二次函数-【探究与实践】-2022-2025年中考数学试题（解析版）

二次函数——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编

一、函数图象与性质探究

1.探究函数尸=一2田2+4|可的图象和性质,探究过程如下:

（1）自变量X的取值范围是全体实数，工与y的几组对应值列表如下:

531135

X・・・-2-1012•••

~2"2-2222

533335

・・・0m020•••

y2222

其中，根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请

画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质;

（2）点尸是函数y=-2|XE+4阳图象上的一动点，点4（2,0）,点B（—2,0）,当S△必〃=3时，请直接

写出所有满足条件的点尸的坐标；

（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线、=一2/+轨交工轴于。，A两点（点。在点A的左边），

点P是点Q（L0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线，分别交线段OP,4P（不含端点）于M,N两点.

当直线，与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)2：

当％=-1时，y=-2x(一+4X|-1|=2,

,m=2,

函数图象如图所示:

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由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当％<-1或OKxVl时，y随汇的增大而增大；当-lWx<

0或x>1时，y随x的增大而减小；

(2)当xV0时，y=-2x2—4x,

当%>0时，y=-2x2+4x,

•・T(2,0),B(-2,0),

AB=4,

SAAB=3，

2'x4|y「|=3'

yp=±2，

当=,时，若％V°，则一2/—轨=|，

1

角得X

2*

若'NO,则-2/+4%=3，

解得：X=，或

•••尸(-',|)或(一^,手或眩，,)或&,|);

当、?二一|时，若％<0,则一2%2-4%=-|,

解得:型——,或一1+冬

若％N0,则一2/+4%=-机

解得:％=1_号或1+冬

・・・“-1+当一务或(-1—%-务或(1一多_务或(1+1,-1);

综上所述，所有满足条件的点尸的坐标为(一|,今或(一^，》或电务或8，/或(T+掾，一当或(一1-

第2页

冬-》或a—亨，一务或(i+£-芬

(3)PM与PN的和是定值；

,•・抛物线y=-2x2+4x交x轴于0,4两点,

••.0(0,0),A(2,0),

vy=-2x2+4x=-2(x-l)2+2,

••・抛物线y=-2x2+轨的顶点为(1,2),

•・・点P是点Q(l,0)关于抛物线顶点(1,2)的对称点，故点P的坐标为(1,4),

由点P、。的坐标得，直线OP的表达式为y=4%①，

同理可得，直线4P的表达式为y=-4x+8②，

设直线/的表达式为y=tx+九，

联立y=tx+九和y=-2x2+4%并整理得：2/+(£-4)x+n=0,

•••直线1与抛物线只有一个公共点，

故/=(£-4)2-8n=0,解得几=g(t-4)2>

故直线/的表达式为y=

联立①③并解得=-g«-4),

同理可得，xN=-i(t-12),

•.•射线PO、P4关于直线PQ：x=1对称，则4PQ=乙OPQ,设乙4PQ=乙OPQ=a,

0011

则sEKPQ=sinWPQ=而=〔？2=市=sma

[XX[

PM+PN=-MiN-=\[V7{X—%M)=VT7为定值.

sinasinaN

第3页

【解析】【分析】（1）把x=-l代入函数表达式中求得m的值，利用描点法画出y=-2|x|Mx|（x<0）部分的

图象，依据图象写出一条性质;

（2）当xV。时，y=-2x2-4x,当xK）时，y=-2x2+4x,根据SAFAB=3,可求得点F的纵坐标，代入解析式解方

程即可;

（3）利用待定系数法可得直线OP的表达式与直线AP的表达式，由直线I与抛物线只有一个公共点，可得

直线，的表达式，将三条直线的函数表达式联立方程组可求得:XM,XN,再利用解直角三角形求解.

2.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的

直尺和坚直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表

所示，设BD的读数为x.CD读数为y抛物线的顶点为C.

图2图3

(1)①列表:

①②③④⑤⑥

023456

X

012.2546.259

y

②描点：请将表格中的（x,y）描在图2中；

③连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式;

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=Q（x-/i）2+k的顶点为C,该数学兴趣小组

用水平和坚直直尺测量其水平跨度为AB,坚直跨度为CD,且AB=mfCD=n,为了求出该抛物线的

开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程:

方案一：将二次函数y=a（x-/i）2+k平移，使得顶点C与原点。重合，此时抛物线解析式为

y—ax2.

