重庆市某校2025-2026学年高二年级上册数学周测练习（十二）

重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周测练习（十

二）（12.7）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在等差数列｛%｝中，%=3,6=15,则《,=（）

A.4B.5C.6D.9

2.已知mwZ+，m22,数列名，石，平）,…,J2m-1的项数为（）

A.rn-2B.m-]C.mD.m+1

3.等比数列｛〃”｝的前〃项和为S“，％+/=3,%+6=6,贝1]$6=（）

A.27B.24C.21D.18

4.已知焦点在y轴上的双曲线工-一二=1的两条渐近线互相垂直，则〃?=（）

3m4—m~

A.IB.yC.-4D.1或一4

5.吹奏乐器“城”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“圾”的外轮廓的上部是半椭圆，

下部是半圆，已知半椭圆?+/=1（夕之0,。＞。＞0且为常数）和半圆/+/=/（了＜0）组

成的曲线。如图2所示，曲线。交x轴的负半轴于点4交y轴的正半轴于点G,点Z是

半圆上任意一点，当点M的坐标为时，AAGM的面枳最大，则半椭圆的方程是

B.等d=ig。）

C今+苧=3。）D.

试卷第1页，共4页

,、，、S”6〃+2a„

6.已知两个等差数列｛4｝和｛a｝的前〃项和分别为S“和7；,且行=-^不，则使得/为整

数的正整数〃的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2〃-51〃。26

7.已知某数列的通项《,=•2〃一52'‘，贝+g+…+%i=（）

1、〃=26

A.48B.49C.50D.51

8.利用数学归纳法证明不等式1+3+；+—+吩匕＜〃（〃之2,〃£1＜）的过程中，由〃=上到

〃=4+1时，左边增加了（）

A.2-1项B.2&项C.2项D.1项

二、多选题

9.已知点力，8是椭圆。：二+匕=1上关于原点对称且不与。的顶点重合的两点，E，F.

43

分别是。的左、右焦点，。为原点，则（）

A.C的离心率为gB.\AF2\+\BF2\=S

C.|力用的值可以为3D.若△力耳工的面积为|,则|力用・|力用二?

10.已知数列｛q｝满足％=1,。m=初+1｛%｝的前〃项和为S”,则（）

A.卜一；｝是等比数列]

B.勺+彳是等比数列

Ci上」D.S,f

"22

11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家用他名字定义的函数/（x）=[x]（旧表

示不超过x的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列如｝的前〃项和为s”，且

Sn=1«+—1I，令”I

n,则下列结论正确的有（）

S.+S/2

A.B.=

111

C.[4+打+…+怎]=6D.-----1-------1-…+--------=18

,S]$2-------------,^100.

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知椭圆方程为］+J，2=1,且椭圆内有一条以点尸（I,；）为中点的弦力8,则弦”所

在的直线/的方程是.

13.等比数列｛4｝中，氏＞0,%,%满足：OP=a；OA+a；OB（。点在直线上），则由

的最大值为.

14.设4表示自然数〃的所有正因数中较大的那个奇数，例如：9的正因数有1,3,9,则

%=9；12的正因数有1,2,3,4,6,12,则％2=3.数列｛%｝的前22。25_］项的和为.

四、解答题

15.已知数列m｝的前〃项和为工，且4sL（2〃卜1）%3（"河）.

⑴求｛〃”｝的通项公式；

2

（2）记”=——，求数列也｝的前〃项和

16.设数列｛%｝的前〃项削为S”，已知。1=1,5川=4。”+2.

（1）设毋=2%,证明数列也｝是等比数列;

（2）求数列｛〃“｝的通项公式；

（3）求｛《,｝的前〃项和s”.

17.如图，在直四棱柱18CQ-44GA中，底面/5CQ是梯形，ADHBC,AD=2,

4?=AC=CO=1,点E是力"的中点，点尸满足而=4元（2wR）.

BC

（1）若4=1,证明：砂J.平面44c；

试卷第3页，共4页

(2)若4=2,且平面力Eb与平面48c。的夹角为6()。求4

18.已知正项数列｛牝｝的前〃项和为邑，满足S.+l=今一.

