2026年高考数学一轮复习专练：第三章 进阶篇 不等式恒（能）成立问题 进阶4 端点失效（附答案）

进阶4端点失效

利用必要性探路，充分性护航解决恒成立问题时，利用端点处需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而

往往得到的范围即为所求，再去做充分性论证即可.一般情况下单调函数是可以用端点效应的.但有时候难

以避免会遇到端点失效的情况，即通过必要条件得到的参数范围并不是最终的解.当函数不单调时，端点效

应就会失效了，如图.

〜/一2一

o\aXo\aX

遇到这样的情况，我们又该怎么办呢？

例已知函数凡丫尸当时，人丫)，夕41,求。的取值范围.

错误解法(端点效应失效)

令/?(A)=er+ar-x-|xi-1,其中x20,

抑0)=0,

/2'(x)=eq2a,

/f(0)=0,

h\x)=e+2a-3x,

力〃(())=1+2心()，

即心3,

但当时，力(x)=■吴大吴-I,

/i(l)=e-3<0.

正确解法方法一(必要性探路)

当在0时,段)，吴+1恒成立，

令/心尸e'+or2*吴-1,

则h\x)=e+2ax-\^?,

由仪&)=。，

出及区)=0,

A

(e°+axl-xQ-3蛭-1=0,①

即〈：C

XQ

\e+2ax0-1--X'Q=0,②

②X3①X2得(入0-2)铲。+**+2=0,

即(xo-2)exo-1就+就一密+23助+2=0,

x

即(xo-2)e°XQ(XO-2)-XO(XO-2)-(X()-2)=O,

即(92)8。一一右一1)=0,

又当G0时e'21+刈~1■(泰勒展开与，

所以.6=2,

所以人2)20,

下证充分性：

当。2q贮时，

4

7U户8十五-工三已'+午V-x,

只需证明e、+上笆f-x2Zv+ia)。)恒成立，

42

即323巴忘4(l20)恒成立，

令心尸1-7)/+，+2”+4(]20),

铲

贝I]*1.尸。3-62)/+2(/-9)「一2二

_1X[2z2(i3e2)x2(e29)]

T(Y2)[2x+(e29)]

所以当同0,?)时，*x)vo,心:)单调递减；

当同娱2),go,心)单调递增;

当x£(2,+8),f(x)<0,心)单调递减.

从而；(x)max=max{z(O),z(2))=4,

即"x)W4,成立.

所以当〃2平时，府)21+1恒成立.

综上，。的取值范围是[7,+8).

方法二(分离参数)

由加2y+1得，3+/_彳2吴+1,其中工为，

当户0时，不等式为121,显然成立，符合题意；

当Q。时，分离参数。得，

记g0)=-

X2

(x-2)(ex-x2-x-l\

2

gU)=I/---,

令/心尸小吴正1(x20),

则/r(x)=P*l"(x)=P・120,

故/?'⑴单调递增，/?。)2”(0尸0,

故函数/©)单调递增，/?(X)^/7(O)=O,

由/心)、0可得e^-x-l20恒成立，

故当x£(0,2)时，g'(x)〉0,g(x)单调递增；

当在(2,+8)时,g")vo,g(x)单调递减,

因此，g(X)max二且(2尸弓~,

故a》g(X)max二,

综上可得，实数。的取值范围是［与笆，+oo).

思维升华导函数含参数单调的可以使用端点效应，导函数含参不单调的不能使用端点效应，如e<ar-x-

120在［0,+8)上恒成立可以使用端点效应，因为它的导函数小2底1在。<0时为单调函数，而小*-诙

1NO在［0,+8)上恒成立就不能使用端点效应.

跟踪训练已知函数〃(x)=〃eE-lnx+lna-l,若〃(尤)20恒成立，求实数〃的取值范围.

解方法一(必要性探路)

•・•〃*)，()恒成立，

,f//(x0)=0，

lHz(Xo)=0,

x-1

fae°—Inx0+Ina-1=0,

即aex°-1--=0,

得沏二1,

.••"(1)20,解得a21.

下面证明当时，”(x)20恒成立，

将//(x)=flevl-lnx+lna-\视为关于a的函数"i(〃)=e"%+lna-lnx-\,

易知Ma)单调递增，

.•.w(c)^w(l)=ev-'-lnx-l,

又1"2],InxWx-l,

/.eAl-lnx-\>0,

即m(a)20,所以H(x)20,

综上，a的取值范围是[1,+°°).

方法二(常规分类讨论+隐零点代换)

,・・.”5)在(0,+8)上为增函数，

当a=\时，HU)=er1-^,〃。尸0,

当xE(0,1)时，HV)<0；

当,+8)时,H3X),

则//(x)min=H(l)=0,

故H(x)三0,符合题意.