①此时点B'的坐标为

第4页

②将点B坐标代入y=a(x-h)24-/c中解得a=；(用含m,n的式子表示)

方案二：设C点坐标为(h,k)

①此时点B的坐标为：

②将点B坐标代入y=a(x-h)2+k中解得Q=；(用含m,n的式子表示)

(3)【应用】如图4,已知平面直角坐标系xOy中有A,B两点，=4,且AB||x轴，二次函数

22

CV.yx=2(X+/I)+/C和C2:y2=a(x+/i)+b都经过A,B两点，且的和C2的顶点P,Q距线段AB

的距离之和为10,若4BIIx轴且AB=4,求a的值.

AB

Ox

图4

【答案】(1)解：②如图所示:

③由表格和图像知抛物线的顶点为原点(0,0),对称轴为y轴设抛物线的解析式为丫=2乂2,

将点(2,1)代入得l=4a,得a=,故抛物线的解析式为y=#；

⑵僵冲熬G+初+珠目

(3)解：由题知6、C2的对称轴为%=-h,

令x=-h-2,则为=2(-/i-2+仔+k=8+k.

h-2,8+k),8(—九+2,8+k),G顶点坐标为P(—h,k),

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所以Cl顶点距AB的距离为|(8+k)-k|=8,

所以C2顶点距AB的距离为10-8=2.

故C2的顶点坐标为Q(-九,10+妇或Q(-h,6+k)

2

①若C2顶点坐标为Q(-h,10+A),则y2=a(x+/i)+10+/c)

把A(-h-2,8+k)代入得：4Q+10+k=8+K解得Q二

②若C2顶点坐标为Q(一九,6+/<),则丫2=Q。+九/+6+左，

把A(-h-2,8+k)代入得：4a+6+k=8+%解得Q=不

综上所述，Q的值为；或-*

【解析】【解答］解：(2)

方案一：①题意知点B的横坐标为AB长度的一半，即夕，纵坐标为n,故B的坐标为管,n)；故第一

空：(y,n).

②将顶点坐标(夕,71)代入y=Q%2.得片a(g)2,得a=厚,故第二空：察.

方案二：

@y=Q(X-h)2+k可视作函数y=Q/平移得到，故顶点平移至(九+y,/c+n).

②将.坐标代入y=a(x-/i)2+1得a=^的值；第4空：言.

【分析】(1)依次描点后依次用平滑的曲线连接起来即可；

(2)方案一：①由题意知点B，的横坐标为AB长度的一半，即紧纵坐标为n,故B，的坐标为偿,几)；

乙二乙/

②将坐标代入y=。无2.即可得a的表达式；

②方案二：①y=a(x—h)2+k可视作函数y=a/平移得到，故顶点平移至(九+勺,k+*②将坐标代

入y=a(x-h)2+k得a的值；

(3)先求出曲线G和C2的顶点坐标，由Ci顶点到AB的距离为8,得C2顶点到AB的距离为2,可得C2的顶

点坐标有两个分别是(2(-九,10+/0或。(-/1,6+4)，对此分类讨论，分别将顶点坐标代入C2解析式中，即

可求出a的值.

3.课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=+2QX+Q-3的最值问题展开探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

(1)老师给出a=-4,求二次函数y=%24-2ax+a-3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

第6页

【举一反三】老师给出更多Q的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结

果，并整理成下表:

-4-2024

a…・・・

20-2-4

X…*•••

y的最小值•・・*-9-3-5-15・・・

注：*为②的计算结果.

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现甲同学：”我发现,

老师给了Q值后，我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.

乙同学：“我发现，y的最小值随Q值的变化而变化，当Q由小变大时，y的最小值先增大后减

小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)请结合函数解析式y=/+2戏+。一3,解释甲同学的说法是否合理？

(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

【答案】(1)解：①当Q=-4时，y=x2-8x-7

②y=x2-8%-7=(x-4)2-23

•••二次项系数为1>0,开口向上

.•.当X=4时，v有最小值为-23

(2)解：(解题方法不唯一)

y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a24-a-3

•••二次项系数为l>0,开口向上

•••当A:=-a时函数有最小值

・••甲说法合理

(3)解：乙同学的猜想正确。

当x二一Q时，y有最小值，此时

(1\211

y=(-a)24-2a-(-a)4-a-3=—a2+a-3=-

•••二次项系数为一1V0，开口向下

•・・当a时，y取到最大值一?

