重难点01 集合（常考十一大题型）-人教B版高中数学复习讲义（必修一）

重难点01集合常考题型十一大题型汇总

EB题型解读；

满分技巧/

技巧一.解决集合定义类型题要注意以下两点：

①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；

②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.

技巧二.判断元素和集合关系的两种方法

1.直接法：集合中的元素是直接给出的.

2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

技巧三.用列举法表示集合应注意的两点

1.应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点,还是其他元素；

2.若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.

技巧四利用描述法表示集合应关注五点

1.写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合｛旌R|x<l｝不能写成口<1｝.

2.所有描述的内容都要写在花括号内.例如，｛旌Z|x=2吊，相Z,这种表达方式就不符合

要求,需将比Z也写进花括号内，即｛虻Z|x=2Z,相Z｝.

3.不能出现未被说明的字母.

4.在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程炉-2x+1=0的

实数解集可表示为｛*£R|〃-2x+l-0),也可写成出2-2x+l-0｝.

技巧五.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤

1.根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值

2.根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验

3.写出所有符合题意的字母的取值

技巧六.判断集合间关系的方法

1.用定义判断

①任意后)时，后8,则在8

②当/G8时，存在8,且脚，，贝I」A^B.

③若既有工之8,又有住/,则A=B.

2.数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.

技巧七.子集与真子集的个数

①4的子集的个数有2〃个.

②4的真子集的个数有(2〃・1)(/721)个.

③4的非空子集的个数有(2"-1)(〃之1)个.

④力的非空真子集的个数有(2〃・2)(〃21)个.

技巧八.求给定集合的子集的两个关注点

1.按子集中元素个数的多少，以一定的JII页序来写.

2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

技巧九.符号问题辨析

1.元素与集合、集合与集合的关系.

是"元素"与"集合"之间的从属关系，如a^｛a｝.

空或靠是两个集合之间的包含关系.

2.0、｛0｝、0、｛0｝的关系

(1)区别：0不是一个集合,而是一个元素，而｛0｝,0,｛0｝都为集合，其中｛0｝是包含一个元

素0的集合；

。为不含任何元素的集合；｛0｝为含有一个元素。的集合，此时。作为集合｛0｝的一个元素.

联系:｝直。｝,｝品｝｛｝｛｝

(2)00060,00)0,00,0c0,0g0.

技巧十.解决集合交、并、补运算的技巧

/.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一列举出来，然后结合交集、并集、补集

的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直

观、形象且解答时不易出错.

2.如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行

交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

EM题型提分练/

题型1集合的定义与性质

【例题1](2022春•陕西咸阳•高一校考期末)下列各组对象中不能形成集合的是()

A.高一数学课本中较难的题B.高一(2)班全体学生家长

c.高一年级开设的所有课程D.高一（12）班个子高于1.7m的学生

【答案】A

【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；

【详解】对A,高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；

对BCD,各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合

故选：A

【变式1-1]1.（2017春・山西朔州•高一校考期末）已知x,y,z为非零实数，代数式旨+吉+3+器的

|yI陵|\xyz\

值所组成的集合是M,则下列判断正确的是（）

A.4EMB.2F/WC.06MD.-40M

【答案】A

【分析】分别对x,y,z的符号进行讨论，计算出集合M的所有元素,再进行判断.

【详解】根据题意，分4种情况讨论；

①、“、八z全部为负数时，则盯z也为负数，则强+三+高+器=-4；

1中Izl阳|xyz|

②、X、y、Z中有f为负数时，则孙Z为负数，则,+三+*+器=0；

1肛\y\\z\\xyz\

③、X、y、Z中有两个为负数时，则孙Z为正数，则,+三+5+器=0；

zxz

MIiyI\\\y\

④、X、八Z全部为正数时，则0Z也正数，则专+5+卷+器=4；

\x\\y\izi

则M={4,0,-4}；分析选项可得4符合.

古嫡：A.

【变式1-1]2.（2021秋・天津静海•高一静海一中校考期末）已知A是由0,m,m2-3m+2三个元素组

成的集合，且2WA,则实数01为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可

【答案】B

【分析】由题意可知m=2或m2-3m+2=2,求出m再检验即可.

【详解】•••2WA,/.m=2或m2-3m+2=2.

当m=2时，m2-3m+2=4-6+2=0,不合题意,舍去；

当m2・3m+2=2时，01=0或01=3,但01=0不合题意，舍去.

