高一数学（人教A版）必修二学案：直线与直线垂直

8.6.1直线与直线垂直——(教学方式：深化学习课一梯度进阶式教学)

［课时目标］

1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系.

2.理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法.

I.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线小b,经过空间任一点。分别作直线//a,////b,我

们把直线所成的角叫做异面直线。与b所成的角(或夹角).

(2)空间两条直线所成角a的取值范围：.

|微|点|助|解|

(I)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点0的位置

选取无关.

(2)两条异面直线所成的角昨(0,f.

(3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转

化为两条相交直线所成的角.

2.两条异面直线垂直

如果两条异面直线所成的角是，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a

与直线力互相垂直，记作.

|微|点|助|解|

两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异

面垂直两种情形.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)异面直线所成角的人小与点O的位置有关.即点O位置不同时.，这一角的人小也不

同.()

(2)异面直线。与b所成的角可以是0°.()

(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂

直.()

2.若空间三条直线a,b,。满足a_L〃，b//c,则直线〃与c()

A.一定平行B.一定垂直

C.一定是异面直线D.一定相交

3.已知正方体则A”与所成的角是.

题型(一)求异面直线所成的角

［例1］如图，在三棱锥A-8CD中，AC1BD,E在棱A8上，尸在棱CD上，并使AE：

EB=CF：FD=m(m>0),设a为异面直线EF和AC所成的角，p为异面直线EF和所成

的角，试求a+4的值.

听课记录：

［变式拓展I

将本例变为：如图所示，点A是平面3c。外一点，AD=BC=2,E,F分别是A从CD

的中点，且a=小,求异面直线A。和BC所成的角.

I思I维健I模I

求异面直线所成的角的一般步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面

直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面

直线转化为相交直线.

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

⑶结论——设由(2)所求得的角的大小为夕若0Y0W90。，则。为所求；若90°<6><180°,

则180。一夕为所求.

［针对训练］

1.在正方体ABC。一"B'CO'中，E,尸分别为面4'B‘C'D'与面A4'D'D

的中心，则E77与C。所成先的度数是.

2.在正四棱锥P-/WC。中，AB=PA=2,E为PC的中点，求异面直线人P与力E所成角

题型(二)证明直线与直线垂直

［例2］如图，在正三棱柱ABC-A'B'C中，E为棱AC的中点，AB=8B'=2.求证:

BEA.AC.

听课记录:

I思I维腱I模I

证明两条直线垂直的策略

(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明.

(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90。来证明.

［针对训练］

3.在正方体ABCQ-AiBiGA中，E,尸分别是4S，BiG的中点，求证：DBilEF.

题型(三)异面直线所成角的综合问题

［例3］如图，在空间四边形48C。中，A8=CQ=8,M,N分别是8C,A。的中点.若

异面直线48与CQ所成的角为60。，求MN的长.

听课记录:

I思I维I建I模I

当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出

的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论.

［针对训练］

4.如图，在四棱柱由IGOI中，侧面都是矩形，底面四边形/TBCD是菱形，且

AB=BC=2y［3,N4BC=120。，若异面直线A山和4。所成的角是90。，则AAi的长度是

课下请完成课时跟踪检测(三十五)

8.6.1直线与直线垂直

课前预知教材

1.(\)a与(2)(rWaW90。2.直角aA.b

［基础落实训练］

1.⑴X(2)X(3)J

2.B

3.解析：连接4G,则8G〃4〃，所以N3GF为异面直线A〃与rG所成的角.因为四

边形〃CG厂为正方形，所以NBGP=45。.

答案:45°

课堂题点研究

［题型(一)］

［例1］解：过点MF//BD、交4C于点M,连接MEt

则CM：MB=CF:FD=小，

又因为4£：：£：8=。?：尸。=，〃，所以。加：加8=八£：£：8,所以£^〃4。，所以"=/

MEF,B=/MFE,

AC与8。所成的角为NEME因为AC_LB。，所以NEM尸=90。，所以a+4=90。.

［变式拓展］

解：如图，设G是AC的中点，连接EG,/G.因为E,尸分别是AB,CD的中点，所以

EG〃8c且EG=；8c=1,FG//ADt且/G=%O=1,即NEG尸为所求.又EF=也由勾

股定理逆定理可得NEG尸=90。.

［针对训练］

1.解析：连接8'D',则E为8'D'的中点，连接A）,则所〃48'.又CQ/A8,

所以NB’48为异面直线石尸与CO所成的角，即/4AA=45。.

答案：45。

2.解：如图，连接ACB。相交于。，连接。E,则。为AC的中点.又E为PC的中

点，所以。石〃AP,所以/。石。为异面直线AP与。E所成的角或其补角.又△PCO为等边

三角形，且边长为2,故0石=木.

又OE=g附=1,OD=^BD=y［2,

所以。炉二。^土。》，即NEO£）=90。.

所以cos/。60=娥=t=坐.故异面直线A尸与。E所成角的余弦值为由.

［题型（二）］

［例2］证明：如图，取CC'的中点”，连接EF,BF,

YE为AC的中点，F为CC的中点，：.EF//AC',

J/BE尸即为异面直线8石与AC'所成的角，且石尸=）。'.在正三棱柱ABC/'夕C

中，AB=BB'=2,

：.AC=2^2,...E/在等边△ABC中,

BE=72f2=4在中，

肝=小斗不=事.在&BEF中BE?+E产=B产,：.BELEF,故8E_LAC'.

［针对训练］

3.证明：如图，连接4G,B^D^,并设它们相交于点。，取。。的中点G,连接0G,

A\GtC\G.

则。G〃S。,EF//ACi.

EI兀

.../GOA为异面直线。丛与£”所成的角或其补角.

VGAi=GCi,。为AG的中点，

・・・GOJ_AiG..••异面直线DBx与所所成的角为90。,即DByLEF.

［题型（三）］

［例3］解：如图所示，取8。的中点£连接ME,N£因为M,N分别是8C,A。的中

点，所以ME〃C。且ME=）CD=4,NE//AB且NE=%B=4,从而/MEN（或其补角）即为

AB与CD所成的角.又异面直线4B与C。所成的角为60。，所以NMEN=60。或120。.

当/MEN=60。时，由余弦定理可知

MN=7EN7EM2-2XENXEMXcos600=4.

当NMEN=120。时，由余弦定理可知

MN=7EN?+EM?—2乂ENXEMXcos120。

=46.

［针对训练］

4.解析：连接CD,AC在四棱柱ABCO-AISGOI口，A。鼻秀8C,所以四边形48