—.

8.若一元二次方程/一6工+8=0的两根为不々，则为+々=.

【答案】6

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.根据一元二次方程根与系数的关系玉+再=-2,代入

a

数值计算,即可作答.

【详解】解：:一元二次方程f—6x+8=0的两根为西，如

.一6z

..x}+x2=---=6,

故答案为：6.

9.已知一个山坡的坡度为1：1,则山坡的坡角为.

【答案】45°

【解析】

【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念.根据坡度i等于坡角的

正切即可求解.

【详解】解：设坡角为a,

由题意得，tan«=1=1,

<z=45°.

故答案为：45°.

10.若事件A发生的概率是0.05,大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生____次.

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数.根据概率的意义，事件人平均每200次发牛.

的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析•，即可作答.

【详解】解：•・•事件A发生的概塞是0.05,

，大量重复试验中，平均每200次发生的次数为200x0.05=10,

故答案为：10.

11.若二次函数），=依2+法的图象经过点（2,4）,则勿+人=.

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的特征.将点（2,4）代入二次函数解析式，得到4a+抄=4,

即可求解.

【详解】解：•・•二次函数y十法的图象经过点（2,4）,

4。+2Z?=4,

/.2〃+6=2.

故答案为：2.

12.正多边形的一个内角是120。，这个正多边形是正_____边形.

【答案】六

【解析】

【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和36（F除以这个

度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键.

【详解】解：•・•正多边形的一个内角是120。，

・•・正多边形的一个外角是180。一120°=60°，

・••这个正多边形的边数为360。+60。=6,

即正多边形是正六边形，

故答案为：六.

13.若二次函数丁=公2+（。-2）x的图象的顶点在坐标轴上，则抛物线的开口向.

【答案】上

【解析】

【分析】本题考杳二次函数的顶点坐标.由二次函数顶点在坐标轴上，分顶点在x轴或y轴两种情况讨论,

得出。的值，再根据二次项系数符号判断开口方向.

【详解】解：二次函数为y=ax2+（a-2）x,其中。工0，

顶点横坐标为一二二一『，纵坐标为4比土=（即2）2,

2〃2〃4a4a

4—2

若顶点在y轴上，则横坐标为0,即----=0,

2a

解得。-2=0,即。=2；

若顶点在工轴上，则纵坐标为0,即_（〃一2）"

4。

解得（。―2『=0,即。=2；

综上，ci=2,此时二次项系数。=2>0,故抛物线开口向上，

故答案为：上.

14.如图，A3是0。上的点，VAQ8和是位似图形，位似中心为点。，点A3对应点是点

E,F,£产与。。相切，若。。的半径为5,AB=6,则£尸的K为

2

U祸斤】

【分析】本题考杳位似图形的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质.先根据垂径定理求出AC的

长度，再利用勾股定理求出0C的长度，然后根据位似图形的性质得到一AQ3与一EOF相似，最后根据

相似三角形的性质求出EF的长度.

详解】解：过点。作OCJ.A3于点C,过点。作OOJ.E产于点O，

•・•。。的半径为5,

：.(JA=(JB=(JD=3,

VAB=6,

AAC=-AB=3,

2

在心©AOC中，OC=doN-AC2=:52-32=4,

•・•VAO8和正OF是位似图形，位似中心为点0,

：.4AORs^-'.EOF,

•・•£尸与交0。相切，

：.0DtEF,

.AB_OC

••而一而‘

64

即MI1：=—,

解得：EF=—.

2

故答案为：—.

2

15.如图，中，NACB=90。，8C=3,4B=5,/为VABC的内心，则tanNMC=

【答案】1##3-1

【解析】

【分析】本题考查了正切的定义、三角形内心的概念、勾股定理以及正方形的判定与性质，解题关键是掌

握相关概念，构造直角三角形，利用三角形面积关系求解.

分别过/点作于及，IE1CB于E,先求出再利用三角形的面积关系求出/。和

A/)后即可求解.

【详解】解：如图，分别过/点作〃)_LAC于。，IE±CB于E,

•・・RtZ\/WC中，ZACB=90°,

・•・四边形QC£7是矩形，

•・•/为VABC的内心，

：.ID=IE，

・•・四边形7X27正方形

工ID=DC,

VBC=3,AB=5,

・•・AC=VAB2-BC2=V52-32=4，

・•・VA8C的周长为3+4+5=12,

/.S.=—xl2x/D=—x3x4,

AAlfiki-r22

・•・/D=l，

/.ID=DC=\,

・•・AD=4—1=3.