综上可知,m=3.

故选：B.

【变式1-1]3.(2022春・山东临沂・高一统考期末)已知工€{2,3},yG{-31,-24,4},则ay)可表示不同

点的个数是()

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】将所有情况列举分析即可.

【详解】由题意,(%,y)可表示(2,-31),(2,-24),(2,4),(3,-31),(3,-24),(3,4)，共6个点.

古烟：C

【变式1-1]4.(2023春・北京石景山•高一统考期末)若集合{Q,hC,d}={l,234},且下列四个关系:®a=l;

②b1；③c=2;④"4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(。也c,d)的个数是()

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】因为①；②；③c=2;④加4中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论分别分析可

能存在的情况即可.

【详解】若仅有①成立，则必有bHl成立，故①不可能成立；

若仅有②成立厕"1力。1,。。2,d=4成立此时有(231,4),(321,4)两种情况；

若仅有③成立,则aHl力=Lc=2,d=4成立,此时仅有(3,L2,4)成立；

若仅有④成立厕"1力=1,存2,办4成立,此时有(2,143),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况,

综上符合条件的所有有序数组(。也c,d)的个数是6个，

故选：B

【变式1-1]5.(2022春・吉林长春•高一统考期末)下列四组集合中表示同一集合的为()

A.M={(-1,3)},/V={(3,-1)}

B.M={-1,3},N={3,-1}

C.M={(%,y)\y=x2+3x},N={x\y=x2+3x}

D.M={0},N=0

【答案】B

【分析】根据集合元素的性质可判断.

【详解】对A,两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；

对B,集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；

对C,两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；

对D,M是以0为元素的集合，N是空集，则D不正确.

故选：B.

【变式1-1]6.(2021秋•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期末)设Q是有理数，集合X={x|x=a+

by/2,a,beQfx*0},在下列集合中；

(1){y\y=2x,xGX]；(2){y[y=WX}；(3){y[y£X}；(4))|y=总》E町；与X相

同的集合有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】将工=a+b加分别代入(1)、(2)、(3)中，化简并判断p,q与是否——对应，再举反例

判断(4).

【详解】对于(1),由2(a+by/2)=p+q>/2，得p=2a,q=2b,----对应，贝!J{y|y=2x,xEX)=X

对于(2),由空等=b+^V2=p+qV2,^p=d,q=^,——对应，则{y|y=^,xEX]=X

V444V4

对于(3)，由心=/为+(一/为).遮=P+q&，得P=/*7，q=/»，—对应，则{y|y=

?”X}=X

对于(4),一1一直€X,但方程一1-V2=/无解,则{y|y=x2,x6X}与X不相同

故选：B

题型2集合的表示方法

【例题2】(2023春•广西北海•高一统考期末)用列举法可将集合{(x,y)Ixe{0,1},y6{1,2}}表示为()

A.{O,1}B.{(1,2))

C.{(0,1),(1,2)}D.{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2))

【答案】D

【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解.

【详解】x=0,y=l;x=0,y=2;x=l,y=l;x=l,y=2.

••・集合{(%y)IXe{0,1},ye{1,2}}表示为{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}.

故选：D.

【变式2-1】1.(2023春•辽宁沈阳•高一校联考期末)方程(/-轨尸-4x)-20=0的解集为.

【答案】{-1,2.5}

【分析】根据题意，化简方程为(x-5)(%+1)(%-2)2=0,进而求得方程的解.

【详解】由方程(%2-4x)2_Q2-4%)-20=(x2-4x-5)*2-4x4-4)=(x-5)(%+l)(x-2)2=0,

所以％=5或a-1时=2,故该方程的解集为{-125}.

故答案为：｛—1,2,5).

【变式2-1]2.（2023秋湖南长沙•高一统考期末）用列举法表示{高eN|aeN）=

【答案】{1,236）

【分析】根据白GN且QGN求出Q的值，即可求出三,从而列举即可.

a-1a-1

【详解】解：因为三eN且aEN,所以Q-1=1或a-1=2或a-1=3或a-1=6,

a-1

解得Q=2或a=3或a=4或Q=7,

所以对应的三分别为6、3、2、1,

a-1

即居GN|aeN）={1,236};

故答案为：{1,2,3,6）

【变式2-1]3.（2019春宁夏•高一校考期末）不等式比+1|<3的解隼是

A.{x\x<-4或%>2}B.{x|-4<x<2}

C.{x\x<-4sSpc>2}D.{x|-4CxC2）

【答案】D

【分析】先求解出不等式|无+1|<3,然后用集合表示即可.

