2024北师大版八年级数学下册 等腰三角形（第1课时）教学设计

1.2等腰三角形第1课时教学设计

^^教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本课选自北师大版八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》第1节之1.2"等腰三角形”，聚焦

等腰二角形和等边三角形的性质及应用。主要涉及“等腰二角形的两底角相等（等边对等角）”“等腰二

角形三线合一”以及“等边三角形的三个角均为60°”等核心结论，并在此基础上开展全等三角形判定与

简易推理应用。

2.内容解析

本节内容以等腰三角形及等边三角形为核心主题。通过明确三角形边与角的对应关系，学生能够

在直观与推理论证之间建立联系，从而深化几何思维。等腰三角形的底角相等、顶角平分线与中线、

高线重合等属性，使学生理解”等边对等角“背后的几何逻辑，能引导他们运用全等三角形的判定定理

（如SSS、SAS等）进行严谨推理；与此同时，等边三角形作为等腰三角形的特例，兼具全部“等腰”

性质，并在三角形内角总和为180°的统一背景下，得出各个内角均为60°的基本性质。教学过程中需

凸显辅助线作用和全等三角形的对应用途，让学生积累几何证明的直观经验，同时掌握证明格式的规

范性。由于等腰和等边三角形在角度计算、线段判定中应用广泛，学生应能灵活迁移”等边对等角M三

线合一”等性质至实际问题中，如求未知角度或判断线段相等等。以上探究有助「培养他们的几何推理

能力和逻根思维品质，也为后续学习更多几何定理和解决综合问题打下良好基础.

教学目标与解析

1.教学目标

•掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一''及等边三角形的性质，明确两类三角形性质的关联与区别。

•经历两类三角形性质的推理论证过程，理解证明逻辑，掌握几何证明书写格式。

•能运用两类三角形性质解决简单角度计算、线段相等判定问题，提升应用能力。

2.目标解析

•通过”等边对等角”与“顶角平分线、中线、高线合一”等核心性质的操作与讨论，让学生在动手和观

察中直观感受三角形的对称性。

•通过全等三角形的判定与对应元素相等的推理过程，引导学生独立完成几何证明的书写，归纳出证

明的规范表达方式。

•通过典型例题和相应练习，掌握应用“等边对等角”或“三线合一”等性质进行角度与线段长度分析的策

略。

3.重点难点

・教学重点：等腰三角形”等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形的60°特征。

•教学难点：正确选取辅助线并运用全等三角形性质进行推理、组织几何证明格式。

学情分析

学生已掌握简单几何知识，如三角形内角和定理、平行线基础等，具备•定的测量、观察与折告

操作经验。但对“辅助线''在几何证明中的作用理解尚浅、书写证明格式仍需进一步规范。在学习新知

时，他们易于接受操作演示或几何软件动态演示，也能够通过全等平移拼合等方式获得“等边对等角”

的感性认识；然而，对“顶角平分线”“中线”“高线”三线重合的逻辑递进推理存在一定难度，需要教师

引导他们反复验证、联系实际问题，逐步形成较为系统的几何思维与证明技能。

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

问题情境：

1.知识回顾

①n边形的内角和等于(n-2)xl80。，外角和等于360。.

②正n边形每个内角的度数是:5一④x180。,正n边形每个外角的度数为弛

nn

③三角形按边分类：不等边三角形一三条边各不相等的三角形.

等腰三角形T腰和底不等的等腰三角形，等边三角形(三边都相等的三角形)

2.情景引入

图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点？

都是等腰二角形

都是等边三角形

【设计意图】通过生活情境的观摩，激发学生对几何形状应用价值的兴趣。根据己学多边形、三角形

知识，过渡到对等腰三角形和等边三角形的性质研究，明确本节课的学习重点和难点。

新知探究

探究点1:等腰三角形的性质1

1.尝试交流

我们曾经探索过等腰三角形的•些性质，你还记得这些性质吗？请你选择其中条性质进行证明，

并与同伴进行交流.

定理:等腰三角形的两底角相等.

这一定理可以简述为：等边对等角.

转化成几何语言：已知：如图，在AABC中，AB=AC.求证：ZB=ZC.

A

分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的

三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相

等.

证明：作底边的中线AD,则BD=CD.

在ZkBAD和ZkCAD中

AB=AC（A知）,BD=CD（已即）,AD=AD（已知）,

/.ABAD^ACAD（SSS）.

•••ZB=NC（全等三角形的对应角相等）.

方法二：作顶角的平分线

证明：作顶角的平分线AD,

贝JINBAD二/CAD.

在4BAD和4CAD中

AB=AC（已知）,ZBAD=ZCAD（已知）,AD=AD（公共边），

/.ABAD丝ACAD（SAS）.

:.ZB=NC（全等三角形的对应角相等）.

2.知识归纳

等腰三角形的性质定理1：

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.

几何语言：

如图，在AABC中，

•・，AB=AC（已知），

・・・NB=NC（等边对等角）.

3.练一练

如图，AB=AC=AD,若NBAD=80。，则NBCD=()

A.80°B.100°C.140cD.160°

解析:'.•/BAD=80°,

AZB+ZBCD+ZD=360o-ZBAD=280°.

X*.,AB=AC=AD,

AZB=ZACB,ZACD=ZD,

JZBCD=ZACB+ZACD=28O%2=140°.

选C。

【设计意图】通过完整的辅助线作图与全等推理，让学生掌握“等腰三角形”基本性质。

探究点2：等腰三角形的性质2

1.议一议

由“等边对等角“定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流.