:.tanZIAC=—=-,

AD3

故答案为：—.

16.将二次函数y二（x-2『+l的图像一直向左平移，在平移过程中，图像与y轴的交点P到一次函数

y=2x+k[k<0）图像的距离的最小值为75，则k的值为.

【答案】-4

【解析】

【分析】设二次函数的图像向左平移四个单位长度，根据二次函数的平移求出尸（0,，〃2—4〃?+5）；设一次

（k、

函数图像与x轴、N轴分别交于点A、A，作PC_LA3于点C,则A（O,A）,B--,0，则。4=一3

OB=-也,AP=m2-4m+5-k»利用勾股定理求出ABNOA?+OB2二一画,通过证明

22

APCP

.ACP-.AOB,得到——=—,进而求出CP的表达式，再利用二次函数的性质列出关于k的方程，即

ABOB

可求解.

【详解】解：设二次函数的图像向左平移，〃个单位长度，

则平移后的函数解析式为），=（冗+〃7-2）2+1,

令上=0,则y=（???-2）2+1=nr-4机+5,

・•・网0,加一4〃?+5）,

设一次函数图像与x轴、》轴分别交于点4、A，作PC_LA8于点C,

则乙4cp=90。，

对于y=2x+A(Z<()),

当x=0,则y=A；

当y=0,则2x+%=0,解得x=一&；

2

k

OA=-k>OB=--,AP=trT-^m+5-k»

2

•・•ZAOB=90°，

AAB==--，

2

VZACP=ZAOB=90°,ZCAP=ZOAB,

:.LACPfAOB,

APCP

••=9

ABOB

(〃2——477?+5—&)•(|.x2..

・s_AP08j乂2j_(w-2)+1-A-

=

AB~=好

-----k

2

1—k

当m=2时，CP有最小值，最小值为二方,

由题意得，CP的最小值为石，

解得％=-4.

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了二次函数与•次函数的图像与性质、二次函数的平移、勾股定理、相似二角形的性质与

判定，运用数形结合思想是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（1）解方程：%2—4x=0;

（2）计算:tan260o+4sin300cos45°.

【答案】（1）%=O,X2=4；（2）3+&

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关

键.

（1）运用因式分解法解方程，即可作答.

（2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方和乘法，即可作答.

【详解】解：（1）VX2-4X=0^

：.x（x-4）=0,

解得=。，X2=4;

（2）tan260°+4sin30°cos45°

/rz\2.1V2

=（V3）+4x-x—

=3+>/2

18.九（I）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同

学担任主持人.

（1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是：

（2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中的概率.

【答案】⑴-

4

⑵-

2

【解析】

【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键.

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图求概率即可求解.

【小问1详解】

解：共有4名同学，甲同学被选中的概率是；!

4

故答案为：

4

【小问2详解】

解：画树状图如图，

开始

甲乙丙丁

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能结果,其中甲同学被选中的结果有6种,

・•・甲同学被选中的概率为刍=1.

122

19.为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设

定满分为10分，参赛学生的得分均为整数.以下是甲、乙两组［每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单

位：分）：

甲组：6,7,9,10,6,5,6,6,9,6.

乙组：10,7,6,9,6,7,7,6,7,5.

根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：

组别平均数中位数众数方差

甲组7a62.6

乙组b7C2

（1）在以上成绩统计表中，。二，b=,c=.

（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属「中游略偏上的水平.”根据上面的统计表，判

断小明是哪个组的学生，并解释原因.

（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由.

【答案】（1）6,7,7

（2）小明可能是甲组的学生，解释原因见解析

（3）选乙组参加决赛，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了平均数.中位数.众数及方差的意义.关铤是熟练应用特征数做决策.

（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；

（2）根据中位数的意义即可得出答案；

（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案.

【小问1详解】

解：•・•甲组数据重新排列为：5,6,6,6,6,6,7,9,9,10.

.•.中间两个数的平均数是—=6，则中位数。=6；

2

•・•乙组数据重新排列为:5,6,6,6,7,7,7,7,9,10.

1

b=一x(54-6+6+6+7+7+7+7+9+10)=7

1()

•・•乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多,

；・众数c=7.

