定理（同步练习）-2025-2026学年苏科版七年级数学下册

12.4定理

第1课时三角形内角和定理及其推论

要点感知

理解定理的概念，会用逻辑推理的方法证明三角形内角和定理及其推论.

、基础过关建议用时：15分钟

1在△ABC中，NA=NB-NC,则△48。为（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可

能

2（2025盐城亭湖模拟）如图，在△ABC中，AE平分N8AC,若/B=70。,

NC=30。，则NB4E的度数是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

（第2题）（第3题）（第5题）

3（2025长沙）如图，已知A8〃CO,直线EE与直线4?,。。分别交于点石，

R直线£G与直线8交于点G若/1=70。，/2=50。,则NGE/的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

4在△ABC中，/A+N8=150。，NC=2/A,则NA=

5（2025南京玄武期末）如图，在△A3C中，NA=28。，NACB=100。，点

。在边AB上，将△A8C沿。。折叠，使点8落在边AC上的点夕处，则N4）夕

的度数为.

6如图，在△ABC中，NACB=90。，CDLAB,垂足为D求证：ZACD=

ZB.

B

I）

7（2025南通期末）如图，已知A8〃ER4A=/DEF.

（1）求证：AC//DE；

（2）利用此图形，试证明“一个三角形的内角和为180。”，即求证：/A+

ZB+ZC=180°.

建议用时:25+5分钟

8如图，将分别含有30。，45。角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两

直角重叠形成的角为55。，则图中Na的大小为（）

A.130°B.125°C.120°D.115°

（第8题）（第9题）（第10题）

9如图，在△A5C中，乙4=5（）。,。是延长线上的一点，ZABC^WZACD

的平分线交于点£则NE的大小为.

1（）如图是一个零件的形状，按规定当NA=9（）。，ZB=21°,NC=32。时，

才符合加工要求，若检验人员测量/BDC=148°,则可以判定这个零件

.（填“合格”或“不合格”）

11（2025泰州姜堰期末）在△ABC中，NA=NABC=36。，E,产分别为直

线AC和直线CB上的点，直线EF交边AB于点D,NEFC=（x+2y）。，ZFEC

=（2x+y）。，则x+y=.

12（2025苏州高新期末）如图，在△ABC中，ZA=ZABC,直线石厂分别

交边A3,AC和CZ?的延长线于点。，E,F,求证：ZFIZFEC=2ZA.

B

13（2025常州漂阳期末）在△ABC中，AE是角平分线，。是A3上的点，

AE,CO相交于点F.

（1）如图1,若44cB=NCDB=90。，求证：ZCFE=ZCEF；

（2）如图2,若NACB=NCO8=，〃（0°V，〃V180。），求NCE/一/。/£的值（用

含m的代数式表示）.

第2课时多边形内角与外角和定理

要点感知

理解并会运用多边形内角与外角和定理.

、基础过关建议用时•：15分钟

1（2025云南）一个六边形的内角和等于（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

2（2025扬州高邮期末）如图，在四边形A8C。中，ZA+ZC=180°,ZADE

是四边形ABCD的一个外介J.若NB=75。，则NAOE的度数为（）

A.125°B.105°C.90°D.75°

（第2题）（第6题）

3（2（）25遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的

边数为（）

A.1（）B.11C.12D.13

4若一个〃边形的内角和是900。，则〃=.

5（2025扬州）若一个多边形的每个内角都是140。，则这个多边形的边数为

6（2025长沙）如图，在五边形4BCDE中，ZB=120°,ZC=110°,4D=

105°,则/4+/E=.

7多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是

8已知正x边形的内角和为1080。，边长为2.

（1）求正x边形的周长；

（2）若正〃边形的每个外角比正x边形的每个内角小63。，求〃的值.

9如图，六边形48CQE/的内角都相等，ZDAB=60°.

(1)求NAOC的度数；

(2)探索AQ与£产有怎样的位置关系，并说明理由.

、能力提优建议用时：25+5分钟

10如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形A8CQGR则

下列说法中正确的是()

A.外角和减少180°B.外角和增加180°

C.内角和减少180。D.内角和增加180。

11如图是正〃边形纸片的一部分，其中/,，〃是正〃边形两条边的一部分,

若/,〃2所在的直线相交形成的锐角为60。，则〃的值是()

A.5B.6C.8D.10

12如图，小亮从点A出发前进10m,向右转18。,再前进10m,又向右

转18。,…，这样一直走下去，则当他第一次回到出发点A时,一共走了m.

