小学二年级数学下册《有余数的除法》第一课时：用小棒分一分发现余数的秘密（教案）

小学二年级数学下册《有余数的除法》第一课时：用小棒分一分，发现余数的秘密（教案）

  一、教材与学情深度分析

  （一）教材的纵横解构与核心定位

  本节课教学内容隶属于人教版小学数学二年级下册第六单元《有余数的除法》的起始部分。从整个小学阶段“数与运算”的主线来看，本课具有承前启后的枢纽作用。向前，它直接承接二年级上册《表内除法》中“平均分”与“用乘法口诀求商”的认知基础，是对除法意义从“恰好分完”到“分后有剩余”的现实拓展与概念深化。向后，它不仅是理解后续“余数与除数的关系”、“有余数除法的竖式计算”乃至四年级“除数是两位数的除法”中试商原理的基石，更是学生首次系统接触“非整除”这一重要的数学现象，为未来学习分数、小数、同余概念乃至循环周期模型埋下了认知的种子。教材以“用小棒摆图形”这一直观操作活动为载体，其深层意图在于引导学生在“做数学”的过程中，自然经历从“平均分”到“有剩余”的现实情境，从而自发地产生对一种“新”的除法运算形式的认知需求，实现从动作表征到符号表征的抽象飞跃。本节课的教学，绝非仅仅是引入一个新概念或一种新算式，而是引导学生构建一个完整的“平均分物”的认知模型，理解除法运算结果在现实情境中的多样性表达。

  （二）学情精准诊断与学习起点研判

  教学对象为小学二年级下学期的学生。经过一年半的数学学习，他们已具备以下认知储备：第一，牢固建立了“平均分”的概念，能熟练进行将物品进行每份分得同样多的操作与表述。第二，熟练掌握表内乘法和用乘法口诀求商的表内除法计算，能够解决“一个数里面有几个几”的等分除与包含除问题。第三，初步具备动手操作、合作交流的学习习惯，并能在教师引导下进行简单的数学发现与归纳。

  然而，学生的思维正处于由具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期，其学习也面临着以下挑战与迷思概念风险：第一，“除法等于分完”的思维定势。学生长期接触的都是能够恰好分完的除法情境，极易形成“除法运算的结果就是分得的份数或每份数，且没有剩余”的固有认知，这对“余数”概念的接纳构成心理障碍。第二，对“剩余”部分的归属与表述困惑。在操作中产生剩余物后，学生可能仅停留在“多了几个”的生活化描述，难以将其与除法运算建立有效关联，更不理解为何要将其写在算式里，以及如何规范地书写与读法。第三，容易混淆“余数”与“多出来的数”的数学本质。余数并非简单的“多余”，它是在特定除数（每份数或份数）下无法再进行一轮完整分配的量，其大小受到除数的严格制约，这一关系的发现需要精心设计的探究活动来引领。因此，教学必须从打破认知平衡开始，创设强烈的认知冲突，引导学生亲历“完整分—出现剩余—规范表达—发现规律”的全过程，在操作与思辨中完成意义建构。

  二、素养导向的教学目标设计

  基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对核心素养的强调，结合本课内容特点与学生实际，设定如下三维融合的教学目标：

  （一）知识与技能目标

  1.在平均分物的操作活动中，感受、发现并理解“分后有剩余”的现象，能联系生活实际或操作过程说出余数的具体含义。

  2.认识余数，掌握有余数除法的横式写法与读法，能正确列出有余数除法的算式表示操作或情境中的数量关系。

  3.初步感知余数与除数之间的内在关系。

  （二）过程与方法目标

  1.经历“动手操作—观察比较—归纳概括—符号抽象”的完整学习过程，发展动手实践能力与初步的抽象思维能力。

  2.在“摆一摆、分一分、说一说、写一写”的探究活动中，学会用数学语言有条理地表达操作过程和思考结果，提升数学交流能力。

  3.通过对比分析不同数据下的操作结果，初步学会从具体案例中发现数学规律的方法。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在探索“新”的除法形式的过程中，体验数学知识源于生活又服务于生活的价值，感受数学的严谨性与扩展性。