(1)求出数列｛%｝的前三项：

(2)根据数列｛4｝的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明.

19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点。(2。0)的直线/交。于48两点，。为坐标原

点.当/与x轴垂直时，|月却=4四・

(I)求抛物线。的解析式：

⑵若cos4O8=-*，过不轴上一点尸作直线。4，。艮*48的垂线，垂足分别为&EG,

且满足E,产,G三点共线.

(i)求直线/的方程;

(ii)求尸点的坐标.

试卷第4页，共4页

《重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周测练习(十二)(12.7)》参考答案

题号12345678910

答案CBCCDCDBADBC

题号11

答案BCD

1.C

【分析】利用等差数列的通项公式来求解即可.

【详解】由设等差数列的公差为d,则"=竽?="」=3,

9-54

故4=牝+d=3+3=6,

故选：C.

2.B

【分析】本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数.

【详解】可以发现其被开方数是首项为3,公差为2的等差数列.

根据等差数列通项公式%=6+(〃-1必(其中q为首项，d为公差),

这里q=3,d=2,则被开方数的通项公式为〃”=3+(〃-l)x2=2〃+l.

已知数列的最后一项为国二7,

那么被开方数2加-1对应通项公式=2/7+1.

令2〃+1=2m-1,

解得n=m-l.

所以数列G，石，J7,…，J2ni-1的项数为阳-1,

故选：B.

3.C

【分析】由等比数列性质却可求解：

【详解】在等比数列｛4｝中，其公比夕=&詈=q=2,所以％+&=qQ+%)=2x6=12,

IIC4J

所以$6=(%+%)+(%+%)+(%+4)=3+6+12=21.

故选：C.

4.C

【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解.

答案第1页，共14页

【详解】因为双曲线K-上r=l的焦点在y轴上,

3m4-nr

3m<0

所以八一（4-叫=〃14"7〃，所以|"30,即,”-2.

又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以—那工空工7,

\l-3m\l-3m

即（，〃一1）（，〃+4）=0,解得〃？=-4或〃？=1（舍）.

故选：C.

5.D

【分析】由点加在半圆上，可求〃，再根据已知A/IGA/的面积最大的条件可知,

OM1AG,即七代入可求。，进而可求椭圆方程

【详解】由点加（坐,在半圆上，所以b=|OM|=T

22）2

由椭圆可知图中G（0,a）,A（-h,0）,

y八

G

要使zUGM的面积最大，可平行移动4G,当4G与半圆相切于加弓,一3卜寸,

时到直线/G的距离最大，此时。MIAG,即%”小“二-1,

a

~b

所以半椭圆的方程为

答案第2页，共14页

故选：D.

6.C

S7(卬+限)伽-1).a2

【分析】由等差数列的性质可得产---------------=广，要使,为整数，即-7为

*孤+0)(力一)以"向

整数，计算即可求解.

s+"2"T)("1)A

【详解】由等差数列的性质可得产=---------------=亡，

2n-5伍+&」)(方T)代

因为■Sn=/6〃■+2，所以a丁=6(:2〃-1)+2二\2彳n-大4=,6"二8?，

in〃+3b”(2〃-1)+32〃+2〃+1

因为〃WK,要使*为整数，即々为整数，

a〃+i

所以〃=1,3,7,共3个，

即使得去为整数的正整数〃的个数是3.

故选：C

7.D

【分析】令函数/(X)=|^(XH26),

/")+/(52_力=1+2(二26)+1+2(52二26广2,所以/+%2f=2,由倒序相加法求

和即可.

【详解】令函数/(x)==U(xw26),

2工—52

/./、2x—52+11/。八

则/(")=2丫5226)(、)'

所以/.(x)+f(52-x)=l+^--+1+——!-----=2(x^26)

'"以‘L八)2(x-26)2(52-x-26)v入

所以％+牝2.”=2,令5=。］+。2+…+牝1，则5=%|+&0+…+q,

则有2s=(《+%)+(%+%<))+…+(%+q)=2x51,所以S=51.

故选：D.

8.B

【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数.