13(2()25南京模拟)如图，已知直线/与正六边形A3CDE/的边A8,EF令

别相交于点M，N,则。+”的大小为.

14(1)一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新

多边形的内角和为2160。，求原多边形的边数；

(2)小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的

结果为2024。，求该多边形的边数及少算的内角的度数.

、思维拓展

15(2025泰州兴化月考)如图，已知四边形ABC。的内角N8CQ的平分线

与外角ZABE的平分线相交于点F.

(1)若/ABC=80。，求N8CQ的武数；

(2)在四边形48co中，NA=110。，NQ=120。，求//的度数；

(3)猜想NF,N4NQ之间的数量关系，并说明理由.

第3课时反证法

要点感知

理解反证法的定义，了解反证法的步骤，会举反例说明一个命题是假命题.

、基础过关建议用时：15分钟

1（2025无锡锡山期中）用反证法证明“若|。|<5,则/V25”时，应假设

（）

A.|325B.\a\>5C.«2^25D.cr>25

2（2025常州期末）若要说明命题“如果同=|。|,那么。=/'是假命题，则

可以举反例为（）

A.a=0,b=0B.a=1,/?=-1C.a=2,b=2D.a=2,b=—\

3如图，AB//CD,CD//EF,EF//GH,则下列结论中错误的是（）

X.AB//EFB.AB//GHC.GH//CDD.AG//BH

4（2025南京秦淮期末）用反证法证明“在AA8C中，如果/AV/从那么

BCVAC”时，第一步应假设.

5我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于

60。”.下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等

于180°”这个定理矛盾；②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于

60。；③假设三角形没有一个内角小于或等于60。，即三个内角都大于60。；④则

三角形的三个内角的和大于180。.这四个步骤正确的顺序是________.（填序号）

6（教材P163练习T2变式）举反例说明下列命题是假命题：

（1）如果4b<0,那么。+Z?vO;（2）任何一个角的补角都不小于这个角；

（3）任何有理数都有倒数；（4）若心人则ac>历.

7用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角.

已知：NA,/B,NC是△ABC的三个内角.

求证：ZA,NB,NC中不能有两个角是钝角.

%能力提优建议用时：20+5分钟

8（2025苏州太仓期末）如图，已知AB〃C£>,则Na,/夕和之间的关

系为（）

A.a+4一>=180。B.a~\~y=P

C.a+/?+｝，=360。D.a+夕-2y=180。

（第8题）（第10题）

9用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设:

10（2025扬州广陵期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力,

某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中

BC_LA8,DE〃AB,经使用发现，当NEOC=126。时，台灯光线最佳，则此时NDC8

的度数为.

11（2025南京鼓喽月考）已知，〃是正整数，且小是偶数，求证:"?是偶数.（用

反证法证明）

12用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同

位角相等.

、思维拓展

13如图，已知点E,尸分别在直线A3,CD上，若AB〃C。，过点E,F

任意作一个NEGF,使/EG尸=90。（直角顶点G在直线A8与之间，且在E/

的右侧），在EG上取一点Q,当满足2/3国7+/。/。=180。时，请判断NDFG

与NQFG的大小关系，并说明理由.

cD

微专题8三角形角度计算中的几何模型

类型一：8字模型

I(2025宿迁宿城期末)(1)如图1所示的图形我们将它称为“8字形”，求

证：N4+N8=NC+N。；

(2)如图2,已知AP,CP分别平分N84O和N8CO,当NO和N8为任意

角，其他条件不变时，试写出NP与NO,N3之间的数量关系；

(3)如图3,若设NC=x,NB=y,NCAP=；NCA8,/CDP=，CDB,

则NP与NC,N8之间的数量关系为(用x,y的代数式表示)；

(4)如图4,已知直线BP平分N4BC,OP平分N4OC的外角NAOE,猜想

NP与NA,NC的关系，直接写出结论.

类型二：飞镖模型

2如图，已知/8。/=120。，则/4+/8+/。+/。+/七+//=

(第2题)(第3题)

3在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图所示的一个零件，若/A=

52°,NB=25。,ZC=30°,ZD=35°,ZE=72°,则NR=.

