2026年上海市中考数学模拟试卷与答案解析

2026年上海市中考数学模拟试卷

一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）下列实数中，是有理数的是（）

。22

A.sin60B.nC.——D.V4

7

2.（4分）下列方程中，没有实数根的方程是（）

A.y/x24-3=1B./+3・1=0C.-----=-D.Vx+2=­x

X+22

3.（4分）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相

等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点.其中是真命题的有（）个.

A.IB.2C.3D.4

4.（4分）正方形具备而菱形不具备的性质是（）

A.对角线互相平分

B.对角线互相垂直

C.对角线相等

D.每条对角线平分一组对角

5.（4分）下列命题正确的是（）

A.如果|可=闻，那么Q=匕

B.如果a=-b,那么a||b

C.如果a、b都是单位向量，那么a=b

D.如果m=0或a=0,那么ma=0

6.（4分）如图，在矩形A8CO中，对角线AC与8。相交于点。，AB=5,8c=12.分别以点。、。为圆

心画圆，如果。。与直线4。相交、与直.线CQ相离，且。。与OO内切，那么。。的半径长r的取值

范围是（)

25

A.-<r<4B.-<r<6C.9VrV号D.9<r<13

22

二,填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7.（4分）（・x・2y）（-x+2y）=.

8.（4分）如果代数式2计2/-（〃-3）b为单项式，则〃的值为.

9.（4分）沿着x轴正方向看，抛物线y=-』+左在其对称轴右侧的部分是的.（填“上升，，

或“下降”）

10.（4分）一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8,6,10,7,9,则这个运动员所得环数的

标准差为.

II.（4分）如果抛物线），=7-〃，向左平移2个单位长度后经过原点，则〃7的值为.

12.（4分）《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶出七亩，价五百.今并买一顷，

价钱一万，问善出几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱.现在共买1

顷，价值10000钱.根据条件，良田买了亩.

13.（4分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关4、B、

C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是.

7

14.（4分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度。?是一m,出手后实心球沿一段抛物线

4

运行，到达最高点时，水平距离是5/77,高度是4/W.若实心球落地点为M,则OM=

15.（4分）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层.学

校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行佗某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为

60°,塔底的俯角为45°,那么此时无人机距离地面的高度为米.（结果保

留根号）

16.（4分）如图，在△48C中，点。是的黄金分割点（AD>BD）,BC=AD,如果NACQ=90°,CD

=2,则4C=

c

17.（4分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条

中线称为“有趣中线”.已知中，N8=90°,较短的一条直角边边长为1,如果RtZXABC是

“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于.

18.（4分）在矩形A8C。中，AB=CD=6,AD=BC=5,£为射线AB上一点，将△%£）£沿DE翻折，得

到△4QE（点A的对应点为Ai）,联结4A、A\B.当△448为等腰三角形时，AE长

是.

三.解答题（本大题共7题，满分78分）

19.（11分）计算：―22+2-1一|石一++

x123

20.分）解方程；币+百

21.（II分）如图，在平面直角义标系X3,中，一次函数），="+8的图象与反比例函数y=々的图象相交

于A(1,4),4(-4,〃)两点.

（I）分别求一次函数及反比例函数的表达式;

（2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P,连接啊,PB,且满足S&M«=15,求点

P的坐标.

22.（11分）如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△必8是摄像头的监控区域.MN为水平地面，点小

/?在直线MN上.已知摄像头离地面的高度P，=4.8米，ZAPH=3V,ZAPB=39°.

（1）求4B的长.

（2）•辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车

头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要几秒？

(参考数据:sin37°k0.6,cos37020.8,tan37°^0.75,sin76000.97,cos760=0.24,tan760=4.)

23.（11分）如图，在菱形48C7）中，E是C。上一点，联结8E并延长交4。的延长线于点G,交AC于

点尸.

（1）求证：BE*BF=BG，EF；

（2）若E是。。的中点，且AF・C尸=28尸，求证：BELCD.

24.（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线），=«1+2心-3〃（«<0）与x轴交于A和4两

点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为Q.