【解析】【分析】(1)①把a=-4代入y=X2+2山,+。一3,即可得到二次函数解析式：

②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.

(2)对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论;

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(3)把*=也代入、=/+2。X+。一3得到最小值丫的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的

结论.

4.【定义与性质】

如图，记二次函数y=a(x-b)2+c和y=-a(x-p)2+q(aA0)的图象分别为抛物线C和g.

定义：若抛物线G的顶点Q(p,q)在抛物线C上，则称Ci是C的伴随抛物线.

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；

②若的是C的伴随抛物线，则C也是Ci的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在Ci上.

【理解与运用】

(1)若二次函数y=-1(x-2)2+m和y=-1(x-九尸+2的图象都是抛物线y=2产的伴随抛物线，则

m=,n=.

【思考与探究】

(2)设函数y=x2-2kx+4k+5的图象为抛物线金.

①若函数丫=一/+4工+。的图象为抛物线。0,且Cz始终是Co的伴随抛物线，求d,e的值；

②若抛物线金与X轴有两个不同的交点(%1，0)，(第2，。)(%1<%2)，请直接写出的取值范围.

【答案】解：(1)2;±1;

(2)①y=x2-2kx+4k+5=，-2kx+/c2-/c24-4/c4-5=(x-/c)2-/c24-4/c4-5,

・•・顶点坐标为：(k,—/+4k+5),

・・•函数y=-x2+dx+e的图象为抛物线Co,且C2始终是Co的伴随抛物线，

••—k2+4k+5=—k2+dk+e,

整理得：4k+5=dk+e,

/.d=4,e=5；

@2<x1<5或<—1

【解析】【解答】解：⑴二次函数丫=一劣(工一2)2+血和丫=一卜%—九)2+抛图象都是抛物线、=/2的

伴随抛物线，

・,•点在y=；/的图象上

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代入得：m=x22=2»x?i2>

解得：m=2,n=±1»

故答案为：2；±1：

（2）②・・・。2与x轴有两个不同的交点（打,0）,（孙0）,

由①得：函数y=-/+4%+5的图象为抛物线。（），且Q始终是1）的伴随抛物线，

・•・顶点坐标（幻一/+4々+5）在y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9图象上滑动，顶点为（2,9）,

当一产+4%+5=0时，

解得：x=-1或x=5,

抛物线与x轴交（一1,0）（5,0）两个点，

当顶点在（-1,0）下方时，抛物线有两个交点，X,<-1,

•・•若Q是。0的伴随抛物线，则。0也是。2的伴随抛物线，即C的顶点P（b,c）在C2上.

・・・（2,9）在。2上，

当顶点在（5,0）下方时,2<%!<5；

综上可得：2</V5或勺<-1.

【分析】（1）由伴随抛物线的定义可得点（2,6）,（%另都在y=图象上，从而分别代入求解即可；

（2）①利用配方法确定出抛物线C2的顶点坐标为（A,-/+4k+5）,然后代入抛物线Co的解析式得出4k+

5=dk+e,即可求解；

②抛物线C2的顶点坐标为（女,一1+4左+5）在〉=一/+4工+5图象上滑动，抛物线Co的顶点坐标为（2,

9）,令抛物线C。中的y=0算出对应的自变量的值，可得其与x轴两交点的坐标为（-1,0）与（5,0）；然后

分当顶点在（-1,0）下方时，抛物线有两个交点，当顶点在（5,0）下方时，两种情况分析即可得出结果.

5.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a>0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图

象上任意一点P到定点F（0,i）的距离PF,始终等于它到定直线1：y=一电的距离PN1该结论不需要

证明）.他们称：定点F为图象的焦点，定直线I为图象的准线，y=-*叫做抛物线的准线方程.准线1与y

轴的交点为H.其中原点。为FH的中点，FH=2OFj.例如，抛物线y=2x2,其焦点坐标为F（0,1）,准

Zuo

第9页

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=%2的焦点坐标和准线1的方

程：，;

（2）【技能训练】如图2,已知抛物线丫3d上一点p（xo,yo）（X0>0）到焦点F的距离是它到x轴距离

的3倍，求点P的坐标；

（3）【能力提升】如图3,已知抛物线丫=|好的焦点为F,准线方程为1.直线m：y弓X-3交y轴于点

C,抛物线上动点P到x轴的距离为到直线m的距离为ch,请直接写出di+d2的最小值；

（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax?（a>0）平移至y=a（x-h尸+k（a>0）.

