北京市第171中学教育集团2025-2026学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市第171中学教育集团高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.在平行四边形ABCD中，+=（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则m=（）A.9 B.4 C.-4 D.-93.在复平面内，复数（2-i）（1+3i）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在△ABC中，，b=1，，则B=（）A. B. C. D.5.函数f(x)=2xx是()A.奇函数,且最小值为0 B.奇函数,且最大值为2

C.偶函数,且最小值为0 D.偶函数,且最大值为26.已知正方形ABCD的边长为1，E为线段AB的中点，F为CD边上的动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.如图所示，某圆柱的轴截面为正方形、其内切球的体积为，则该圆柱的表面积为（）A.18π

B.24π

C.30π

D.36π8.已知α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线.下列四个命题：

①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

②若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n⊥β

③若α∥β，m∥α，m∥n,则n∥β

④若α∩β=m,m∥n,则n∥α或n∥β

其中所有真命题的序号是（）A.①② B.③④ C.①③ D.①④9.已知非零向量，满足2=2•，则“||=2”是“|-|=2”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC，AB⊥AC，点M在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（）A.点M可以在点A处

B.点M在底面ABC上的轨迹为线段

C.点M的轨迹是直角三角形

D.直线A1C与点M的轨迹所在平面相交

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.若复数z满足（1+i）•z=i3，则|z|=

．12.已知角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于A，B两点，点A坐标为，则tanα=

；若点B在第一象限，且|AB|=，则cosβ=

.13.若向量与满足||=||=||，则与夹角的大小为

.14.已知非零向量=x（+），=+y，其中，是一组不共线的向量.能使得与的方向相反的一组实数x,y的值为x=

，y=

.15.已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是

；表面积的最小值是

.16.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.

①函数f（x）的最小正周期为

；

②将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若函数g（x）为奇函数，则t的最小值是

.

三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（Ⅰ）求证：VB∥平面MOC；

（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；

（Ⅲ）求三棱锥A-MOC的体积．18.(本小题14分)

在△ABC中，2asinB=b.

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若b=2，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：cosC=-；

条件②：a=2；

条件③：sinB=．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.(本小题14分)

某景区有一人工湖，湖面有A，B两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m,如图所示.现要测量A，B两点之间的距离，工作人员分别在C，D两点进行测量，在C点测得∠ACD=45°，∠BCD=30°；在D点测得∠ADB=135°，∠BDC=120°.（A，B，C，D在同一平面内）

（Ⅰ）求A，B两点之间的距离；

（Ⅱ）判断直线CD与直线AB是否垂直，并说明理由.20.(本小题14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB.

（1）求证：AE⊥PC；

（2）求证：直线AE不可能与平面PCD平行；

（3）空间中是否存在球O，使得四棱锥P-ABCD的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由.21.(本小题14分)

设n为正整数，集合An={α|α=（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合An中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…，yn），记α*β=x1yn+x2yn-1+…+xny1.设Bn是An的子集，且满足：对于Bn中的任意两个不同的元素α，β，都有α*β=0，则称集合Bn具有性质P（n）.

（Ⅰ）当n=4时，若α=（1，1，0，0），β=（0，0，1，1），求α*α，α*β的值；

（Ⅱ）已知正整数n≥2，集合Cn+2为An+2的子集.求证：“集合Cn+2具有性质P（n+2）”的充要条件为“对Cn+2中任意两个不同的元素α=（p1，r1，r2，…，rn，q1），β=（p2，s1，s2，…，sn，q2）都有（r1，r2，…，rn）*（s1，s2，…，sn）=0，且（p1，q1）*（p2，q2）=0”；

（Ⅲ）给定不小于2的偶数n,设Bn具有性质P（n），求集合Bn中元素个数的最大值.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】-11