故答案为：6,7,7

【小问2详解】

小明可能是甲组的学生，理由如下：

•・•甲组的中位数是6分，而小明得了7分,

・••小明在小组中属中游略偏上.

【小问3详解】

诜乙组参加决赛.理由如下：

•・・甲、乙两组学生平均数相同，

而S甲2=2.6>S；=2,

・••乙组的成绩比较稳定，

故选乙组参加决赛.

20.已知二次函数），=内+4]-3的图象经过点（1,0）.

（1）求该二次函数的解析式.

（2）若A。/—2m+3,y）,8（〃?2一2"+5,月）在该二次函数的图象上，试判断到，%的大小关系，

并说明理由.

【答案】(1)y=-x2+4x-3

（2）））>%，理由见解析

【解析】

【分析】本题考杳了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，比较函数值的大小，正确掌握相关性质内

容是解题的关键.

(1)理解题意，直接把点(1,0)代入y=a-+4x-3计算，即可作答.

(2)先理解题意，整理62一26+3=(6-1『+2,开口方向向上，当〃2=1时，函数有最小值，且为

2；m2-2根+5=(加一1『+4,开口方向向上，当加=1时，函数有最小值，且为4,然后把

y=—f+4x—3化为顶点式，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答.

【小问1详解】

解：•・•二次函数丁="2+4%—3的图象经过点(1,0),

***0=。+4—3,

解得。=—1,

:.y——x~+4x—3；

【小问2详解】

解：%>%，理由如下：

依题意，//-2m+3=m2-2/〃+1+2=(m-1)2+2,

V1>0

・••开口方向向上，当〃7=1时，函数有最小值，且为2，

依题意，—2m+5=〃广一26+1+4=(/〃-1)2+4,

・••开口方向向上,当〃?=1时，函数有最小值,且为4,

由⑴得卜=-/+4工一3,

v-l<0,

・••开口方向向下，越靠近对称轴的自变最所对应的函数值越大，

41

・•・对称轴为直线x=-ft)=2，

•；A(〃/-2m+3,y),B(m2-2m+5,%)在该二次函数的图象上，且12-2|<|4-2],

・•・.K>%.

21.如图.小亮一家自驾到风景区。游玩.当到达A地后，小亮发现风景区。在A地的北偏东15。方向.

但导航显示车辆应沿北偏西45。方向行驶12千米至8地，再沿北偏东60。方向行驶一段距离到达风景区

C.

（2）求A,C两地的距离.（参考数据：6B1.73,结果精确到0.1）

【答案】（1）45°

（2）AC=16.4

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，30。角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定等，作出合

适的辅助线构建直角三角形是解题的关键.

（I）由题意得，Z4=60°,NB=75。，即可求出NACB的度数；

⑵过点B作_LAC于。，根据题意分别求出4450=30。，Z4CB=45°,然后利用30。角所对

的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得AD=6和CD=6、8，即可得到答案.

【小问1详解】

解：由题意得，NA=60。，ZB=90o-600+45o=75°,

ZACB=180°-60°-75°=45°,

故答案为：45°；

【小问2详解】

如图，过点8作BOJ.AC于D,

北

在RtZ\A9力中，A6=12千米，ZABD=3Q0,

则4。=348=6千米，8O=A8cosNABO=12x*=6上千米,

在Rt_4X?中，ZACB=45°,

・•・8=80=6后千米，

・•・AC=AO+CQ=6+6凤16.4，

则A,。两地的距离约为16.4千米.

22.根据表中素材，探索完成任务.

素材生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产

1500个，同年6月份则生产720个.

该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元

素材

时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10

2

个.

何题

解决下列问题

解决

任务

求该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率.

1

任务

求该零部件月销售利润的最大值.

2

【答案】20%；该零部件月销售利润的最大值为12250元

【解析】

【分析】本题主要考查了•元二次方程的应用——增长率问题、二次函数的性质以及二次函数的应用一一销

售问题.

(1)设该工厂4月份到6月份生七数量的平均增长率为心根据4月份和6月份的生产数量列出方程求解

即可;

(2)根据售价和销售量的关系列出利润的函数表达式

W=(y-30)(1(XX)-1Oy)=-1()/+13(X)^-3(XXX),再利用二次函数的性质求出最大值即可解答.

