考研数学（数学二）模拟试卷

考研数学（数学二）模拟试卷444

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

lim2--------Q〉0.

1、设f（x）在X=XO的某邻域内存在二阶导数，且"。则存在点（X0,

f（xo））的左、右邻域U-与U+使得（）

A、曲线y=f（x）在U-内是凹的，在U+内是凸的.

B、曲线y=f（x）在U—内是凸的，在U+内是凹的.

C、曲线y=f（x））在U—与U+内都是凹的.

D、曲线y=f（x）在U.与U+内都是凸的.

标准答案：B

知识点解析：由题设条件推知存在x=xo的去心邻域

u（­）•当eu（4）时.＞（）・

1一,小于是知，当

O

1€5（.小）且.Y上时，/♦曲线是凸的;

当了6【力（了,）且/时,/〃（.『）〉（）,曲线是凹的，故应选氏回

“y〃+2y，+y=e」，

2、设y(x)是初值问题'ly(0)=a，J(°)=6的解，则Jo-xy'(x)dx=()

A、—1—b+2a.

B、—1+b—2a.

C、—1—b~2a.

D^—1+b—2a.

标准答案：C

知识点解析：y"+2y'+y二e=的通解为y=(C|+Cix+Ax2)eF,其中Q,C2为任意

常数.A为某常数，而线性方程的通解为一切解.由此y'=[(C2—C0+(2A—C2)X

-AX21C-\可见，无论Ci，C2,A是什么常数，j()+8xy'(x)dx收敛.于是由分

部积分法和原给的式子y=ex-y"-2y，，可得Jo^xy'(x)dx=Jo+8xdy(x)=xy[x)|

0+cO—fo+c°y(x)dx=0—0—fo+x|ex—y"(x)—2y'(x)]dx=[ex+y'(x)+2y(x州晨”

=(0+0+0)-[I+y'(0)+2y(0)]=-l-b-2a.

，,存在曰二二二.’、*在二”(该邻域内xrxo处f'(X)存在，则

L*Q

的()

A、充分必要条件.

B、必要条件而非充分条件.

C、充分条件而非必要条件.

D、既非充分又非必要条件•.

标准答案：C

存在

**lini/(J-)==/AM

知识点解析：在所述前奏及条件L。下，由洛必达法则

礴/(力一/(*,)=厮[/(：)—/(*/

，•小.r-”>(彳—.n>)

=lim/'(/)=A,

L，所以

/(")域A,从而知“lim/(外购A”是"/'(4)纳A”

L*”的充分条件.但不是

.r#0,

必要条件，反例如下:/=°・本例满足本题所说的前提

/"(N)=2/sin——cos不存在.

,rJ*「

而

,.1

x~sin——A0[

/'(0)=lim----------=limrsin-=0

(其中X0=0),L。"L”①却是存在

存在ZtZr

°lim/(口丝上人"不是“广5)"A"I回

的.所以L%的必要条件.U

4、设f(x)在(0,+00)内可导，下述论断正确的是()

A、设存在X>0,在区间(X,+oo)内f'(x)有界，则f(x)在(X,+8)内亦必有界.

B、设存在X>0,在区间(X,+8)内f(x)有界，则f'(x)在(X,+8)内亦必有界.

C、设存在3>0,在(0,3)内f'(x)有界，则f'(x)在(0,6)内亦必有界.

D、设存在6>0,在(0,3)内f(x)有界，则f'(x)在(0,3)内亦必有界.

标准答案：C

知识点解析：对于区间(0,5)内任意的X,再另取一固定的XI，有f(x)一

f(xi)=f'©(X—Xi),f(x)=f(xi)+f'(9(x—Xi),|f(x)|<|f(xi)|+M|X—

xi|<|f(xi)|+M6,所以f(x)在(0,6)内必有界,其中M为|f'(x)|在(0,6)内的一人上

界.

5、设.平一面区域、D={(x,y)|(x—l)2+(y—12)2<2),g1|=D(x+y)do,h=Jnln(I+x+y)

do.则正确的是()」

A、87r>Ii>I2.

B、Ii>87i>I2.

C、II>I2>87C.

D、I2>8TI>I|.

标准答案：A

知识点解析：区域D如图所示,

百、—87r=jpda.

面积为"2)"式=2穴，从而可将&兀化成D由于当(x,y)6D时,

4>x+y>ln(l+x+y)>0,仅在(0,0)或(2,2)处等号成立，所以

1[4da>Jj(i+y)d(7>+/+、)匕

DDD四

6、设f(x)在[a,b]上存在二阶导数，f(a尸f(b)=O,并满足F(x)+[f'(x)『-

4f(x)=0.则在区间(a,b)内f(x)()

A、存在正的极大值,不存在负的极小值.

B、存在负的极小值,不存在正的极大值.

C、既有正的极大值,又有负的极小值.

D、恒等于零.

