小学三年级数学“计数单位累加”视角下多位数乘一位数（不进位）笔算导学案

小学三年级数学“计数单位累加”视角下多位数乘一位数（不进位）笔算导学案

一、单元整体视域下的课时定位与课标锚点

（一）【核心定位】单元知识图谱中的“种子课”价值

本课时隶属于人教版三年级上册第四单元“多位数乘一位数”，在2022版课标“数与运算”主题领域中处于承上启下的枢纽位置。从知识序列看，本节课前承表内乘法、口算乘法（整十整百数乘一位数、两位数乘一位数拆分口算），后启笔算进位乘法、因数中间或末尾有0的乘法乃至多位数乘两位数。从本质内涵看，本节课不仅是笔算乘法的形式习得，更是学生首次系统建立“竖式记录分步运算”的认知模型，是乘法运算从“横式思维”走向“竖式算法”的关键拐点。因此，本课绝非孤立的技能训练课，而是决定整个单元学习深度的【种子课】。

（二）【课标落位】核心素养的具象化拆解

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课时重点培育的核心素养集群包括：

1.【数感】与【量感】：理解24×2中“24”由2个十和4个一组成，乘法运算本质是“计数单位个数”的二次累加。

2.【运算能力】与【推理意识】：能够依据数的组成和乘法意义，将未学的新问题（笔算）转化为已学的旧经验（口算），归纳出“乘数每一位分别乘”的通用程序，实现算理向算法的形式化跃迁。

3.【模型意识】与【应用意识】：从“彩笔盒数—总支数”的具体情境中抽象出乘法竖式模型，并能将该模型迁移至“单价×数量”“速度×时间”“工作效率×工作时间”等同类乘法结构。

（三）【大概念锚定】贯穿本课的“少而精”的核心观念

本课始终围绕一个数学大概念展开：整数乘法运算的本质是“计数单位及其个数”的运算。无论是12×3、24×2还是213×2，其算理底层逻辑均为：将多位数拆分为若干个计数单位的组合（如213=2个百+1个十+3个一），用一位数分别去乘每个计数单位的个数，再将所得积进行同单位合并。这一观念不仅在本课【基础】，更将在小数乘法、分数乘法运算中不断复现，是达成“运算一致性”理解的认知胚胎。

二、【精准画像】基于前测实证的学情诊断与教学对策

（一）【前测设计】暴露真实起点的探针

授课前一日布置全员微型前测任务，包含三类题组：

题组1（口算回溯）：20×3=12×4=32×2=210×3=

题组2（自主创造）：你会用竖式计算12×3吗？请写出你心目中的乘法竖式，并试着说说每一部分表示什么意思。

题组3（观点选择）：你认为乘法竖式应该从哪一位开始算？请说明理由。

（二）【典型错例与迷思概念】依据前测数据的学情分级

1.A层（约20%学生）：能写出规范竖式，并能清晰对应口算步骤。此类学生已具备知识迁移本能，需在课堂上承担“小先生”角色。

2.B层（约60%学生）：能写出得数，但竖式格式不规范。典型表现为：因数位置左散对齐（如将12写于上行、3写于下行左端）、积的定位错乱（如将十位积的3写在个位列）、完全加法竖式框架。此类学生处于“前竖式”或“准竖式”阶段，是课堂核心攻坚对象。

3.C层（约20%学生）：完全无法落笔，仅能呈现横式得数36。此类学生需在课堂上通过小棒具身操作建立“位值”视觉映像。

（三）【对策模型】基于差异的“三阶支架”策略

针对B层与C层学生的迷思，本课预设三重递进支架：

支架1（直观动作）：小棒捆扎模型——将整捆（十）与单根（一）分区摆放，视觉固化“位值”不可混淆；

支架2（半抽象）：口算步骤分解框——用连线图将“10×3”“2×3”与竖式中的分步积一一对应；

支架3（纯符号）：压缩式竖式规范——明确“末位对齐”的规则根由，理解“3”写在十位的简洁性。

三、【顶层设计】教学理念与创新突破点

（一）【教学主线】“三次对比”推进认知结构化

本课摒弃“教师示范—学生模仿”的传统讲授路径，采用“创造竖式—对比优化—回归算理—迁移建模”的发现学习路径。核心逻辑链为：呈现真实情境→学生自主创造记录方式→呈现多样化竖式样本→分类、比较、辨析→达成规范竖式共识→用规范竖式回溯算理→拓展至三位数→提炼笔算法则。