【详解】解：(1)设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为工，

贝4500(1+"=720,

解得玉=0.2=20%,x2=-2.2(舍去)，

答：该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%；

(2)设该零件的实际售价元/个，月销售利润为W元，

则单个零件销售利润为30)元，月销售量为600-10()」40)=(1000-10)，)个,

则W=()，—30)(1000—10y)=—10y2+i300y—30000=—10()，—65『+12250,

v-10<0,

.•.当y=65时,月利润W最大，最大值为12250,

答：当售价定为65元时，该零部件月销售利润最大，利润最大值为12250元.

23.如图，在VAVC'中，NC=90",AOBC.

(1)在图I中，川圆规和没有刻度的.直尺在边AC上求作点。，使C。.AC(保留作图痕迹，不

要求写作法).

3

(2)在(1)的条件下，若AC=4,tanZCB7)=-,求CO的长.

4

9

【答案】(1)见详解(2)-

4

【解析】

【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.

(1)理解题意，作Z.CBD=NA,因为NC=NC,证明^ACB^BCD,M—=——得BC2=CDAC>

CDBC

即可作答.

3

(2)由(1)得NCBO=NA,又因tan/C3O=二，AC=4,得出BC=3,再把数值代入

4

BC2=CZ>AC进行计算，即可作答.

【小问1详解】

解：依题意，点。如图所示:

【小问2详解】

解：由(1)得/CBD=NA,

•ZlanZ.CBD=-

4

3

tan=-9

4

即空白

AC4

VAC=4,

・•・AC=3,

由(1)得3c2=COAC，

・•・32=84,

9

解得co=—.

4

24.如图，VABC中，经过4,C两点的。。与边AB8c分别交于E,F,。是片石上一动点，连接

DE,CD.

(1)若,,求证：；(请将信息“①NO£4=NA3C；②CD_LA8；③

NACS=9()c”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明)

（2）在（1）的条件下：冶AC=6DE=6求阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析;

（2）工一更

34

【解析】

【分析】（1）任选其中两个作为己知条件，剩下的一个作为结论，再利用圆周角定理等知识进行证明即可.

（2）先证明4尸是直径，即经过点0,求出圆的半径，再证明二。尸。是等边三角形，得出

Z0FC=60%进一步得到NA0C=120。，利用三角形面积公式与扇形面积公式即可求解.

【小问1详解】

解：若①②，求证③；

证明：*：CD1AB,

:.NDEA+ND=90"

又/DEA=ZABC,Z£>=Z4，

・•・ZDEA+ZD=ZABC+ZA=90'，

・•・ZACB=90°.

若①③，求证②；

证明：VZACB=90°,

・•・乙WC+NA=90'，

又，：NDEA=ZABC,ZD=NA,

・•・ZDEA+ZD=90\

・•・CDLAB.

若②③，求证①；

证明：VZACB=90°.

・•・NA3C+N4=90”,

又•：CDJ.AB,

・•・NDEA+ND=90，

,:NO=NA，

:./DEA=ZABC.

【小问2详解】

解：如图，连接AF,

•・•Z4CB=90%

・・・A尸是直径,即经过点。，

连接0C,

♦:CDA.AB,

・•・/〃E4+NO=9()"，NBCD+NB=9J,

•・•/DEA=ZABC,

・•・/D=/BCD,

：-EC=DFi

-EC=DFi

•••FC=DEf

:・DE=FC,

，：AC=6DE=6

:.DE=FC=\,

・•・AF=V>4C2+FC2=^(>/3)2+12=2，

OA=OE=\,

・•・oc=\,

・•・.O回。是等边三角形，

・•・ZOFC=60°,

・•・ZAOC=120。，

.q_120TIXI2_兀

••烧形。AC―-360-'

过。点作OGJLAC于G,

:・AG=CG,

・•・OG=-FC=-,

22

••SAOC=-ACOG=-X43X-=^-,

AOC2224

・•・阴影面枳为工-且

34

【点睛】本题考查了圆周角定埋及其推论、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算等知识，解题关键

是正确作出辅助线构造直角三角形与等边三角形.

25.如图，四边形ABCO中，ZB=ZC=90°,tiinZA=2,A5+8C=5，CD=m.

ir------------------K------------------

备用国i备用图2

(1)若机=2,求A8的值；

(2)记四边形A4CO的面积为“，

①求«关于加的函数关系式；

②求〃的最大值；

(3)点E为动AD上一动点，EMLAB.EN上BC,垂足分别为M,N,若在E点从人运动到D点

的过程中，有且只有一个位置使四边形EM8N的长是宽的两倍，直接写出〃?的取值范围.

