2026年高考数学一轮复习专练三角函数的图象与性质

第05讲三角函数的图象与性质

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

1.（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知函数

/*）=cos*+e）,e£（FK）,若函数人用在x=£处取得最小值，则6=（）

4

A3C九七7rC3

A.兀B.——C.-D.—H

4444

2.（2025•甘肃酒泉•模拟预测）函数3，=312役-的最小正周期是（）

A.27rB.6兀C.4nD.—

2

3.（23-24高一下•上海•期中）关于函数），=tanx,xw谭的最大值和最小值，表述正确

—一

的选项为（）

A.最大值是-6,最小值是1B.最大值是1,最小值是

C.最大值是:，最小值是-!D.没有最大值，最小值是:

222

4.（山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题）己知函数

/（x）=lan^2x-^,则（）

A./（力在定义域内是增函数B.””是奇函数

/\

C.仆）的最小正周期为冗D./（力图象的一个对称中心是亲0

5.（辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数

/（力=2以寸3：+石sin2④的最小正周期为北，则下列说法正确的有（）

A.o）=2

B.函数“X）在0词上为减函数

C.直线工=方是函数）=/（"图象的一条对称轴

D.点（称。］是函数），=/（x）图象的一个对称中心

1IN/

6.（河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题）若函数

/(.r)=-2cosI2x+—-⑪在R上单调递减，则。的取值范围为（

A.[4,+co)

7.（24-25高二下•安徽蚌埠•期末）函数〃x）=lg（x+Ji77）+sin2x+4在卜2025,2025］上的

最大值和最小值之和为（）

D.4050

8.（24-25高二下•广东揭阳・期末）已知函数/（"=则］如-?（0＜。＜3）7=；是/3的

一个零点，则当X/-碧］时，y=/（x）+d“+小的值域为（）

A.---B.一一—C.--—.1D.一一—,V2

I22J22JI2」I2」

9.（多选）（24-25高一下•广东揭阳・期末）设函数/（x）=cosx-Gsinx,则下列结论正确

的是（）

A.-2兀是/（幻的一个周期B.的图象关于直线1=3对称

6

C./0+兀）的一个零点为工二二D.y（x）在区间几上单调递减

10.（多选）（24-25高二下•云南•期末）已知函数/（K）=|2sinx-2|，则（）

A./（x）的最小正周期为2%

B./3）的图象关于）'轴对称

C./（一的值域为［0,2］

D.将函数产-2sinx的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象

11.（24-25高一下•北京平谷•期末）将函数/3=shwx®w0）图像向左平移。个单位长度，

得到的图像关于点（余（））中心对称，则出的一个取值为

12.（24-25高一下•湖北武汉•期末）若点30）是函数y=2cos（x-5）图像的一个对称中心,

则时的最小值为.

13.(24-25高一下•四川成都・期末)设函数/(x)=2sinxcosx-2cos2x+l,xeR.

⑴求函数/(x)的最小正周期和单调递增区间；

⑵求函数/(x)在区间J，个上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.

o4

14.(24-25高一下•云南楚雄・期末)将函数产sin(2x+/的图象向右平移!■个单位长度，

得到函数/(x)的图象.

⑴求“X)的解析式；

(2)求/(力的单调递减区间;

⑶求小)在信得］上的值域.

15.(25-26高三上•全国•阶段练习)已知函数y=；sin/+g|sinx|.

⑴画出该函数图象的简图.

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期.

(3)判断函数y=gsinx+；Isinx|的奇偶性.

B相遇高考

1.(2025•全国一卷•高考真题)若点(4。)(八0)是函数y=2tan(x-j的图像的一个对称

中心，则。的最小值为()

nnTt4n

A.-B.-C.-D.—

6323

2.(多选)(2024•新课标n卷•高考真题)对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-=),下

4

列说法中正确的有()

A./(“)与以x)有相同的零点B./(")与g(x)有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D./(X)与g(x)的图象有相同的对称轴

C素养提升

1.(24-25高一下•北京西城・期末)已知函数””的定义域为R.若存在周期均为]的两个

不同的偶函数g(x),h(x),使得/(x)=g(kcosx+〃(i)sinx,则称/(x)具有性质尸.

⑴判断工(x)=sinx,人(x)=x+sinx是否具有性质P,并说明理由：

⑵已知“X)具有性质P,且“力不恒为0.设M={T[〃r+x)=/(x).OvT〈27r}.证明：

若M为有限集，则M中的元素个数为偶数.