抛物线y=a（x-h）2+k（a>0）内有一定点F（h,k+急）,直线I过点M（h,k一白）且与x轴平行.当

动点P在该抛物线上运动时，点P到直线I的距离PPi始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）.例

如：抛物线y=2（x-l）2+3上的动点P到点F（1,券）的距离等于点P到直线1：y嗜的距离.

请阅读.上面的材料，探究下题：

如图4,点D（・l,是第二象限内一定点，点P是抛物线产!好”上一动点.当PO+PD取最小值

时，请求出APOD的面积.

【答案】（1）（0,I）；y=-l

（2）解：二•抛物线丫=k2的焦点F（0,1）,准线方程1：y=-l

P点到焦点F的距离等于它到准线y=-l的距离

APF=y0+l=3y0

解得■或（舍）

・・・P（V2.1）

（3）3-V5.

（4）解：过点D作直线y=-2的垂绣，垂足为E

•・？0工2一1的焦点是（（）,0）,准线方程是y=-2

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P点到焦点的距高等于它到准线的距离

.\PO=PE

・••当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值

3

-

此时P点坐标是（-1,4

1339

XX✓(+-

一X--

2248

【解析】【解答】解：（1）y=x2的焦点坐标为（0,1）,准线方程为尸1.

故答案为：（0,1）,y=-l.

（3）过点P作PEJ_直线m交于点E,过点P作PG_L准线1交于点G,由（1）的结论可得PG二PF=di+1,

PE=d2,故di+d2=PE+PF-l,当点P、E、F共线时,取得最小值，

•・•直线PE与直线m垂直，故可设直线PE的解析式为y=-1x+b,

将F（0,1）代入可得b=l,

・•・直线PE的解析式为y=-1x+l.

•・•点P是直线PE和抛物线的交点，

；・联立y=-1x+l与y=ix2,

解得x=V5-l，

：.P（国，3、店）,

・・.d产三匹-1=1二、5

22

VE是直线PE和直线m的交点，

*,•联y二一±x+1与y=;x-3,

得x=4,

AE(4,-1),

d2=,、2—5-西

1)7—,

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Adi+d：的最小值为3-V5.

【分析】3)直接根据焦点坐标、准线方程的概念进行解答；

(2)由题意可得PF=yo+l=3yo,求出yo的值，代入抛物线解析式中求出xo的值，据此可得点P的坐标；

(3)过点P作PEJ_直线m交于点E,过点P作PG_L准线1交于点G,由(1)的结论可得PG=PF=di+1,

PE=d2,故di+d2=PE+PF-l,当点P、E、F共线时，取得最小值，易得直线PE的解析式为y=->+l,联立

抛物线解析式求出X、y,得到点P的坐标，进而可得5,联立PE与直线m的解析式求出x、y,得到点E

的坐标，利用两点间距离公式可得(h,据此求解；

(4)过点D作直线y=-2的垂线，垂足为E,易得丫二上勺的焦点是(0,0),准线方程是y=-2,由题意可得

PO=PE,故当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值，此时P点坐标是(-1,-1),然后根据三角形的面积

公式进行计算.

6.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丫=@乂2(a>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图

象上任意一点M到定点F(0,i)的距离MF,始终等于它到定直线1：y=•白上的距离MN(该结论不

需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的有线，y=■焉叫做抛物线的准线方程.其中原

点。为FH的中点，FH=2OF=例如，抛物线y=#,其焦点坐标为F(0,1),准线方程为1：y=-i.

请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线I的方程：

(2)【技能训练】

如图2所示，已知抛物线y=^x2上一点P到准线1的距离为6,求点P的坐标；

O

(3)【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线1于点A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值；

(4)【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分

为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：空=强二匹=.

第12页

后人把与1这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线y=/x2的焦点F(0,1),准线1与y轴交于点H((),-1),E为线段HF的黄金分

割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当黑=及时，请直接写出^HME的面积值.

