2025-2026学年人教版八年级数学下册《菱形》同步练习

21.3.2《菱形》同步练习

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在菱形/WC。中，连接50,过点。作于点£,若NAOE=35。，则/ADC的度

B.100°C.110°D.120°

2.如图，oABCD,对角线AC,8。交于点0,添加下列条件，能使4BCO变为菱形的是（）

A.AB=ACB.AC=BDC.Z4BC=90°D.ACLBD

3.道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应

减速慢行，并需注意行人横过马路.若测得菱形标志ABC。的对角线AC长为1.5m,8。为3m,

则该标志的占地面积为（）

A.2.25m2B.4.5m2C.6m2D.9m2

4.如图所示，菱形44co的两条对角线相交于。点，AC=24,BD=10,点尸是边A8上的一个

动点，则。。的最小值为（)

120240

C.D.

137T

5.如图所示，菱形ABC。的边长为5,对角线AC与8。相交于。点，BD=6,延长AB至E,BF

平分NC8E,点P是斯上任意一点，则的面积为()

6.如图，口ABCD的对角线AC,8。交于点0,以下条件•不•能证明0ABs是菱形的是()

A.AB=BCB,ZABD=ZCBDC,AC1BDD.OB=OD

7.如图，菱形/WC。的对角线AC、4。交于点。，AC=10,BD=24.点、P是边BC二的动点、,

过点P作垂足为点M,PN_LC。，垂足为点N,连接MN,则MN的最小值为1)

8.如图，在菱形A8C力中，乙48。=60。，少是BC的中点，尸是OE上一点且满足贝

()

A.在B.|C.且D.更

3275

9.如图，在菱形"C。中，/ABC=120o,AC=6,分别以点C、。为圆心，以大于;C。长为半

径作弧，两弧交于点M、N,作直线MN,MN与C。交于点E,如果点P为线段AC上一动点，

当PD+PE1取最小值时，PE=()

ATB.1C.x/3D.26

10.如图，菱形ABCD和4EFG中，A8=4,ZA2?C=6O°,E是AO的中点，G在8A的延长线上,

M,N分别是A8,CO上的切点，且AM=CN,P,。分别是MN,A尸的中点，贝〔PQ的长为

A.V7B.V13C.277D.2x/13

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，在平面直角坐标系X。），中，菱形0ABe的边。4在），轴上.若点C的坐标为（-3,2）,则

12.如图，菱形人8C。的对角线交于点。，点"为A3的中点，连接。河.若8C=8,则。M的长

为.

13.如图，小强在作线段A8的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点4、8为圆心，大于

线段八8长度一半的长为半径画弧，相交于点。、。，则直线C。即为所求.连接AC、BC、AD.

BD,则根据她的作图方法可知，四边形AC8O是

C

沃

4E

'砂

14.如图，两张宽度均为女m的矩形纸条交叉登放在一起，交叉形成的锐角为30。，则重叠部

15.如图，AABC是边长为1的等边三角形，取8C边中点E,作ED〃AB,EF//AC,得到四

边形EDAF,它的周长记作G;取跖中点片,作ER〃FB一明〃EF,得到四边形片与附，它

的周长记作G,…，照此规律作下去，则GO26=.

16.如图，在菱形43co中，AB=2,ZD=60°.P为边CD上的一点，且不与点C、。重合，连

接BP,过点A作“7/8P,且EF=BP,连接班、PF,则四边形跳尸P的面积为.

17.如图，菱形A4C。中，4)=110。，点〃在对角线AC上，将沿8P翻折，得到△^GJ

当/总。=时，P、C、〃三点共线.

18.如图，在口ABCD中，对角线4C,4。交于点。，AC1BD,过点A作AEJL8交C。的延长

线于点£.

（1）若AB=出，AC=4,则AE的长为

（2）在（1）的条件下，已知M是线段AC上的一点，且8M=2,则AM的长为

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）如图，四边形A8CO是菱形，于点匕A/FC。于点尸.

（1；求证：ZXABEgZXADF；

⑵若菱形的边长为5,AE=4,求。尸的长.