解：VABAD^ACAD,由全等三角形的性质易得BD=CD,NADB=NADC,ZBAD=ZCAD.

XVZADB+ZADC=180°,

ZADB=ZADC=90°,

即AD是等腰:ZkABC底边BC上的中线、顶角NBAC的角平分线、底边BC上的高线.

2.知识归纳

等腰三角形的性质定理2：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）.

几何语言：如图，在AABC中，

©••AB=AC,N1=N2（已知），

.\BD=CD,AD±BC

（等腰三角形三线合一）.

◎•AB=AC,BD=CD（已知）.

.\Z1=Z2,AD±BC

（等腰三角形三线合一）.

◎•••AB=AC,AD_LBC（已知），

.\BD=CD,Z1=Z2

（等腰三角形三线合一）・

3.练一练

如图所示，在八ARC中，AR=AC,ADIRC于点D若AR=6,CD=4,则人ARC的周长是

【设计意图】本环节从等腰三角形“等边对等角”的证明延伸，通过议一议引导学生自主推导得出“三线

合一”性质，再经知识归纳规范几何语言，最后以练一练实现即时应用，层层递进，让学生亲历知识形

成、梳理到运用的过程，夯实几何推理与知识应用能力。

探究点3:等边三角形的性质

1.尝试交流

等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行

交流.

根据定义可知，等边三角形的三条边都相等.

还可以得出：

定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。.

转化成几何语言

已知：如图，在aABC中，AB=AC=BC.

求证：ZA=ZB=ZC=60°.

RC

证明：在AABC中，•••AB=AC：已知），

••・NB=NC（等边对等角）.

同理可得ZA=ZB.

又•・•ZA+ZB+ZC=180。（三角形的内角和等于180。），

AZA=ZB=ZC=60°.

2.知识归纳

等边三角形的性质定理：

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。.

几何语言：

:•△ABC是等边三角形，

.\AB=AC=BC,

ZA=ZB=ZC=60°.

注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形每个内角的平分线都

与它对边上的高、中线重合.

3.练一练

如图所示，AABC是等边三角形，且点A在直线1上，则N1+N2等于.

解：120°

4.回顾反思

教师提问：回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形的经验？

学生思考：

①从生活实例切入，建立直观认知；

②根据动手操作（折叠、测量），猜想图形性质；

③通过逻辑证明（辅助线、全等转化），验证猜想；

④性质应用巩固，深化理解。

5.典例分析

例1如图，在aABC中，已知AB=AC,NBAC和NACB的平分线相交于点D,NADC=125。.求N

ACB和/BAC的度数.

解：VAB=AC,AE平分NBAC,

AAE1BC.

VZADC=125°,

/.ZCDE=18O°-ZADC=55°,

/.ZDCE=900-ZCDE=35°.

又〈CD平分NACB,

/.ZACB=2ZDCE=70°.

VAB=AC,

/.ZB=ZACB=70°,

/.ZBAC=180°-(ZB+ZACB)=40°.

例2如图，4ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE,DE.若NABE=

40°,BE=DE,求NCED的度数.

解：「△ABC是等边三角形,

/.ZABC=ZACB=60°.

VZ/\BE=40°,

/.ZEBC=ZABC-ZABE=20°.

VBE=DE,

AZD=ZEBC=20o,

/.ZCED=ZACB-ZD=40°.

【设计意图】通过例题，突出等边三角形在解几何综合题中的灵活应用，培养学生对特殊三角形推理

链条的连接能力。使学生更深刻体会等边三角形兼具等腰三角形的全部性质，在解题过程中能熟练调

用、转化和运用。

巩固练习

1.等腰三角形的一边长为4,另一边长为5,则此三角形的周长为（）

A.13B.14C.15D.13或14

解：D

2.已知:如图所示，在ZkABC中,AB=AC,BD,CE分别平分NABC和/ACB,则下列结论不一定正确的是

（）

A.BD=CEB.OB=OC

C.OC=DCD.ZABD=ZACE

解：C

3.如图所示，在AABC中，AB=AC=6,该三角形的面积为15,。是边BC上任意一点，则点。到AB,

AC边的距离之和等于（）

A.5B.7.5C.9D.10

4.如图所示，在四边形ABCD中，AC,BD为对角线，AB=BC=AC=BD,则NADC的大小为（）

A.120°B.135°

C.145°D.150°

A

D

B

解：D

5.如图所示，△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR_LAB于点R,PS_LAC于点S,则下列四

个结论正确的是（）

①点P在/BAC的平分线上；②AS=AR；③QP〃AR；©ABRP^ACSP.

A.全部正确B.仅①和②正确

C.仅②和③正确D.仅①和③正确

6.如图所示，在AABC中，AB=AD=DC,ZB=64°,则NC的度数为.

7.如图所示，在AABC中，AB=AC,AD,CE是三角形的高，垂足分别为D,E,若NCAD=20。，则/

BCE的度数为.

8.如图所示，在AABC中，AB=AC,AD_LBC于点D.若AB=6,CD=4,则aABC的周长是.

解：20

9.如图所示，在AABC中,AB=AC,AD_LBC尸点D.

⑴若/C=42。,求NBAD的度数；

(2)若点E在边AB上,EF〃AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.

解：(1):八8二八(24口_1_8(：于点口，

・•・ZBAD=ZCAD,ZADC=90°.

•IZC=42°,

，ZBAD=ZCAD=90°-42°=48°.

(2)证明:由(1)知NBAD=NCAD.

VEF/7AC,

/.ZF=ZCAD,

AZBAD=ZF,

.\AE=FE.

10.如图所示，已知/〃m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20。,

求Na的度数.