高一数学章末检测卷（三）第八章

章末检测卷（三）第八章

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.下列说法正确的是（）

A.多面体至少有3个面

B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

答案D

解析一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，

所以选项A错误；

选项B错误，反例如图所示；

选项C错误，反例：上、下底面是全等的菱形（非正方形），各侧面是全等的正方

形的多面体不是正方体；

根据棱柱的定义，知选项D正确.

2.由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来

图形的形状是（）

ACD

答案A

解析根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，

可知A正确.

3.设a,/?,y为不同的平面，〃?，n,7为不同的直线，则下列条件中一定能得到阻邛

的是（）

A.。Cl7=〃z,a±y,pA-y

aC0=l,〃z_L/

C.〃-La,〃-L"mA.a

D.a±y,mA.a

答案C

解析在选项A中，aQy=m,a±yt/?±y,则夕和〃?可能平行或相交，故A错

误；

在选项B中，a_L夕，B=l,mH,则m与p相交或m//P或mu£,故B错误；

在选项C中，因为〃_La,n邛,所以a〃6又加_La,所以〃?_L£,故C正确；

在选项D中，由a_Ly,/?_L7,不能推出a〃夕，方以由m_La不能推出m_1_4故

D错误.

4.在四面体ABCD中，平面A3O_L平面BCD,且DA_L平面A8C,则/XABC是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

答案A

解析过点A作AHLBD于点H,

由平面ABD_L平面BCD,得A"_L平面BCD,

则AHA-BC.

又D4_L平面ABC,所以BC_LA。，

所以BCJ_平面4BD,圻以BC_LAB,

则AABC为直角三角形.

5.在正方体A6CO—A出GU中，P,。，E,5分别是AB,AD,BiCi,GDi的中

点，则正方体过P,Q,E,尸的截面图形的形状是（）

A.正方形B.平行四边形

C.正五边形D.正六边形

答案D

解析如图，连接E凡PQ,由E/〃P。可以确定一个平面,

设这个平面与正方体A5C。-的棱3囱，分别交于M,N两点，连

接ME,MP,NF,NQ.

由正方体的性质得FN/7MP,NQ"ME、且EF=FN=NQ=PQ=MP=ME,

・••正方体过P,Q,E,厂的截面图形的形状是正六边形.

6.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥

顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则

下列说法正确的是()

A.圆锥的母线长为18

B.圆锥的表面积为27兀

C.圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°

D.圆锥的体积为18啦兀

答案D

解析设圆锥的母线长为/,以S为圆心，SA为半径的圆的面积5=兀尸，圆锥的

侧面积S惠检例=兀〃=3山，因为圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了3周，

所以兀r=3X3兀/,解得/=9,所以圆锥的母线长为9,故选项A错误.

圆锥的表面积S=SM.+S底=3X71X9+71X32=3671,故选项B错误.

因为圆锥的底面周长为2兀义3=6兀，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为呢则6兀

=冲9,解得。=奇27r，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为12()。，故选项C错误.

圆锥的高/尸寸尸一户=、81—9=66，所以圆锥的体积V=1XJCX32X6^/5=18^/2

兀，故选项D正确.

7.如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,。在球O的同一个大圆

上，点尸在球面上.若牛，则球。的体积是（）

A.32兀B.167tC.g■兀D.8兀

答案C

解析设球。的半径为R.

因为正四棱锥尸一AACD底面的四个顶点a,B,C,。在球O的同一个大圆上,

且点P在球面上，

所以尸O_L底面4BCD,PO=R,正方形ABC。的面积S=2R2,

127?31£

所以VP-ABCD=QX2R2XR=3=3，

解得A=2,

44

--

332

337r

8.如图所示，四边形4BCO中，AB=AD=CD=\,BD=巾,3DJ_CD将四边形

ABCO沿对角线折成三棱锥A-BCD使平面平面BCO,则下列结论

正确的是（）

XA'CLBD

B.N84C=90。

C.C4与平面A'BD所成的角为30。

D.三棱锥A-BCD的体积为g

答案B

解析因为平面ABO_L平面BCD,

平面ABOn平面8CO=B。，BD1CD,

所以CO_L平面AB。，所以CD_L%V.

