高中数学基础练习题-直线的交点坐标与距离公式（原卷版）

2.5直线的交点坐标与距离公式

模块一：基础知识...................................................2

考点一：两条直线的交点坐标......................................2

考点二：两点间的距离............................................3

考点三：点到直线的距离..........................................3

考点四：两条平行线间的距离......................................3

考点五：对称问题................................................4

模块二：题型分类...................................................4

题型一：判断两直线的位置关系....................................4

题型二：直线交点的求相关量......................................5

题型三：过两条直线交点的直线系方程..............................6

题型四：两点间距惑公式..........................................7

题型五：两点间距离转化应用......................................8

题型六：点到直线距离公式........................................8

题型七：平行线间距离公式.......................................10

题型八：点到直线距离公式转化应用...............................11

题型九：点关于点、点关于线对称.................................11

题型十：线段和差最值问题.......................................12

题型十一：平行直线间的距离的最值问题...........................13

模块三：综合巩固..................................................14

2.5直线的交点坐标与距离公式

模块一：基础知识

考点一：两条直线的交点坐标

1.点与坐标的一一对应关系

几何元素及关系代数表示

点PP0b)

直线/1:Ax+By+C=0

点尸在直线/上4a+Bb+C=0

方程组匕的解是

直线4与4的交点是产

A2X+B2y+C2=0［歹=力

2.直线的交点与方程的解

求两直线Ax++G=0（44。产0）与A2X+B2y+C2=0（4&C2工。）的交点坐标，

只需求两直线方程联立所得方程组［4x+4J'+G=°的解即可.

A2X+B2y+C2=0

若有4=2=J，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；

4B2C2

若有且二2工6,则方程组无解，此时两直线平行；

4B2C2

若有4*5,则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标•

A2D2

3.判断两直线的位置关系

关察是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.

（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变品，代入另外一个方程能解出另一个变量的值.

（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.

（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系.

4.过两条直线交点的直线系方程

一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的万程叫做直线系方程，直线系万程中除含

有xj以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.

由于参数取法不同，从而得到不同的直线系.

经过两直线4：4x+^y+G=0,KiA.x+B.y+C,=0交点的直线方程为

4/+G+2（4》+B2y+C2）=o,其中4是待定系数.

在这个方程中，无论4取什么实数，都得不到4X+8J+G=O,因此它不能表示直线4.

考点二：两点间的距离

1.距离公式：平面内两点［（%,%），2（%,为）间的距离公式为：由2|=］（西72）2+（%-%）2.

【注意】公式中6和6位置没有先后之分，也可以表示为：帜闾=J（》2—西「+（%—%）1

2.三种特殊距离：

（1）原点O到任意一点P（x,y）的距离为|0P卜y/x2+y2；

（2）当7｝平平行于工轴时，|」用=|多一二|；

（3）当耳巴平行于y轴时，|6£|=|%一川•

3•坐标法解题的基本步骤

（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；

（2）进行有关代数运算；

（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

考点三：点到直线的距离

1.定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度.

2.距离公式：点尸（%,%）到直线l-.Ax+Bv+C=O的距离d=叫+为。+..

yJA2+B2

【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.

（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离.

（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点尸在直线/上时，它到直线的距离为0.

3.点到几种特殊直线的距离

⑴点P（%/o）到x轴的距离d=|%］；

（2）点P（x°/o）到p轴的距离1=闻；

（3）点尸小,九）到直线y-a的距离d=\yQ-a\；

（4）点P（/,yJ到直线x=b的距离d=|x0-b\.

考点四：两条平行线间的距离

L定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长.

2.距离公式：两条平行直线4:4+W+G=0,l2:Ax+By+C2=0（C^C2）,

它们之间的距离为：“

【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，旦X和），的系数对应相等.

3.两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上

的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离.

