冀教版九年级数学下册《切线长定理》同步练习题及答案

冀教版九年级数学下册《29.4切线长定理》同步练习题及答案

一、单选题

1.如图，8。与：。相切于点。线段BO交。于点A,过点/H乍O的切线交于点D.若

CO=3,AB=4,则0。的半径等于（）

A.4B.5C.6D.12

2.等边三角形的边长为4,则它的内切圆面积等于（）

A.4乃B.-7TC.-7TD.—7C

333

3.如图，。是四边形力9C力的内切圆.若ZAQ8=70°,则NCO/）=（）

A.110°B.125°C.140°D.145°

4.如图，。。是VAAC的内切圆，与A/3,BC,AC分别相切于点O,E,F.若的半

径为2,A4=6,AC=8,4c=12,则VA3c的面积为（）

c

E

ADB

A.12百B.24C.26D.52

5.如图，在VA4C中，NB/C=125。，/是V"C的内心，。是VABC的外心，则N8OC=()

A.125°B.140°C.130°D.150°

6.图，GO是△ABC的外接圆，点/是△ABC内心，连接4/并延长交。。于点。，若AB

AI

=9,5c=14,CA=I3,则k的值是()

AD

A

7.如图，已知AB是。0的直径，CD是弦，且CD_LAB,BC=6,AC=8,则

4

D.

c15

8.人总是。O的直径，PR、。。分别切。O于点夙C,弦CD〃A“，若PB=AB=1。,则

CD的长为（）

C.5>/2D.5>/3-3

9.如图，jABC内接于AE上BC千点、E,4。是O的直径，若43=6,AE=2,AC=3,

则AD长是（）

A.7B.8C.9D.10

10.已知。过正方形A6CQ顶点A,B,且与C。相切，若正方形边长为2,则圆的半径

为（）

A.-BcD.1

3-7T

二、填空题

11.如图，PA,PB切O于点A,B,。。切。。于点E,交PA,PB于点、C,D,若△PC。的

周长是20,则%的长是.

12.如图，PA,PB分别切CO于点A,B,PA=2,ZP=60°,那么A8的长为

13.已知△44。中，。/为△ABC的内切圆，切点为〃，若BC=6,AC=8,AB=l()t则点

4到圆上的最近距离等于—.

14.如图，A,B是直线/上的两点，且加=2,两个半径相等的动圆分别与/相切于点A,

从点。是这两个圆的公共点，则圆弧ACC3与线段4B所围成图形的面枳S的最大值

是

c

15.如图，菱形ABCD,ZB=6O°,AB=4,0O内切于菱形ABCD,则。O的半径为

16.如图，在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、B(0,1+t),C(0,1-t)(其中t>0),点P

在以D(4,4)为圆心，1为半径的。D上运动，旦始终满足NBPC=90。，则t的取值范围

是—.

三、解答题

17.如图，PAP8切G。于小B,若NAP8=60。，。。半径为3,求阴影部分面积.

A

O-

B

18.小亮对《数书九章》中的“遥度圆城''问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正

南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向

走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下.求：

⑴大树到城堡南门的距离;

(2)城堡外圆的半径.

19.如图,V48c中，3c=14,47=9/3=13,它的内切圆分别和8cA也AC切于点D,E,

F,求AE,即和C尸的长.

20.如图，在VA4c中，AO平分NB4C交4C于点。，以点。为圆心，40长为半径的O

与A/3相切于点3,与BC相交于点/1.

AB

(1)求证：AC是。的切线;

S,

(2)若A8=5,AC=13,设的面积为VA4c的面积为邑，〃?=?.求常数人的值.

参考答案

题号12345678910

答案cBACBCDACB

1.C

【详解】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理.根据切线长定理得到

AD=CD=3,/BCO=/BAD=90。,根据勾股定理得到BD=+心=5，求得8c=8,

根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：CD是0。的切线,

,40=8=3,ZBCO=ZBAD=90°,

VAB=4,

,,BD=AB'+AD2=5，

/.BC=8,

vOC2+BC2=OB\

••・04+82=(3+4)2,

解得。4=6,

••・GO的半径等于6,

故选：C.