【详解】解：|%+1|43,

即-3+1<3,

即-44》42,

故不等式氏+1|<3的解集是{R-44》42},

故选D.

【点睛】本题是集合问题，解题的关键是正确求解绝对值不等式和规范答题.

【变式2-1]4.（2023秋江西南昌高一统考期末）已知集合M={（x,y）|xGN,y6N,x+y<2},则M中

元素的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由条件用列举法表示M可得结论.

【详解】因为M={(%,y)|x£N,yEN,x+yV2},

所以M={(0,0),(0,1),(1,0)},

故集合M中元素的个数为3,

故选：D.

题型3元素与集合、集合与集合间的关系

【例题3](2023秋・全国•高一专题练习)已知集合4={x\x=2m-l,meZ],B={x\x=2n,nEZ}且

xltx2EA,x3EB,则下列判断不正确的是()

A.♦%25B.%2♦%3EB

C.x1+x2EBD.+x2+x3G/I

【答案】D

【分析】根据题意可知集合4表示奇数集，集合B表示偶数集，均不是奇数，不是偶数，然后依次对.，

X2x3,xt+x2,Xt+x2+%3进行判断即可得出结果.

【详解】根据集合4={x\x=2m-l,meZ}tB={x\x=2n,n€Z}可知，

集合4表示奇数集，集合B表示偶数集,又EAtx3EB,所以打/2是奇数，巧是偶数；

对于A,因为两个奇数的乘积为奇数，所以无i•不€4，即A正确；

对于B,因为T奇数和一个偶数的乘积为偶数,所以小•与W8,即B正确；

对于C,因为两个奇数的和为偶数，所以与+小W8,即C正确；

对于D,因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以必+小+与WB,所以D错误；

雌：D

【变式3-1]1.(2023秋•山东荷泽•高一山东省东明县第一中学校考期末)已知集合力={x|x2-l=0},

则下列结论错误的是（）

A.1W4B.{-1}cylC.02/1D.{-1,1]=71

【答案】C

【分析】先化简集合力，再逐一判断各选项.

【详解】由/一1=0,得》=±1,则A={-1,1},

所以1eAt{-1}CA，{-1,1}=4,即ABD正确；

而0GA,故C错误.

故选：C.

【变式3-1]2.（2023春陕西宝鸡高一统考期末）下列五个写法：①{0}F{1,23}；®0C叫；®{0J,2}c

{1,2,0}；④。£0；⑤0n0=0,其中错误写法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据工”用于元素与集合，"n"用于集合与集合间判断出①⑤错，根据。是不含任何元素的集合

且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对.

【详解】对于①，1"是用于元素与集合的关系，故①错；

对于②，。是任意集合的子集，故②对；

对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任1可一个集合都是它本身的子集，故③对；

对于④，因为。是不含任何元素的集合，故④错；

对于⑤，因为“n”用于集合与集合，故⑤错.

故错误的有①④⑤，共3个，

故选：C.

【变式3-1]3.（2023秋•重庆渝中高一重庆巴蜀中学校考期末）已知集合A={xeR|/+3x=0},则有

（）

A.0C/1B.-3E4C.A有4个子集D.{3}GA

【答案】ABC

【分析】根据题意先求出集合力，然后利用元素与集合的关系，集合的子集等概念进行判断即可求解.

【详解】由题意可得力={-3,0},

由集合与元素，集合与集合的关系可知A正确；B正确；D错误；

由子集的概念可知：集合A的子集有。,{0},{-3},{-3,0}共4个，所以C正确；

故选：ABC.

【变式3-l】4.（2023秋•四川眉山•高一校考期末话集合4:卜|“*2k+l）,R£Z},R=[x\x二,士打£Z},

则集合力,B之间的关系表示最准确的为（）

A.AQBB.BQAC.A=BD.力与B互不包含

【答案】C

【分析】对k分奇偶进行讨论，即可判断集合A,B之间的关系.

【详解】对于集合力，当k=27i（7i£Z）时/={x|x=g〃+g,n£Z},当k=27i-l（7i£Z）时/=[x|x=^n-i,nGZ],

所以A”.