考点五：对称问题

1.点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点2区，必）关于点。（%，%.）的对称点为%），则根

再+x2

据中点坐标公式，有2

%二制

可得对称点P—2，为）的坐标为（2%-王，2坊-必）

2.点关于直线对称［2.8专题有二级公式】

点P（3,必）关于直线/：4t+8j，+C=0对称的点为必），连接尸尸'，交/于M点，则/垂直平分

%,kpp<——1

PP：所以且〃为中点，乂因为用在直线/上，故可得｛M+X,V,+v,,解出

A———+B—_—+C=0

22

（x2，必）即可.

3.直线关于点对称【2.8专题有二级公式】

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直

线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4.直线关于直线对称

求直线4：以+例，+。=0,关于直线4：公+a+/=。（两直线不平行）的对称直线4

第一步：联立4，算出交点P（x°，％）

第二步：在4上任找一点（非交点）。“，必），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点。'（与，/）

第三步：利用两点式写出4方程

模块二：题型分类

题型一：判断两直线的位置关系

1.判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：

（1）4:2x+y+3=0,/2:x-2y-l=0：

（2）/,:x+y+2=0t/2:2x++3=0；

(3)Z]:x-y+l=0,l2:2x-2y+2=0.

2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求山交点的坐标.

(1)7):x-^+l=0,/2：2x-2y+l=0；

(2)Z):x_2y+1=04:x+2y+5=0.

3.分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.

(1)/,:.r+3v+l=0,/,:3r+4=0s

(2)/,:x-3y+l=0,l2：y=-x+4.

J

题型二：直线交点的求相关量

1.已知三条直线2x+y—4=0,区一y+3=0,x—y—2=0交于一点，则实数A=()

A-11

•Ba.

31

c---

•24

2.直线2.r+y+2=0与”+4)，-2=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为()

A.(I)B.(0,-2)

C.(-1,0)D.(0,、

3.已知直线4：ax+y+l=()与/,：2x-"-1=0相交于点"(1,1),则〃+b=()

A.-1B.1C.2D.-2

4.已知直线心+4歹-2=0与21-5严〃=0互相垂直，垂足为口1,〃)，则〃L〃+P的值是()

A.24B.0C.20D.-4

5.已知直线小丁=代-4与直线4：x+2y+2=0的交点在第三象限则实数%的取值范围为()

A.(—00,—2)B.(-2,+8)

C.18,—gD.(-2,0)

6.若直线/:)，=米与直线x+p-3=0相交，且交点在第一象限，则直线/的倾斜角。的取值范围

7.若j，=-。闺的图像与直线，=-〃+x（a＜0）有两个不同的交点，则。的取值范围是（）

A.-1<a<0B.a<-\

C.a<0D.a=-\

8.已知0＜々＜4,直线小云—2y-2〃+8=0和直线£2x+Fj-4炉—4=0与两坐标轴围成一个四边形,

则使得这个四边形面积最小的左值为（）

9.若直线/3=依-6与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）

7T7C兀71

A.B.

65652.

7t兀兀兀

C.D.

3'2652

题型三：过两条直线交点的直线系方程

1.已知直线4：4x+4y+a=o（4，氐不全为0）与直线/2：4x+4y+G=。（4，与不全为0）相交于

点尸，求证：过点尸的直线可以写成〃?（4x+4y+G）+〃（4x+%y+G）=0（〃/+,广工0）的形式.

2,求过两条直线y=2x+3与”-y+2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程:

（1）斜率为-3：

（2）过点尸（2,3）；

（3）平行于直线3x+y=l.

3.直线/经过直线4：2x+3y+2=0与4：3x-4y-2=0的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,

求直线，的方程.

4.已知两直线。/+幻，-1=0和令+%r-i=o的交点为P(1，2),则过a(q，4),2式/也)两点的直线方程为

()

A.x-2y-1=0B.x+2y-\=0C.2x-y-l=0D.2x+y-\=0

5.求过直线x+y+\=O与2x+3y-4=0的交点且斜率为-2的直线方程.

6.求经过直线《：x+3y-4=0与/2：5x+2y+6=0的交点，且过点42,3)的直线方程.

题型四：两点间距离公式

1.已知力(3,6),3(2,4),则力，4两点间的距离为()

A.5B.V5C.3D.729

2.已知点/(L2),5(T0),C(3,61M为48中点,则网=.