  2.通过小组合作探究，培养乐于探索、善于合作、勇于表达的学习品质。

  3.在发现“余数总比除数小”这一规律时，获得成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

  三、教学重难点剖析

  （一）教学重点

  理解余数的产生过程及其在除法算式中的意义，掌握有余数除法的横式写法与读法。

  （二）教学难点

  1.理解余数产生的必然性及其数学本质，将生活化的“剩下几个”上升为数学化的“余数”概念。

  2.初步理解“余数一定要比除数小”的道理，并能在操作中直观感知这一规律。

  （三）突破策略

  针对难点，采用“操作感知—冲突设疑—表征固化—变式验证”的策略。通过大量、结构化的小棒操作活动，让学生在“分不完”的切身感受中体会余数产生的必然；通过追问“剩下的为什么不分了？”引发深度思考，理解余数是“不够再分一份”的量；通过规范算式的反复对照书写，固化认知；通过变换小棒总数与图形边数的系统性探究，自主发现余数与除数的关系。

  四、教学准备

  （一）教具准备

  1.多媒体课件：包含主题情境动画、操作活动指引、对比归纳图表、分层练习题组等。

  2.磁性小棒与贴板（用于教师示范与展示）。

  3.规范的除法算式卡片（如：10÷3=3（组）……1（根））。

  （二）学具准备

  1.每位学生准备一捆（约20根）小棒和数个用于分组存放小棒的学具盒或盘子。

  2.学习任务单（一）（用于记录操作过程与结果）。

  3.学习任务单（二）（用于规律探究与巩固练习）。

  （三）环境准备

  教室桌椅按4-6人合作学习小组布局，便于开展操作与讨论。

  五、教学过程实施详案

  （一）情境激趣，设疑引新——唤醒旧知，制造冲突（预计用时：8分钟）

    1.活动导入，复习铺垫。

    师：（课件出示小朋友们用同样长的小棒摆独立三角形的欢乐场景）同学们，瞧，这些小朋友正在用手中的小棒玩造型游戏呢！我们也来玩一玩，好吗？请大家快速拿出6根小棒，像这样（教师示范）摆独立的三角形，看谁摆得又快又好。

    （学生动手操作，迅速用6根小棒摆出2个独立的三角形。）

    师：你摆了几个三角形？用掉了多少根小棒？谁能用一个除法算式来表示你刚才摆的过程和结果？

    生：我摆了2个三角形，用了6根小棒。算式是：6÷3=2（个）。表示把6根小棒，每3根摆一个三角形，可以摆2个三角形。

    师：说得非常完整！“每3根一份”，这个“3”就是摆一个三角形需要的根数。像这样，把小棒正好分完，没有剩余，是我们以前学过的除法。

    2.制造认知冲突，引出课题。

    师：现在，老师增加一点难度。请大家拿出7根小棒，还是要求每3根摆一个独立的三角形。动手摆一摆，看看这次会怎样？

    （学生操作，很快发现7根小棒摆出2个三角形后，还多出1根。）

    师：大家遇到了什么情况？

    生：7根小棒，每3根摆一个三角形，摆了2个，但是还多出1根小棒。

    师：这“多出的1根”，在数学上我们还能用以前学过的除法算式来表示吗？像6÷3=2这样写，行不行？

    生：不行，因为6÷3=2表示正好分完，可我们现在多了1根。

    师：是的，在生活中，在数学中，像这样“平均分”之后还有剩余的情况太常见了。这“多出来的部分”在数学中有一个专门的名称，该怎样用一个新的除法算式来表示它呢？这就是今天我们要一起探究的“新发现”。（板书课题：用小棒分一分，发现余数的秘密）

  设计意图：从熟悉的、可整除的操作活动入手，快速激活学生关于“平均分”和“表内除法”的已有认知，为新课建立稳定的“锚点”。紧接着，通过仅增加1根小棒（从6到7），瞬间打破认知平衡，制造“分不完”的冲突情境，使学生强烈感受到原有除法算式的局限性，从而自然生发出对一种“新”的、能够表示“有剩余”的除法表达方式的内心需求。这种“愤悱”状态是驱动深度探究的最佳起点。

  （二）操作探究，建构概念——经历过程，意义建构（预计用时：22分钟）

    环节一：初步感知，认识余数及有余数除法算式。

      1.规范表达，认识余数。

      师：这“多出的1根”在数学上我们叫它“余数”。（板书：余数）跟老师读：余数。它表示平均分后剩下的、不够再分一份的数量。谁能结合刚才摆的过程，再来说一说：“7根小棒，每3根摆一个三角形，摆了2个，余下1根。”

