平面向量中的新定义 -高考数学二轮专项复习

微拓展3平面向量中的新定义

［考情分析］平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系

多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量

“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点.

考点一平面向量的外积

定义向量。与力的外积是一个向量，记为〃X"它的长度|axq=|0|b|sin(4,b),它的方向垂直于a,b,

旦｛a,b,axb｝构成右手系的基.

axb

外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，65读作“。叉力”.

特别地，当〃=0或6=0时，/6=0.

例1(多选)［平面向量的外积］在空间中，定义向量的外积：*力叫做向量〃与力的外积，它是一个向

量，满足下列两个条件：

①hl(axh),且｛a,h,ax/)｝构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、

中指的指向一致，如图所不)；

②力的模|"x"=同*in(a,b)((a,b)表示向量。,〃的夹角).

在正方体中，有以下四个结论，正确的是()

A.画*河=丽乂西

B.而，巾与西共线

C.AB<AD=ADxAB

D.吸BCD-AI8ICIDI=-(4BXAD)CCI

答案ABD

解析由题意，设正方体的棱长为明

选项A,由几何知识得，2B\C,△8G。是全等的等边三角形，且边长为立明

ZB\AC=ZDBC\=60°l

AB}=AC=AD\=DB=BC\=y/2a,

|而x就|=|砧||六|sinN，KC=v^ax9qxsin60。=万4,

|河x南|=|西x方囱=|西||丽|sin(跖，丽〉

=|5G||DS|sin(180o-ZMCi)

=V2«><V2flxsin(l80o-60°)=V3a2,

：.\AB[><AC\=\AD^XDB\IA正确；

选项B,在正方形48Ci£)i中，AC\VB\D\,

又因为88i_L平面A^B^C^D^,4Gu平面4平GA,

所以小G_L88i,

又B】BCBiDi=Bi,BiB,平面88。。,

所以小G_L平面BBiDiD,

因为BDiU平面BBiDiD,

所以BO_L4G,同理可证8。」小。,

再由右手系知，和x币与万商同向，所以B正确;

选项C,\AB^AD\=\AB\\AD\s\nZBAD=a-asin90。=加,

|而x通|=|而||而|sinN8月2>4・。41190。=*,A\AB^AD\=\AD<AB\,

•・•右手系叉乘具有方向,

.',AB^AD=-aAAh

AD^AB=aAAi，

，万x瓦彳而x彳瓦C错误;

选项D,VABCD-AiByCiDj=a^1(^B^AD)-CCi=-aAAi'CCy=-a3,故D正确.

［规律方法］(1)外积的几何意义

D

I制sin8/

XaB

So/"D=|叶（|州访0）=\a^b\.

结论：|〃x臼表示的是a与方构成的平行四边形的面积.

（2）外积的性质

①〃x〃=0；

②〃x6=0=a〃/＞；

③。x〃二-Sx〃）（交换律不成立）;

④(〃+b)xc=axc+bxc(分配律);

⑤(痴)x6=qx(乃

跟踪演练1（多选）（2024・昭通统考）已知向量a,b的数量积（又称向量的点积或内积）：。/=同・网cos〈〃,

b）,其中储，力）表示向量a,b的夹角；定义向量a,〃的向量积（乂称向量的义积或外积）:

|axZ»|=|fl|-|^|sin（a,b）,其中〈a,b）表示向量a,力的夹角，则下列说法正确的是（）

A.若〃为非零向量，且|"x"=|q力则〈〃，A三

B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|荏x而|

C.已知点4（2,0）,C・l,V3）,C为坐标原点,则画西=275

D.若|axb|=4-b=V5,则|a+2bl的最小值为2口+275

答案BCD

解析对于A,因为％b是非零向量,

由|axb|=|〃•例,

可得|a||b|sin(a,b)=同|加cos[a,b)\,

即sin(a,b)=|cos(a,b)|,

可得urn〈*b)=±1,且〈a,b)W[0,兀],

解得〈％b）幸祥,所以A错误；

对于B,由平行四边形的面积S=2x]而I衲sin{AB,AD）=\AB^\,所以B正确;

对于C,因为万5=（2,0）,丽=（-1,V3）,

可知65•丽=2Ia|=|万1=2,

则cos瓯网遥需点

且{OA,OB）e[0,71],可彳导〈殖，OB）=v，

所以赤X而1=1a||砺|sin{OA,OB）=275,故C正确;

对于D,因为|〃x臼力=V5,

即同|“sin(%b)=y|a||Z>|cos{a,b)=V5,

可得lan〈明5>4，且(a,b)e[OzTI],

可得〈%h)=^,\a\\b\=2y/3,

o

贝W+2bl2=1砰+4〃6+4例2=12+|砰+4固2212+4同步1=12+8百，

所以|a+2〃|2J12+88=2口+2通,当且仅当|〃|=2|例时，等号成立，所以D正确.