（1）求点A和点8的坐标：

（2）若点£与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AC,若AC平分/£40,求抛物线的表达式；

（3）若点。是抛物线第四象限上一动点，联结A。、AC.DP,CP,线段。夕与线段AC交于点R与

备用图

25.(12分)如图，已知48为圆。的直径，。是弧A8上一点，联结BC,过点。作OO_L8C,垂足为点

E,联结A。交8c于点足

AF_20E

(1)求证:

DF-DE

(2)如果AF・AZ)=A*求NA8C的正弦值;

(3)联结OF,如果AAO尸为直角三角形，求沁至的值.

S^AFB

2026年上海市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）下列实数中，是有理数的是（）

22

A.sin60"B.ITC.—D.V4

【解答】解：A、s比60。=孕日是无限不循环小数，故人是无理数；

B、TT是无限不循环小数，故B是无理数；

22

C、5■是分数，属于有理数；

。、海开方开不尽，是无限不循环小数，故。是无理数.

故选：C.

2.（4分）下列方程中，没有实数根的方程是（）

A.Vx2+3=1B.x2+jr-1=0C.------=一D.Vx+2=­x

x+22

【解答】解：A.原方程变形为7+3=1,即f=・2,•••-2V0,所以方程没有实数根，故A符合题意；

B.A=b2-4ac=l2-4XlX（-1）=5>0,所以原方程有实数根，故8正确，不符合题意：

C.原方程变形为2x-2=户2,解得工=4,当％=4时，分式方程左边=2=右边，因此工=4是原分式

方程的根，故C不符合题意：

D.原方程变形为x+2=f,即x2-x-2=0,A=廿-4ac=（-1）2-4X1X（-2）=9>0,所以原

方程有实数根，故。不符合题意.

故选：A.

3.（4分）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧：③相等的圆心角所对的弧相

等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点.其中是真命题的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根据弦的定义，等弧的定义，圆心角与弧的关系，一:角形外心的定义逐项分析判断如下：

①直径是圆中最长的弦，该命题为真；

②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假；

③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假；

④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假：

综上，真命题共1个.

故选：A.

4.（4分）正方形具备而菱形不具备的性质是（）

A.对角线互相平分

B.对角线互相垂直

C.对角线相等

D.每条对角线平分一组对角

【解答】解：（1）平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故该选项不符

合题意；

（2）菱形和正方形的对角线均互相垂直，故该选不项符合题意：

（3）正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故该选项符合题意；

（4）对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，故该选项不符合题意.

故选：C.

5.（4分）下列命题正确的是（）

A.如果|a|=\b\,那么a=b

B.如果Q=-b,那么aIIb

C.如果a、b都是单位向量，那么Z=b

D.如果机=0或之=0,那么ml=0

【解答】解：4选项：向量相等需要模相等且方向相同，仅而=|&只能说明长度相等，方向不一定相

同，故A错误，不符合题意；

B选项：:若:=-6,则；与b方向相反，方向相反的向量是平行向量，.♦.B正确，符合题意；

C选项：单位向量仅模长都为1，方向不一定相同，因此单位向量不一定相等，故C错误，不符合题意；

。选项：当/〃=0或之=6时，ma=0,结果是零向量，小是数字0,故。错误，小符合题意.

故选：B.

6.（4分）如图，在矩形48C。中，对角线AC与8。相交于点O,A8=5,BC=\2.分别以点0、。为圆

心画圆，如果。。与直线人D相交、与直线co相离，且与。。内切，那么OD的半径长广的取值

范围是（）

25

A.-<r<4B.-<r<6C.9VrV号D.9<r<13

22

【解答】解：作于M,ON1DC千N,

•・•四边形ABC。是矩形,

：,BO=OD=OA=OC,

：,MA=MD,

是△D43的中位线，

：.OM=^AB=^x5=2.5

同理：ON=*8C=2xl2=6,

设。。的半径是「'，

;。。与直线A。相交、与直线CD相离，

：,2.5<r'<6,

由题意知,不然。力和OO不能内切,

9：BD=y]AB2+BC2=V52+122=13,

：,OD=聂0=6.5,

・••两圆的圆心距d=0。=6.5,

:・d=r-尸，

r=6.5+F,

•••2.5+6.5VY6+6.5,

•••9VY12.5.

二.填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

7.(4分)(-x-2y)(-x+2y)=J?-4y2.

【解答】解：原式=f-4),2.

故答案为：/-4)2.