3.三角形的三个顶点为力(3,—2),*3,4),C(—5,4),。为4c中点，则8。的长为()

A.3B.5C.9D.25

4.直线4：3&.)-2=0和直线/2：歹一2二。。-1)分别过定点力和反则|力用=.

5.已知过力。〃,2),4(-叫加-1)两点的直线的倾斜角是45%则4B两点间的距离为()

A.2B.痴C.2A/2D.3亚

6.在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，可得方程|x+l|-|x-l|=2的解集为.

7.已知4m-5)与5(0,10)两点间的距离是17,则。的值为()

A.8B.2麻C.±2而D.±8

8.已知点力（1,2）,8（3,4）,C（5,0）,若A,B,C'是""C的二个顶点，贝1J"/^’是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

9.已知函数.V=-》+〃?的图象与函数y=2、+1和函数y=2一+1的图象分别交于48两点，若|力用=血，

则加=.

题型五：两点间距离转化应用

L我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化

为几何问题加以解决，根据上述观点，当/（刈=-2、+1o+，据_101+29取得最小值时,实数x的值

为（）

1317

A.—B.3C.—D.4

55

2.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.〃事实上，有很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，如：+（歹-h2可以转化为平面上点与点汽（。力）的距离.结合上述观

点,可得y=\/x2-2x+5+&-6x+25的最小值为（）

A.2x/10B.25/2C.x/2+VlOD.3+后

3/（x）=&+2x+2+&-4x+8的最小值为.

4.已知x、yeR,则J（x_l）2+y2+J;c2+（y—「2+Ja_］）2+（y_2）2+J*_2）2+（y—l）2的最小值为.

题型六，点到直线距离公式

1.原点到直线9x+12），-10=0间的距离是（）

212

A.?B.-C.1D,-

J，J

2.已知点4（0,3）及直线/:x+y-1=0上一点3,则|48|的值不可能是（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知片(—2,0),8(4刈)两点到直线/：x-y+l=0的距离相等，贝朋=()

A.-2B.6C.-2或4D.4或6

4.已知点P(l+/1+3/)到直线/:y=2x-l的距离为g,则点Q的坐标为()

A.(0,-2)B.(2,4)C.(0,-2)或(2,4)D.(1,1)

5.已知的三个顶点的坐标为力(3,3),5(2-2),C(-7,l),则A8C的面积为.

6.已知P(T,3),2(3,6),若P,。到直线/的距离都等于则满足条件的直线/共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

7.已知直线/：y=〃(x-2)+3,且/与x轴、N轴分别交于A、8两点.若使"08的面积为12的直线/共

有()条

A.1B.2C.3D.4

8.(多选)已知力(0,1)、3(-2,0)、C(l,-1),则()

A.直线制的方程为x-2y+2=0

B.点A到直线BC的距离为叵

2

C.为等腰直角三角形

D.AJBC的面积为5

9.已知直线/经过点(1,4),且点4-2,2),8(4,-2)到直线/的距离相等，则直线/的方程为.

10.若关于x的方程加—计力为；在口,2］上有实数根，则/+/的最小值是

11.已知直线/经过点(3,4),且点力(-2,2),8(4,-2)到直线/的距离相等，则直线/的方程为.

12.如图，在等腰直角三角形中，4B=4C=2,点、。是边.43上异于4B的一点,光线从点『出发,

经8C,。发射后又回到原点P,若光线。火经过AJBC的重心，则40长为.

13〃（2,6）到直线工+有），+/=0的距离不超过2,则实数，的取值范围是.

14.光线由点尸（2,5）射到直线工+卜=-1上，反射后过点。（1,1）,则反射光线所在直线的一般式方程

为.