20.（8分）如图，已知：在口ABCD中，8。是对角线，=，。是8。上一点，连接PA,PA=PD.

BC

⑴将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）;

⑵当NA8C=60。时，求△P8C与△24。的面积比.

21.（10分）如图，在中，ZBAC=90°,NC=30。，点力是AABC外一点连接AD,BD,

将△ABD沿。3折叠使点4落在边8c上的点A处，连接A。，若

（1）求证：四边形4%。是菱形；

⑵连接AA,DC,若加=2,求四边形人口7的面积.

22.（10分）如图，菱形A3。的对角线AC、8。相交于点。，过点。作OE〃4C,且。E=；AC,

连接CE、0E,连接4E交。。于点尸.

（1）求证：四边形OOEC为矩形；

⑵若菱形A3C。的边长为8,NA8C=60。，求4E的值.

23.（10分）如图，在平行四边形A4CO中，A8=AD,对角线AC,8。相交于点。，点区F是

对角线上的点，且*DF,连接AE,CE,AF,CF.

（。求证：四边形AECT是菱形；

⑵若AE=£F,BE=1,/W=13,求点〃到相的距离力.

24.(12分)如图，在四边形A8c。中，AD=BC,AD//BC,AC是四边形ABC。的对角线，过点

A作4c的垂线AE交。。的延长线于点E,点。恰好是CE的中点.

⑴求证：四边形A8C。是菱形；

lAF3

(2)过点。作。/_LA5于点尸，交AC于点G,连接8G,若AE=26,,=£,求。尸和4G的长.

参考答案

一、选择题

1.C

解：VDEJ.AB,

：.NDEB=90。.

:"DE=35。,

ZABD=90o-ZBDE=90o-35o=55°.

•・,菱形A8CD,

/.ZABC=ZADC,ZABD=NCBD=gNABC,

ZABC=2Z4BD=U0°,

二・ZADC=110°.

故选：C.

2.D

解：•.•四边形ABC。是平行四也形，

・•・当。A8CD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使oA8co变为菱形，

逐一对比选项，其中选项D能使变为菱形，符合对角线互相垂直，A、B、C均不能使

变为菱形，不符合题意.

故选：D.

3.A

解：根据题意，得菱形的面积等于5Q.4C=gxL5x3=2.25（m2）,

故选：A.

4.C

解：如下图所示，过点。作。DJ_A8,

当点P与点严重合时，。月的值最小，

•.•四边形A8CQ是菱形，

:.AClBDfAO=CO,BO=DO,

VAC=24,BD=10,

：.AO=CO=\2,80=00=5,

:.AB=ylAO2+I3O2=V122+52=13,

SAtil)=-BD-AO=-ABP'D,

A22,

/.-xlOxl2=-xl3P,D,

22

解得："力=1詈20，

...Z)P=TO=—,

13

二.OP的最小值为詈.

故选：C.

5.B

解：如图，过点尸作EW_LAC于点例，

,・•菱形A3。的边长为5,且8。=6,

AB=5,OB=-BD=3,AC=2OA,AC1BD,ZCRD=iZABC,

22

OA=ylAB2-OB2=4,

AC=2x4=8,

,；BF平分4CBE,

4CBF=L/CBE,

2

/./DBF=4CBD-I/CBF=；Z/fiCi-:ZCBE=；(/ABCl-NCBE)=90

DB上BF,

又：AC±BD,PM±ACt

J四边形8QM?是矩形，

PM=0B=3,

：.△AC尸的面积为gAC/M=；x8x3=12,

故选：B.

6.D

解：A项：在口ABC。中，/W与BC是一组邻边，当A8=BC时，满足菱形的定义,

，可以证明o人BC。是菱形，故不符合题意；

B项：•・•在o/WCO中，AD//BC,

：.以DB=NCBD,

•；ZABD=ZCBDt

/ABD=ZADB,

AAB=AD,

・・・nABC0是菱形,故不符合题意；

C项：:四边形ABCD是平行四边形，且ACSB。，满足菱形的判定条件，

・•・可以证明。ABC。是菱形，故不符合题意；

D项：在o/WC。中，对角线互相平分，

.・.。4=0/)是平行四边形本身就具有的性质，

但仅由。8=。。不能证明oABCO是菱形，故符合题意，

故选：D.