标准答案：D

知识点解析：设存在x()E(a,b),f(xo)>O且为f(x)的极大值，于是f'(xo)=O.代入

所给方程得F(xo)=4f(xo)>O.则f(xo)为极小值.矛盾.进一步可知不存在c£(a,

b).使f(c)>0.因若不然.由于f(a)=f(b)=0,推知在(a,b)内f(x)存在正的最大值,

A-l00

|AE-C=0A4=(A-l)(A-2)(A+2),

01A故B有特征值为Q=l,

冈

九2二2,13=一1，故应选C

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

9、微分方程xy"—y'=x的通解是______.

>,=^-ln|.r|+C|x2+Cz.

标准答案：.2其中C],C2为任意常数

知识点解析：此为可降阶的y"=f(x,y')型.令y'=p,y"=p',则原方程化为

xp'-p=x.由一阶线性微分方程通解公式得

〃=J|1-e'1d.r-t-C.)=J-(jJdr+C)=.rlnf.r+(1.

y=[(rlnl.rl«,r)cb=^-InLri--\-.r~4-Cj

JL44

=$ln|/|+G/+Q.

C),C2为任意常数.

10、曲线y=eX上曲率最大值是

*90

标准答案：3-

知识点解析：

族_e'(1—2e:,)令八］目

石一71不苫尸一°,得Lyin2.

当,V一春In2时•得半＞0;当i＞一，n2时•得半V0.故当/=-Jin2时.

L(Lrcdr4

-e~=加22

maxW=([+Y)，2=市・0

K为最大值.即e

，wdr

2

11、J02+tanx

标准答案:

fBdr_,2dz+d/

知识点解析：-2+tan「J”2十tan-+2十tan-.r'对等号右边第二

个积分作积分变量代换，令XF—3有

「心__pd.r4f"-d/

J<>2+tan?zJ>2+tarr，J-92+tan/

2f号d」匕=「an」“•_1_

J-2+tan2.rJ,2+〃

=A(,?""TTZ-7

Jn\1+tr2»ir，

=2/arctanu----；zarctan与\

\In7272•-I

二(1一号)死囚

lim(l+e-),n<1+jr>=

12、7.

标准答案：e

知识点解析：由

(1TV卢"-"=exp<In(1+.r)ln(1+3)},则

i_./4

..[,]1\vln(l+e+)湛必达法则].l+e：J

limln(1一/”n(]+e，)=hm------：----111lim---------------:--------

ln(1+11.r

rln(1+.r)2"

ln(14J)T1-

1+e十

所以应填e.

13、设平面区域D(t)={(x,y)|0<x<y,0

1

标准答案:

riv1—cos

do二—dy

JrJ

/⑴一日1—£2^d.r,

,〃⑺_1p1—cos____]_.1-cost

1-cost

---;-----sint

r-・r>2/

1-cos/-/sintsint~sin/—/cost

=limlim

2r

±

知识点解析:

10

A=b20

14、设03»其中abc=-6,A*是A的伴随矩阵，则A"有非零特征值

*

标准答案:]

10

|A|=b20=6+办(=0,r(A)V3.

03

20

乂A”==6W0,

3

知识点解析:因abc=-6,故故

r(A)=2,r(A*)=1.故A’有特征值

320110

Ai=O«A：i"W：八"=AII1A224=+=6+3+2=11.

i-i30b2

s

三、解答题（本题共〃题，每题1.0分，共〃分。）

⑸求喇(ST

红詈乂)’=limc-f

.24-cosT

In---«---

洛必达法则..-sinz

4ln（*

lim----------__r际菽=°

J-H）/

得

lim（)=】，

标准答案：先由r-*0'3

所以原式为°型.再由式(*),用等价无穷小替换，得

）：］］=鼎（F*

陪［(吐狞T

=linA（Ln^等土）

=lim4n（l+空*）

,YJT'3'

cos.r-1

=lim（r•

3）T.s

知识点解析：暂无解析

16、设函数f(x)在区间(0,+8)上可导,且f'(x)>0,

KV一/(M),

/,(x、)一=「x/(u)、」du+.什——du.

H力“求F(x)的单调区间，并求曲线y=F(x)的凹

凸区间及拐点坐标.

标准答案：由

F(j)=j1'i/(“)d〃+J：-d〃,则

F(*)=£_/“川+]/(+)一/(卷)

J4J«4MA

=J；/(M)d«-j1/(y)dw=|1[/(u)-/(y)]d«.

jrJti

当OVJCI时.}>u>l,从而/(十)〉/(u)，F"(z)=「/(+)—/(“),dw>0；

当10〈+8时.0〈十<“<1,从而/(十)〈/(〃)尸(1)=，[/(〃)一/(十)]d”>0.

又在x=l处F(x)连续，所以F(x)在区间(0,+8)上严格单调i曾

加F"⑺=/(!廿一3/(+)一//(!)十人(《)=守/(5),所

以F〃(1)=0,且当01时,F"(x)>0,曲线y=F(x)是凹的.所以点(1,0)为曲线y=F(x)

上的唯一拐点，且凸区间为(0,1),凹区间为(1,—).回

知识点解析：暂无解析

2sinx

/

17、设常数a>0,积分1+―“。】+一,试比较I］与12的

大小，要求写明推导过程.