【答案】(1)(0,i)；y=-1,

(2)解：由题意得抛物线y=/2的准线方程为、=一上=一2,

•・•点P到准线1的距离为6,

・••点P的纵坐标为4,

当y=4时，i%2=41

解得x=±4或，

・••点P的坐标为(4&,4)或(一4直，4)

(3)解：如图所示，过点B作BD_Ly轴于D,过点A作AE_Ly轴于E,

由题意得点F的坐标为F(0,焉)直线1的解析式为：y=-卷

・・・80||AE||CH,FH=去,

・•・△FDB^AFHC,

.BD_FD_FB

••丽一丽一定‘

VBC=2BF,

・・・CF=3BF,

.BD_FD_FB_1

••丽一丽一定一4,

,。。=OF-OF=&

・••点B的纵坐标为占，

.1

♦♦痂二。—2

第13页

解得X=g（负值舍去），

6a

，BD二旦

6a

'：AEIIBD,

.*.△AEF^ABDF,

•AEBDpz

,,评F=V3'

：-AE=MEF,

,：AE2+EF2=4产，

：.4EF2=AF2=16,

AEF=2,

：-AE=2V3,

・••点A的坐标为（-20，2+电），

；・2+尚=12a,

A48a2-8a-1=0,

.\（12G+l）（4a-1）=0,

解得Q=,（负值舍去）

（4）解：SNME=2V5-2或1"时£=3-V5

【解析】【解答］解：（1）由题意得抛物线y=2x2的焦点坐标和准线1的方程分别为（0,1）,y=_

故答案为：（0,与），y=—g»

（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNJJ于N,

贝I」MN=MF,

・・・在RIAMNH中,sin乙MHN=潴=黑=孝,

.\ZMHN=45°,

•••△MNH是等腰直角三角形，

；・NH=MN,

第14页

设点M的坐标为(m,4血2),

q

：,MN=^m2+1=-m=HN，

4

.*.m=-2,

AHN=2,

・・•点E是靠近点F的黄金分割点，

：・HE=^^~HF=遍-1,

・•・5△.=/HE・N”=V5_I；

同理当E时靠近H的黄金分割点点，EF=与尸=V5-b

:,HE=2-6+1=3-遮，

••・SAHME=*HE.N〃=3—遍，

综上所述，=22或SAHME=3-芯

【分析】(1)根据y=2x2可得a=2,则焦点坐标为(0,±),准线1的方程为y二卷据此解答；

(2)由题意得抛物线y=#的准线方程为y=£=-2,结合点P到准线1的距离为6可得点P的纵坐标为

4,令y=4,求出x的值，据此可得点P的坐标；

⑶过点B作BD_Ly轴于D,过点A作AE_Ly轴于E,由题意得F(0,白，直线1的解析式为：y=-

春易证根据相似三角形的性质可得CF=3BF,FD吟,OD=^a,令y£a，求出x,据

此可得BD,证明△AEFs^BDF,根据相似三角形的性质可得AE=gEF,结合勾股定理求出EF,进而可得

AE,然后表示出点A的坐标，据此求出a的值；

(4)当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNJJ于N,则MN二MF,求出sinNMHN的值，可

得NMHN=45。，推出△MNH是等腰直角三角形，设M(m,加?)，根据MN=HN可得m的值，根据黄金分

割点的特征求出HE,利用三角形的面积公式求出SAHME,同理可求出当E时靠近H的黄金分割点时4HME

的面积.

7.【定义与性质】

如图，记二次函数)，=。G-b)2+c和产”(x-/7)1q(启0)的图象分别为抛物线。刃G.

定义：若抛物线Ci的顶点。(〃，夕)在抛物线C上，则称G是C的伴随抛物线.

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；

②若G是。的伴随抛物线，则。也是G的伴随抛物线，即C的顶点P",c)在Ci上.

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（1）【理解与运用】

若二次函数），=—（x-2）2+wfnv=_i（n）2+］的图象都是抛物线尸亲的伴随抛物线,则闭

=，n=.

（2）【思考与探究】

设函数），=/-2h+465的图象为抛物线C2.

①若函数），=・F+"r+e的图象为抛物线G）,且G始终是G）的伴随抛物线，求乩“的值：

②若抛物线C2与X轴有两个不同的交点（,，0）,（X2,0）（AI<X2）,请直接写出》的取值范围.

