集合与常用逻辑用语（易错专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题01集合与常用逻辑用语

i目录!

i!

I第一部分易错点剖析I

|9易错典题9避错攻略9举一反三i

i易错点1忽略集合中元素的互异性!

；易错点2集合运算中忽略空集i

!易错点3集合区间端点混淆I

i易错点4充要条件判定颠倒逻辑!

i

j易错点5命题否定中量词与结论漏改i

i易错点6由命题的真假求参时不能正确转化；

!第二部分易错题闯关!

i

L!

易错点剖析

易错点1忽略集合中元素的互异性

9易错典题

【例1】（25-26高三上•湖北孝感高级中学期中）已知集合4={1,3,/卜4={1,〃+2},若人口3=3,

则实数〃的值为（）

A.1B.2C.2或一1D.1或一］

【答案】B

【解析】若4口3=8,则集合8是集合A的子集，所以。+2=3或.+2=/.

当〃+2=3时，〃=1,则4={1,3},不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）；

求得。=1后，容易忽视回代检脸，从而致错

当〃+2=/时，/一〃一2=0,即（。+1）（。-2）=0,解得：4二一1或。=2（易错点），

注意将参数值回代到集合中去，检脸集合中元素的互异性

若a=7,则A={1,3},8={1},不满足集合中元素的互异性，不合题意；

若〃=2,则A={1,3,4},8={I,4},符合题意.

故实数。的值为2.

故选:B.

【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C或D.

知识混淆：对“集合”概念理解不全面，忽略“集合中的元素具有.互异性”这一特性，从而未将求得。的值

回代到集合中去检验.

概念模糊：对“元素与集合间的关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“集合A或B中元素不满足互异性”

的可能性，导致思维存在漏洞.

望文生义：利用集合的运算求得。的值后，就想当然认为所求得的〃值即为最终结果，未结合参数。的取

值对集合A,B中元素是否满足互异性进行全面分析.

9避错攻略

【方法总结】建立“先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记“集合中的元素具有互异性”.

【知识链接】1.集合中元素的三大特性

（1）确定性：判断对象能否构成集合的依据.

（2）互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值

后，再根据其互异性检验.

（3）无序性：常用于判断集合相等.

2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤

第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；

笫二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；

第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.

9举一反三

【变式1・1】（25-26高三上•浙江宁波六校期中）己知集合4={12,/+4〃"-2},—3eA,则〃二

（）

A.-1B.-3或1C.3D.-3

【变式1・2】（25-26高二上•山东青岛•开学考试）已知A={1,2,/}I={2MT}，^A\JB=At贝I」

。=（）

A.-1B.1C.2D.3

【变式1・3】（25-26高三上•湖北•阶段练习）已知实数集合A={l,a,〃},H={a\a,ab},若A=8，

则（4+3期5=（）

A.B.0C.ID.2

易错点2集合运算中忽略空集

H易错典题

【例2】（2024•全国卷）已知集合I]2_3X+2=0},B={XIax=\],若3GA,则〃的取值集合是

A.{0,1,；}B.{1,g}C.{0,；}D.{0,1}

【答案】A

【解析】解方程N-3X+2=（）,因式分解得（41）（尸2）=0,解得日或m2,因此4={1,2}.

集合I〃下11,需分B=0和BW0两种情况讨论（易错点）：

不要忽视考虑代。这一种情况

情况1：8=0方程级=1无解，此时斫0（因为当“0时，0/=1无实数解）.空集是任何集合的子集，故

4=0符合条件.

情况2：BW0此时“W0,方程的解为m因为所以!必须是A中的元素，即，=1或工

aaaa

=2：

若1=1,解得a=l;若，=2,解得

aa2

综上，〃的取值为0、1、；，因此〃的取值集合为{0,1,；}.

【错因分析】求解“BGA”类问题时.，漏算8=。的情况.

知识混淆：对“子集”概念理解不全面，忽略“空集是任何集合的子集这一特殊性质，仅关注B为非空集

合的情况.

概念模糊：对“集合包含关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“3为空集”的可能性，导致思维存在漏洞.

望文生义：看到“奴二1”就默认方程有解，想当然认为8一定非空，未结合参数。的取值对集合B存在性

的影响进行全面分析.