【答案】(1)AB=3

S9095

(2)①〃二——in24m+—；②5

999

520

(3)—<m<—

47

【解析】

【分析】(1)过点。作干”，设A8=x,得出四边形"8CO是矩形，可得

DH=BC=5-x,HB=CD=2,AH=AB-HB=X-2,根据tanNA=2可得关于x的分式方程,

解方程求出工的值，检验即可得答案；

(2)①设=则AB=a+m,根据tanNA=2可得=8c=2〃，根据AB+8C=5得出

。=三"，48=牛"，8C=若蛆，根据〃=S./)+S矩形楔⑺即可得答案；

②把①中所得关系式化为二次函数的顶点式，根据二次函数的性质即可得答案；

（3）当EN=2EM时,设EM=3则硒=2，得出AM—4，AB=AM±BM=-±2t,结

222

合（2）中结论得出?二丝竺，可得/J0+4m,根据0＜EMW8C,得出

2315

0/0+4%2（5-⑼,求出。＜机工型，当EM=2EN时,同理求出1二出竺，根据有且只有一

15373

个位置使四边形EM8V的长是宽的两倍可得让工”＞生上，求出机＞3,综上，即可得答案.

334

【小问1详解】

解：如图，过点。作于”，设A3=x,

VZ25=ZC=9O°,DH±AB，

・•・四边形"BCD是矩形，

VAB+BC=5,CD=m=2

：.DH=BC=5-x,HB=CD=2,AH=AB-HB=x-2,

*.*(iinZA=2,

,DH=2,即B2,

AH

解得：x=3,

经检验：x=3是分式方程的解,

AAB=3.

【小问2详解】

解：①如（1）中图，设A〃=a，则48=a+〃z,

VtanZA=2,

：,DH=BC=2AH=2a,

•・•A8+BC=5,

〃+〃2+%=5,

解得：。=土”

3

・3宁十山

^!!LyBC=£>"=2(5-")

33

•・•四边形4BCO的面积为〃，

：.)I=LAHDH+BCCD

2

15-m2(5-m)2(5-m)

=-x----x---------1--------xm

2333

5,2025

=——mH---m-\---；

999

〜522025

②.n=——m+——"7十

999

・•・当m=2时,〃有最大值，最大值为5.

【小问3详解】

解：如图，当EN=2EM时，设而=，则EN=2r

5-m5+2wc2(5-〃z)

由（2）可知，AB=----+m=,BC=DH

33-3-

VtanZA=2,

AAB=AM+BM=-+2/=—

22

5t5+21n

23

10+4"?

解得：t=

15

•••E为边人力上一动点，m>0,

，OvEMWBC,

.10+4//?2(5-/??)

153

解得：0<〃?W—>

7

如图，当EM=2EN时,设则=

A

BNC

*/tanZA=2,

AAM=-,

2

BM=EN=AM=-,

2

…5+2/T?

:.AB=f=-----,

3

•・•在£点从A运动到。点的过程中，有且只有一个位置使四边形EMBN的长是宽的两倍，

.5+2m2(5-in)

••>9

33

解得：/??>—»

4

,5,20

・・一<<--.

47

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、二次函数的最值求法、三角函数的定义及解一元•次不等式，熟练

掌握相关判定定理及性质是解题关键.

26.如图1,点A,8(A在8的左边)为二次函数y二一/+2K+3的图像上两点，A,B的横坐标分别为

m,n.

图1图2

(1)若m=-3,AB//x轴,求〃的值；

(2)若〃〃2=-6.

①试说明：直线AB一定经过定点(。,一3)；

②若二次函数-x2+2x+3的图像与x轴交于两点则左边的交点到直线A3的距离〃的最大值为

（3）若二次函数%=//+公+/7的图像也经过4,B两点（即图2）,点P为线段上异于4，8的动

PM

点，过点P作直线"N〃y轴，交X，必图像于M，M问：随着P点的运动，一的值是否发生改

PN

PM

变？若不改变，求出——的值；若改变，说明理由.

PN

【答案】（1）n=5

（2）①见解析；②JIU

PM

（3）不改变，——=2

PN

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键.

（1）先求出二次函数y=—f+2工+3的对称轴为犬=-两二弓二1,推导出点A,8关于二次函数

-4-17

y=-/+21+3的对称轴对称，得到