      （请2-3名学生模仿说，强调表述的完整性。）

      2.学习有余数除法的写法与读法。

      师：这样一个有操作过程、有结果（摆了2个）、还有余数（余1根）的事情，我们能不能也用一个算式清楚地记录下来呢？数学家们是这样规定的：（教师边讲解边在黑板中央规范板书）

      先写被分的总数：7。

      再写除号，表示平均分。

      接着写每份的数（也就是摆一个三角形需要的根数）：3。

      等于几呢？我们摆了几个完整的三角形？对，是2个。所以先写2。

      重点来了，余下的1根怎么写？我们在商的后面点上六个小圆点（……），这叫省略号，表示“还有剩余”，然后写上余数1。

      为了让大家看清楚余数1表示的是什么，我们通常在它后面加上一个括号，在里面写上单位名称（根）。

      完整板书：7÷3=2（个）……1（根）

      师：这个算式读作：7除以3等于2个余1根。请大家一起读两遍。

      （学生齐读。教师强调“余”字的读音和含义。）

      3.算式与操作过程的对照理解。

      师：谁能指着这个算式，把每一部分和刚才我们摆小棒的过程对应起来说一说？

      生：“7”表示一共有7根小棒，“÷3”表示每3根分一份（摆一个三角形），“2”表示摆了2个完整的三角形，“余1根”表示还剩下1根小棒不够再摆一个三角形了。

      师：解释得非常清晰！这个算式就叫作“有余数的除法”算式。

    环节二：变式操作，丰富感知，强化概念。

      1.小组合作探究活动。

      师：如果是8根、9根、10根、11根、12根小棒，还是每3根摆一个独立的三角形，结果又会怎样？请小组合作，一人负责摆一种数量，其他同学观察并协助记录在学习任务单（一）上。完成后，小组内互相说说摆的结果和可以列出的算式。

      （学习任务单（一）设计示例：）

      总根数摆的结果（摆了几个？余几根？）除法算式

      8根（）个，余（）根8÷3=……

      9根（）个，余（）根9÷3=……

      10根（）个，余（）根10÷3=……

      11根（）个，余（）根11÷3=……

      12根（）个，余（）根12÷3=……

      （学生分组操作、记录、交流，教师巡视指导，重点关注算式的规范书写，特别是余数的写法。）

      2.汇报交流，互动质疑。

      选取2-3个小组的代表，借助实物投影展示任务单并汇报。重点汇报9根、10根、12根的情况。

      生1：我们组用9根小棒摆，摆了3个三角形，没有剩余。算式是9÷3=3（个）。

      师：9根正好分完，这是我们学过的除法。但今天我们主要研究有剩余的情况。

      生2：我们组用10根小棒摆，摆了3个三角形，还剩下1根。算式是10÷3=3（个）……1（根）。

      师：同样是余1根，和7根小棒时余的1根，意思一样吗？

      生：不一样。7根时是摆了2个余1根，10根时是摆了3个余1根。剩下的1根都是不够再摆一个三角形的。

      师：说得好！余数都是1根，但它们是在不同总数、分了不同份数后剩下的，含义是相同的，都是“不够再分一份”。

      生3：我们组用12根小棒摆，摆了4个三角形，没有剩余。算式是12÷3=4（个）。

      3.初步观察，引发思考。

      师：（将学生汇报的结果有选择地板书：7÷3=2……1，8÷3=2……2，10÷3=3……1，11÷3=3……2）请大家横着观察这些有余数的算式，再看看我们操作的结果，你有什么发现吗？余数可能是哪些数？

      （学生观察思考后可能会说：余数有时候是1，有时候是2。）

      师：那余数有可能是3吗？如果用13根小棒，每3根摆一个，结果会怎样？不摆，想一想。

      生：13根，可以摆4个三角形，用掉12根，还剩1根。余数是1。

      师：余数有可能是4吗？

      生：不可能！如果剩下4根，那4根里面又够一个3根了，就可以再摆一个三角形了，剩下的应该是1根。

      师：你的推理太棒了！也就是说，当我们每3根分一份时，余数只会是1或者2，永远比3小。是不是这样呢？让我们用更多的例子来验证一下。

  设计意图：此环节是概念建构的核心。首先，教师通过规范板书和讲解，将操作过程与数学符号精准对接，使学生明确有余数除法算式的“形”与“式”。随后，通过系统的变式操作（从8根到12根），让学生积累丰富的感性经验。在汇报交流中，教师通过关键性提问（如“余下的1根意思一样吗？”），引导学生辨析余数的本质含义，避免将余数简单等同于“多出来的数”。最后，通过对一组算式的初步观察和基于算理的推理（13根的情况），引导学生逼近“余数比除数小”的规律，为下一环节的深入探究做好铺垫。整个环节遵循“具体—抽象—再具体—再抽象”的认知路径。