类型三：A字模型

4将一个三角形纸片A8c沿OE折叠，使点A落在点4处.(点4在△ABC

的内部)

(1)如图1,若N4=45。，则Nl+N2=；

(2)利用图1,探索Nl,N2与/月之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,将△4BC折叠后，BV平分NABC,CA平分NAC8,若N1+N2

=108°,利用(2)中得出的结论求N84。的度数.

图1图2

类型四：双内角平分线模型

5(1)如图1,已知NFOC与NEC。分别为△AOC的两个外角，试探究NA

与/尸QC+NEC。的数量关系；

(2)如图2,在△AOC中，DP,CP分别平分N4OC和NACO,试探究NP

与N4的数量关系；

(3)如图3,在四边形A5c。中，DP,CP分别平分NAOC和N3CO,试利

用上述结论探究NP与NA+ZB的数量关系.

DD

图1图2图3

类型五：双外角平分线模型

6如图，在△A3C中，NA8C与N4C5的平分线交于点P,外角NM5C,

/NCB的平分线交于点Q,延长线段8P,QC交于点E.

(1)若N4=64。，则NBPC的度数为；

(2)探索NQ与NA的数量关系；

(3)若在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，则锐角A的度数

为.

类型六：内外角平分线模型

7如图，在△A8C中，ZB=90°,分别作其内角NAC8与外角ND4C的平

分线，且两条角平分线所在的直线交于点E.

(1)/E=；

(2)分别作NE4B与NEC8的平分线，且两条角平分线交于点F.

①根据题意在图中补全图形；

②求NAEC的度数.

BCB

备用图

12.4定理

第1课时三角形内角和定理及其推论

1.C2.D3.B4.15°5.24°

6.证明：因为/4。8=/4。£>+/。。8=90。(已知)，

所以/ACO=90。一/。圆(等式性质).

因为CQ_L48(已知)，

所以/90。(垂直的定义).

因为/8=180。一/。。3三角形内角和定理)，

所以/4=90。-NQC8(等晟代换)，

所以ZACD=N8(等量代换).

7.证明：(I)因为人8〃七/，所以NA=NC〃£

因为NA=NDEF,所以NC/E=NDE尸，

所以AC〃。区

(2)因为A8〃E尸，AC//DE,所以N8=NCERZBED=ZC.

因为NOE尸+NCE产+NBED=180。，Z4=ZDEF,所以NA+N4+NC=180°,

即一个三角形的内角和为180°.

8.A9.25°10.不合格11.24或36

12.证明：因为NFEC=NA+NADE,

所以/尸+/FEC=/尸+NA+NADE.

因为NF+NBD/n/ABC,ZADE=ZBDF,

所以NF+ZFEC=/人+

因为NA=ZABC,所以N〃+NFEC=ZA+ZABC=2ZA.

13.(1)证明：因为/ACB=NC£>B=90。，

所以N4=90°—NQC8,ZACD=9()0-ZDCB,所以N3=NACD

因为AF平分NCA8,所以NC/E=N4CQ+3NC48,NCEF=NB+；NCAB,

所以NCFE=NCEF.

(2)解：因为NCE尸=N8+NE4B,ZCFE=ZACD+ACAE,

所以NCEF-NCFE=NB—ZACD.

因为N3=1800一机一NQC8,ZACD=m-ZDCB,

所以/CEF-ZCFE=(180°-/«-ZDCB)一(m-NDCB)=180°-2m.

第2课时多边形内角与外角和定理

1.C2.D3.A4.75.96.20507.12

8.解：(1)根据题意,得180X(4—2)=1080,

解得x=8.

所以正A-边形的周长为8X2=16.

(2)由⑴,得正x边形每个内角的度数为1080。的=数为,

所以正〃边形的每个外角的度数为135。-63。=72。.

因为360。:72。=5,

所以〃的值为5.

9.解：(1)由题意，-N3=NC=180,62)=]20。

因为ND4B=60。，

所以N4DC=360°-人8—NB—ZC=60°.

(2)40〃EE理由如下：

同⑴,得NF=N84尸=120。,

所以N四。=NBAF—N8AO=60°,

所以N/+N用。=180。，

所以

1().DII.B12.20013.120°

14.解：(1)设新的多边形的边数为儿

由题意，得1800X5-2)=2160。,

解得/?=14.

因为切去一角有如图所示的三种切法,所以切完后新多边形的边数比原多边形多一条边

或相等或少一条边，

所以原多边形的边数为13或14或15.