9避错攻略

【方法总结】建立“先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记“空集是任何集合的子集”.

【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法

（1）直接法：集合中的元素是直接给出的.

（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定

是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集

合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.

2.对于集合之间的关系常用到的结论：

（1）手集的传递性：AQB,BQC=>AQC.

(2)八q804rl8=A=AU8=3OCUA3Q3

(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当8aA时，应分8=。和两种情况讨论.

3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn图法.

夕举一反三

【变式1・1】(25-26高三上•安徽合肥•期中)已知集合夕=卜,=]},(2={x|ar=l},若PcQ=Q,

则。的值是()

A.IB.-1C.1或一1D.0,1或—1

【变式1・2](24-25高三上•河北定州中学•阶段测试)设集合

4=卜,2-3x+2=o},B=„+2(a+\)x+a2-5=o|.

⑴若AC|8={2},求实数〃的值；

(2)若AU8=A,求实数。的取值范围.

易错点3集合区间端点混淆

9易错典题

【例3】(25-26高三上•河南•开学考试)已知集合4二伊卜+2)(1-力20},8={乂〃-3<x<a+l}.

(1)若从。3=4,求实数。的取值范围；

(2)若AU8=A,求实数”的取值范围.

【答案】⑴

【解析】⑴A={x|(x+2)(l-x)>0}={x|-2<x<l},8=32〃-3cxea+1},

因为Af)8=A等价于Aq8,

-2>2a-3

所以1(易错点)，

2a-3<a+\

注意各端点值处的等号是否取得到

解得0<a,

所以实数”的取值范围为（o,

（2）因为AU8=A等价于BqA,

公8=0,则2a—32々+1（易错点），

注意此处需取等号

即〃之4时，符合题意；

2a-3>-2

若B/0,贝1卜。+141,无解（易错点）；

2a-3<a+1

列式时要考虑4/0自身满足的条件：2。一3之一2,同时要注诙端点值是否取等号

综上，实数。的取值范围为H+O0）.

【错因分析】

由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时.，容易因在区间端点处取不取等号而致错.

知识混淆：对两集合间“包含和真包含”概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，

不能取等号时取等号.

概念模糊：对“集合包含关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析”区间端点处是否能取等号”，导致思维存

在漏洞.

望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结合

数轴或Venn图进行全面分析.

H避错攻略

【方法总结】结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.

【知识链接】集合运算的常见运算性质：

l.AnB=BClA；AOBQA；AClBQB；AC\A=A：ACI0=0.

2,AUR=B（JA;AQAUB;BQAUB;AU4=4AU0=4

3.4U（1M）=U,An（1M）=0

9举一反三

【变式3・1】（25-26高三上•河南•阶段练习）设全集U=R,已知集合4=卜,2<1},集合

4={x|2«vxv3-a}.

（1）当〃=（）时，求（QA）U8；

（2）若408=0,求实数〃的取值范围.

【变式3・2】（25-26高三上•北京•期中联考）已知全集。=口，集合4=卜产-4X+3W0卜

3=｛x,一3]<1｝,C=｛x\2a<x<a+2,aeR]

（1）分别求Ac"和AuQ,,8；

（2）若BuC=B,求。的取值范围；

（3）若ACCH。，求〃的取值范围.

易错点4充要条件颠倒逻辑

9易错典题

[例4]（25-26高三卜•淅江宁波•阶段测试）命题“玉4-2』,为假命题的一个充分不

必要条件是（）

A.—B.a<0C.a>6D.。之8

4

【答案】D

【解析】若命题"女6卜25，为假命题，

则命题的否定“心«-25，x2-3一为真命题，

UPt/>x2-x»xe[-2,1]恒成立，

）,=尸_/=（工一3）—：，XG[-2,1],当x=-2,取得最大值y=6,

所以a26,选项中只有｛4〃之8｝是｛a卜之6｝的真子集，

所以命题“全«-2/，/>0”为假命题的一个充分不必要条件为（易错点），

要注意“才是8的充分条件”和“/的充分条件是8”的区别.

故选D

【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件.

知识混淆：不能区分“A的条件是B”和“A是B的条件”，将两者混为一谈.

概念模糊：对“充分性和必要性'’的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.

望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A的条件是B”等价于“A是B的

条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别.