由勾股定理，得

又因为COGA7）=。，

所以BAU平面4CD,所以84UAC,

所以NB4C=90。，B正确；

fff

若AClBDt因为4C_LA8,BDCA'B=B,所以A9_L平面ABD,所以AC±ADt

r

所以N40C为锐角，而CO_L平面ABO,CD±ADtN4OC为直角，矛盾，故

A错误；

因为CO_L平面A3。，

所以NC4O即C4与平面4。。所成的角，

在RtZXAQC中，4D=CD,所以NC4Z）=45。，故C错误；

S三枚锭A。8co=S三校粒C-A'ED=2^1X]X1X1=不故D错误.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分）

9.如图，在正方体48。。一43。。|中，M,N分别为棱G。1，GC的中点，下

列四个结论中正确的是（）

A.直线AM与CG是相交直线

B.直线AM与8N是平行直线

C.直线BN与MBi是异面直线

D.直线AM与DDi是异面直线

答案CD

解析•.'A,M,C,C四点不共面,

・•・直线AM与CG是异面直线，故A错误；

同理直线AM与BN是异面直线，故B错误；

同理BN与MB异面，AM与。。।异面，C,D正确.

10.一个圆柱和一个圆错的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下

列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为2兀R2

B.圆锥的侧面积为2位?2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

答案CD

解析依题意得圆柱的侧面积为2兀RX2R=4兀7匕，A错误;

圆锥的侧面积为兀〃乂由/?=小兀肥，・・・B错误；

球的表面积为4TU/?2,

・・,圆柱的侧面积为4兀4，

AC正确；

12

V-R2-

钳

圆33

AV：V：V球=2成3：飙3:飙3

=3：1：2,

，D正确.

11.如图所示，H_L圆。所在的平面，A8是圆。的直径，C是圆。上异于A,B

的一点，E,尸分别是点A在P3,PC上的投影，则（）

p

A.AFLPBB.EFrPB

C.AFLBCD.AEJ_平面PBC

答案ABC

解析对于A,因为%J_平面ABC,故又BCLAC,故BC_L平面PAC,

从而BCJ_AF,^AFlPCf故A凡L平面PBC,,所以A凡LPB,AFLBC.故A,

C正确；

对于B,由选项A知4/_LPB,而AE_LPB,从而PB_L平面AEF,故EFJLPB,

故B正确：

对于D,由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.如果用半径/?=26的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是

答案3

解析设圆锥筒的底面半径为八

贝！I2“=兀/?=2小兀，贝】J

所以圆锥筒的高

h=y^R1—r=4（2小）2—（#）2=3.

13.如图所示，在矩形A8CQ中，AO=2,七为AB边上的点，现将△ADE沿。E

翻折至△<£）£,使得点4在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A7）与平面

ESCO所成的角为30。，则线段AE的长为.

答案平

解析如图所示，过A作4H_LCO于H,连接EH,由题意，得4H_L平面EBCD

因为直线4。与平面EBCQ所成的角为30°,所以NA7）”=30。.

又因为40=2,所以A”=l,DH=n

设A'E=x,则EH=^r~\.

在四边形DAEH中，

可得AD2-\-（AE-DH）2=EH\

所以22+。一小）2=«—1,

所以x=华.

14.正方体A8CO-4BIGOI的棱长为1,点M,N分别是棱BC,CG的中点，动

点P在正方形包括边界）内运动，且BP〃平面AMM则％i的长度范围

为.

较安^2.1

口荣4，2

解析如图，连接BG,分别取A4,4"的中点E,F,连接EEECi,FG,

BE,A。］,则AQi〃".

因为AG〃8G,所以8G〃M，

因为点例，N分别是棱BC,CCi的中点，

所以MN〃3G.