2.(24-25高一下•江西抚州•期末)已知函数)，=/(力，若存在实数〃，屋〃工。)，使得对

于定义域内的任意实数1,均有“•/(耳=/(工+4)+/5-4)成立，则称函数/")为何平

衡”函数；有序数对(〃应)称为函数/(X)的“平衡〃数对.

⑴若/(x)=f+i,求函数/(x)的“平衡〃数对；

(2)若〃=6,判断/(X)=COSA•是否为“可平衡〃函数，并说明理由：

⑶若〃I'PzWR，且/不g)、均为函数/3=cos2x(o<xq)的"平衡”数对，求

〃；+£的取值范围.

3.(24-25高一下•上海徐汇•阶段练习)已知函数/(x)=kinX+|cosN(xcR),函数

g(x)=4sinxcosx+MxwR),设厂(x)=fM-g(x).

⑴求证：；是函数/(x)的一个周期；

⑵当4=0时，求：尸(力在区间会冗上的最大值；

⑶若函数F(x)在区间(0,兀)内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数人的值.

第05讲三角函数的图象与性质

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

1.（湖北省恩施州2024-2025学年高一下学期期末质后监测数学试卷）已知函数

/（x）=cos（x+e）,ee（mn）,若函数/（X）在x=2处取得最小值，则。=（）

4

3九兀3

A.一一71B.一一C.—D.-TC

4444

【答案】D

【分析】由题可知?+。=兀+2E，结合匹（-兀,2解方程即可.

【详解】因为函数/a）在x=£处取得最小值

4

=7T+2E=>0=—+2kn.

44

乂（-江,兀），所以。=等.

4

故选：D.

2.（2025•甘肃酒泉•模拟预测）函数尸3由快-；）的最小正周期是（）

A.27rB.6兀C.4兀D.—

2

【答案】C

【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.

【详解】函数产3tan快一的最小正周期p|=47C,

故选：C.

JT71

3.（23-24高一下•上海•期中）关于函数y=tanx,xe的最大值和最小值，表述正确

L34J

的选项为（）

A.最大值是-G，最小值是1B.最大值是1,最小值是-6

C.最大值是最小值是-gD.没有最大值，最小值是g

【答案】B

【分析】根据正切函数的单调性求解.

【详解】因为y=tanx,xdH］单调递增，所以为n="，Na=L

故选：B.

4.（山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题）己知函数

/（x）=tanf2x-^l,则（）

A.〃力在定义域内是增函数B.”同是奇函数

Z\

c./'（"的最小正周期为兀D.小）图象的一个对称中心是将，（）

I"z

【答案】D

【分析】代入计算特殊值即可排除AB,根据周期的计算公式即可求解C,代入验证即可求解

D.

【详解】对于A,由于/f^=tanf2x^-^=^＞/（兀）=tanjzxTt—2］=,故A偌误，

（6）I66J316J3

对于B,由于“力在％=0处有定义，但/（O）=tan,胃=一等x0,故B错误，

对于C,/"）的最小正周期为故C错误，

对于D,/（^）=tan［2x］|-^=0＞故住，。）是小）的一个府称中心，故D正确，

故选：D

5.（辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数

/（“二28$25+百4112g一1（0：＞0）的最小正周期为八，则下列说法正确的有（）

A.（0=2

B.函数/（x）在。词上为减函数

C.直线x是函数［，=/"）图象的一条对称轴

D.点［号，（）］是函数y=/（x）图象的一个对称中心

X1//

【答案】D

【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公式、

单调性、对称性逐一判断即可.

【详解】/（x）=2cos26yx+Gsin2&x—1=cos2/x+Gsin26yx=2sin2cox+—.

A：因为8°'所以由字兀因此本选项说法不正确;

/(x)=2sin(2x+^j,

B：由上可知:

.八加tc兀兀兀7C7C

当XC(),-时，2X+-GC

06626625’5

因此函数/（X）在。弓上为增函数，所以本选项说法不正确;

因为佃=2叫2吗+加工2

C：

所以直线x=g不是函数y=〃x）图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确；

D：因为/信）=242喑+升0,

所以点（||。）是函数y=/（x）图象的一个对称中心，因此本选项说法正确，

故选：D

6.（河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题）若函数

/（、）=-2cos（2x+?）-⑪在R上单调递减，则。的取值范围为（）

A.[4,+co）B.[-4,-KX））C.[2,-KO）D.[-2,+OO）

【答案】A

【分析】等价转化为了'（x）<（）在R上恒成立，计算即可.