考点二与线性运算有关的新定义

例2我们把由平面内夹角成60。的两条数轴Ox,3,构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示,

ei,«2分别为Qx,Oy正方向上的单位向量.若向量而=xei+ye2，则把实数对叫叫做向量而的“@未

来坐标”，记而={x,y],已知{为，yi},“2,户}分别为向量〃，力的未来坐标”.

~x

(1)证明：{xi,y\}'{x29yi}=x\x2+y]y2+^x\y2+x2y\)；

(2)若向量a,〃的“@未来坐标”分别为{sinx,1},{cosx,1},已知./(x尸xWR,求函数J(x)的

最值.

⑴证明因为约，⑥分别为5,止方向上的单位向量，且夹角为60°,

所以e「e2=|ei||e21cos60°=1,

所以任1,y}{X2,/}=3«|力1«2)(0约+>2«2)

22

=X]X2e1+x\y2e\9+力y⑻-e^y\yie2

7117

=x\X2|ei\+-x\yi+^X2y\+y\y2\e2\

=x\X2+y1^2+^x1)/

即{x\,y\}-{x2,yi}-x\X2+yiy2^x\y^X2y\).

⑵解因为向量明力的“@未来坐标”分别为{sinx,1},{cosx,1},

所以/(x)=a•力=(sinxci+e2)(cosxei+a)

=sinACOSxef+sinxe\-ez+cosxe\s+eg

=sinxcosx+1&sinx+cosx).

令/=sinx+cosx=V2sin^x+,

贝(jsinxcosx=r{t2-\),

因为」£R,

所以-我<x^2sin(x+：)WV2/即-&

令g«)=*+f+1)(■企,

因为对称tt为片函数图象开口向上，

所以当任羽，应。取得最小值g(-习斗(卜升1后，

当片加时，g")取得最大值g(V2)=jX(2+V2+1)上篝,

乙乙

所以/(X)的最小值为W,最大值为竽.

O4

［规律方法］解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，

直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊

值排除.

跟踪演练2(多选)定义平面向量之间的一种运算"O"如下：对任意的〃=(加，〃)，b=(p,夕)，令

aOb=niq-npf则下列说法正确的是()

A.若。与,共线,则

B.aOb=bOa

C.对任意的7£R,有㈤

D.(aO力)2+(夕力)2=|肝b\2

答案ACD

解析对于A,若。与分共线，则〃的-秋=0,即“O)=0,故A正确；

对于B,因为a06=〃?1-叩，bOa=np-mq,所以“Ob功O明故B错误；

对于C,(/M)Ob=Amq-/Jip,k(aQb)=hnq-/Jip,所以(加)06=2(”。b),故C正确；

对于D,因为(a<3b)2+(ab)2=(〃q-〃/)2+(〃如_〃1)2=(〃，+〃2)S2+12),

同2向2=(〃?2+〃2)伽2+炉)，

所以(。。。)2+(〃切2=同21仟，故口正确.

考点三平面向量的新定义与新运算

例3设非零向量以=g,次)，0A=(y匕-Xk)(kWN*),并定义｛；：：：=；：：；.£；.

(1)若的=(1,2),卬=(3,-2),求3|,㈤，g|:

(2)写出依0+1|,|%+2|(〃£N*)之间的等量关系，并证明:

(3)若闷=0|=1,求证:集合｛<z#£N・｝是有限集.

(1)解因为©=(1,2),汲=(3,-2),

所以,।|=V12+22=V5,

|«2|=V32+(-2)2=V13.

依题意得伤=(-2,-3),

所以箝=处以1=3'1+(-2)*2=-1,

y3=^2a।=(-2)x1+(-3)x2=-8,

即。3=(-1,-8),

所以|©|=J(-1尸+(-8)2=755.

⑵解Q|,四^1，|丽2|之间的等量关系是|QH2|=|<M||则伏WN)

证明如下:

依题意得以产

所以|”1|同一

=J说或+i+城城+i+城+i久+久儿+1.

因为6/1=(y61/-Xjt+i),

所以pk+2=aM'ak-xk+lxk+”+。内

lyk+2=Bk+l0k=xkyM-xk+1yk,

即欧+Z=(XAM+It)妙A+i,,

所以|跺+2|=J(&%〃+1+%y〃+l)2+(Xk%+1-%〃+1%)2

=j蛀或+i+城比+i+好+i求+犬比+i,

故|*2|=|aw||at|/£N)

(3)证明由⑵及|阂=|©|=1得同=1.依此类推得闷=1(%£N)可设Q『(COSQ,sinOk),

则a*i=(cos,sin即i),

/?*■+1=(sin队i,-cos/+i).