8.(4分)如果代数式2H2.3-(p-3)〃为单项式，则〃的值为5.

【解答】解：2b+2a?)-(p-3)b=2a3+(2-p+3)b=2a3+(5・p)b,

如果代数式26+2/-(p-3)b为单项式，则只可能为2a\即(5・p)b=0,

故〃=5,

故答案为：5.

9.(4分)沿着x轴正方向看，抛物线)，=-』+2A•在其对称轴右侧的部分是下降的.(填“上升”

或“下降”)

【解答】解：因为〃=-1V0,

所以抛物线y=・f+2x在对称轴右侧部分是下降的，

故答案为：下降.

10.(4分)一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8,6,10,7,9,则这个运动员所得环数的

标准差为.

【解答】解：由题意知：5=8+6+1：+7+9=8,

方差S2=g(8-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(7-8)2+(9-8)2]=2

••・标准差是方差的平方根为VL

故答案为：V2.

II.(4分)如果抛物线y=，-〃,向左平移2个单位长度后经过原点，则〃?的值为4.

【解答】解：由题意得，抛物线)，=f-〃?向左平移2个单位长度后的解析式为)=(x+2)2-/n,

•••抛物线)，=/-向左平移2个单位长度后经过原点，

・・・0=(0+2)2-m,

解得m=4.

故答案为：4.

12.(4分)《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百：恶田七亩，价五百.今并买一顷，

价钱一万，问善出几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱.现在共买1

顷，价值10000钱.根据条件，良田买了12.5亩.

【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了)，亩,

X+y=100

依题意列二元•次方程组得:300x+孚y=10000'

解得｛:盘

故答案为：12.5.

13.（4分）如图，电路图上有四个开关A、3、C、。和一个小灯泡，闭合开关。或同时闭合开关A、8、

C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是.

【解答】解：画树状图得:

•・•共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，

，小灯泡发光的概率为：~=

JL44

故答案为：

7

14.（4分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点尸处）的高度OP是「机，出手后实心球沿一段抛物线

4

35

运行，到达最高点时，水平距离是5〃?，高度是4m.若实心球落地点为M,则OM=—m.

—3.

【解答】解:设抛物线解析式为：y=a（x-5）2+4,

77

把点（0，.代入得：25a+4=，，

,_9

一"TOO,

=-TUO^-5）2+4;

Q

当）'=。时，一高（工一5）2+4=0,

解得，%i=-1（舍去），x2=拳

35

即此次实心球被推出的水平距离OM为不加.

35

故答案为：y.

15.（4分）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层.学

校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为

4773-47

60°,塔底的俯角为45°,那么此时无人机距离地面的高度为一-—米.（结果保留根号）

—2—

【解答】解：如图所示：设无人机所在位置为点4,

根据题意可知：

ZBAD=60°,ZDAC=45°，BC=47（米）,

设此时无人机距离地面的高度为X米，

贝|JCO=X,贝|JBO=47・X,AD=CD=x,

在RtaAOB中，lan600=器,

即g二夕三

解得户47ylz47（米）.

答：此时无人机距离地面的高度为黄47百一47米.

……4773-47

故答案为：~.

16.（4分）如图，在中，点。是人8的黄金分割点（AD>BD）,BC=AD,如果NACQ=90°,CD

=2,则AC=_V5+]

c

【解答】解：•・•点。是AB的黄金分割点（AD>BD）,

.ADBD店T

''AB~AD~2'

'：AD=BC,

.BCBD遍T

‘'AB-BC-2'

•：4B=/B,

:./\BCDsXBAC,

.££_££_遍

''AC~AB~2'

VCD=2,

/.AC=V5+1,

故答案为：V5+1.

17.（4分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条

中线称为“有趣中线”.已知RtZX/lBC中，ZB=90°,较短的一条直角边边长为1,如果RlZXABC是

2%/3

“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于—.

—3—

【解答】解：“有趣中线”有三种情况：

若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；

若“有趣中线”为AB边上的中线，则“有趣中线”为1,不符合题意；

若“有趣中线”为另一直角边8。上的中线，如图所示，AB=\,

设AO=2x,则8。=工,

在RtA48。中，根据勾股定理得:AD1=AB2+BD2,即（2幻2=12+?,

解得：x=竽，

则这个三角形“有趣中线”长等于手.