【详解】由题可知：函数/.（力=-285（2再看）-奴在口上单调递减，则八M40在口上恒

成立，

所以r（x）=4sin（2x+m]—aK0在R上恒成立，即〃之山由卜工+^]在R上恒成立，所以

I<6J

6Z>4.

故选：A

7.（24-25高二下•安徽蚌埠•期末）函数〃x）=lg（x+Ji77）+sin2x+4在卜2025,2025]上的

最大值和最小值之和为（）

A.2B.4C.8D.4050

【答案】C

【分析】由题意得/（”+/（r）=8即可得解.

【详解】因为Jl+f>国—所以/⑴在关于原点对称的区间［-2025,2025］上恒有意义,

H./(x)+f(-x)=1g1+VI+X?)+但卜x+Jl+x)+sin2z+sin(-2x)+8

=Igl+8=8,

所以/（x）在卜2025,2025］上的图象关于原点对称,

所以函数/（司=馆［+仄？）+。］21+4在［-2025,2025］上的最大值和最小值之和为&

故选：C.

8.（24-25高二下•广东揭阳・期末）己知函数/（%）=sin“M-2（。<@<3）,x是/⑴的

一个零点，则当X/-"］时，产/3+/「+父的值域为（）

八（K口（卡卡］rfV3JnfV6/zl

I22J22JI2JI2J

【答案】D

【分析】根据题中零点求出3的值，再化简>=/（%）+/卜+（），最后根据X的范围求出其

值域.

【详解】f（x）=Sin（s—：）（0<0<3）,x=方是“X）的一个零点.

.*.0=sinf^-^L解得：o=2.

184J

小)=

产/（力+/卜+木

=-J2sin2x.

所以，&sin2x€（-当,近，即丁=/（切+/卜+彳）的值域为（一-寺、近

故选：D.

9.（多选）（24-25高一下•广东揭阳•期末）设函数/（x）=cosx-Gsinx,则下列结论正确

的是（）

A.-2兀是/*）的一个周期B.了。）的图象关于直线x=B对称

C./*+兀）的一个零点为D.在区间传，兀］上单调递减

【答案】AC

【分析】化简/1）的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正

确答案.

/\

【详解】因为函数/'（x）=cosx-Gsinx=2cosx+g，所以它的一个周期为一2兀，故AIE确；

I3）

令x=m，求得〃x）=o,故B错误；

6

兀）r（兀）A兀

X+K+-=-2COSX+—,令］=一,

（3J/6

求得了《十兀）三一2尔传吟〕三。，故十江）的一个零点为人=9故C正确；

6166

当XC佟冗］时，力卜俘，萼］,而函数V=8SX在俘，斜上单调递减，

在（兀，?）上单调递增，所以/（X）在（5，兀）上没有单调性，故D错误.

故选：AC.

10.（多选）（24-25高二下•云南•期末）己知函数/"）=|2sinx-2|，则（）

A./*）的最小正周期为2兀

B./3）的图象关于了轴对称

C.f（x）的值域为［0,2］

D.将函数），=-2sin3的图象向上平移2个单位长度可以得到/*）的图象

【答案】AD

【分析】根据〃力=-24心-+2即可根据周期公式判断A.根据偶函数性质即可求解B,根据

三角函数性质即可求解C,根据平移的性质即可求解D.

【详解】因为/（x）=|2sinr-2|=-2s加+2,所以“力的最小正周期为2兀,A正确;

/（-x）=2shu+2¥/（x）,故/（x）不是偶函数，图象不关于＞轴对称，B错误；

因为所以/（x）的值域为［0,4］,c错误;

将函数＞=-2sinx的图象向上平移2个单位长度可以得到/（"的图象，D正确.

故选：AD

IL（24-25高一下•北京平谷•期末）将函数〃x）=sins（3工0）图像向左平移7个单位长度,

得到的图像关于点（，，（））中心对称，则出的一个取值为

44

【答案】j（答案不唯一，只要满足o即可）

【分析】先利用平移变换法则求得解析式，然后根据正弦函数对称中心列式求得

4

s=qk,kwZ,即可得解.

【详解】将函数/（x）=sin3T®¥0）图像向左平移?个单位长度，得到

）,=sin（x+（可（0H

由题意©2+=所以0=3%,keZ,

243

当&=1时，＜y=1.

44

故答案为：j（答案不唯一，只要满足o=即可）

JT

12.（24-25高一下•湖北武汉•期末）若点（4。）是函数y=2cos（x-§）图像的一个对称中心,

则时的最小值为1

【答案】7

O

【分析】根据余弦函数的对称中心可列出等式，进而求解.

