高考数学总复习 计数原理、排列与组合

课时规范练61计数原理、排列与组合

（分值:82分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.（2025•安徽淮北模拟）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿,全球最快的高铁列车CR450

正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知比次高

铁列车车票还剩下二等座4张,一等座1（）张,商务座5张则小张的购票方案种数为（）

A.14B.19

C.90D.200

2.为提升学生的数学素养，某中学开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“先

修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年

必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方法数为（）

A.30B.20

C.15D.10

3.（2025•浙江绍兴模拟）某班一天匕午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数

学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同

排法总数是（）

A.192B.144

C.124D.216

4.（2025•广东惠州一模）某市马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3

位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排

在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）

A.9种B.12种

C.15种D.18种

5.（2025♦湖北恩施模拟）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗,

其中“雨水”“惊蛰”“谷雨”“芒种”“白露”“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗

里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式

的种数为（）

A.144B.240

C.336D.456

6.（2025•福建福州期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至

少评审1篇，每篇论文由I名专家独立评审，则不同的分配方式共有（）

A.60种B.90种

C.120种D.150种

7.（多选题）（2025•安徽马鞍山模拟）某班有10名同学，现在选出3名去参加歌唱比赛，则不同的

选法种数为（)

B等

A.C?0

C&+四D.d+2C1+d

8.（多选题）为传承红色文化,宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、

小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（）

A.7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为

840

B.7名同学站成一排，小明、小红两人相邻,则不同的排法种数为720

C.7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻,则不同的排法种数为480

D.7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法

9.（2025•陕西西安模拟）从这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个囱位上，

如果A不能安排在甲肉位上,则不同的安排方法有种.

10.（2025•广东茂名模拟）如图,现要用5种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的

两个区域不能用同一种颜色，共有种不同的着色方法.

综合提升练

11.（2025•山东济南模拟）由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚊从点P

出发，沿木棍爬行到点。的最短路径有（）

A.15种B.30种

C.48种D.60种

12.（2025•安徽合肥三模）某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小

红、小强三个员工,要求每个员工都能拿到面包，则小明最终拿到偶数个面包的情况有（）

A.180种B.210种

C.240种D.360种

13.（2026・重庆江北模拟）由1,2,345,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数

字的奇偶性不同,且满足3和4相邻，则这样的八位数有（）

A.432个B.257个

C.216个D.504个

14.（2025•河南濮阳期末）将8块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式，首尾相连拼接成一

个圆环，若任意调换积木的顺序，但其中红色和黄色两块积木必须相邻,则可以拼成的不同圆

环有种.（用数字作答）

创新应用练

15.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁,梁上两

珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如在十位档

拨一颗.L珠和一颗下珠，个位档拨一颗」一珠，表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选

择一档拨一颗上珠，再随机选择其中两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于20（）的共有—

16.（2025•辽宁锦州期末）如图,左边是编号为123,4的A型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的

B型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则B型钢板均不相邻的放法共

种，乙号钢板上方的A型钢板的编号之和与其下方的A型钢板的编号之和相等的放法共—

种.（用数字作答）

参考答案

1.B解析按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4+10+5=19.故选B.

2.A解析由题意，每门选修课程被安排到高一到高二两学年都有2种安排方法，共有

25=32（种）安排方法，其中五门选修课程安排到同一学年的情况有2种,则每位同学不同的选

修方式为32-2=30（种）.故选A.

3.A解析数学课排在上午有禺=4（种），体育课排在下午有C；=2（种）,剩下的语文、政治、英

语、心理4堂课有A}24（种）,所以不同的排法共有4x2x24=192（种）.故选A.

4.D解析运用分类加法计数原理，若甲不入选，有Ag=6（种）安排方法；

若甲入选，则有©A5=12（种）安排方法，所以共有6+12=18（种）不同的安排方法.故选D.

5.C解析根据题意,第一步，让“雨水''和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为储Ag;

第二步，让“雨水”和“谷雨”不相邻且“白露”和“寒露”相邻，不同放置方式种数为的AgAj.

所以不同放置方式种数为A；Ag-A弘达：=336.故选C.

6.D解析先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法:3』,1和2,2,1.

若5篇论文分成3,1,1三份，有髭=10（种）方法，再将这三份论文分配给3名专家，因此总计

髭xAj=60（种）方法;

若5篇论文分成2,2,1三份，有岑=15（种）方法，再将这三份论文分配给3名专家，因此总计

15xA*90（种）方法.因此总计60+90=150（种）分配方式.故选D.

7.ACD解析从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为第。=磨二写，

A3A3

故A正确,B错误；

从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，根据甲同学入选与否可得不同的选法种数为髭十釐,

从10名同学选出3名去参加歌唱比赛，根据甲乙两名同学入选与否可得不同的选法种数为

C1+G釐+C鸡，故C,D正确.故选ACD.

8.AD解析对于A,先从7个位置中选3个排小明等3人，有的=35（种）方法,随后排列剩下4

人，有A}4!=24（种）方法,则共有35x24=840（种）方法，故A正确；

对于B,将小明、小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列，有

A烂6!=720（种）方法,则共有720x2=1440（种）方法，故B错误；

对于C,先排剩下5人，有Ag=5!=120（种）方法，再将小明、小红排进5人产生的6个空隙中，有

A烂6x5=30（种）方法,则共有30x120=3600（种）方法，故C错误；

对于D,由题分组情况为2,2,3,则有竽=105（种）方法,随后安排训练，有的=3!=6（种）方法，则

共有105x6=630（种）方法，故D正确.

故选AD.

9.96解析由题意可知，根据4是否入选进行分类，若A入选,则先给A从乙、丙、丁3个岗

位上安排一个岗位，有3种，再给剩下3个岗位安排人，有曜=24（种），共有3x24=72（种访法；

若A不入选，则4个人4个岗位全排，有A}24（种）方法.所以共有72+24=96（种）不同的安排

方法.

10.180解析先排I』［,川共有Ag=60（种），再排IV有己=3（种），故不同的着色方法数为

60x3=180.

11.D解析根据题意,一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点。，要使得爬行的距离最短，则需

要向右爬3格,向前爬2格,向上爬1格，共计6步，则爬行的路径共有管或禺二60（种）.故选D.

12.C解析若小明拿到2个面包，则有髭♦（C；A,+C3=15xl4=210（种）情况;若小明拿到4个

面包，则有禺•A>30（种）情况.故小明最终拿到偶数个面包的情况有210+30=240（种）.故选

C.

13.D解析第一步，排1,5,7三个数，有A：6（种）不同的排法；

第二步，排2,6,8三个数，有©A拉12（种）不同的排法；

第三步，将3和4作为一个整体插入，有6=7（种）不同的排法.

根据分步乘法计数原理，组成的不同的八位数共有6x12x7=504（个）.

故选D.

14.1440解析将红色和黄色两块积木捆绑并放在圆环某一固定位置上，有A於2（种）排法，将

其余六块依次放入余下六个位置，共有A群720（种）排法，故可以拼成的不同圆环有2x720=1

440（种）排法.

15.18解析若上珠拨的是千位档或百位档,则所拨数字一定大于200,有GC*12（种）