H避错攻略

【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件"，哪一,、是“结论”，

否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…，则P是条件，q是结论;若P的…条件是q,则P是结

论,q是条件.

【知识链接】1掌握充分、必要条件的概念及类型

⑴如果p=>q,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p=q，但q#p,则p是q的充分不必要条件；

⑶如果p=q,且q=p,则p是q的充要条件；

(4)如果q=>p,且p#q,则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p#q,且q#P，则p是q的既不充分又不必要条件.

2.灵活运用判断充分、必要条件的方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断：

⑵图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“Q"、将条件彼此相连，然后再判断它们之间

的关系.

⑶利用集合间的包含关系进行判断：

设满足条件P的对象组成的集合为A,满足条件q的对象组成的集合为B,则由集合间的包含关系易得如

(4)举反例：要说明p是q的不充分条件，只要找到对以即｝,但r00｛由｝即可.

9举一反三

【变式4・1】（24-25高三上•青海西宁•期中）已知。>0,b>0,则使a+b22成立的一个充分条件

是（）

A.a2+b2=1B.a+b=ah

C.2“+2”=4D.a+b2=2

【变式4・2】（25-26高三上•安徽马鞍山•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.是的充要条件

B.使不等式1+,>0成立的一个充分条件是-lvx<0

x

C.若“卜―2<1”的一个必要不充分条件是2Vx<〃?+2"，则实数加的取值范围是1工加工3

D.若关于x的不等式f一2火+3工0在R上的解集是空集，则实数。的取值范围是-1<々<3

【变式4-3]（25-26高三上•广东东莞•阶段练习）已知集合

>4={xl-3<x<4）,/?={41一/〃<x<3m-2,m>}}.

（1）是否存在实数〃?，使得xwA是xc4成立的充要条件，若存在，求出实数，〃的值，若不存在，请说明理

由；

（2）若xeA是xwB成立的必要不充分条件，求出〃?的取值范围.

易错点5命题否定中量词与结论漏改

9易错典题

【例5】（25-26高三上•河北•期中）设命题P：女>（）,2'=2025co.，则〃的否定为（）

A.V.r>(),2x=2025cos.rB.Vx>(),2A>2025cos.v

C.Vx>0,2、2025cosxD.3x>0,2、2025cos

【答案】C

【解析】先变量词：将三变为V,

再否结论，将结论2、-2025COSX否定为：2r2025cos.v.

从而可得〃的否定为：Vx>(),hw2025co.(易错点).

既要变量词，又要否结论，块一不可

故选C.

【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词,

或者只否定结论.

知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改量词，错因还是相关知识掌握不够透彻.

概念模糊：未正确理解“命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻.

望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误.

H避错攻略

【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.

【知识链接】1.全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、每一个、任意、任何、一切等V

存在量词有些、有一个、存在等3

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

命题名称符号表示命题的否定

全称量词命题x具有性质p(x)BxEM,X不具有性质p(x)

存在量词命题X具有性质p(x)VA€A/,x不具有性质p(x)

［微提醒］对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.

9举一反三

【变式5・1】(25-26高三上•广东梅州・期中)命题“心>0,炉+2%-3>0”的否定是()

A.>0,A;2+2x-3<0B.<0,A:2+2x-3<0

C.VX<0,X2+2X-3<0D.VX>0,X2+2X-3<0

【变式5・2】(多选)(25-26高三上•陕西商洛•阶段练习)已知命题P：平行四边形的对角线相等,

/女£(1,2),-2'-工+4=0,则()

A.〃是存在量词命题

B.〃是存在量词命题

C.-P：有些平行四边形的对角线不相等

D.q是真命题

易错点6由命题的真假求参时不能正确转化

9易错典题

【例6】(25-26高三上•山西,阶段练习若命题p:玉«-2,2],使得f_2*_>+2〃此0为假命题，则

实数机的取值范围为()

A.(-<X),1)U(1,-HX))B.(T,0)52,+8)

C.(y,T)D(2,y)D.(T,-2)54+8)

【答案】D

【解析】因为P为假命题，所以-Vxe[-2,2],厂―21-"+2/〃<0为真命题，

即当一2WxW2时，/一2.[-62+2=<0恒成立(易错点).