（二）【两大创新突破】

1.竖式发生的“必要性”重建：不直接出示教材竖式，而是通过设问“口算和连加都能算出得数，为什么还要学新方法？”，引导学生体悟——当数据变大（如32×9）、变多（如124×6）时，口算易忘中间结果，连加过于繁琐，由此催生“能记录过程、不易出错、格式简洁”的竖式需求。

2.从“长竖式”到“短竖式”的进化路径：刻意保留并呈现“分步积展开式”（如12×3=6+30=36），通过与“压缩式”竖式并列对比，让学生亲眼见证数学符号由繁入简的优化过程，这是发展批判性思维与审美直觉的【高阶目标】。

四、【课时目标与评价任务】教学评一体化锚定

（一）学习目标（预期学习结果）

L1：结合具体情境（如购买文具、计算总数），能独立列出两位数、三位数乘一位数（不进位）的乘法竖式，规范书写因数和积的各个数位，正确率不低于95%。

L2：通过操作小棒、关联口算步骤与竖式步骤，能清晰表述竖式中每一步乘积所对应的计数单位及实际意义（如“3写在十位，因为3乘十位的1表示3个十”），达成算理通达。

L3：经历“创造竖式—比较辨析—优化抽象”的完整探究过程，初步体会乘法竖式是口算过程的符号化压缩，发展推理意识和符号意识。

（二）【嵌入式评价量规】（表现性任务证据集）

评价维度 水平1（合格） 水平2（良好） 水平3（优秀）

竖式格式 因数末位对齐，横线直尺绘制，积书写到位 水平1+分步计算痕迹清晰可溯 水平2+能解释为何“十位积的0”可省略

算理表达 能指出“先算个位，再算十位” 能说出“个位2×3=6表示6个一，十位1×3=3表示3个十” 能用“计数单位”语言统摄描述，并迁移解释三位数乘一位数

迁移应用 能完成标准三位数乘一位数竖式 能解决“买3套书，每套123元，带400元够吗”等估算+笔算综合题 能自编同类应用题并互为批改

五、【教学实施过程】全流程深度展开（约45分钟）

本环节严格遵循“情境触发—自主建构—本质追问—迁移拓展—反思内省”的认知闭环，以学生活动为主轴，教师介入为副轴。

（一）【锚基·任务驱动】真实情境唤醒经验（3分钟）

【活动描述】

屏幕呈现学校“美术社团采购节”场景：水彩笔24元/盒，马克笔12元/盒，油画棒32元/盒。

教师发布核心驱动任务：“三（1）班准备采购2盒水彩笔，你能帮收银员阿姨快速算出一共多少元吗？要求不仅算出得数，还要写出一张‘让别人一眼看明白你是怎样算的’记录单。”

【学生行为预判】

学生迅速列出算式24×2，多数通过口算“20×2=40，4×2=8，40+8=48”得出答案，少数用连加24+24=48。

【教师介入要点】

肯定所有正确算法后，精准设问：“如果采购的不是2盒，而是12盒，连加12个24你还觉得方便吗？如果采购的是一台324元的打印机，买3台，口算时你担心什么？”——引导学生亲历认知冲突：【重要】数据变大、位数变多时，“不记录过程”的口算容易遗忘或出错，我们急需一种“既能算出结果、又能保留过程、还能写得简单”的新方法。由此自然引出课题。

（二）【创生·算法多样化】每位学生都是竖式发明家（7分钟）

【核心指令】

“请你当一次数学家。乘法竖式没有标准答案前，每个人都可以创造。请根据24×2的口算过程，在任务单的方框区创造出属于你自己的乘法竖式。”

【学情巡视与资源收集（预设）】

教师下位行走，有意识按“思维层级”收集三类典型作品用于后续对比：

1.[典型样本A·加法附会型]：竖式写成24

+24

————

48

——源于加法竖式负迁移，未体现乘法运算结构。

2.[典型样本B·分步展开型]：竖式写成24

×2

————

8（先算4×2=8）

40（再算20×2=40，有意识移位）

————

48

——已具备位值意识，但写成两行积再相加，形式繁复。

3.[典型样本C·直觉压缩型]：竖式写成24

×2

————

48

——直接得出标准形式，但无法解释“4”为何对在个位、“2”为何写在十位。

4.[偶发样本D·顺序倒置型]：先算十位再算个位，积的定位依然正确（如先算20×2=40，写于上行；再算4×2=8，写于下行；合48）。

——算法正确但顺序非主流，可引发“顺序优劣”讨论。

【此环节关键原则】

不急于评判对错，将学生作品作为【核心教学资源】。教师将所有样本隐去姓名投屏展示，赋予每种思路平等的“被看见权”。

（三）【辨析·理法相融】在对比中逼近数学本质（12分钟）

这是全课【重中之重】【难点突破】的精华板块。遵循“从生活直观到符号抽象”的认知路径。

第一层次：形式合理性甄别——竖式应该长什么样？

教师引导语：“这些竖式都得出了48，是不是都对？如果‘对’，标准一样吗？如果你是数学裁判，你会给哪几种竖式打满分？”