古嫩：C,

【变式3-1]5<2022秋•陕西安康高一校考期末股集合A={1,-l-a,a2+3a-3},B={x\x2-2x+l=

0},C={x\x2-（Q+l）x+a=0}.

（1）讨论集合B与。的关系；

（2）若QV0,且Cq4,求实数a的值.

【答案】（1）当a=1时，B=C；当a工1时，B是。的真子集；（2）a=-3或a=

【分析】（1）化简集合8=⑴,C={x|（x-l）（x-a）=0},分类讨论，利用子集的定义判断即可；

（2）由C£4，分两种情况讨论，分别列方程求解即可.

【详解】（1）8={1},C={x|（x-l）（x-a）=0},

当a=1时，8=C=⑴；

当a=1时，C={1,a},8是C的真子集.

（2）当aV0时,因为CcA,所以{l,a}U4

当+3Q-3=Q时，解得Q=1（舍去）或Q=-3,此时4={1,-3,2},符合题意.

当一1一Q=Q时，解得Q=,此时力={1,一：,一?}符合题意.

,a=-3或Q=

题型4子集真子集个数问题

【例题4]（2022秋・江西宜春•高一校联考期末）集合{y6N|y=-/+6,xwN}的真子集的个数是（）

A.15B.8C.7D.63

【答案】C

【分析】根据条件求解x,y的范围，结合％EN,y€N,得到集合为{2,5,6},写出其真子集即得解.

【详解】由于ywN.・.y=-/+6Z0,

-V6<x<V6,又xeN,

•••x=0,1,2,

•••y=6,5,2,即集合{yeN|y=一/+6,xGN）={2,5,6},

该集合的所有真子集为0,⑵,⑸,⑹,{2,5},{2,6},{5,6},

•••该集合的真子集个数为7,

故选：C.

【变式4-1]1.（2022春河北保定•高一河北省曲阳县第一高级中学期末）集合M={x|ax2+3x-l=0}

至多有1个真子集,贝必的取值范围是（）

或

A.a<--44B.a>--C.a=0D.a=40a<--

【答案】D

【分析】由题意得M元素个数，分类讨论求解

【详解】当Q=0时，M=《},满足题意，

当aH0时，由题意得4=9+4a<0,得a<,

4

综上，a的取值范围是（-8,-曰u{0}

故选：D

【变式4-1】2.（2023秋・江西新余・高一统考期末）已知集合力={-1,0},8={1,2},则集合。=

{z|z=x2+y2,xFA,yF0}的直子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】c

【分析】先根据题意求出集合c,再求其真子集的个数.

【详解】当％=-l,y=1时，Z=（-1）2+I2=2,

当x=-l,y=2B寸，z=（-1）2+22=5,

当x=0,y=1时,z=02+I2=1,

22

当x=0,y=2时,z=0+2=4;

所以。=[z\z=x2+y2,xeA,yEB]=[1,2,4,5）,

所以集合C的真子集的个数为24-1=15个，

故选：C

【变式4-1】3.（2023秋•辽宁沈阳•高一沈阳二十中校联考期末）已知集合M满足{2,3}{123,4,5},

那么这样的集合M的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.

【详解】因为{2,3}CMC{123,4,5},

所以集合M可以为：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,5},

{123,4},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共8个，

故选：C.

【变式4-1]4.(2023秋・甘肃酒泉•高一统考期末)已知集合/={%|(m-l)x2+3x-2=0}恰有两个非

空真子集,则m的值可以是.(说明：写出满足条件的一个实数m的值)

【答案】2(答案不唯一)

【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程4>0得答案.

【详解】集合力={x|(m-l)x2+3x-2=0}恰有两个非空真子集，

则集合A中含有2个元素，即方程(m-l)x2+3x-2=0由2个不等实根，

(7n—1¥：0

"(A=9+8(771-1)>0z

解得m>-沮mH1.

故答案为：2(答案不唯一).