7.A

解：如下图所示，连接0P,

••・四边形A8CQ是菱形，

：,ACLBD,fiC=-BD=-x24=12,CO=-AC=-x\()=5,

2222

ZBOC=90°,

?.BC=y/BCf+CO1=V122+52=13,

PM工80,"J.CO,

?.NPMO=NPNO=9()。,

，四边形AMQV是矩形，

:.MN=OP,

当。P_L8C时，OP最短，

设△08C中BC边上的高为明

・：S.BOC=:BOCO=；BCh,

-x5x12=-x13/?,

22

8.C

解：过点Z7作户GJ_4C于点G,过点〃作。交8c延长线于点凡如图,

则FG//DH,

设菱形4BCD的边长为。（。＞0）,则BC=CD=%

•；Z4BC=60°,

「・/DCB=120°,NDCH=60。，

则CH=—«,DH—a

,2y

•・•£是8c的中点，BF1CF,

・•・△BFC为直角三角形，

JBE=EC=EF=-a,

2

EH=EC+CH=-a+-a=a

22f

V7

在RtADEH中，ED=dEH?+HD?=

2(l'

1

l产—2a一百

则=~尸~=—

人、ED7'

——a

2

故选：C.

9.B

解：如图，连接。8BE,PB,设BE交AC于点P,BD,AC交于点0.

•・•西边形/WCO是菱形,

AB=BC=CD=AD,AD\\BC,AB//CD,AC_LBD,

：.^DAB+ZABC=\SO°f

ZABC=120°,

「・"AB=60。，

二•△4出，△BCD都是等边三角形,

,:ACJ.RD,

：./(MB=30。，

「・AB=2OB,

AO=OC=^AC=39

又AO、OB?=AB"

32+04=4042,

08=00=6,

,?AB//CD,

/DCO=/84O=30°,

8=200=26

由作图可知MN垂直平分C。，

:・DE=EC=：CD=£,BELCD,

'：/ECO=30°,

CP=2EP,

又CE2+EP'2=CP,2,

,2,2

：.\^+EP=4EPt

，EP=1（负值舍去）,

VP,8关于AC对称，

:.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE>BE,

，当点,与点P重合时，PQ+QE的值最小，此时P£="石=1.

故选：B.

10.A

解：连接AC,交MN于点、K,

•・,西边形48CO是菱形，

.,.AB||C。，AB=BC=AD=CD,ABAC=ADAC,BC||AD,

ZACD=NBAC,

在“KM和Aaw中，

ZAKM=ZCKN

<ZMAK=ZNCK,

AM=CN

：.SKMQCKN,

：.KM=KN,AK=CK,

，K是MV的中点，

TP是MN的中点，

・••点K和点P重合，

:.AP=CP,

•：AB=BC,Z4BC=60°,

・•・"IBC是等边三角形，

AAC=AB,ZBAC=60°,

ZC4£>=60°,

*.*AB=4,

AD=AC=4,

AP=4x1=2,

rE是A。的中点，

AE=4x1=2,

VBC\\ADtG在网的延长线上，

...ZE4G=Z5=60°,

,・•四边形AEFG是菱形，

/.EF=EA,/F.AF=-/F.AG=60°x-=30°,

22

?./抬。=60。+30°=90。，

连接EQ,

•：EF=EA,。是A尸的中点，

EQ±AF,

...ZA0E=9O°,

,\E(2=^E=2xl=l,

/.AQ=,JAE2-EQ2=V22-12=73,

/.PQ=JAJ+PQ2=5+(可=币,

・•・PQ的长为将.

二、填空题

11.（0,713）

解：・・•点。的坐标为（-3,2）,

OC=J32+2」=713,

.「29边形OA8C是菱形，

0A=OC=VH,

・•・力点的坐标为（0,招）.