1.聚焦样本A：引导学生观察其运算符号是“+”，与题意“2盒”的乘法结构不符。虽然得数对，但记录的不是乘法思维。【重要】竖式的外形必须与运算意义匹配。

2.聚焦样本B与C：重点对比。两式都用了乘法符号，都对齐了数位。为什么有的同学写了两层积，有的只写了一层？两层积中的“40”去哪了？

3.攻克核心障碍：积的定位——此乃【高频易错点】。

教师调用小棒模型：左边摆2捆（每捆10根），右边摆4根。这是24。要算2个24，就是摆这样的两堆。

第一问：4×2=8，这8根是哪一部分？（指着小棒中的单根）——8个一，写在个位。

第二问：20×2=40，40根是哪一部分？（指着整捆部分）——4捆，就是4个十。

第三问（致命追问）：“这4个十，能不能写在个位的位置？写在十位是40，写在个位就变成了4，一样吗？”

此时学生顿悟：计数单位不同，书写位置必须不同。【核心】个位积的末尾写在个位，十位积的末尾写在十位，百位积的末尾写在百位——位值原则是竖式的生命线。

第二层次：算法合理性优化——从“长竖式”到“短竖式”的压缩智慧

1.教师展示样本B（展开式）与样本C（压缩式）并置。

2.设问：“B式清楚地写出了8和40，C式直接把48写在了下面。请问，C式把‘40’藏到哪里去了？”

3.学生观察、讨论、上台指认：C式的十位上写着“4”，这个“4”其实就代表了B式中的“40”。

4.教师深度追问：“40的‘0’为什么可以藏起来不写？藏起来会不会让数变小？”

学生调用位值经验：4写在十位，它就是4个十，本来就是40，不需要写0占位。

5.小结升华：数学总是追求“用最少的符号表达最准确的意思”。压缩式竖式不是新算法，它是分步计算的简写版。这一环节实现了从“算对”到“懂优”的审美进阶。

第三层次：运算顺序的博弈——从哪一位开始更方便？

利用样本D（从十位算起）挑起认知冲突。

1.设问：24×2，先算20×2=40，再算4×2=8，也能得到48。既然从十位算和从个位算都能算对，为什么教材和大多数人都选择从个位开始？

2.引导预演：试想如果计算27×3（不进位但接近进位边缘）。从十位算：20×3=60，个位7×3=21，合81。但书写顺序导致你需要把21的十位“2”去叠加60的十位，脑内存需“暂存”十位结果。从个位算：7×3=21，写1进2？不，本课不进位，所以21可直接写，但若进位则需处理。

3.【难点前置预警】此处虽是不进位课，但可点拨：为将来学习进位乘法时“满几十就向前一位进几”的方便，养成从个位乘起的习惯，是最具前瞻性的算法约定。学生此时理解——规则不仅是规定，更是为了未来更复杂情境的省力。

（四）【抽象·算法建模】竖式程序的符号化确认（6分钟）

1.师生共建“竖式口语报告”：全体看着标准竖式24×2，同步复述思维流——“二四得八，在个位写8；二二得四，这个4在十位表示40，直接在十位写4；合起来是48。”

2.强调书写规范铁律【必考】【基础】：

[1]因数的末位必须对齐（个位对个位，十位对十位）；

[2]乘号写在左侧下方，横线用尺子画直；

[3]积的书写，个位对个位，十位对十位。

3.迁移至三位数：出示213×2。

学生尝试竖式计算，教师巡视捕捉典型错例（如百位积2写在哪）。

集中讲评：用“计数单位”语言解释——2×3=6（6个一），2×1=2（2个十，在十位写2），2×2=4（4个百，在百位写4）。

此时呼应单元大概念：无论几位数，就是用一位数依次去乘多位数每一个数位上的计数单位个数。

（五）【深潜·一致性贯通】乘法竖式与口算、加法竖式的血脉关联（5分钟）

1.关联口算：将竖式24×2与口算分解式24=20+4，20×2=40，4×2=8，40+8=48并排呈现。学生直观发现——竖式就是口算过程的“竖着写”，格式不同，思维同源。