(2)设该多边形的边数为机

因为2024+180=112

所以〃?一2=12,

解得m=14,

所以少算的内角的度数为180uX12-2024°=136°.

故该多边形的边数为14,少算的内角的度数为136。.

15.解：(1)因为N4BC=80。,

所以N/1BE=180°—80。=100°.

因为8/平分NABE,所以/=50。.

因为B/〃CO,所以"=50°.

(2)因为。尸平分/8CO,8/平分NABE,

所以/8CP=NDC尸=5/8C。，NEBF=NABF.

因为/A+NO+N4BC+NBCO=360。，ZA=110\ZD=I20°,

所以/A4C+N4。。=360。-110。-120。=130。，

所以180°-ZABE+2ZBCF=130°.

因为N/WE=2NE8P,NEBF=NF+N/3CF,

所以180°-2(ZF+ZBCF)+2ZBCF=130°,

所以2NF—50。，解得N产一25。.

(3)//*乙4+NO—180。).理由如下：

因为/A+NO+NABC+/8CO=360。，NABC=180。一NABE,NABE=2NEBF,

ZBCD=2ZBCF,/EBF=ZF+/BCF,

所以NA+NO+18(r—NABE+2NBCT=360°,

所以NA+N。-2N£8F+2/BC〃=180。，

所以+BCF)+2ZBCF=180°,

即2NF=ZA+ZD-180°,

所以所F=1(NA+ND-180°).

第3课时反证法

l.C2.B3.D4.BC^AC5.③④①②

6.解：⑴当°=-1,》=2时，满足时<0,但a+〃=l>0.

(2)当a=120。时,a的补角0=60。，/?<«,即补角小于这个角.

(3)0是有理数，0没有倒数.

(4)当a>b,c=0时，ac=bc.

7.证明：假设NA,ZB,NC中有两个角是钝角，不妨设NA>90。，ZB>90°,

则NA+N8>180。，

则NA+N8+NO180。，

这与三角形内角和等于180。相矛盾，

所以假设不成立，

所以NA,/B,NC中不能有两个角是钝角.

8.A9.三个内角都不是锐角10.144。

11.证明：假设〃，不是偶数，则加为奇数.

设m=2n+\(n为整数),

则〃户=Q〃+1)2=4〃2+4〃+1=4(/+〃)+1.

因为4(/+〃)为偶数，

所以4(以+〃)+1为奇数,与混为偶数矛盾,

所以假设不成立，所以机为偶数.

12.解：已知：AB//CD,直线E/分别交A8,CO于点G,H.

求证：NBGF=NDHF.

证明：假设NBG/

过点G作直线PQ,使得NPG尸=/。〃人

则PQ〃。0（同位角相等，两直线平行）.

由题意，得AB//CD,且也过点G,

这与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾,

所以假设错误，即NBG产

所以两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

13.解：NO〃G=NQPG.理由如下：

过点G作HG//AB.

因为A3〃CQ,所以AB〃CO〃GH,

所以NBEG=NEGH,NHGF=/GFD.

因为N£G〃+N”G尸=90°,

所以N8EG+NGFD=90。.

因为2NBEG+ZD/«2=180°,

所以NGFO=3NDFQ.

因为/。厂。=ZCFG+/GFD,

所以N。尸G=NQFG.

fB

〃一修7

微专题8三角形角度计算中的几何模型

1.解：(1)因为NA+N8+NAO8=180。，NC+NZ)+NCOZ)=180。，NA08=NC0Q,

所以NA+N8=NC+ND

(2)设N8AP=N%Z)=x,NBCP=NPCD=y,

]x+N8=y+NP,

则

[x+NP=y+N。，

所以/8-/2=/尸一/。，

所以2NP=NA+ND.

(3)/P=w(3x+)，)

(4)ZP=900-1ZC-^ZA

提示：如图，延长AB交尸。于点J.

设ZPBJ=x,ZADP=NPDE=y,

则NA+2x=NC+180°-2y,

所以xIy=90°I|(ZCNA).

因为NP+x+ZA+)，=180°,

所以ZP=90°-1zC-|z>4.

2.2d0°3.70°

4.解：(1)90。

(2)N1+N2=2NA.理由如下：

因为N8OE,NCED是△4£)£的两个外角，

所以N4QE=N4+/4EO,NCEQ=/4+NAO£

所以NBDE+ZCED=NA+NAEO+NA+NADE

所以/1+ZA'DE+N2+ZA,ED=2ZA