12.4

解：•・•四边形A8CO是菱形，对角线AC、B。交于点0,

:.OA=OC.

点。为AC的中点.

••,点"为A5的中点，

•.OM是AABC的中位线.

•.衣=8,

:.OM=-BC=4,

2

故答案为:4.

13.菱形

解：•••分别以点4,8为圆心，以大于;AB长度的长为半径画瓠，两弧相交于C,D,

；,AD=AC=BD=BC,

•••四边形4。3c是菱形.

故答案为：菱形

14.24

解：过点力作于点机AN，。。于点儿

则ZA^£>=ZAMB=90°,

•・•两张纸条的对边平行,

...AB\\CD,AD\\BCf

・•・西边形人BC。是平行四边形,

Z4BC=ZAZ)C=30o,

又二•两张纸条的宽度相等,

/W=AM=3cm,

*；Z?WD=ZAMB=90°,

AB=2AM=6cm,AD=2AN=6cm,

..AB=ADt

，四边形ABC。是菱形,

AB=BC=CD=AD=6cm,

・••西边形的周长为AB+BC+CD+AD=24cm,

故答案为：24.

1

15.22024

解：・・・AABC是边长为1的等边三角形,

AB=BC=AC=\,

二・£是8C边中点，ED//AB,

：.DE是AABC的中位线,

ADE=-AI3=~,AD=-AC=-,

2222

•；EF//AC,

二・西边形EDA尸是菱形,

3=4xg,

同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的，

SPC2=4x-x-=4x—,Q=4x-x-x-=4x-,.........,C„=4x-,

,,GO26=4X22026=2X^2Q26=^20：4•

1

故答案为:324•

16.273

解：连接AC,APt如图:

由题意可得：

，AB=BC=2,ZD=ZABC=a)°tAB\\CDt

「.△ABC是等边三角形，

过点C作CG_LA8于点G,过点P作9于点”,

则CG=P”，

,?SAliP=-ABPH,SARC=-ABCG,

♦q_q

••U^ABP一JA/SC，

・.・CG_LA8,

BG=AG=^AB=\f

••CG=-\JBC2—BG2=-f=£>

EF||BP,EF=BP,

，四边形AE/7是平行四边形，

§平行四边形BEFP=2SJ”,

•S菱形ABC。=2SjBC,

•J&BEFP=S受jfjABc。=ABxCG-2>/3.

故答案为：2&.

17.25。或85。

解：当尸，C,,〃三点共线时，分两种情况:

①当〃在线段PC上时，

如图，连接8。,

•・•丁也沿即翻折至ABPG,

/.dBPCgABPC\,

4BCP=/BC,P,

设/PBC=NPBC=x,

二•四边形ABC。为菱形，且NAZ）C=110。,

AD\\BC9CD=CB,

/./3C£>=180°-/ADC=70°,

180°-ZBCD1800-70°

4CDB=/CBD==55°

22

/DCP=NBCP=ZBC（尸=g/BCD=Jx70。=35°,

•；/CBG=Z.PBC+ZPBCj=x+x=2x,

：.ZDBC.=ZCBD-ZCBC1=55°-2x,

/.0BDP=/BC、P-/DBG=35°-（55°-2x）=2x-20°,

rP在菱形A8C£>的对角线AC上，

PD=PB,

4PBD=ZBDP=2x-20°,

又：ZCBD=ZPBD+ZPBC=2x-209+x=3x-2（T,

而/CM）=55。，

3A-20°=55°,

/.x=25°；

②当〃在GP延长线上时，

如图，连接P。，BD,

G

同上，设/〃4C=N〃《G=x,

•?ZCBD=55°,

，4PBD=/PBC-NCBD=x-55°,

又二。在菱形48CD的对角线AC上，

PD=PB,

：.4PBD=/BDP=x-55。，

：./BPD=180°-ZPBD-/BDP=180°-(x-55o)-(x-55°)=290°-2x,

又,//BPD=/BC\P+NPg=NBCP+/PBC=35。+x,

29O°-2x=350+x,

Ax=85°,

・••当NP8C=25。或85。时，P、G、〃三点共线，

故答案为：25。或85。.