答案第3页，共14页

【详解】当〃=女时，不等式左边为l+g+;+…

当〃=%+1时，不等式左边为l+g+；+…++J++…+2」7，

故增加的项数为：（2百一1）一（>-1）=2x2*-2&=2A.

故选：B.

9.AD

【分析】A项，根据方程求出。力,c即可得出离心率；B项，作出图象，利用几何知识即可

得出结论；C项，利用几何知识即可知道I1的取值范围，进而得出结论；D项，求出点力

的位置，分别得出|力用,|力用|,即可得出结论.

【详解】由题意，

22_________

在C:「+J=l中，4=2,b=®,c=yja2-b2=1，

43

A项，离心率e=£=g,故A正确；

a2

B项，如图所示，

由对称性知，|叫|二|/用,

•用+忸闾=|力图+|西|=2〃=2x2=4,故B错误;

C项，由几何知识得,

2b<|J5|<2a，即2X/3<|JB|<4,

因为3<26，故C错误;

D项，设4（%,为）,

答案第4页，共14页

-yp2

・•.S=；|£K||NO|=；X2|九|=|%],

当△/片心的面积为弓时，|%|=5，

乙乙

由几何知识得，三•+互=1,解得："=1

43

当%>0,即/=1时，此时，AF21FtF2f

，|力用=尻|=9」阳=2"|/用=2乂2一|=^,

.,.附.|阳TT吟,

当/<0,即与=-1时，同理可得，|加讣|力勾=?,

故D正确；

故选：AD.

10.BC

【分析】根据题意，利用构造法判断得卜“十皆是等比数列，进而利用等比数列的通项公式

与求和公式，结合分组求和法即可得解.

【详解】对于AB,因为数列血｝中,4=1，。川=3%+1（〃wN“）,

则q川+；=3卜“+；）,«1+!=|*0,

所以数列｛勺+g｝是以g为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确；

对于C,%+L=3X3”T=三，即有（=工-L故C正确：

"222"22

3

对于D,〃.5（T“）心3”—2〃—3,故D错误.

n[222J21-324

故选：BC.

11.BCD

【分析】根据4与，的关系，化简可得，=4，%=、「Q7判断A,B；再山裂项相

答案第5页，共14页

消法求々+4+•••+%判断C；利用放缩法判断D.

【详解】对于A,B,v5„=1an+—,

所以当〃22时，2S0=S”-S._i+--\—=S：-S；_[=1

1（1]

又\=三〃|+—=6,〃“〉0,则勺=1,

21

所以S：=〃=Stl=G,an=4n-J〃-1,故A错，B对;

对于。就T号£尸一勾，

；.”+b2+-+b6i=-（V65+V64-V2-1）=-（V65+7-X/2）€（6,7）,

22

二.也+4+•••+1]=6,故C对:

对于。，々=左>而匕=2（G5）,

.-._L+J_+...+J->2]、5-0卜（后3卜…+Joo"）

s、s?S3L-

=2（x/ioT-l）>18,

;当心2时，色击＜X^TT=2（GG）,

—H---1■…4—；—<1+2（-+（\/^—\/2j+…+（x/FoO—，99）I

SS?S]0c-」

=l+2（Vf00-l）=19,

111

，—+—+•••+—=118O,故D对L；

3100_

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解而斯函数，根据递推式，从而可归纳出通

项公式，进而可求得答案.

12.2x+2y-3=0

【分析】利用点差法求得直线的斜率，进而得直线方程.

22

【详解】设洋孙必）,5心,力）,由题意得＞必2=*+*=],

两式相减，得"上三及=-；，又P是48中点,所以玉+X,=2,必+为=1，

Tl+X2Tl—r2/

答案第6页，共14页

代入得江*=-1,则直线的斜率k=-l,

再f

所以直线/出的方程为J，-g=-（x-D,化简得2x+2j，-3=0,

又点尸在椭圆内，故直线2x+2y-3=O与椭圆相交.

故答案为：2x+2y-3=0

13.@

2

【分析】由题意得。：+帚=1,根据等比数列的性质有。：=。/的，结合重要不等式即可求解.