2.关联加法竖式：对比加法竖式24+24与乘法竖式24×2。找同：都是末位对齐，都是从个位加/乘起；找异：加法是相同数位数字相加，乘法是一位数分别与各数位数字相乘。【重要】从加法竖式到乘法竖式，是运算维度从“累加”到“倍乘”的跃升。

（六）【巩固·变式训练】在结构化练习中形成技能（8分钟）

本环节设计三层梯度，全员必达，兼顾速度与深度。

第一层：【基础性模仿】——程序固化

题组：32×3=123×3=214×2=422×2=

要求：先独立竖式计算，然后同桌互说算理。教师收集典型错例（如数位错位、口诀错误）进行即时干预。【高频考点】积的中间或末尾有0的特殊情况需渗透（如102×3，但本课不进位，仅作格式强调）。

第二层：【关联性理解】——逆向联结

题目呈现：小马虎做了一道竖式，积的个位是6，十位是4，这道题可能是（）。

A.12×3B.23×2C.32×2

此题需逆向推理：积是46，则原式应为23×2。强化从积反推因数的意识，打破思维定势。

第三层：【应用性建模】——情境还原

呈现半开放情境：学校图书室买来2套《自然科学》丛书，每套123元。？

学生自主补充问题并解答，要求列竖式并口答。此题将竖式计算嵌入“总价=单价×数量”模型，培养模型意识。

（七）【重构·反思内省】学习历程的可视化复盘（4分钟）

教师不直接总结，而是呈现三个“观点句”，让学生判断并阐述理由：

1.“乘法竖式和加法竖式没什么关系，是全新的方法。”（驳：从对齐方式和分步思维看，有承继关系）

2.“笔算乘法其实就是把口算的步骤搬到竖式里。”（正：核心算理一致）

3.“从个位乘起是唯一正确的方法。”（修正：不是唯一正确，但是最方便后续学习的方法）

随后，每位学生在任务单的“反思区”完成半结构化的自我评价：

今天我是小小数学家：

我创造的竖式被归为______类（A/B/C/D）；

我原来不懂的是：；

我现在明白了：；

我想提醒同伴：____________。

六、【跨学科浸润与思政渗透】赋能核心素养

（一）【跨学科连接】语文学科“说明性表达”

在“竖式说明书”环节，要求学生用“先……再……然后……”等表示顺序的连接词，完整口述竖式计算步骤。这不仅是数学思维的条理化，更是语文“说明顺序”的即时应用。将数学语言表达的精准性训练与语文口语交际要求深度融合。

（二）【跨学科连接】美术学科“符号美学”

对比中外古代乘法计算史（如古埃及倍乘法、格栅乘法），引导学生欣赏现代竖式的简洁对称之美。竖式的数位对齐、横线分隔，本身即是一种数学秩序美的呈现，可渗透“数学是美的语言”的价值熏陶。

（三）【思政微点】精益求精的工匠精神

在从“长竖式”优化为“短竖式”的过程中，引导学生体会数学家不断追求简洁、精确、普适的表达方式，这正是科学精神与工匠精神的生动写照。每一次符号的精简，都是人类智慧的跨越。

七、【作业系统】素养导向的分层设计

（一）【基础性作业·全员必做】

完成教材第61页练习十三第1、2题。要求：竖式书写规范，横线用尺，卷面整洁。

（二）【实践性作业·可选挑战】

主题：家庭采购员

任务：跟随家长进行一次小型购物（或模拟购物），选取两件单价是两位数的同种商品（如牛奶32元/箱，买2箱），用乘法竖式计算总价，并将购物小票或模拟收据贴在任务单背面，在下节课进行“最佳采购员”分享。

（三）【拓展性作业·思维挑战】

出示开放题：□□×2，积是两位数。你能写出几种不同的填法？其中积最大是多少，最小是多少？

此题融合数感、位值、最值策略，为学有余力者提供思维爬坡空间。

八、【教学反思与预案】基于前测的教学修正

（一）【易塌陷环节预警】

1.数位对齐的顽固错误：部分学生受口算横式影响，习惯于“数字左端对齐”。对策：在巡视中一旦发现，立即调取该生作品与小棒图并置，让其亲手将4捆小棒放在十位位置，再将数字“4”写在十位，完成具身矫正。

2.算理表达的干瘪：学生易说“二三得六”，但说不出“6个一”。对策：将“个”“十”“百”计数单位词卡贴在黑板对应数位下，要求学生每次汇报必须完整句式“（）个一/十/百”。

（二）【生成性资源利