题型5集合的并交补运算

【例题5](2022春・陕西西安・高一长安一中校考期末)已知集合M=[x|x=等+曝wZ},集合N=

{%卜=£z},则MnN=()

A.0B.MC.ND.Z

【答案】B

【分析】化简得M=[x\x=迎产,kEZ},N={x\x=%"/EZ],再分析即可

【详解】由题意，何=1|工=殁业,kEZ},N=[x\x=^^tkEZ],因为2(〃+1),(AEZ)表示所有

偶数,k—2(kWZ)能表示所有整数，故MCN=M

故选：B

【变式5-1]1.(2023秋•江苏盐城•高一校联考期末)设全集U=R,集合A=[x\x<2],B=[x\x<-2

或x>6},则4n(Ci/B)=()

A.{x\x<2}B.{x|2<x<6}

C.{x\-2<x<2]D.{x|-2<x<6}

【答案】C

【分析】先求出QB,再求An(QB).

【详解】C(jR={工|一2<x<6},所以4n(Q。)=M-2<r<2].

古嫩：C

【变式5-1]2.(2023秋・北京昌平•高一统考期末)已知集合A8都是N,的子集，48中都至少含有两个元

素,且48满足：

①对于任意x,y£4,若x工y,则xyGB;

②对于任意cB,若xvy,则“4

若A中含有4个元素，则AU3中含有元素的个数是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】令力={。,。,(?,叫且。,瓦(?,4EN\a<b<c<d，根据已知条件确定B可能元素，进而写出居y6B

且x<y时g}的可能元素，讨论beHad、be=ad,结合g5确定a/,c,d的关系，即可得集合A、B并求

出并集中元素个数.

【详解】令A={a,b,c,d)^.a,b,c,deN*,a<b<c<d,如下表行列分别表示％y,

集合8可能元素如下：

xyabcd

a-abacad

b--bebd

c---cd

d----

贝!]ab<ac<n\in[bc,ad}<n\ax{bc,ad]<bd<cd,

若匕cHad,不妨令ab<ac<be<ad<bd<cd,下表行列分别表示y,%,

y

abacbeadbdcd

X

ccddcd

ab-

babaab

bdbdd

ac一-

a7aca

ad.dd

be---

反cb

bc

ad----

aa

c

bd-----

b

cd-

由？“，而min鸵}<max09Vmin*]}<max*]}<，且箓4吗<?<*,显然序中元素

超过4个，不合题设；

若he=ad,则a匕<ac<be=ad<bd<cd,下表行列分别表示y,x,

y

abacbebdcd

X

ccdcdc-d„

ab-a=(/=(J

baa

bbdbdd

ac--77

a应=(7=(力a

dbdc

be------

7=aba

c

bci----

b

cd-----

由1”,而mi吒,§<max6,§<；V/且.<min{(^)2,^)<max{(软,£}<铲，

要使g}中元素不超过4个，只需{丫=，

%Wc=aa

此咤="02=汴min{铲,3<max{$，皂,

34

显然(：)2H，即C?Had,贝4=^=a,即b=小且c=ab=a,故d=a,

3456734567

所以Q力=a<ac=a<be=ad=a<bd=a<cd=a,即8={a,a,a,a,a},

而4={a,a2,a3,a4},故力\JB={a,a2,a3,a4,a5,a6,a,},共7个元素.

故选：C

【点睛】关键点点睛:令A={a,瓦c,d}且a,b,c,deN',a<b<c<d，结合已知写出8可能元素，由％yEB

且x<y时{7}的可能元素且:“研究a,b,c,d的关系.

2

【变式5-1]3.(2023春•四川绵阳•高一期末)集合力={(x,y)|y=x,xER},B={(x,y)|y=xtxeR)l

则4nB的元素个数为()

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

【分析】联立两个集合中的方程，解方程即可得到两个集合交集的元素，从而得到结论.

2

【详解】因为A={{x,y)\y=xfxeR},B={(x,y)|y=x,xeR),

联立方程可得忧;解得仁闻;二:，

所以ACB={(0,0),(1,1)},则集合An6中的元素个数为2.

古嫩：A.

【变式5-1]4.(2023秋河北邯郸•高一统考期末)设4、①、心、…、&是均含有2个元素的集合，且

4n=04cAi+1=0(i=1,2,3,,6)记8=力1U力2U力3U…UA7，则B中元素个数的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】设4、不、…、xM(n>4)是集合B互不相同的元素，分析可知九>4,然后对八的取值由小到大进行

分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.

【详解】解：设修、小、…、xn(n>4)是集合B互不相同的元素，若72=3,则为DA20,不合乎题意.