2.B

【分析】根据题意画出等边VA8C与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出S-再

观察发现V/1AC的内切圆半径，恰好是V/\8C内三个三角形的高，因而可以通过面积

S&ABC=S&\OB+%BOC+S4八”来计算半径，根据面积公式计算即可.

本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是

解题的关键.

【详解】解：设与VA8C相切于。，E,F,连接CZ),

丁VA6C是等边三角形，

••・。。过点0,CD1AB,

JCD=®AR=IR

2

：.SAliC=^ABCD=4>f3,

设内切圆半径为八

JSAHC=^（AB+BC+AC）r=4y/3,

,275

••r=-----,

3

•••内切圆面积律j=）

故选：B.

3.A

【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内痢和定理求解即可得到答案；

【详解】解：・・・GO是四边形的内切圆，

/.ZOAB=ZOAD,ZODA=ZODC,/OCD=NOCB,4OBC=4OBA,

ZOAB+ZOAD+ZODA+ZODC+ZOCD+ZOCB+ZOBC+ZOBA=360°,

/.Z1OAB+Z1OBA+ZODC+/OCD=Z：OAD+NQD4+NOCB+NOBC=180°,

VZAOB=7(T,^OAB+ZOBA+ZAOB=180°,ZODC+-ZOCD+ZDOC=180°,

，ZCOD=180°-70o=110°,

故选：A；

【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到

NOAB+NOBA+40DC+NOC。=180°.

4.C

【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关

系是解答此题的关键；根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半.进行

列式计算即可.

【详解】解：=。是VA8C的内切圆且半径为2,A8=6,AC=8,BC=\2

SVABC=/(AB+AC+8C>r,

5,iBc=gx(6+8+12)x2=26，

则VA8C的面积为26,

故选：C

5.B

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距高相等；三角

形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了三角形的外接圆和圆周角定理.先利

用三角形内心的性质得到//。=90。+：/人，则可计算出NA=70。，然后利用圆周角定理

得到NBOC的度数.

【详解】解：过点/分别作曰_LA8FlLAC,GI1BC,如图

A

•・•点/是VA8C的内心，且结合切线性质

Z.NGBl=-NABC,NGC7=-ZACB

22

ZA+ZABC+ZACB=180°,/BIC+NIBC+ZICB=180°

・•・ZS/C=90°+-ZA,

2

即1250=90°+；NA

J4=70。，

•・•点。是VA4c的外心，

，Z5OC=2Z4=2x70°=140o.

故选：B.

6.C

【分析】作BM〃A。交CA延长线于点M,连接B/,可得NABM=N84D,NCAD=NM,

再由点/足△A8C内心，可得N8AD=NCAO,/A止N18C',从而得到

ZM=ZABM=ZBAD=ZCAD,A8=AM=9,NCBD=NBAD,进而得到BO=/D,再证得

QMBCsAABD,可得生=工，即可求解.

AD11

【详解】：如图，作3MZMQ交CA延长线于点M,连接发,

，巴、

/.ZABM=ZBAD,ZCAD=ZM,

•・•点/是△ABC内心,

：.ZBAD=ZCAD,NABI=NIBC,

/.ZM=ZABM=ZBAD=^CAD,

・・・A8;AM=9,

：,MC=AM+AC=22f

'：NCBD=NCAD,

：・4CBD=/BAD,

•；NBAD+/ABI=NBID,N/BC+/BAD=NIBD,

：・/IBD=/BID,

:・BD=1D,

•.•/Q=/C,

•'•△MBCSAABD,

.BCMC

•茄一茄

.1422

•■-----=-----,

BDAD

,・齐奈解得:台

.AlAD-ID,ID4

..=-----------=1--------=—.

ADADAD11

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定

和性质，作出适当辅助线是解题的关键.

7.D

【详解】试题解析：・・・48是《。的直径，CQ_LA8,

,AC=AD>

：.NABD=NABC.