--r—(cosT-sinJ,)d.i

1+

------(cosx-sin-r)d.r+T-T—《cosx-sin.r)dr

=r1+—11+了"

cos/-sin।sin/-corr(_&)

=1：1++于】+(冷：一

11

i+i-y

当0V.rV平时苫IV彳■,从而1I.>~-

44221+k1+(费一7)

标准答案:

且cosx>sinx,于是知h>l2,即I詈0TT7业.S

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在闭区间［0,1］上连续，且J(?f(x)dx=O,"%Xf(x)dx=0.证明在开区间

(0,1)内存在两个不同的日与12,使篦1)=0,解2)=。.

标准答案：令F(x)=JoXf(t)dt,有F'(x)=f(x),F(0)=0,F(l)=0,则

1x，xx1，x

O=foef(x)dx=foedF(x)=eF(x)|o-fo'FCxJe^x=-f0F(x)edx所以存在年(0,I),

使FC)e、0.但e90,所以F@=0.由于已有F(0)=0,F(l)=0.所以根据罗尔定理

知，存在&W(0,g),如&1),使F'(事)=0,F(42)=0.即篦1尸0,熊2)=0,

其中f(0,&),名以。1),证毕.

知识点解析：暂无解析

19、设z=z(u,v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x—2y,x+3y)满足

6^±4--—^=3—--

3/My3y2M内•求z=z(u,v)所满足的方程，并求z(u,v)的一

般表达式.

flz_（Iz

J.rJ"，

^=—9〜Q入

八八l!z.3

——:=■—+2

办,，加J〃，加，)v

公二[公一19心+当・

【—oJ],J':?..，)C

y"，儿而代入原方

标准答案：由z=z(x-2y,x+3y),易知

，--=_1_r)/f)Z\_1f)£

程，得，加W5必「以下求z的一般表达式.将.上式写成而‘元,=行工?两边对

，kI.

u积分，v看成常数，得上，下‘其中(PI(V)为V的具有连续导数的任意函

数.再将上式看成Z对V的一阶线性微分方程.代入一阶线性微分方程的通解公

式得e-，du）ckHW（〃）e夕（r）dr+S（〃）c.

由

(£(v)=e;v)cks

于(P](v)的任意性，记,,它表示为v的具有二阶连续导

数的任意函数.甲(U)为U的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到Z=Z(U,V)的

一般表达式为小(〃.5=小)+"("・冈

知识点解析：暂无解析

20、设口=设,y）|0<x<^/it,0<y<Vn,计算二重积分•sinmax{x?,y2}do□

标准答案：积分区域D是一块矩形域，如图所示

5V*

sin(maxLri)(tj-|sin十||sinvJAo

c/^p/S?

=2.?sinj_d.r=Isin.rd.r

J••J••

G

cos.1

知识点解析：暂无解析

21、求y"-y=M满足初始条件y(l)=0,y'(1)=0的特解.

v-y=e'・.r20・

标准答案：原方程可化成两个微分方程丫*</<()，分别求解得到

xxxxxx

y=Cie+Cje+2Xe,x>0,y=C3e+C4e—2xe,x<0,由y(l)=0»

2

,,3八e

v=———r+—re'.

y'(1)=0,从第一个表达式求得4e42,又因为在

T+4-=G+C«,

一亨,所以

x=0处，y(x)及y'(x)连续，所以“一=_’_了L)___7L

才》（）•

故满足初始条件的特解为

知识点解析：暂无解析

设A是3阶矩阵，勾，五，九3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是

备，（2，13,令忏。+々+—・证明：

22、B不是A的特征向量；

标准答案：已知Ap=AQ+42+A尸心&+说2+Q"若0是A的特征向量，假设对

应的特征值为|1,则有40=邱=r1（41+々+4尸入141+犍2+入3卜从而得（卜1一11纥|+（|1—

—入3）+=。$，及，斗是不同特征值对应的特征向量，由定理知事，陵，+

线性无关，从而得Q=入2=入3=中这和箱,九2,Q互不相同矛盾.故0=。+及不

是A的特征向量.

知识点解析：暂无解析

23、向量组p,Ap,A节线性无关.

标准答案：用秩来证，因（,Ap,A、尸（41+自2+&3,Q&+入2々+入3匕3，

Aj正

=«，&4)1Az乃二（&怎,GC

,1丸次

A?

其中IC=1Az*

/占+/&2+%243)123*所以C是可逆

矩阵.故理,Ap,A2p）=r（^i,h，［3尸3.因此p,Ap,A、线性无关.（请读者

用等价向量组或初等变於自行证明）.

知识点解析：暂无解析

T

己知A,B均是2x4矩阵，其中Ax=O有基础解系cq=（1,1,2,1）,a2=（0,一

3,1,0）T；Bx=O有基础解系0i=（l,3,0,2）T,pi=（l,2,—1,a）T.

24、求矩阵A；

标准答案：记C=（ai，Q2）»则有A