当心1时,取xi=min{l,:},则H\x\)<0；

取小=,则"5)>0,

，存在内£(即，工2)使得"5)=0,

当xC（0,即）时，H\x）＜0,”（幻单调递减；

当X£(X3,+8)时，H,(x)>0,”(x)单调递增，

”(x)min=〃(X3)=ae'3T-in有+Ina-\,①

又HU3)=aeX3~1--=0,即,

X3x3

两边取对数得Ina+xy-1=-In不，②

代入①得”(x)min;"(.0)=工+lntv+xvl+lna-1=^-+x^-2+21na,

x3x3

由题意知H(x)minNO,即J+x3-2+21n〃20=21n+必)+2,

又G+%3)+2<0,

・・・21na20,解得,故a>l,

综上，。的取值范围为［I,+8).

方法三(指对同构)

由H(x)=aev,-lnx+\na-13。得。加/印+111a+x-\^\nx+x,③

令F(x)=lnx+x,

则③式等价于F(eln<m-')^F(A-),④

又产⑴单调递增，，④式等价于心"、”2工，

即讹口心福，

e人1

令加(X)二岛，则"7。)二合，

・•・〃?(/)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,

，

•«m(A)max=m(l)=l,

・"力，即。的取值范围为［1,+8).

课时精练

［分值:34分］

1.(17分)已知函数|大尸e'cos%,当x>0时，段)2e,(cosx-l)+f+g-l)x+l恒成立，求实数。的取值范围.

解方法一(分离参数)

由五万2cv(cosx-1)+.r+(a-1)x+1,可得tzxWe'-f+x-1,

即当x>0时，a^--x--+]恒成立.

XX

设片FT1。>°)，

则咛^

°X2X2

令(p(x)=ex-x-],则当x£(0,+8)时，,(幻二炉-1>0,

所以当xe(0,+8)时，g)单调递增,夕&)>3(0)=0,

则当上£(0,1)时,g0)<0,g(x)单调递减；

当x£(l,+8)时，gq)>0,g(x)单调递增，

所以g(X)min=g(l)=e-l,

所以“的取值范围为(-8,e-1].

方法二(指数处理技巧)

当40时,不等式等价于1+9一？“+"21恒成立，

令/心,x>0,

贝lj=(-x+l)[x+a-2),A.>(),

铲

①若<7=1,介。尸匕半二2二壬111,

exex

因为(小1)220,e'>0,

所以力O)wo,心)一+("一？”+〃在(0,+8)上单调递减，加i)<〃(0)=l,"I符合题意.

ex

②若“<1,则\<2-a,

当x£(0,l)U(2-67,+8)时，/?/(x)<0；

当x£(l,2-Q)时，》(x)>0,

所以力(%)在42-〃处取得极大值，

由当工>0时,ev>x+l知,e2a>3-a,

即力(2/)=品<1,

又/2(0)=1,所以h(jc)<1在(0,+8)上恒成立，

因此“<1符合题意.

③若\<a<2,贝I]0<2-«<1,

当XG(O,2-«)U(l,+8)时，力，(x)<0；

当x^(2-a,1)时,/?«)>(),

所以/心)在户1处取得极大值，

阿0)=1,

则由卜6=等三产1<』-1.

④若心2,则/2(1)=—^>1,与题意矛盾.

ee

综上所述，。的取值范围为(-8,e-1］.

2.(17分)已知函数凡i)=sinx-4+ai2(aWR),若犬］)20恒成立，求。的取值范围.

［错解1］容易得./(0)=0,/(x)=cosx-1+2ax,/(0)=0，/'(x)=-sinA+2”结合端点效应，当尸(x)=-sinx+2〃20,

即当时，危)20恒成立.

［错解分析I该解法的思路是破题的一种方法.根据端点10)=0且，(0)=0的特点，学生考虑/⑴单调递增时

的一种“理想状态"，即/恒成立时，有八用单调递增，结合八0)=0,得加)min/0)=0,所以

儿6》0,这必定符合题意.

因此针是问题成立的充分条件.对于此时的充分条件，如何证明其必要性呢？如果顺着学生思路走下

去，接下来应考虑，当时，火灯20不恒成立，即总能找到一个的，使人的)<。.结合正确答案”2；来看，

这显然是行不通的.因此，正确的做法是当时，继续寻找符合题意的a,但这个思维难度就不小了.

［错解2］容易得/0)=0,/(x)=cosx-i+2ax,/(0)=0,求得八x)=-sinx+2a.结合端点效应，必有八0)=2〃20,

即“20.

［错解分析|该方法的思路是完全按照“端点效应”的情况处理的，所以/(0)20,即2a^0,a20.此时，

求得的范围是问题的必要条件，如何证明其充分性呢？如果顺着学生思路走下去，接下来应考虑，当

时，负x)20恒成立.

以上两种思路都是处理该类不等式恒成立问题的常规解题思路.只是针对本题失效了而已.那么端点效应解

题为何会失效呢？关键还在于端点效应解题本身有一种“凑巧的成分在里面，此时不凑巧了而已！因此,

利用端点效应解题要注意解题过程的逻辑性和严谨性.

［正解］当x>0时，将«r)20变形，

因为函数尸等在E处的切线)，=+1恰好过

点(0,-1),如图，

所以心士

n

下面证当4时，人幻70.