根据勾股定理求得：4A=10，

八「«4

sin/44。=sinZABC=-=—=

AB105

故选D.

8.A

［分析】过点。作_LCD于点F,延长C3交8P于点E,连接OC,则NCFO=ZDFO=90°,

CD=2CF,根据切线的性质得到P8=PGNOCP=9()。,Z4BP=90°,结合平行线的性质

推出NR7O=NP,进而得到VOCE:VCPE,四边形08£尸是矩形，根据相似三角形的性

质及矩形的性质得到8E=OF,OF=gcE,根据勾股定理得到。尸=4,CF=3,据此即可

得解.

【详解】解：过点。作O"_LC。于点F,延长6交BP于点石，连接OC,

*/OFLCD,

：.NCFO=/DFO=90。,=2CF,

TPC是。。的切线，

•••ZOCP=90°,

，ZPCE+ZFCO=90°,

•・・PB是。。的切线，

：・OBLPB,

••・ZABP-900,

*：CD//AB,

，NCEP=ZABP=9()。,

・••ZC®=90°,

:.NPCE+NP=90°,

：•ZFCO=/P,

又•:ZCFO=ZCEP=90°,

/.NOCF:NCPE,

.OF_PC

，，~CE~~PC，

■:PB、PC分别切。。于点。C,

/.PB=PC,

VPB=AB=\Of

（）C=5=-PC

2f

，OF=-CE

2t

即CE=2O/，

在RtXCEP中，PC2=PE2+CE2,

/.I02=（IO-OF）2+（20F）2,

.••O"=4或OF=0（舍去），

•*-CF=>JOC2-OF2=V52-42=3，

:・CD=2CF=6.

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理，熟记切线的性质定理、垂径定理并作出合理的

辅助线是解题的关键.

9.C

【分析】连接CD,可证明△ABEsaADC,利用线段成比例求出AD的长.

【详解】连接CD,

D

AC=AC

，NB=ND

；AD是直径，

，ZACD=90°,

AEA.BC

/.△ABE^AADC

.ABAE62

・•---=---，即nn---=—

ADACAD3

AAD=9

故选C.

【点睛】此题主要考查圆内的线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.

10.B

【分析】作于点M,连接08,在直角中根据勾股定理即可得到一个关于

半径的方程，即可求得.

【详解】解析：如图，作于点连接03,设圆的半径是1,

则在直角~08“中，OM=2-x,BM=1,

VOB2=OM2+BM2,

解得

故选：B.

【点睛】本题主要考查了叨线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦

心距之间的计算•般要转化为直角三角形的计算.

11.10

［分析】本题主要考查了切线长定理.直接利用切线长定理得出4。=EC,DE=DB、PA=PB,

进而求出火的长.

【详解】解：•・•PAPB切［O于点A,B,CO切OO于点E,

AC=EC,DE=DB,PA=PB,

QVPCD的周长是20,

.-.PC+PD+CD=20,

•;PC+CA+PD+DB=PA+PB,

.•.PA+PB=20,

.•.尸A=10,

故答案为：10.

12.2

【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是

解决本题的关键.

由切线长定理知幺根据已知条件即可判定.S/3P是等边三角形，由此可求得A4的

长.

【详解】解：•・・孙，PB分别切。于点A,B,

，PA=PB,

VZP=60°,

A4P是等边三角形,

/.A8=PA=2,

故答案为：2.

13.2V10-2

【分析】连接/A，/A与。/半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出和。/半径即

可得答案.

【详解】解：连接乂，设AC、8c分别切。/于£、D,连接/£、1D,如图：

VBC=6,4C=8,AB=10,

：.BC2+AC2=AB2

AZC=90°

•：01为〉的内切圆，

/.ZIEC=Z/DC=90°,1E=ID,

，四边形〃)CE是正方形，设它的边长是x,

则IE=EC=CD=ID=IH=x,

.\AE=S-x,BD=6-x,

由切线长定理可得：AH=8-x,8/7=6-x,

而A，+8H=10,

/.8-x+6-x=10,解得/=2,

：.AH=(),〃7=2,

M=^AH-+IH1=2Vio,

・••点4到圆上的最近距离为2M-2,

故答案为：2框-2.