①假设集合B中含有4个元素,可设&={xltx2),则%=4=儿6={x3tx4),

43=45=47=x2)1这与41C%二0矛盾；

②假设集合8中含有5个元素,可设力1=4={xlfx2),A2=A7={X3,X4},

43=i44={x2>-^3)1={X4,X5},满足题思.

综上所述，集合8中元素个数最少为5.

古烟：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大

进行分类,对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.

题型6集合关系求参数

【例题6](2023春•辽宁葫芦舟高一统考期末)已知集合4={l,m},8={0,m+1,血一1},A£B,则

实数m的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根据集合A与3的关系可以得到m=。或m=m+1或m=m-1,排除后两种情况即可得解.

【详解】•••4G8

•••rn=0或m=m+1（不可能，舍去）或m=m-1（不可能,舍去）

故选：B

【变式6-1]1.（2023春•云南曲靖•高一统考期末）已知集合A={1,2},B={x\ax+1=0},若8C4,则

Q的取值集合为（）

【答案】D

【分析】根据空集和非空集两种情况即可求解.

【详解】由Bc力可得，若/?=0时，则a=0,

若8H。时，则由8cA可得B={1}或{2},故a+1=0或2a+1=0,则。=-1或a=-’

故a的取值集合为-L-g}/

故选:D

【变式6-1]2.（2023春重庆北暗高一西南大学附中校考期末）已知集合M={%I%=3A-2,kWZ},集

合N={%Ix=6/c4-1,ZceZ}，则（）

A.M=NB.MGN

C.NGMD.MnN=0

【答案】C

【分析】利用集合之间的基本关系来判断.

【详解】对于集合N中的元素都有无=3（2k+1）-2,其中2k+1表示奇数，

对于集合M中的k能取所有的整数，集合N和集合M相比较，集合N少了代入偶数时所对应的x值，所以NcM,

故选：c.

【变式6-1】3.（2023春•四川成都•高一校联考期末）下面有四个命题：

①{3}G[x\x>3}；

②若a=2鼻,B=卜6R|x22+&},则aE8；

③若-a不属于N；则a属于

④若4=[x\y=Vl-x2},B=[y\y=V1-x2},则力=B

其中真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.

【详解】①由子集概念知{3}c[X\X>3}正确；

②因为2&<2+V2,所以QeB,故错误；

③当a=0时，-0WN*,0W故错误；

④因为4=[x\y=V1-x2]=[-1,1],F=[y\y=V1-x2}=[0,1],所以力*B,故错误.

故选：B

【变式6-1]4.（2023秋吉林•高一统考期末）设。/eR,P={l,a},Q={2a+3,8},若P=Q,则a-

b=.

【答案】0或—4

【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.

【详解】当产+311时，Q=_],万=_1,满足P=Q，则a-6=0；

（a=b

当{2a+[：a时，Q=_3B_],满足p=Q，则Q_/）=-4；

lL—u

故答案为：0或-4

【变式6-1]5.（2022秋•江苏连云港•高一期末）集合M二{1,2,a,a2・3a-1},N={-1,3},若3GMS

NgM,则a的取值为

【答案】4

【分析】根据元素与集合的关系和集合之间的关系，分情况判断即可.

【详解】因为3GM,所以a=3或c?一3a-1=3,因此a=3或a=4或a=-1；

当a=3时，M—[1,2,3,—1],NGM,不满足题意，舍去；

当a=4时，M={123,4},N生M,满足题意；

当a=-1时，M={1,2,3,-1）,/VcM,不满足题意，舍去；

故答案为4

【变式6-1]6.（2022春・吉林长春・高一长春市第五中学校考期末）含有三个实数的集合可表示为{见£,1）,

也可以示为{a2,Q+40},则a?。】？+匕2。14的值为.

【答案】-1

【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.

【详解】解：由题意，若a=a?,则a=0或1,检验可知不满足集合中元素的互异性，

所以a=a+b,则b=0,

所以a?=1,则a=-1,

故a2013+b2014=_1.

故答案为：—1.

题型7集合运算求参数

【例题7]（2023春・贵州毕节•高一统考期末）设集合A={2,0,。8={2,/）且4cB=B,贝卜的取值集

合为（）

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-72,1,72)

【答案】B

【分析】由题意知力n8=8,由集合交集定义可解.

【详解】由题意知4C\B=B,所以/=0,或/=*,

当好=0时，得X=0,不符合题意；

当/2=X时，得X=0,或％=1,

当X=0,不符合题意，％=1时，4={2,0,1},8={2,1},符合题意.