【详解】（。,。）是）'=2cos图象的一个对称中心,

32

「•当攵=一1时，I矶产?

6

故答案为：7

O

13.（24-25高一下•四川成都•期末）设函数/（x）=2sinxcosx-28s%+1,XGR.

⑴求函数/（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数/（“在区间"，个］上的最小值和最大值，并求出取最值时工的值.

【答案】⑴最小正周期兀：单调递增区间为|"履-9命+当（丘z）.

OO

⑵最大值为拉，此时户称；最小值为T,此时X=含

84

/\

【分析】（1）由题意可得/（%）=2sin%cosx-2cos2%+l=&sin2x--,然后可其最小正

\41

周期，利用整体代换法求其递增区间；

（2）由时，利用整体代换法求得"-卜卜丹］,从而可得一1"（工）工立从

而可求解.

【详解】⑴

/（x）=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-（2cos2x-1）=sin2x-cos2x=\［1sin2x--I,

则小）的最小正周期为7=竽=兀，

当2E一建2工一建2也+5,AeZ时“X）单调递增，解得+等，keZ,

24288

7

故函数”力的单调递增区间为E-RE+斗（&eZ）.

oo

n3n,-it八57兀1,所以TWx/isin2X一二］4应,

⑵当xe于彳时’2'一片°U

44I4J

当2x—；=即五二,时，取得最大值加；

当21-：=与，即犬=日时，f（x）取得最小值-1.

故最大值为下，此时X=华：最小值为-1,此时3n

x=一

O4

M2呜）

14.（24-25高一下•云南楚雄・期末）将函数y=sin的图象向右平移?个单位长度,

O

得到函数“X）的图象.

⑴求/W的解析式；

(2)求/(x)的单调递减区间;

⑶求.(力在自卷上的值域.

【答案】⑴〃”=疝,一5

(2)四十4兀,^^+女兀(A€Z)

[_36

⑶[。』

【分析1(1)利用平移变换可求得了(x)的解析式；

(2)结合正弦函数的单调性，利用整体法可求函数的单调递增区间;

(3)由已知得24-1€[°、可，结合正弦函数的图象可求得函数的值域.

6

7T

【详解】(1)由题意得/(x)=sin2+一

12=阿2v.

(2)由］+2EW2x-Hw,+2E(AeZ),

得四十EWxW逆+E(&eZ),

36

所以/("的单调递减区间为m+配乎+桁(keZ).

3o

(3)由x'得小刑。H，

6

由正弦函数的图象可知/(x)gx=sin]=l,/(x)min=sin兀=0.

故,3在强"上的值域为

15.(25-26高三上•全国,阶段练习)已知函数y=；sin%+：|sinx|.

乙乙

⑴画出该函数图象的简图.

⑵这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期.

⑶判断函数y=1sinx+1|sinx|的奇偶性.

【答案】⑴答案见解析；

(2)是周期函数，最小正周期是2兀；

⑶非奇非偶函数.

【详解】解：(1)y=(sinx+』sinM=[，**竽2*?,伏£工)，函数图象如图

220,xe(2x7c-7c,2A7i)

所示.

y

C\'r\△一

-3n-2n-itOn2n3nx

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2兀重复一次，故函数的最小正周期是2兀.

(3)因为函数图象既不关「原点对称，也不关轴对称，所以函数)』gsinx+g|sinx|是

非奇非偶函数.

B相遇高考

1.(2025•全国一卷•高考真题)若点3,0)(。＞。)是函数)，=231一部的图像的一个对称

中心，则。的最小值为()

【答案】B

【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.

【详解】根据正切函数的性质，)，=2tan(xq)的对称中心横坐标满足％-?=与入2,

即1y=2tan(x——)的对称中心是可+彳,0),攵€Z,

3\32)

又。＞0,则攵=()时。最小，最小值是

即

故选：B

2.(多选)(2024•新课标II卷•高考真题)对于函数/(x)=sin2"dg(x)=sin(2x-r),下

4

列说法中正确的有()

A.f(x)与g(x)有相同的零点B.f(x)与g(x)有相同的最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

Lrr

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=],keZ,即为/*)零点，

令g(x)=sin(2x-J)=0,解得4="+弓乂£2,即为g⑺零点，

显然/(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项,显然〃X)a=g(K)a=l，B选项正确;

C选项，根据周期公式，/*),g(x)的周期均为券=冗，C选项正确：

D选项，根据正弦函数的性质/(X)的对称轴满足2x=E+2ox=g+：,&cZ,

g(x)的对称轴满足益一;二也+楙〜工二5+年/eZ,

显然/(x),g*)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

C素养提升

1.(24-25高一下•北京西城・期末)已知函数/(X)的定义域为R.若存在周期均为今的两个

不同的偶函数g(x)，MM，使得/(x)=g(x)cosx+〃(力sinx,则称J'(x)具有性质P.

