高考数学复习训练：圆的方程

2026高考数学

因的方程

基础巩固练

1.(2024•辽宁大连一模)过点和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为

(D)

A.N+y2=4B.(x・2)2+y2=8

C.(x-1)2+俨=5D.(.2)2+y2=10

解析设该圆圆心为30)泮径为小则该圆方程为(/〃)2+产=*

则有｛(51二?；7二ri'解得｛「二:^故该圆的方程为(*2尸+产=10.

D2345678910111213141516

2(2024•河北沧州二模)若点4(2,1)在圆N+jA2加x-2y+5=0(mWR)外，则实数

加的取值范围为(C)

A.(-oo,2)B.(2,+oo)

C.(-8,-2)D.(-2,+OO)

解析由题意知22+12-4加_2+5>0,故加<2,

又由圆的一般方程12+产+瓜+切+厂=0,可得。2+七2_4尸>0,

即(-2〃。2+(-2)2-4义5>0,即加〈-2或〃2>2,所以实数机的取值范围为〃2<-2.

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解析因为四边形APBM为正方形，且M4=〃8=1,所以〃尸=鱼，故动点。的轨

迹是以“为圆心,应为半径的圆，其方套为(x+2)2+(y+3)2=2.

0~x

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4.(2024•辽宁鞍山二模)已知直线/:x-y-2=0,点C在圆(1-1)2+y=2上运动，那么

点C到直线/的距离的最大值为(C)

A芷+1B笆

22

C第D.史

22

解析圆(工-1)2+俨=2的圆心为(1,0),半径为尸=鱼,

则圆心(1,0)到直线/:x-y-2=0的距离为d11葛21=

所以点。到直线/:x-y-2=0距离的最大值为孝+鱼=亭.

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5.(2020・北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最

小值为(A)

A.4B.5

C.6D.7

22

解析设圆心C(x,y),则7(^-3)+(y-4)=1,y

5

化简得(x-3)2+(y-4)2=l,4

所以圆心。的轨迹是以点M(3,4)为圆心,1为半径的圆.3

2

所以+12|(W|=<32+42=5,1

-4-3-2-1012345x

所以|。。|25-1=4,-1

-2

当且仅当点C在线段0/上时取得等号.-3

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6.(2024•山东枣庄一模)在平面直角坐标系xOy中，已知4(-3,0)以1,0)/为圆

C:(x-3)2+63)2=l上的动点，则陷『+伊印的最小值为(B)

A.34B.40

C.44D.48

解析设口对),则|利2+阿|2*

=(x+3)2+俨+a-l)2+y2=2N+2俨+4工+10=2[(九+1)2+俨]+8,

即回F+1盟2等价于点P到点0(-1,0)

的距离的平方的2倍M__________

又|PQ|N|QC|-FC=J(3+1)2+32-1=5-1=4,AQOBx

即\PA\2+\PB\2^2X42+8=40.

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7.(2024•广东佛山二模)在平面直角坐标系中，已知/(1,2),仅3,2),C(3,0),则

△力6c的外接圆的标准方程为一(尢-2)2+&-1)2=2.

解析依题意，

设△Z8C的外接圆的一股方程为炉+产+瓜+4+b=0(£)2+£2一4尸＞0),

(1+4+。+2E+尸=0,(D=-4,

则9+4+3D+2E+F=0,解得E=-2,

.9+0+3D+0+F=0,(F=3,

所以所求圆的一般方程为N+y2-4x-2y+3=0淇标准方程为(x-2)2+(y-1)2=2.

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8.(2024•东北三省三校联考)点M(x,y)为圆N+y2_10x+16=0上的动点孤峪的

X

33

取值范围为［一储］.

解析令*=匕由于圆/+y-10x+16=0和y轴无公共点，故命题等价于求实数左

的取值范围，使得直线y=丘与圆N+y2-10x+16=0有公共点.该圆的方程可化

为(x-5)2+俨=9,故问题等价于点(5,0)到直线》=履的距离不超过3,即

晨夕解得一沁♦

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9.(2024•江苏盐城模拟)已知Z(-1,O)#(1,0),若点尸满足以_LP民则点P到直线

/:勿心-福)+〃(”-1)=0的距离的最大值为3.

解析由可得点尸的轨迹为以线段为直径的圆,圆心为(0,0),半径

为1,又直线/:加(/8)+如-1)=0过定点(百,1),故点。到直线/的距离的最大

值为存H+l=3.

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10.(13分)(2025•北京西城检测)已知。C经过点/(1,3)和8(5,1),且圆心。在直

线x-y+l=0上.

⑴求OC的方程；

⑵设动直线/与。。相切于点M点M8,0).若点尸在直线/上，且|夕照=尸川,求

动点尸的轨迹方程.

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解⑴由题意，设。C的圆心CQa+l),半径为々

则，(1一°)2+(3-a-1)2=解得卜=5,

、1(5-a)2+(1—a—I)2=r2,V=5.

所以OC的方程为(x-5)2+(y-6)2=25.

(2)由题可知△PMC为直角三角形，且MC,

所以1PM2+|MC|2=|pc|2.