因为AE7/CN,AE=C\N,

所以四边形AEGN为平行四边形，

所以4V〃EG,

因为AN,MNu平面AMN,ECi,BCiQ平面AMM

所以EG〃平面AA/N,BCi〃平面AMN,

因为ECinBCi=Ci,

所以平面BEG〃平面AMM

因为

所以平面BEGA平面AODi4=EE

因为动点P在正方形AOOi4（包括边界）内运动，且3尸〃平面4MM

所以点P的轨迹为线段ER,

所以PA\的最大值为AiE=yA4i=1,

最小值为点4到EF的距离为+（，=乎,

所以出1的长度范围为［毛，!

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）如图，三棱柱ABC—48cl的侧棱垂直于底面，其高为6cm,底面三

角形的边长分别为3cm,4cm,5cm,以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个

圆柱，求剩余部分几何体的体积-

解V三校住A8C-A向q=1X3X4X6=36(cm3).

设圆柱底面圆的半径为广,

2X-X3X4

2SAABC

则r==1,

A8+BC+AC3+4+5

VOO|=7r,〃=67r(cm)3.

所以V=V三检栏A8C—A[8]C]—VHfe=(36—67t)cm3.

16.（15分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称

为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除，其中棱48,CD,E/相互平行，四

边形48M是梯形.已知CQ=EF,AO_L平面ABER求证：

D

FE

⑴平面BCE；

(2)平面平面BCE.

证明(1)因为AB,CD,E/7相互平行，g.CD=EF,四边形AB石尸是梯形.

所以四边形C£^E是平行四边形，

所以DF//CE,

因为。闲平面BCE,CEu平面BCE.

所以。尸〃平面BCE.

(2)因为平面ABEF,BEu平面ABEF,

所以BELAD,

因为BE_LARAFC\AD=Af

所以BEL平面AQF,

因为BEu平面BCE,

所以平面A。口L平面BCE.

17.(15分)如图，已知四棱锥P—A8co的底面是直角梯形，AD//BC,CB1AB,

CBLPB,PBLAB,AD=PA=2BC=2PB=4.

⑴若尸为侧棱P。的中点，求证：。/〃平面以B；

(2)求二棱锥C一出。的体积.

⑴证明如图，取心的中点M,连接8M,FM.

在△以Q中，FM//DA,FM=%A,在梯形ABCD中，BC//DA,BC=：OA,

:・FM〃BC,FM=BC,

・・・四边形"M8C是平行四边形，

：.BM//CF,而BMu平面以8,CRI平面B4&，CF〃平面以注

9

(2)解：CB±PBfAB±PBt而A8nC8=8,

・・・『6_1平面468,即尸8为三棱锥P—ACO的高.

*：PB±ABt办=2P8=4,

：.AB=2y13.

又SMCD=^DAAB=^X4X273=4^3,

Vc-PAD=Vp—ACD=*MCD.PB=gx4小X2=^^.

18.(17分)如图，在四棱锥。一ABC。中，AO_L平面POC,AD//BC,PDUB,

AD=\,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;

(2)求证：々)_1平面。5。；

(3)求直线AB与平面PBC所成角的止弦值.

(1)解由已知AO〃8C,故ND4P或其补角即为异面直线AP与8C所成的角.

•・・AOJ_平面PDC,PDc平面POC,

：.AD±PD.

在RtZ\PD4中，由已知，得

4万=心》+万方=小,

故cosNOAP=第=雪.

/>/D

・•・异面直线A尸与BC所成角的余弦值为坐.

(2)证明・.・AO_L平面POC,PDu平面PDC,：.AD1PD.

又・.・BC〃4D.：.PDLBC.

又PD上PB,BSPB=B,BC,PBu平面尸BC,・・.POJ_平面PBC.

⑶解过点。作A3的平行线交BC于点F,连接PF,如图所示，

则。月与平面P8c所成的角等于A8与平面P8C所成的角.

平面PBC,故P尸为。尸在平面P3C上的射影，

・・・NOQ为直线。产和平面P8c所成的角.

由于AO〃BC,DF〃AB,可得8/=4。=1.

由已知，得CF=BC—BF=2.

又AD_LOC,故BC_LOC

在RtZXOCR中，可得DF=y/c0+CF2=2小.

在RtADPF中，可得由1/。々=祟=卓.

Dr3

・・・直线A8与平面08C所成角的正弦值为坐.

19.（17分）如图，在等腰梯形