15.【答案】16π

16.【答案】

17.【答案】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB；

（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，

∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，

∵O，M分别为AB，VA的中点．

∴．

又∵OC⊥平面VAB，

∴三棱锥．

18.【答案】解：（Ⅰ）因为2asinB=b,

则由正弦定理可得，，

又sinB≠0，则，

又A为△ABC的内角，

所以或；

（Ⅱ）若选择①：

因为cosC=-，所以，

所以，

又b=2，2asinB=b,

所以，

所以；

若选择②：

因为b=2，2asinB=b,a=2，

所以，则，

所以，则△ABC为等腰直角三角形，

所以；

若选择③：因为b=2，2asinB=b,sinB=，

所以，

由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，

当时，，即c2-4c-12=0，解得c=6；

当时，，即c2+4c-12=0，解得c=2；

此时△ABC不唯一，不合题意．

19.【答案】解：（Ⅰ）连接AB，因为∠ADB=135°，∠BDC=120°，所以∠ADC=105°．

因为∠ACD=45°，所以∠CAD=30°．

在△ACD中，，所以．

因为∠BCD=30°，所以∠DBC=30°，所以BD=CD．

在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos135°=5CD2．

因为CD=50，所以，

即A，B两点之间的距离为．

（Ⅱ）CD与AB不垂直，理由如下：

延长CD交AB于点E．

在△ABD中，．

所以．

因为0°＜∠ABD＜90°，所以∠ABD＜30°．

所以∠BEC=180°-∠CBE-∠BCD＞90°．

所以直线CD与直线AB不垂直．

20.【答案】证明见解析；

证明见解析；

存在，球心O的位置位于PC的中点．

21.【答案】解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0，0），β=（0，0，1，1），

由定义可知：α*α=1×0+1×0+0×1+0×1=0，α*β=1×1+1×1+0×0+0×0=2．

（Ⅱ）证明：①若集合Cn+2具有性质P（n+2），

任取Cn+2中不同元素α，β，令a=（p1，r1，r2，⋯，rn，q1），β=（p2，s1，s2，⋯，sn，q2），

有α*β=p1•q2+r1•sn+r2•sn-1+⋯+rn•s1+q1•p2

=（r1，r2，…，rn）*（s1，S2，…，sn）+（p1，q1）*（p2，q2）=0．

由α*β的定义可知，对任意正整数n,都有α*β≥0，

所以有（r1，r2，…，*（s1，s2，…，sn）=0，（p1，q1）*（p2，q2）=0．

②若对Cn+2中任意两个不同的元素a=（p1，r1，r2，⋯，rn，q1），β=（p2，s1，s2，⋯，sn，q2），

都有（r1，r2，…，rn）*（s1，s2，…，sn）=0，（p1，q1）*（p2，q2）=0，

那么α*β=p1•q2+r1•sn+r2•sn-1+⋯+rn•s1+q1•p2

=（r1，r2，…，rn）*（s1，s2，…，sn）+（p1，q1）*（p2，q2）=0．

综上，结论成立．

（Ⅲ）设具有性质P（n）的集合Bn的元素个数最大值为an，

下证：a2=2，an+2=2an（n≥2），其中n为偶数．

当n=2时，则A2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，

由于（0，1）*（1，0）=1，（0，1）*（1，1）=1，（1，0）*（1，1）=1，

则（0，1），（1，0），（1，1）中至多有一个属于B2，

当B2={（0，0），（0，1）}时，B2元素个数取到最大值为2．即a2=2．

一方面，若集合B2，Bn分别具有性质P（2），P（n），

令集合Cn+2={a|a=（p,t1，t2，⋯，tn，q），其中（t1，t2，⋯，tn）∈Bn，（p,q）∈B2}，

对Cn+2中任意两个不同的元素α=（p1，r1，r2，…，rn，q1），

β=（p2，s1，s2，…，sn，q2），

都有α*β=0，

由于a2=2，因此an+2≥2an，

另一方面，设具有性质P（n+2）的集合Bn+2元素个数