依题意得，

Xh2=*ia=cosOzicos&+sin源isinW=cos

W2=4+「aK=sin仇MCOS&-COSa+isin0k=s\n(0/^\-6k),

所以at+2=(cos(。杆i-a),sin(仇+16)).

同理得33=(cos[(仇卜16)-仇11],

sin[(。"仇)-心门)=(cos(6),sin(-^j),

“K4=(cos[(6)-(期16)],

sin[(・Q)-(或i・Q)])=(cos(-%i)

sin(-即))，

aA+5=(cos[(-源i)-(-仇)],

sin[(-^-41)-(-^)])=(cos(^-^-+1),

sin(即Qzi)),

<ZA-+6=(C0S[(Z?A-^+1)-(-^1+1)]t

sin[(%6zi)-(-/“)]尸(cosOk,sin0k).

所以*6=GA(A£N)

综上，集合⑷AWN.｝是有限集.

[规律方法]与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运

算规则和要求，结合相关知识进行逻桶推理和计算等，从而达到解决问题的目的.

跟踪演练3(1)已知对任意平面向量而=(x,刃，把前绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量

AP=(xcosO-ysin〃，xsin0+ycos〃)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.已知平面内点力(1,

2),点8(1+遮，4),把点8绕点4沿顺时针方向旋转三后得到点P,则点尸的坐标为()

A.律+】，1)B.(一苧+1,1)

C(IT)D.(|，1)

答案A

解析O为坐标原点，由已知得丽=(6，2),

而=(乃cos(一小-2sin(一§,V3sin(-§+2cos(一3

=(孚

又力(1,2),所以点P坐标为丽=65+而=(1,2)+(苧，一乡=(苧+1，|).

(2)对于非零向量a,小定义一种运算：a。0端,已知非零向量。，力的夹角0,且a。b,h

°〃都在集合榔九€N｝中，则〃。〃等于()

A2喝B.京吟

C.lD.1

答案D

a-b|a||d|cos0

解析a°b=nr—

D-D|D|

\a\cosO_n

心,①

ba\a\\b\cos6\b\cosdm

同理可得力。a=-,〃?£N.②

|a|2Ia|2

再由a与〃的夹角。£(：，9，

可得cos2〃e(0,3,

①②两式相乘得cos?小，m,〃七N,

4

m=n=1,.=a。Z>=^=1.

思维提升拓展练习

1.对于非零向量a，b,定义。㊉b=ab・tan〈〃，力).若a㊉b=|a+〃=V5|a-b|=V5,则tanQ,b)等于()

A273

A—B.V2

C.2V3D.3V2

答案c

解析a®b=abtan(a,b)=V3,

/.tan{a,b}=^-7.

db

^\a+b\=V3\a-b\=y/3

4彳曰[|a『+2eb+|b『=3,

^|a|2-2ab+\b\2=1,

两式相减得ab=L,

/.tan{a,b)~^~2V3.

2

2.若向量a=(xi,yi),b=(x2,g)，则a，〃构成的平行四边形的面积S可以用a,力的外积"方表示出来，

即5=妙臼=历玖・工2川.已知在平面直角坐标系Oxy中，点4(cosa,V3),5(sin2a,2cosa),[0,小则

△0/18面积的最大值为()

A.lB.V2

C.2D.3

答案A

解析已知在平面直角坐标系。xy中，4(cosa,V5),£?(sin2a,2cosa),«^[o,

因为S必应孙函

=||2cos2a-V3sin2al

=||V3sin2«-2cos2a|

=||V3sin2«-(1+cos2«)|

=^|V3sin2a-cos2a-1|

用2sin(2a_*l|,

因为OWaW］则

/ooo

则jWsin(2a-Jwi,

则-2W2sin(2a-》lWl,

则5八以耳忸由(20-9一1]£[0,\],

当2a于即当。=0时，△。48面积的最大值为I.

OO

3.(多选)如图所示，设Ox,是平面内相交成。(。工角的两条数轴，ei，e2分别是与x,y轴正方向同向

的单位向量，则称平面坐标系。^为〃反射坐标系，若丽三阳+探2,则把有序数对。，力叫做向量而?的反

射坐标，记为函=(x,y),在仇目的反射坐标系中，。=(1,2),6=(2,-1),则下列结论中，正确的是()

A.a-b=(-l,3)

B.|t/|=V5

C.alh

Da在b上的投影向量的长度为当

14

答案AD

解析利用已知条件，

对于A,a-b=(e\+2e2)-(2e\-e2)=-ei+3e2,则。-6=(-1,3),故A正确;

2

对于B,|a|=V(ei+2e2)=Js+4cosy=V3,故B错误；

对于C,〃小=(。1+2。2>(2。1-。2)

=2e卜3eie-2*2,故C错误；

对于D,由于网力(24一02=夕,故〃在〃上的投影向量的长度为篙善笔，故D正确.