故答案为：十2-^3.

18.（4分）在矩形ABC。中，AB=CD=6,AD=BC=5,E为射线AB上一点，将△4£）£沿DE翻折，得

到△AiQ£（点4的对应点为由），联结AiA、A\B,当为等腰三角形时，AE长是9或孕或「

或6.

【解答】解：①当点E在线段AB上时，且A4i=4B,

如图，此时点Ai在A8的垂直平分线MN上，

♦:DN=』CD=3,A\D=AD=5,

22

：.A\N=yjA1D-DN=4,

：.A\M=MN-A\N=\,

在母△AiEM中，EM2+A\M2=A\^,

则(3-AE)2+l=4E2,

解得AE=I；

②如图，当点E在线段AB上，且A4i=A8时,

如图，记。后交44于点0,

则。上垂直平分A4,

AA\=AB=(),

・・・。4=3,则0D=/AD2-0不=4,

*/ZADO=NE4O=90°-ZDAO,

34

cosZEAO=cosZADO,即一=一，

AE5

・・・AE=苧；

③当点石在/IB延长线，且/Ui=AB,

如图，此时点Ai在48的垂直平分线MN上,

：,MN=yjA^-DN2=4,

：.A\M=MN+A\N=9,

在RtZ\4EM中，EM2+A]M2=A]E1,

则(AE-3)2+81=AE2,

解得A£=15；

此时点E、3都在A4垂直平分线上,

・••点E、8重合,

・"E=6；

515

综上，AE的长为二或一或15或6.

34

515

故答案为：：或二或15或6.

34

三,解答题（本大题共7题，满分78分）

19.(11分)计算：―22+2一】一|百一2|+(2022—灭/+^^.

【解答】解：原式=-4+>（回2）+1+（5柴露）

=-44-1-V5+2+l+V5+2

3

=2,

x123

20.(11分)解方程：--+-^—=---

x+2x2-4x-2

【解答】解：去分母得：x(x-2)+12=3(x+2),

去括号得：f-2r+12=3x+6,

移项，合并同类项得：x2-5.r+6=0,

解得：x=2或x=3,

检验：（1）把x=2代入得：%2-4=0,

・・・工=2不是原方程的解.

（2）把x=3代入得：x2-4W0,

・7=3是原方程的解.

21.（II分）如图，在平面直角义标系X。》中，一次函数），=去+力的图象与反比例函数y=g的图象相交

于A（1,4）,B（-4,〃）两点.

（1）分别求一次函数及反比例函数的表达式；

（2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P,连接鬼,尸8,且满足5八阴8=15,求点

P的坐标.

yjk

【解答】解：(1)由条件可得：4=果

解得：772=4,

，反比例函数的表达式为y=J

把8(・4,/?)代入y=(得：n=告=-1，

:.B(-4,-1),

把A(1,4),8(-4,-1)代入产依+4得e：氏41,解得：

l-4k+b=-13=3

・•・一次函数的表达式为y=x+3；

4

1,PH=t+3-p

V

114

••・）PH•（勺-xB）=15,即：（t+3—x5=15,

解得：”=-1,12=4（舍去）.

・•・点尸的坐标为（-1,-4）.

22.(11分)如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△BAB是摄像头的监控区域.MN为水平地面，点4、

8在直线MN上.已知摄像头嗡地面的高度P〃=4.8米，NAP”=37°,NAPB=39°.

(1)求44的长.

(2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车(图中的矩形)，以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车

头(CD)进入监控区域到车尾(EF)驶出监控区域需要几秒？

(参考数据：sin37°«=0.6,cos37°=0.8,tan370^0.75,sin76°^0.97,cos76°~0.24,1an76°—4.)