故选：B

【变式7-1J1.（2023春•宁夏石嘴山・高一平罗中学校考期末）已知集合4={0,4,,B={0,m2}且4UB=

力，则m的值为（）

A.0B.一2或2

C.-2或1或2D.-2或0或1或2

【答案】C

【分析】根据并集的结果可得血2=4或"仔=小，再根据集合的性质求解即可.

【详解】由力UB=4可得7九2=4或7/=m,解得m=2,m=-2,m=1或TH=0.

又集合A={0,4,m}与8={0,m2},故m*0,故m=2,m=-2或m=1.

故选：C

【变式7-1]2.（2023春湖南衡阳•高一衡阳市一中校考期末）已知集合M=[0,2,a},N={2a,4-a）,

MnN00,则a的可能取值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据交集的结果求参数.

【详解】因为MnNH0,所以2aeM或4-aEM,

所以2Q=0或2Q=2或2a=Q或4-a=0或4-a=2或4-a=a,

解得a=0或1或2或4,

经检验当a=。或a=2时，不满足集合中元素的互异性，

所以a的可能取值为1,4,共2个.

古嫡B

【变式7-1]3.(2023春•山东滨州•高一校考期末)已知全集U={-14,3},集合力={a+2,小+2},且

Q/1={-1},则Q=.

【答案】-1

【分析】依题意可得1F4且3Fk,再分类讨论得到方程组，解答即可.

【详解】因为全集U={-1,1,3},集合4={a+2,a2+2},且£力={-1},

所以15且3eA,

er-pifQ+2=1-U.fa+2=3

所以12+2=3或12+2=「

当仁;箕;时，解得a=-1，

当彳二：时,方程组无解，故舍去.

综上可得Q=-1.

故答案为：-1

【变式7-1]4.(2021秋•四川成都•高一成都七中校考期末)已知集合A={x\2a+1WxW3a+5},集合

B={x|3工％W33},若4UQ4nB),则aG()

A.[1,9]B.[l,g]

C.(-oo,-4)U[1,9]D.(-oo,-4)U[l,y

【答案】D

【分析】由AGG4n8)可得AcB,对集合A进行分类讨论即可.

【详解】因为力£(4n8),所以4CB,

若A=0,即当2a+1>3a+5时,解得a<-4,此时符合题意；

[2a+1>3

若?I*0,因为4GB,所以有12a4-1<3a+5,解得1<a,

(3a+5<33

综上所述,a€(-co,-4)U[1,^].

故选：D

题型8集合与不等式求参数

【例题8](多选)(2023秋•四川南充•高一四川省南充高级中学校考期末)已知集合力={xI-1<x<7},

B="IQ+2WxW2Q-1},若使8c力成立的实数a的取值集合为M,则M的一个真子集可以是()

A.(-oo,4]B.(-oo,31C.(3,4]D.[4,5)

【答案】BC

【分析】根据题意8£力讨论8H。和8工。情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.

【详解】由题意集合4={xI-1<%<7],B={x|a4-2<x<2a-1],

因为BcA,所以当8=0时，a+2>2a-1,即aV3；

当B工。时，有一1<a+2<2a-l<7,解得3<a<4,

故M=(-8,4]，则M的一个真子集可以是(-8,3]或(3,4],

故选：BC.

【变式«-U1.(2023春•广东汕头•高一统考期末)若A=(r|r2+丫一〃>0},且1。4，贝加的取值范围

为

【答案】a>2

【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.

【详解】由于1任A,所以1+1-a<0,解得a>2,

故答案为：。二2

【变式8-1]2.(2022秋•全国•高一期末)设m为实数，集合力=[x\-2<x<4]lB=(x\m<x<m+2].

(1)若m=3,求AU8,CR(An8)；

(2)若AnB=0,求实数m的取值范围.

【答案】QMUF={x|-2<x<5},CR(An8)={x\x<3或%>4]

(2)(—co,—4)U(4,4-co)

【分析】(1)求出m=3时集合B,再利用集合的运算即可求出4UB与CR(AnB)；

(2)根据An8=0得出关于血的不等式，由此求出实数m的取值范围.