18.逑1或3

7

解：(1)•・•四边形ABC。是平行四边形，AC-LBD,

.,oABCD是菱形，

.•.Q4=OC,0B=0D,AB=AD.

•；AB=n,AC=4f

CD=AB=>/7,OA=OC=—AC=2.

在RtaAOA中，08=43-0尺=0，

BD=2OB=2^.

\-AEDCD交C。的延长线于点E,

/.ZA£D=90°,

:.CDAE=QACBD,

:.与AE=gx4x2有,

“一再

..AE=-------•

7

(2)YBM=2,OB=6NBOC=90。,

：.OM=y/BM2-OB2=1.

当点M在线段Q4上时，AM=OA-OM=2-\=\；

当点M在线段OC上时，AM=OA+OM=2+\=3.

故A用的长为1或3.

三、解答题

19.(1)证明：•・•四边形A8c。是菱形,

AZB=Z£>,AB=ADt

VAE1BC,AFLCD,

：.ZAEB=Z4FD=90°,

比"OF(AAS)；

(2)解：在R-ABR中,

BE=dAB'-AE，=3,

•：SBE'ADF,

：.DF=BE=3,

•・•菱形的边长为5,即35,

CF=CD-DF=2.

20.(1)解：如图所示为所求:

（2）解：如图，连接尸C,设A。的垂直平分线交4。于点E,

,?ZJABCD+,AR=ADt

・•・nABCD是菱形，

AD=CD=BC,ZADB=/CDB,

*.*PD=PD,

：.△Z^4D^APC£>(SAS),

PC=PAf

'：PA=PD,

：.PC=PD,

\・Z4BC=60°,

/.ZA£>C=60°,ZBCD=180°-ZABC=120°,ZCBD=ZA5D=30°,

公DB=NCDB=3。。,

：.4PCD=/CDB=3(H,

：.4BCP=/BCD-ZPCD=90。，

BCLPC,

：.乙BCP=90。,

•Z/庄£)=90。，

PE=^PD,

PE.PC,

s-BCPC

•〉#BC_2_______2

••q~1'

士ADPE

2

Z.△P8C与△PAD的面积比为2:1.

21.(1)证明：如图1,连接A4,设交4c于点石,

由折叠的性质得：/W=AQ,AQ=A。,

vZByAC=90°,ZC=30°,

/.ZS4BC=90°-30°=60°,

.•.△ABA是等边三角形，

/.AB=AA,,Z,BAAy=60°,

ZC/XA,=ZBAC-=90°-60°=30°,

-AiDLAC,

.•./A%=90°,

.♦.ZA4,O=90。—30°=60°,

△AA。是等边三角形，

/.AD=AA,t

AB=A]B=AD=A。，

..四边形八阳。是菱形；

(2)解：如图2,

图2

由(1)可知，四边形八姐。是菱形,

..AiD=AB=2t

•.•NB4C=90。，ZACB=30°,

/.6c=2AB=4,

AC=JBC?-AB2="2—22=26

•.AO_LAC,

•••四边形AOCA的面积=Sw£+Swr=gAC-AE+gAC-OE=；AC-AO=gx2Gx2=2G.

•・•西边形ABC。是菱形，

/.OC=^ACtACJ.BD,

：.ZCOD=90°,

■:DE=^AC,

：.DE=OC

•・•DE//AC,

・•・四边形ODEC是平行四边形.

•.•ZCO£>=90°,

，平行四边形ODKC是矩形；

(2)解：在菱形A8CO中，AB=BC=S,NA8C=60。，AO=^AC,

・・・AABC是等边三角形，

/.AC'=A4=8,

.I=—AC=4,

2

，在矩形OQEC中，CE=OD=dAD2-A(f=1*-42=46

,/矩形ODEC中ZOCE=90°,

•二在RLACE中，AE=JAC?+CE2=价+(4可=4币.

23.(1)证明：:AB