【详解】等比数列｛q｝中，4>0,有

4，生满足：OP=a；（）A^a］（）B（P点在直线48上），则有4；+片=【，

所以I=。；+。；之2q•%=2蜡,当且仅当q=%=暂时等号成立，

又见>0,有知4亚，所以。4的最大值为m.

22

故答案为：与.

【分析】根据数列求和的分组求和法，先根据〃”的定义找出数列｛%｝的规律，再利用分组

求和法计算前22。25_］项的和.

【详解】根据知的定义，对于任意自然数〃，将其分解为〃=2仙〃7（〃CN,小为奇数），则

4=m.

将数列｛%｝的项按〃的值进行分组:

第一组：«=1,4=1；

第一组：n=?.,3,=1,%=3：

第三组：〃=4,5,6,7,a4=l,%=5,6=3,%=7；

第A组：〃=2皿，21+1，…，2%—1，这一组共有21项.

对于第4组，其和S*为：£=1+3+5+…+（2-1）

这是一个首项为1,公差为2,项数为2i的等差数列的和.

答案第7页，共14页

根据等差数列求和公式S“=〃（"+"“）,可得：21（1+2*7）=221.

22

前22°”—1项包含了从第1组到第2025组,

所以，前22-T项的和S为:S=Sr+…+S202s=20+2』+2’+…+2吗

这是一个首项为1，公比为4,项数为2025的等比数列的和.

根据等比数列求和公式可得：s=q鲁=?’

J2O25_1

因此，数列｛q｝的前22025.1项的和为土不二1.

42025-1

故答案为:

3

15.(1)2=2〃-1

2〃

⑵4=

2n+\

【分析】（I）由4s“=（2〃+1）%+1可得4sz=（2〃-1）%+1（〃22）,两式相减由累乘法可

求出｛丐｝的通项公式；

（2）求出也｝,由裂项相消法可求出数列｛4｝的前〃项和

【详解】（1）因为4S*⑵?+1）见+1,令”=1得q=1,

因为4s“二（2〃+1）q+1,

所以4s,i=(2〃-1)%+1(〃22),

两式相减得4q=（2〃+1）4-（2刀-1）%（〃之2）,

即(2〃一3”“=(2〃-l)q

所以％=m32),

32〃-3

所以竺,虫……—=!2〃-1

卬a2an-\132w-3

即生=2〃-1,

%

所以当“22时，勺=2〃一1,

又■=1，所以%=2〃-1.

答案第8页，共14页

2211

（2）由（1）可得",二

+2〃-]2〃+1

16.(1)证明过程见解析;(2)%=(3〃_1)2"；(3)s“=(3〃—4〉2”7+2.

【分析】（1）利用递推公式，求出生的值，而后再求出队的值，再利用。同=5.-邑，通

过运算可以得到。向-2%=2a这样就可以证明出数列也｝是等比数列；

⑵由（I）可得：々=%“-24=3.2"，可以变形为翁喙=?由可以判断出数列信,

是首项为公差为3的等差数列，这样利用等差数列的通项公式，就可以求出数列｛%｝的

通项公式；

（3）由（1）知，当〃22时，5.=4/-+2,代入即可求出｛%｝的前〃项和S”.

【详解】（1）证明：由q=l,及5“+］=4%+2,有q+q=4q+2故%=3卬+2=5,

所以％-2q=3.

因为S,川=4q+2①，

故当“N2时,有S.=4%T+2②,

①一0,得。”+1=4%-4%」，

所以例+1-2。“=2仁-2凡」），

又因为"=%「2%所以b”=2Zu，

所以｛"｝是首项为3,公比为2的等比数列；

（2）解：由（1）可得:6“=%-24=32'，

所以％±_&=3,

以2'川2"4

因此数列［察］是首项为:，公差为1的等差数列，

,224

g、i13’..31

所以强=5+1（〃）=丁一1

故勺=（3〃-1）・2"-2；

答案第9页，共14页

(3)解：由⑴知,当〃22时,S”=4氏_1+2,

故邑=+2=4-(3〃-4)-2"3+2=(3〃-4)-2”“+2,n>2

又§=1,

故5'=(3〃-4)-21+2,〃eN'.