【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易,

掌握相关知识是解题关键.

14.2--

2

【分析】本题主要考查两圆的位置关系和扇形面积计算公式的应用.扇形是与圆形有关的一

种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为〃。，半径为r的扇形面积为

抵x%，2.如果其顶角采用弧度单位，则可循化为:乘以半径乘以弧长.例如本题就是首

先判断出当这两个动圆外切时，面积S取得最大值，然后结合扇形面积进行解答的.

【详解】解析：如图，当r=1时，两圆相切，此时面积S最大,

=2X1-2X-J-7TX12=2--.

S=S地一S扇形"C5病形8EC

42

故答案为：2-1

15.&

【分析】设AB和BC上的切点分别为E、F,连接OA、OE、OB、OF,根据切线性质，可

知OF±13C,平分NA4C,由已知条件/B=60。解得48。=30。，再由直角

三角形30。所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三

角形面积公式解5人⑺=；乂8。E=，4。-08即可.

【详解】设AB和BC上的切点分别为E、F,连接OA、OE、OB、OF,则OE_LABOFA.BC,

A

。内切于菱形ABCD,

:.OE=OF

.•.08平分NA8C

yZABC=60°

/.450=30。

同理得/84。=60。

.•.NAO8=90°

:.AO=-AB=2,08=2后

2

:.S*,OB=2-ABOE=-2AO-OB

4OE=2x2x/3

OE=s/3

故答案为：\/3

【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、菱形的性质、三角形的面积等知识，是重要

考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

16.4<t<6

【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等

于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t

的最大值与最小值，进而确定I的取值范围.

【详解】连接AP,

由题意得，AB=(l+r)-l=r,AC=\-(l-t)=t

:.AB=AC

・.・/RPC=90。

AP=-BC=AB=t

2

t要最大，就是点A到。。上的一点的距离最大

.•.P在AD延长线上，

；40,1),0(4,4)

/.AD=yj\6+(4-\)2=5

At的最大值是AP=AD+PD=5+1=6

二.t的最小值是AP=AD-PD=5-1=4

故I的取值范围为：4<t<6

故答案为：4<t<6.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形

中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

17.9拒一3冗

【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识.此题难度不大，

注意数形结合思想的应用.首先根据切线长定理，可求得40。的度数与又由直

角三角形的性质，可求得P4的长，然后求得.PAO与扇形40c的面积，由

S阴影=2乂（5附。-5叫℃）则可求得结果.

【详解】解：连接PO与A。，

••,PAP8切。于A、B,若ZA尸8=60。，

：.OA±PAZAPO=-ZAPB=30°,

f2

•••ZAOP=6()0,

•・•0半径为3,

AOA=3,PO=6,

••・PA=y/PO1-AO2=373•

•,SABO=-A0PA=-x3x3必竽

22

_60^x32_3

地形Ad360F''

••S=2x(sPA。一S阴形A0c)=2x——7T\=9yf3-37T

，阴影部分面积为：96-34.

18.()12里

⑵4.5里

【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关

键.

(1)由A5切圆于。，4c切圆于C,连接O力，得到OD_LA8,OCLBC,BD=BC=9

里，由勾股定理求出AOJAJ-BC?=12(里)，

(2)在Rl40。中，由勾股定理列式4O2=O£>2+A£>2,(12-r)2=r2+62,所以求出

0。=4.5(里)，即可得到答案.

【详解】(1)解：如图,。。表示圆形城堡，

由题意知：A8切圆于。，4c切圆于C,连接OD,

.\OD±AB,OCLBC,30=5c=9里，

\-AD=6（里），

\AB=AD+BD=\5（里），

：.AC=ylAB2-BC2=12（里），

则大树到城堡南门的距离12里;

（2）解：设城堡的半径为厂里,

，AO=(I2-r)里，AD=AB-BD=15-9=6(里)，

•：ODA.AB,

・••在RI.A8中，AO2=OD2+AD2

/.(12