VZAPH=31°，NAP3=39°，

：・NBPH=NAPH+NAPB=370+39°=76°,

AU

・••在RtAP/YA>+*,tan370=第，

VP//=4.8米，tan37°^0.75,

：.AH=PHXtan370=4.8X0.75=3.6（米），

一,BH

在RlAPHB中，tan76°=—，

PH

Vtan76°弋4,

.\BH=PHXtan76°

=4.8X4

=19.2（米），

：,AB=BH-AH

=19.2-3.6

=15.6(米)，

・・・AB的长是15.6米;

(2)•・•货车速度为5.4千米/小时,

A5.4千米/小时=1.5米/秒，

•・•货车高2米，

:・CD=EF=2米,

，：CD〃PH,

:・/BCD=/BPH=76°,

..-„BD

•.tan/6-»

・・・8O=COX4=8(米)，

■:EF//PH,

:・NAFE=NAPH=37°,

Vtan37°=震，

AAE=2X0.75=1.5,

：,ED=EA+(AB-BD)

=1.5+(15.6-8)

=1.5+7.6

=9.1(米)，

•・•货车长4.4米，

・•・车头(CD)进入监控区域到车尾(EF)驶出监控区域需要的时间是：

(9.1+4.4)4-1.5=9(秒)，

・•.从车头(CQ)进入监控区域到车尾(EF)驶出监控区域需要9秒.

23.(11分)如图，在菱形ABCO中，七是C。上一点，联结BE并延长交A。的延长线于点G,交4c于

点F.

(1)求证：BE・BF=BG・EF；

(2)若E是CO的中点，且人尸b=2B产，求证：BE工CD.

【解答】证明：（1）•・•四边形A8C。是菱形,

AB//CD,AD//BC,ZBCD=ZBAD,ZG=ZEBC,

△GABsXBCE,

BECE

BG~AB'

AB//CD,

AABFSACEF,

CEEF

AB-BFf

_EF

BG~BF'

BE*BF=BG・EF；

•••四边形ABC。是菱形，

AZACD=ZACBtAB=CD=BC,

又VCF=CF,

:•△CFgACFB（SAS）,

:・DF=BF,

•・・E是CD的中点,

：.CECD=，8,

由（1）得△ABFs^CEF,

•_A_F____A_B___9

CFCE

：,AF=2CF,

,：AF-CF=2BF-,

；・2CF・CF=2B产,

/.CF=BF或CF=-BF（舍去）,

:・CF=DF,

又YE是CD的中点，

:,EF1CD,BPBEA-CD.

24.（11分）如图，在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线），=4x2+2ax-3a（«<0）与x轴交于A和8两

点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为/）.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE,AC,若AC平分/£40,求抛物线的表达式；

（3）若点。是抛物线第四象限上一动点，联结A。、AC.DP、CP,线段。。与线段AC交于点八与

DG

x轴交于点G,当SMDF=SACFP时，求正的值.

备用图

【解答】解：(1)在juaF+Zax-3。(d<0)中，令)=0得：0=〃，+2。工-3。,

解得x=-3或x=1,

・・・A(-3,0),B(1,0)；

，抛物线y=ajr+2ax-3a的疝称轴为直线x=-\,

在y=ax^^2ax-3。中，令工=0得y=-3a,

AC(0,-3。),

•・•点E与点C关于抛物线的布称轴直线x=-1对称,

:・E(-2,・3a),EC〃工轴，

：.ZECA=ZCAO,

•:AC平分NEW,

：.ZEAC=ZCAO,

・・・NEC4=NE4C,

：,AE=CE,

*：A(-3,0),C(0,-3a),E(-2,・3a),

・・・J(-3+2)2+(0+3a)2=2,

解得a=苧或a=-苧，

•.zvo,

・•・抛物线的表达式为y=-哮x2-孥x+百；

(3)如图：

Vy=ar2+2ar-3a=a(x+1)2-4a,

/.D(-1»-4a),

VC(0,-3A),

・'•直线CD解析式为y=ax-弘，

,：S.ADF=SKFP,

^•S^ADP=SMCPf

：.AP//CD,

设直线AP解析式为y=cLx+m,

把4(-3,0)代入得：0=-3a+m,

••m—3（i9

工直线AP解析式为y=ax+3a,

联立忱篙X』

解瞰工3或忧3

:・P（2,5。），

由。（・1,-4«）,P（2,5。）得直线。尸解析式为y=3aLa,

在y=3“x・a中，令y=0得x=i,

J

1

・・・G（一,0）,

3

VD（-1,-4a）,P（2,5a）,

IFT~4」1+9a2I~5jl+9a2

:・DG=/（-1-2）2+16a2=-----------,GP=1（2—2）2+25a2=-----------，

•DG4

••—•

GP