⑴判断＜(x)=sinx,A(x)=x+sinx是否具有性质P,并说明理由；

⑵已知/(“具有性质忆且/⑴不恒为0.设知二任|/(7+力=/(力,。＜7'＜2几｝.证明：

若M为有限集，则M中的元素个数为偶数.

【答案】⑴答案见详解

⑵证明见详解

【分析】(1)对工(力，由性质尸得定义举例说明；对6(6,结合£(6的周期为2兀，利

用反证法证明；

(2)若丁cM,结合/(工)的周期为2兀，可得2兀-7也是/(x)的周期，且2兀-7«0,2兀)，

利用反证法证明了。兀，由此得证.

【详解】(1)工(力具有性质P，理由如下：

令g(x)=0,/i(x)=l,显然g(x)和外力是两个周期均为女的不同的偶函数，

且工(x)=sinx=0-cosx+l・sinx,所以工⑴具有性质P.

人(另不具有性质人理由如下：

假设人(可具有性质P，由性质P的定义可得人(x)的周期为2%，

但力(0)=0+sin0=0,工(27i)=27r+sin27r=27r,

所以.力(。)。人(2兀)，矛盾.

所以八（X）不具有性质p.

（2）若76",则/（x+T）=/（"）,

所以/（（2兀一7）+*=/（2兀+x）,又/（"的周期为2兀，即/（工+2兀）=/（力，

.•./（（2兀一7）+力=/（力，

所以2兀-7也是/（"的周期，且2兀-7«0,2兀）,

所以2兀一TeM,

假设7=冗,则对任意xeR,f（x+n）=f（x）,

则/（兀+x）=g（兀+x）cos（兀+x）+/z（兀+.r）sin（兀+x）

=-^（x）cosx-h（x）sinx=-f（x）,

所以〃工）二一〃"，即〃x）=0,

故对任意X£R,/（"=。成立，矛盾.

所以7#兀，

故若“为有限集，则M中的元素个数为偶数.

2.（24-25高一下•江西抚州•期末）已知函数），=/（力，若存在实数P,“（〃工0）,使得对

于定义域内的任意实数工，均有〃♦/（x）=f（x+4）+/（』F）成立，则称函数/（“为“可平

衡"函数；有序数对（PM）称为函数/（A）的“平衡〃数对.

⑴若f（x）=x2+\,求函数f（x）的“平衡〃数对；

（2）若〃二不，判断/（X）=COM是否为“可平衡”函数，并说明理由：

（3）若外PzwR,且„、,2号）均为函数/（＞=cos2x（0〈嗯）的“平衡”数对,求

P：+P；的取值范围.

【答案】（1）（2,0）；

（2"（x）=co*是“可平衡〃函数，理由见解析：

⑶（吟

【分析】（1）根据“平衡”数对的定义建立方程，根据恒成立求解即可；

（2）〃=石时，假设/（K）=cosx是“可平衡〃函数，列出等式，利用三角函数化简，即可

求解：

（3）根据“平衡”数对的定义将外P2用关于x的三角函数表达，然后求解即可.

【详解】（1）因为f（x）=Y+l为何平衡”函数，

所以对于任意实数X，均有〃(/+1)=(1+疗+1+"-4)2+1成立，

即(〃-2)/+〃-2d-2=0对于定义域内的任意实数、恒成立，

故只有〃=2,，/=0符合题意，所以函数/⑺的“平衡〃数对为(2,0).

(2)〃=6时，〃・/(x)=>/3cosx,f(x+q)+/(X-C/)=COS(X+(7)+COS(X-^)=2COSXCOS(7,

若/(x)=cof是“可平衡〃函数，则石cosx=2cosxcos“，

所以cosq=¥，解得好土>2E,仅eZ),

所以4存在，所以/")=co趺是呵平衡〃函数.

22x42222++co$2-=

(3)Ptcosx=cos^"^+cos^x-y^=2sinx,p2cosx=cos*,

因为0<xW巳，所以P1=2[an2%,p、=-=l+tan2x,

6"cos'x

p；+pl=4tan4x+(l+tan2x)-=5tan4x+2tan2x+1,

令f=tan%,则«()』，p；+"；=5产+2/+1在££(0《上单调递增，

所以P；+P；cL与]

3.(24-25高一下♦上海徐