  （三）深入探究，发现规律——聚焦关系，深化理解（预计用时：12分钟）

    1.变换除数，合作探究。

    师：刚才我们一直是用小棒摆三角形，也就是每份固定是3根。如果我们改变摆的图形，比如摆正方形（每份需要4根小棒），或者摆五边形（每份需要5根小棒），余数的情况又会有什么规律呢？请各小组选择一种图形（正方形或五边形），用不同数量的小棒去摆（总数从比每份数多1开始，到十几），将结果记录在学习任务单（二）上，并思考你们的发现。

    （学习任务单（二）设计示例：）

    我们选择摆：（图形，每份需___根）

    用小棒根数摆的结果（几份？余几根？）除法算式我们的发现

    5根（）个，余（）根÷

=

……

    6根（）个，余（）根÷

=……

    7根（）个，余（）根÷

=……

    8根（）个，余（）根÷

=……

    9根（）个，余（）根÷

=……

    10根（）个，余（）根÷

=……

    （可根据时间增减数据）

    （学生分组进行第二轮探究。教师巡视，参与讨论，引导学生关注“余数有哪些可能”、“余数和每份的根数（除数）比，谁大谁小”。）

    2.汇报分享，归纳规律。

    请研究正方形（除数是4）和五边形（除数是5）的小组分别汇报他们的数据。

    （教师将关键数据板书在黑板上，形成对比阵列，例如：）

    每3根一份：7÷3=2……1，8÷3=2……2，10÷3=3……1，11÷3=3……2

    每4根一份：5÷4=1……1，6÷4=1……2，7÷4=1……3，9÷4=2……1，10÷4=2……2

    每5根一份：6÷5=1……1，7÷5=1……2，8÷5=1……3，9÷5=1……4，11÷5=2……1

    师：请大家竖着观察这三列算式，比一比每列算式中的余数和除数，你有什么重大发现？

    （给学生充分的观察和小组讨论时间。）

    生1：我发现余数都比除数小。摆三角形时，除数是3，余数只可能是1或2；摆正方形时，除数是4，余数只可能是1、2或3；摆五边形时，除数是5，余数只可能是1、2、3或4。

    生2：余数总是比除数小，而且最大的余数就是比除数小1。

    师：为什么余数一定要比除数小呢？谁能结合我们摆小棒的过程来解释一下？

    生：因为如果余数等于或者大于除数，就说明剩下的那些小棒还够再摆一个图形，那就应该继续分下去，直到剩下的不够摆一个为止。所以最后剩下的（余数）肯定比摆一个需要的（除数）少。

    师：精彩的解释！这正是有余数除法中一个非常重要的规律：余数一定要比除数小。（板书核心结论：余数<除数）这个发现太了不起了！它可以帮助我们检查除法算得对不对。

  设计意图：规律的教学不能依靠教师告知，必须让学生经历“猜想—验证—归纳—说理”的完整过程。本环节通过变换除数（摆不同图形），引导学生进行第二轮更有目的性、更系统的探究，将操作活动从“感知现象”推向“发现规律”。通过将不同除数的结果并列呈现，形成强烈的对比效应，使学生更容易聚焦于余数与除数的大小关系。最后，要求学生用操作的原理解释规律，实现了从感性认识到理性理解、从现象描述到本质揭示的跨越，真正落实了数学思维能力的培养。