【详解】(1)集合4={x|-2<x<4],n?=3时，R={x[3<r<S},

所以/UB=(x|-2<x<5},

又因为4nB={x|3WxW4},

所以CR(4nF)={x\xV3或x>4},

(2)由4Cl5=0,得m4-2<-2或m>4,

即7沱<一4或血>4,

所以实数m的取值范围是(-8,-4)U(4,+8).

【变式8-1]3.(2022秋•全国•高一期末)已知非空集合A={x\2a+1<x<3a-5},B={x|3<x<22}.

(1)当Q=10时，求；

(2)求能使4UB=B成立的a的取值范围.

【答案】(1)力08={x|21<x<22],AUB={x|3<x<25}

(2)[6,9]

【分析】(1)当a=10时，求得A={x|21<%<25},3={x|3<x<22],结合集合交集、并集的运算，

即可求解；

(2)由4U8=8,得到4cB,结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.

【详解】(1)解：当a=10B寸，集合A={%|21<x<25},5={x|3<x<22},

由集合交集和并集的定义与运算，可得力n8={x|21<%<22],AU8={x|3<%<25}.

(2)解：由非空集合力={x\2a+l<x<3a-5},fi={x|3<x<22},

因为力UB=B,可得力QB,

3a—5>2Q+1

因为AH0,所以2a4-1>3,解得6<a<9,

3a—5<22

所以实数a的取值范围是[6,9]

【变式8-1]4.(2023秋浙江台州高一统考期末)已知集合4={%wR|2a—3cxva+l},B=

{x€R|(x+1)(%-3)<0}.

Q)若a=0,求4nB；

(2)若力n(CRB)=A,求实数a的取值范围.

【答案】(1)4nF={%eR|-l<x<1]

(2)aE(-co,-2]U[3,+oo)

【分析】(1)根据交集的定义，即可求得本题答案；

(2)由力n(CRB)=力，得力旦CRB,利用分类讨论，考虑4=。和人工。两种情况，分别求出实数a的取

值范围，即可得到本题答案.

【详解】(1)若a=0,则4=U£R|-3vxv1},

因为8={x€R|-l<x<3},所以力nF={xGR|-l<x<1};

(2)由题，得CR8=[x\x<一1,或xN3},由An(CR8)=力，得力GCRB,

若力=0,贝(12a—3Na+1,得Q>4,

若4H0,即a<4时,则有a+1<-1,或2a-3>3,得a<-2或3<a<4,

综上,aE(-00,-2]U[3,4-00)

【变式8-1]5.(2023秋•吉林长春・高一长春外国语学校校考期末)已知集合M={x|l<%<2],集合N=

{x|3<x<5].

(1)求CRN,MD(CRN)；

(2)设4={x\a<x<Q+3},若4U(CRN)=R,求实数a的取值范围.

【答案】Q)CRN=[x\x43或无25},Mn(CR/V)={x|l<x<2}

(2)23]

【分析】(1)根据补集、交集演口识求得正确答案.

(2)根据4U(CRN)=R列不等式，由此求得a的取值范围.

【详解】(1)依题意，集合M={x|l<x<2},集合N={出3<x<5},

所以CRN=[x\x<3或x>5},Mn(CRN)={x|l<x<2].

(2)由(1)得CRN={x\xW3或xZ5},

而<={x\a<x<a+3}且力U(CRN)=R,

所以LW，解得24aW3,所以a的取值范围是[2,3].

1a"T"O"D

题型9集合与方程求参数

【例题912022秋・湖南怀化•高一校联考期末)已知集合A={x|x2-5x+6=0),B={x|x2-5x+a=0).

若B5,求实数a的取值范围.

【答案】0=6或°>今

4

【分析】由题意，求得力={2,3}，再根据BcA，结合韦达定理分BH。和8=0两种情况讨论即可求出答案.

【详解】由4={x\x2-5x+6=0},贝[M={2,3}.

vB={x|x2-5%+a=0},

8为方程/-5%+a=0的解集.

①若B工0,则8。力，

•••B={2}或B={3}或8={2,3},

当8={2}时/-5x+a=。有两个相等实根，即Q=2,勺+&=4。5不合题意,同理BH{3},

当8={2,3}时，2+3=5,Q=2X3=6,符合题意；

②若B=0,则4=25-4aV0,即a>公，

4

综上所述,实数a的取值范围为a=6或a>手

4

【变式9-1]1.(2021秋•云南保山•高一校考期末)已知集合