【答案】（1）2；±1

（2）①由题意，•.，y=x2-2kx+4k-5=（x-k）2-k2+4k+5,

・•・抛物线C2的顶点为（k,-k2+4k+5）,

又C2始终是C。的伴随抛物线，

；・可令k=0,顶点为（0,5）；k=l,顶点为（1,8）,

.（e=5

•T-l+d+e=5，

/.d=4,e=5；

②・・<2与X轴有两个不同的交点（XI,0）,（X2,0）,

由①得：函数y=-x?+4x+5的图象为抛物线G）,且C2始终是Co的伴随抛物线，

・•・顶点坐标（k,-k2+4k+5）在y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9图象上滑动，顶点为（2,9）,

当-x2+4x+5=0时，解得：x=-9x=5,

抛物线与x轴交于（-1,0）（5,0）两个点，

当顶点在（-1,0）下方时，抛物线有两个交点，xi<-1；

•・,若Ci是C的伴随抛物线，则C也是。的伴随抛物线，即C的顶点P（b,c）在。上，

・•・（2,9）在C2上,

当顶点在（5,0）下方时，2<xi<5；

综上可得：2VxiV5或xiV-1.

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【解析】【解答】解：（1）二次函数丫=一2。一2）2+771和'=一2（%-几）2+2的图象都是抛物线〉=4/的

乙乙乙乙

伴随抛物线，

・••点（2,根）,（几勺）在y=之/的伴随抛物线上，

乙乙

代入得：mx22=2»x?i2»

解得：m=2,n=±1>

故答案为：2；±1；

【分析】（1）先根据题意得到点（2,加）,（nJ）在y=2一的伴随抛物线上，进而代入函数解析式即可求出m和

（2）①根据题意得到顶点坐标为+软+5）,进而代入二次函数接下即可得到4k+5=dk+e,从

而即可求解；

②根据题意得到顶点坐标（幻-42+轨+5）在丫=-/+轨+5图像上滑动，进而分类讨论：当顶点在（-

1,0）下方时，当顶点在（5,0）下方时，从而即可求解.

8.在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这

两个函数关于点P互为“对称函数请同学们解决以下问题：

y，y/y/

r-n6-r-i6-a■■iir-n6~11111

111111111111111111111

”：5-11__|L!»»■»«»■■»>

•s_

r•r-n4~■■■11r-n4iaiai

；・：3・■■■■■!■-朴■■■•■

!—«2-11111l2・11111

”小・•・■■

it||iI1>11IIIII11111

-1-\O12345(5x—2—1°123456x-2-\°123456x

备用图1备用1也i渊图3

（1）求函数y=x-l关于点（0.0）的“对称函数”.小乐同学给出了如下的解题步骤：

第一步：在函数y=x-1的图象上取两点（1,0）和（0,-1）；

第二步：分别求出这两个点关于点（0,0）的对称点和；

第三步：函数y=x-1关于点（0,0）的“对称函数”为.

（2）是否存在点P,使得函数y=4+l关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐

X

标；如果不存在，请说明理由；

（3）函数Ci：y=ax2-2ax+2a（a>0）关于点（2,2）的“对称函数''为Cz,函数Ci与函数C2所围成的

区域（包括边界）记作W,横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”.

⑴若a=（求W内的“整点”个数；

（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围.

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【答案】（1）（・I,0）；（0,1）；y=x+l

（2）辉：存在点P（0,1）满足题意，理由如下:

・・,函数y=4+l图象可看成是反比例函数y=1的图象的向上平移1个单位后得至IJ,

XX

且反比例函数y=工的图象是关于原点（0,0）成中心对称的，

x

・•・函数y=4+l的图象关于点（0,1）成中心对称，满足题意.

X

故P点坐标为（0,1）

（3）解：（i）函数Ci：y=ax?-2ax+2a的顶点坐标为（1,a）,

则（1,a）关于点（2,2）成中心对称的点为（3,4-a）,

故函数C2可设为：y=-a（x-3）?+4-a=-ax2+6ax+4-10a,

当a=；时,函数Ci：y=ix2-x+l,函数C2：y=-1x2+3x-l.

J乙乙

画出两函数图象如图所示：

图1

则W区域内整点为（1,I）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,3）,共计5个整点.

（ii）联立Ci和Cz表达式,即ax2-2ax+2a=-ax2+6ax+4-10a,

整理得2ax2-8ax+12a-4=0,

令△=（）,此时两抛物线只有一个交点，整理可得-32a2+32a=0,

解得a=l或0（0舍去，不合题意），

故a=l,

•・・G和C2要围成区域W,

.\0<a<l.

•・・。和C2关于点（2,2）成中心对称，

则点（2,2）必为W区域内一个“整点”.