【点睛】本题考查了利用递推公式证明数列是等比数列，考查了等差数列的通项公式，考查

了数学运算能力.

17.(1)证明见解析

(2)AA[=3.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面力/C的法向量加=(后，-1，0)•再证明存”所，

即可得到结果.

(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用面面所成角的向量求法即可求出力4

【详解】(1)如图建立空诃直角坐标系，设彳4=，，

AC=李,今。，刀;=(0，(M),设平面4/C的一个法向量玩=(%,“)，

\/

._"x/J3

,n.AC=—x+-y=O(百丫+3y=0

则2L即_券

m-AAy=/z=00

取加=(省,一1,0).

又E0,1,^,F曰M=，所以质//所，EEJ■平面4月C.

答案第10页，共14页

(2)如图建立空间直角坐标系，设力4=/,羽=2左，所以乖二，丞二,与*1

，3乙乙

故尸争所以疗=|今《，羽=(O,2j),

ni-AF=——x+yH■—z

则33

设平面AEF的一个法向量而=(x,y,z),

m-ADx=2y+tz=0

取m二(岛-3f,6).又平面ABCD的一个法向量n=(0,0,11,

/----\i61

cos60=cos（-------=-,求得，=3（负值舍去），所以力4=3.

\八5/⑵2+362

18.(l)q=\/5-1；%=、行一G；%=币-M.

⑵当“cN.时，％=丁2〃+1-12〃-1(〃cN),证明见解析.

【分析】(1)分别将〃=1.〃=2,〃=3代入求解即可；

(2)先猜想通项公式，再应用数学归纳法及。“=5-5小证明即可.

【详解】(1)当〃=1时，由已知条件可得《+1=与匕，即4；+2《_2=0,

2%

解得q=0一l(q>0)：

当〃=2时，由已知条件可得丁+%+1="：+2,将％=后-1代入得-2=0,

2%

解得的=石-旧(%>0)；

当〃=3时，由已知条件可得为+%+%+1=4匕，同理解得生=近-若(%>°).

2a④

(2)由(1)可以猜想%=，2〃+1—，2〃-1,〃=1,2,3时，等式成立；

假设当〃=%H>3/eN.)时，等式也成立，即怎二辰讦一病二T,

又因为4.1=$£+]-5氏=#■+」---y—,

2矶2ak

将4=反斤―二T代入上式解得45=J〃+3-A/2TH(4〉0),

所以〃=”+1时命题成立.

答案第11页，共14页

综合可得，当〃eN”时，%=以+1—二1（〃€N）

19.（1）C:/=4x

⑵⑴/:x=y+2或/:x=-y+2；（ii）（10,0）

【分析】（1）由抛物线的对称性质可得到P,继而得到抛物线方程；

（2）设/：工=〃小+2,4（不必）*（马,为）,联立抛物线方程与直线方程，结合韦达定理,

⑴结合题干角的余弦值即可得到直线方程；

（2）结合对称性以及三点共线即可得.

【详解】（1）当/与x轴垂直时，|以|=瓦|=2/，则48=44=4及，

解得：〃=2,即C：j?=4x.

（2）（i）由/与抛物线交于48两点,可设/:x=〃少+2”（%,乂）,8（々,为），

/=4X*

联立方程组：得到：’C，得到V—4/亚-8=0,

x=my+2

由韦达定理：+y2=4〃?⑼仍=一8，

则324+4叱4=端14’

OA-OB_x}x2+y}y2

法一：因为CM四厨画

1中21科2+4（*+々）+16]

代入可知：cos//08=>解得：in=±1,

（9+4〃/13

即/:x=y+2或/:x=—y+2.

法二：因为cos4O5=-巫，所以tan4O8=-2x/L

13

4

因为tanZ-AOx--=一tan/.BOx

弘9

答案第12页，共14页

tanZAOx+tanZ.BOx

所以tanAAOB=tan(ZAOx+ZBOx)

1-tanZAOxtan/.BOx

I必必

■二用儿-25加"疝

由（巴+,）’-（必一乂）2=4必为，得16〃?2-48=-32,解得：m=±\,即/：x=y