本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解

因为函数/(x)=幺-2x-"P+2m=(x-\)2-nr+2〃?-1图象的对称轴为x=I,

所以当一2<x<2时，/(功皿=/12)=-62+2"7+8,所以一〃『+2m+8<0,

即nt-2/7?-8>0，解得m<一2或〃?>4,

即实数次的取值范围为(t,-2)u(4,+e).

故选:D.

【错因分析】由含有一个量词的自题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解.

知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”.

概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化.

望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.

9避错攻略

【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围

全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题

时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.

2.利用存在量词命题求解参数的范围

存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解

答此类题目，•般要先对结论作用肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.

若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.

【知识链接】1,命题〃和「〃的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假.

2.判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假

。)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.

12)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假；

当原命题为假时，命题的否定为真.

3.不等式的恒成立：

(l)若Vx£/,/(X)>0恒成立，则/(X)mm>0；

(2)若VXE/,/(幻<0恒成立，则/(幻max<0・

(3)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若DXCD/(X)>g(X)恒成立则有[/Q)_g(刈巾>0.

(4)若对DX]£/[、X2Gl2,/(x))>g(W)恒成立,则/(X)min>g(X)max.

4.不等式的能成立：

⑴若三/£/♦使得/(%)>()•则/(初3>0：

(2)若3xo€/,使得/(%)<0,则f(x)min<0.

5.存在性与任意性并存：

(1)若对V%1G；1,3X2e/2,使得/(X,)>g(W)，则f(X)min>gCOmin•

(2)若对VXjGZj,三W£12，使得f(X|)<g*2)，则/(X)max<g(X)max-

⑶若三演T/£,2，使得fW<g(%2)，则/("in<g(力吟

4.子集思想的应用

已知/(外在区间人上的值域为A、,g(X)在区间人上值域为B,

若对XX玉J々^人，使得〃%)=g(X2)成立，则AqB.

9举一反三

【变式6・1】(25-26高三上•江苏扬州•开学考试)若“玉41,2],加two”为真命题，则实数。的取

值范围是.

【变式6・2](25-26高三上•福建厦门•期中)已知函数/(工)=工+3,g("=2'+明若寸引e,

切目2,3],使得/(xjKg«),则实数〃的取值范围是.

【变式6・3】(25-26高三上•陕西商洛•月考)已知p：VXGR,ar2+ar+l>0,q：

(1)若〃为假命题，求实数。的取值范围；

(2)若p,，/中有且仅有一个为真命题，求实数〃的取值范围.

02易错题闯关

1.（25-26高三上•山东聊城•期中）已知命题p：玉«0,内），x2-x+l=O,则力是（）

22

A.Vxe（-oo,0）,x-x+l*OB.Hre（-<x>,0）,x-x+\^0

C.VX€（O,-HX>）,x2-x+l=0D.VX€（0,-KO）,x2-x+1^0

2.（25-26高三上•江苏连云港•期中）已知集合4={0,力，8={1,—。一2,一2a—2},若AqB,则〃二

（）

2

A.1B.—C.—1D.—2

3

3.（25-26高三上•重庆•阶段练习）已知集合A={1,4/},八},务4n8=8,则实数。取值的

集合为（）

A.（2）B.{0}C.<*}D.

4.（25-26高三上•新疆•月考）已知p：Vxe（0,-Kc）,q：3xe[-3,0],x+5=|3x-l|,

贝I（）

A.〃是真命题，q是真命题B.〃是真命题，F是真命题

c.是真命题，q是真命题D."是真命题，r是真命题

5.（25-26高三上•广西•期中）”函数/（x）=f_2U在（TO,3]上单调”的一个必要不充分条件可以是

（）

A.k>3B.k>2C.k>6D.k<3

6.0025•新疆喀什•二模）已知集合4={1以<2},^={X|X2-2X-3>0},C={x|x>a}且

4U（Q8）UC=R，则实数〃的取值范围为（）

A.（-1,+cc）B.（f3）

C.（fT]D.S，3]

7.（2025•北京•高考真题）已知函数/（x）的定义域为。，则“/（x）的值域为R”是“对任意历eR,存

在使得|/（工0）|>“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

8.（25-26高三上•福建福州•阶段练习）/（.r）=2^-3x2-12x,已知力<0,若的充要条件

是则实数〃的最小值为（）

5