4.(多选)现在给出一个向量的新运算户从叫作向量“与b的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：①

a(〃x6)=0,/r(axb)=0,且｛a,"Qxb｝构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中

指的指向一致，如图1所示）;②向量Qxb的模依〃=同|州而指6〉.如图2,在棱长为2的正四面体

4BCD中,下列说法正确的是（）

TaR

C

图1图2

\.AB<AC=AC^WB

BA\BCxAC\与正四面体的表面积相等

C.（ACxAB）AD=4V2

D.|函x而）x而|=|衣、（福衲

答案CD

解析对于A,易得荏x而|=|前x同根据右手系的基的定义，拇指指向四的方向，食指指向前的方向,

则中指指向布X元的方向，其垂直于平面初G方向向下，同理得而X近垂直于平面48G方向向上，

所以商x近与前x而两向量大小相同，方向相反，A错误；

对于B,4阮x福=4|丽|福siW=4x2x2x4=8V5,正四面体的表面积为4x.x阮凶而乂曲卜46，B错误；

对于C,设元、而=祠，由A选项知宿垂直于平面力8C,方向向上"俞|=|前II冠原W=26，

所以（mX万）.而=獭.而=］俞||而|cos{AM,AD）=4V3cos{AM,通〉.

如图，过点［作力£_L8c于点已过点。作OEL1E于点E,

则心是正四面体力88的高，福与而共线，（而，AD）=ZADF.

由汐吟"xXCxsi哈善23,

得》平，

所以cos（AM,AD）=^=y,

所以（而X而）.标=4gx半=4&,C正确；

对于D,|（；^x而）X而|=|尼X而||而卜in{（ACxAB）,AD）,\AC^（AB^AD）\=\AC\\ABxAD\s\n

{AC,（够砌），

易知1好5<而|=|祠x而i,।而

sin{(AC^AB),AD)=sin{AC,(AB^AD)),

所以|(Zx而)X而|=|尼x(而X而)I，D正确.

5.给出定义：对于向量b=(sinx,cosx),若函数危)=＜rb,则称向量。为函数人工)的伴随向量,同时称函数

人幻为向量a的伴随函数.

已知«—1,|),8(1,3),函数恤)的伴随向量为〃=(0,1),点P为函数〃(x)的图象上一点，满足印+

而|=|荏则点P的坐标为.

答案(0,1)

解析由题意，A(v)=cosx,设P(x,cosx),

因为《一1,|),B(1,3),

所以方=1+1,cosx-

BP=(x-\,cosx-3),布=(2,|),

^\lkAP^-BP=(2x,2cosx—1

由所+明=|矶

得

即(COSX

因为-IWcosxWl,所以-上Wcosx1<・：,

444

所端V(COSX-/*

又也2噜

所以当且仅当-0时，(cosx-T和a2同时等于磊,

此时(COSX-32系片成立，所以点月的坐标为(0，1).

10

6.(2024・邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量〃和从定义：〃型谓汴,〃以嘴,若平面向量。，〃满

足|a|＞|川＞0,且〃㊉b和都在集合借几wZ,0＜几三4}中，贝Ua㊉力十〃0。=

答案

解析因为{耳九EZ,0V71W4}

=H'rv",

设向量〃和6的夹角为仇

因为同＞同＞0,所以⑷2+砰＞2|a||b|,

zeziilzr\tab|a||b|cos0|a||b|cos0cos。

恬到“㊉6同2+网「|“+网2V2同网一2，

又。£[0,71],所以等

所以。㊉,

又〃㊉〃在集合保九€Z,0V/IW4}中，

所以。㊉,

4

所以等3,即cos整；

又因为。所瑞气詈-提。sGeos哈,

所以“O斤域1,

4

所以。㊉方+〃。31或*

7.对于一个向量组“I,ait的，…，〃£N*),令儿=m+〃2+…+”〃，如果存在0G峰2,使得

\at\^\arbn\，那么称0是该向量组的“好向量”.

(1)若。3是向量组仅2,G的“好向量"，且〃”=(〃，%+〃)，求实数X的取值范围：

(2)已如"I，02,。3均是向量组。1，。2,Q3的"好向量”，试探究。1，。2,〃3的等量关系并加以证明.

解⑴由题意依|力依十。2|,

而"1=(1,x+1),42=(2,X+2),〃3=(3,x+3),

“1+。2=(3,2x+3),

所以\/9+(x+3)2NJ9+(2%+3)2,解得-2WxW0,

所以x的取值范围是[-2,0].

(2)m,ai,a3的等量关系是“|+色