当有9个“整点”时，须以点（2,2）为中心，再向外找出4对关于（2,2）成中心对称的点的坐标，

由图2可知，“整点”只能是（1,1）和（3,3）、（2,1）和（2,3）、（0,1）和（4,3）、（1,2）和（3,

2),

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y

—16-----1--i—--1—1

I।III।III

图2

此时当函数C2过点（0,1）,即4・10a=l时，满足题意，

可得a=手

当有15个“整点”时，须以点（2,2）为中心，再向外找出7对美于（2,2）成中心对称的点的坐标，

由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2,2）成中心对称的点的坐标，即（0,2）和

（4,2）、（3,1）和（-1,1）、（1,3）和（5,3）,

y八

「-•»61--—I--•—I--I

IIII।IIII

234561

图3

此时当函数Ci过点（5,3）,

/.16a+a=3,

解得a=A,

综上可得a的取值范围为/<a<^

【解析】【解答】解：（1）•・•（1,0）关于原点的对称点为（・1，0）,

（0,-1）关于原点的对称点为（0,1）,

设过（-1,0）、（0,1）两点的函数表达式为y=kx+b,代入两点坐标，得:

=1

=1

.*.y=x+l,

故答案为：（-1,0）,（0,1）,y=x+l.

【分析】（1）由中心对称的性质可知（1,0）、（0,-1）关于原点对称的点为（-1,0）、（0,1）,进而用待定

系数法可求函数表达式：

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（2）将函数丫=4+1与学过的反比例函数y=」联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y=L的图象向上

XXX

平移1个单位后得到，而反比例函数y=1的图象是关于点（0,0）成中心对称的，故而函数y=4+l的图象

XX

是关于点（0,1）成中心对称的，即得到答案；

（3）⑴当a=l时，分别求出Ci和C2的解析式，再画出图形即可求解；

（ii）根据Ci和C2关于点（2,2）成中心对称，则点（2,2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须

以点（2,2）为中心，再向外找出4对关于（2,2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是

(1,1),(3,3),(2,1),(2,3),(0,1),(4,3),(1,2),(3,2),此时当函数C2过点(0,1),即4

-10a=l时，满足题意，可得a=余；同理，当有13个整点时，由图3可求得a=«,综合可知a的取值范

围是奈＜a＜泵。

二、图形与函数

9.综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，“=90。，D为4c上一点，CD=或，动点

P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿CtBt4匀速运动，到达点A时停止，以OP为边作

正方形DPEF设点P的运动时间为£s,S与t的关系

（I）初步感知：如图1,当点P由点C运动到点B时,

①当£=1时，S=.

②S关于【的函数解析式为.

（2）当点P由点B运动到点人时，，经探究发现S是关于I的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根

据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长.

（3）延伸探究：若存在3个时刻〃，打（t1＜以＜£3）对应的正方形。PE/7的面积均相等.

①h+以=；

②当£3=4G时，求正方形。PEF的面

积

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【答案】(1)3；S=t2+2

(2)解：由图2可知当点P运动到B点时，S=DP2=6,

t24-2=6>

解得32,

・••当t=2时，S=6,

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2),

・・・可设S关于t的函数解析式为S=Q(亡一4产+2,

把(2,6)代入S=a(t-4)2+2中得：6=以2—4)2+2,

解得Q=l，

AS关于t的函数解析式为S=(£-47+2=产_&+18(2<t<8),

在5="-8£+18中，当S=±2-8t+18=18时，解得t=8或t=0,

222

【解析】【解答】(1)解：①当t=l时,CP=1,.\S=PD=CP+CD=2+1=3;②CP=t,CD=短,

・•・S=PD2=CP2+CD2=l2+2；

故第I空答案为：3；第2空答案为：S=-2；

(3)①如图所示，过点D作DH_LAB于点H,AZAHD=ZC=90°,又NA=NA,；.△AHD^AACB,

，槊=笨=器，由(2)知，BC=2,AD=3五,AB=6,且CD=或，,部小等二竽,，AH=4,

DH=鱼，若存在3个时刻tLt2.t3(ti<t2t<3)对应的正方形DOEF的面积均相等,则DPI=DP2=DP3,在

△PiDC和RtZkHDP2中，VDPI=DP2,DC=DH,ARtAPiDC^RtAP2DH,，CP产HP?,又CPi=li,

HP2=BC+BH-t2=24-2-t2=4-t2./.11=4-t2»/.ti+t2=4；

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故第I空答案为：4；

【分析】（1）先求出当t=