  （四）分层练习，巩固应用——联系实际，发展思维（预计用时：12分钟）

    练习设计遵循“基础巩固—综合应用—拓展延伸”的梯度，兼顾趣味性与思维性。

    层次一：基础巩固，明算理。（课件出示）

    1.圈一圈，填一填。（教材例题改编）

      （1）有11根小棒，每3根摆一个三角形，可以摆（）个，还剩（）根。

        11÷3=（个）……（根）

      （2）有14颗草莓，每4颗装一盘，可以装（）盘，还剩（）颗。

        14÷4=（盘）……（颗）

      （要求学生先独立完成，再指名说思路，强调先圈画（操作表象），再填空列式。）

    2.小法官判对错。（辨析概念）

      （1）在算式15÷4=3……3中，余数是4。（）

      （2）在有余数的除法里，余数可以比除数大。（）

      （3）有17个苹果，每5个装一袋，可以装3袋，还剩2个。（）

      （重点辨析（1）（2），巩固“余数比除数小”的核心概念。）

    层次二：综合应用，会联系。（联系生活）

    3.解决问题：“六一”儿童节，二（1）班准备了23个气球，每5个扎成一束，可以扎成几束？还剩几个？

      （学生独立列式解答：23÷5=4（束）……3（个）。汇报时说说算式中每个数的含义，并口头作答。）

    4.开放题：有25颗糖果，要平均分给一些小朋友。请你想一想，如果每个小朋友分得的颗数相同，可能会剩下几颗？为什么？

      （此题极具开放性，旨在引导学生逆向应用“余数比除数小”的规律。学生需要思考：除数（小朋友人数）不确定，但余数必须小于除数。可能的答案有：如果每人分2颗，除数可能是12，余1；如果每人分3颗，除数可能是8，余1；如果每人分4颗，除数可能是6，余1……也可能余2、3等，但余数必须小于每人分得的颗数（除数）。鼓励学生有序思考，说出理由。）

    层次三：拓展延伸，激兴趣。（渗透周期思想）

    5.找规律，猜颜色：有一串按“红、黄、蓝”顺序重复排列的彩旗。

      问题：第10面彩旗是什么颜色？第16面呢？（不要求学生列复杂算式，可引导用画图或“数数分组”的方法。如：每3面一组，10÷3=3（组）……1（面），余1说明是下一组的第1面，红色。渗透用有余数除法解决简单周期问题的思想。）

    （练习过程中，教师巡视，个别指导。集体讲评时，注重思路的交流和错误资源的分析。）

  设计意图：练习是知识内化、技能形成和能力发展的重要途径。基础题确保全体学生掌握有余数除法算式的含义和规范；判断题旨在澄清概念迷思；解决问题题将数学模型回归生活情境，培养应用意识；开放题和找规律题则旨在发展思维的灵活性与深刻性，为学有余力的学生提供挑战，并渗透重要的数学思想（有序思考、周期规律），体现了分层教学的理念。

  （五）全课总结，反思升华——梳理脉络，展望后续（预计用时：6分钟）

    1.自主回顾，分享收获。

    师：今天我们这节数学课，围绕“分小棒”进行了深入的探索。闭上眼睛回想一下，你最大的收获是什么？你学到了哪些新知识？有什么有趣的发现？

    （引导学生从知识、方法、感受等多角度进行发言。）

    生1：我知道了平均分东西有时会有剩余，剩余的部分叫余数。

    生2：我学会了有余数除法的写法和读法。

    生3：我发现了一个秘密：在有余数的除法里，余数一定要比除数小。

    生4：我觉得动手摆一摆，能帮助我们理解问题。

    2.教师梳理，构建体系。

    师：（结合板书）同学们总结得非常好。我们今天从摆小棒中发现了“分不完”的情况，认识了新朋友——余数，学会了用“有余数的除法”算式（如：7÷3=2……1）来表示它。更重要的是，通过大量的操作和比较，我们发现了有余数除法中一个非常关键的规律：余数一定要比除数小。这个规律就像除法王国里的一条重要法则。

    3.联系生活，拓展展望。

    师：其实，有余数除法的知识在生活中应用非常广泛。比如：计算乘坐缆车需要多少辆（几人一辆，最后可能余几人），安排房间（几人一间，最后可能余几人），还有我们刚才猜彩旗颜色的游戏等等。下节课，我们将继续研究，如何用竖式来计算有余数的除法，让它变得更方便。

    课后，请大家当个小小观察员，找一找生活中还有哪些“有余数”的现象，可以和爸爸妈妈说一说。

  设计意图：引导学生自主回顾与梳理，将零散的知识点串联成线，构建起关于“有余数除法初步认识”的认知网络。教师的总结提升，点明本课的核心知识与核心规律，强化重点。联系生活与展望后续，既体现了数学的应用价值，又激发了学生持续学习的兴趣，使教学形成一个完整的闭环。

  六、板书设计

  板书设计力求体现知识的发生发展过程，突出重点，揭示联系，成为引导学生思维的“导航图”。

  用小棒分一分，发现余数的秘密