由1PM=1尸川,得|PN|2+|MC|2=|尸C|2.

设P(x,y),则(x-8)2+y2+25=(x-5)2+(y-6)2,即3x-6y-14=0,

经检验符合题意.所以动点。的轨迹方程为3x-6y-14=0.

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综合提升练

11.（2024・湖北襄阳模拟）已知在平面直角坐标系xQy中,/（-2,0）,动点M满足

|M4|=2|MO|.若对任意实数匕直线/:厂毋-1）+6与动点〃的轨迹恒有公共点,

则6的取值范围是（C）

A.［手，等

C.［岑，号

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解析设点Ma,y),・・・|M4|=2|MO|,

・・・(1+2)2+产=以2+4俨,所以动点〃的轨迹为圆。:工2+y--：0.

又直线/:》=〃(x-1)+b恒过点(1力)，

对任意实数左，直线l:y=k(x-l)+b与圆。恒有公共点，

「.点(1⑸在圆。的内部或圆。上，所以12+〃一：—|工0,所以|,

◊JD

解得即力的取值范围是

O^b<OOO

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12.（2024•山东潍坊模拟）点MNffi圆。：/+俨+2丘+2⑸，-4=0上，且MN两点关

于直线x-y+l=0对称，则圆。的半径（C）

A.最大值为《B.最小值为《

C.最小值为苧D.最大值为苧

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解析由/+俨+2府+2〃少-4=0,得（x+左）2+（y+阳）2=k2+阳2+4,

所以圆心C为（-左广⑼，半径为r=V/c2+m2+4,

由题意可得直线x-y+1=0经过圆心C（-匕-加），

故有/+加+1=0,即k=m+1,

2

所以半径7=5/k2+初2+4=+I)2+m2+4=J2(m+b+|>

\(乙乙

当加=1时，圆。的半径取最小值与^.

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13.（2024•湖南衡阳模拟）已知点点。是坐标原点，点。是圆

（x-3）2+e+l）2=l上的动点，则|PQ|-|PO|的最大值为（C）

A.2B.2

C.3D.4

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解析令点P(xj),则｛丫_J】于是y=x-l,即点P的轨迹为直线/:x-y-l=0,

圆(x-3)2+e+l)2=l的圆心C(3,-l),半径r=1,

而点。在圆。上，则FQmax=FG+匕因此(iPQHPODmax"+(1尸CHPODm.

b+1d

-a-3；二一L

设点C关于直线/的对称点为。(4力),则|PC|=|P。|,则有a+3b—1.△

—-----------1=0,

22

解得。=0/=2,即0(0,2),

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因此|尸。|-|。0|=|0。|-|尸。|忘|。。'|=2,当且仅当点。,0。'共线,且点。在线段

PC上时取等号，直线。。方程为x=0,

由〔X=°；解得("二°；即直线x=0与直线/交于点P(O,-D,

(y=x-1,(y=-1,

所以当点P与P'重合时,(|PCHPO|)max=2,(|PQTPO|)max=l+2=3.

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14.已知点乃(4,3),。(-1,2)淇中一点在圆£内，一点在圆E上，一点在圆E

外,则圆上的方程可能是(x+1)2+302=18.(答案不唯一,写出一个正

确答案即可)

解析因为4(2,-1),8(4,3)。(-1,2),所以|/8|=，(4-2)2+(3+1尸=2圾

MC=J(—1—2)2+(2+1)2=3VX|8C|=J(—1—4)2+(2-3)2=V26,

所以出C|>|//>|4C],以点C为圆心，以3/为半径，得到圆(x+l)2+Q-2)2=18,

满足题意(或以点8为圆心，以2强为半径，得到圆。-4)2+&-3)2=20,满足题意;

或以点/为圆心，以3鱼为半径，得到圆(x-2)2+(y+l)2=18,满足题意等).

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15.(15分)(2025•上海闵行检测)设直线/为公海与领海的分界线，一巡逻艇在

/处发现了北偏东60。的海面5处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海

上接应的走私海轮C航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船

航速的2倍/与/相距约为20海里,走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示

的平面直角坐标系中，试问：

(1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行,

且走私船和巡逻船相距6海里，

那么走私船能被截获的点是哪些？

(2)设Z8=2Q>0),要保证巡逻艇在领海内

捕获走私船〃石相距最远是多少海里？

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解⑴由题意得力(0,0)以3声3),设走私那能被截获的点为尸(可)，

则|/尸|=2出尸

则"不记=21(%—3b尸+(y—3/,化简得(％—4A6)2+&-4)2=16.

因此，走私船能被截获的点的轨迹是以(4百,4)为圆心,4为半径的圆.

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(2)设走私船能被截获的点为尸(xj),|45|=2旧>0),则5(,)),

由|/尸|=2出整理得(%—学。2+(y—9)2=(9)2,走私船能被截获的点

的轨迹是以。(竽椁，)为圆心为半径的圆,记为圆D若要保证巡逻艇在领

海内捕获走私船，圆。内宗区域与直线/：歹-20=0不相交，则圆心。呼⑶到直

线/的距离椒—2。|>}=区会所以力乃相距最远是15海里.

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创