题型七：平行线间距离公式

1.两平行直线4”+y-i=o和/2：x+y-3=o之间的距离为（）

A.五B.2C.242D.3

2.两条平行直线3x-4y-2=0与6x-8y+l=0间的距离为（）

33

A.-B.1C.—D-T

510

3.已知4/〃2/：2x+j，+4=0,/2：6x+a），+2=0，则它们的距离为（）

A.巫B.逼C.在D,正

15553

4.若直线2x—y—3=0与4工一2），+。=0之间的距离为逐，则a的值为（）

A.4B.V5-6C.4或一16D.8或一16

5.两条平行直线4：x-2y+1=0与6：2%+〃9+2〃?=。之间的距离为.

6.在梯形力88中，|8|=2|力同=6,且和CO所在直线的方程分别是x+2y-3=0与x+2/+7=0,则

梯形ABCD的面积为.

题型八：点到直线距离公式转化应用

1.若点(x,y)在直线3x+4y+25=0上移动，则f+/的最小值为.

2.已知wR,则直线/】：(ni+l)x--3)y-4=。与直线％：(〃?+l)x—(〃L3)y=0的距离的最大值为

3.已知X/满足x+2y-5=0,则(》一1)2+(丁_1尸的最小值为

4.已知动点M(。,〃)在直线3x+4y+10=0上，则k?+/的最小值为.

5.已知4(2,0),8(0,2),尸(1,0),。为坐标原点，点",N分别在线段48,08上，则APMV周长的最小值

为.

6.设x—y+1=0,求4=&2+),2-610)，+34+&+/+©-3y+229的最小值是

7.已知石(2,0),尸(0,-2),点尸在直线3x-y+l=0上移动，则|尸"+仍斤的最小值为

8.函数/(x)=V/-3^-6%+13-G-f+l的最大值为.

题型九：点关于点、点关于线对称

1,已知不同的两点P(d-b)与。伍+关于点(3,4)对称，贝"力=()

A.-5B.14C.-14D.5

2.点(3,0)关于直线％-)，+3=0对称的点的坐标为()

A.(3,6)B.(6,-3)C.(-6,3)D.(-3,6)

3.已知点4(a+2,6+2)和8(4d-b)关于直线4x+3y=U对称，则a,6的值为().

A.a=-\»b=2B.a=4,h=-2

C.a=2,8=4D.a=4,h=2

4.已知点N与点8（2,1）关于直线x+y，2-0对称，则点力的坐标为（）

A.（-1,4）B.（4,5）

C.（-3,-4）D.（-4,-3）

5.已知点屈（1,-2）、N（，％2）,若M、N关于直线x+2y-2=0对称，则实数〃?的值是（）

A.3B.1C.-2D.-7

6.点P。,2）在直线/上，直线4与/关于点（0,1）对称，则一定在直线乙上的点为（）

r（M）B.卜号）C.（-1.0）D.1,o

7.直线2x+3y-6=0关于点（1,1）对称的直线方程为（）

A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0D.2x+3y-4=0

8.直线y=x+1关于直线y=2x对称的直线方程为（）

A.3x-y-l=0B.4x-y-2=0C.5x-y-5=0D.7x-y-5=O

9.如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（）

A.力=6B.a=—,??=-6C.a=3,〃=-2D.a=3/=6

10.已知直线/：x—y—1=0,4：2x-歹一2=0.若直线4与4关于/对称，则4的方程是（）

A.x+y-\=0B.x+2_y-l=0C.x-2y-\=0D.x-2y+\=0

题型十：线段和差最值问题

1,唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有

趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营,

怎样走才能使总路最短？试求V?Ti+6-2x+5最小（）

A.75B.710C.l+x/5D.2+V2

2,唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有

趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处山发，先到河边饮马后再回到

军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为8（3,4）,若将军从点力（-2,0）

处出发，河岸线所在直线方程为＞'=',贝IJ”将军饮马”的最短总路程为（）

A.5B.3石C.4D.5G

3.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李顽《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个

数学问题—^将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走

才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为/+/R4,若将军从点彳(3,1)处出发，河岸

线所在直线方程为y=-X-5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路

程为()

A.10B.9C.8D.7

4.已知点/?在直线x—)，+l=0上，N(3,—1),则|网小俄刖的最大值为()

A.亚B.x/7C.V10D.2亚

5.已知两点8),8(2,4),点C在直线y=x+l上，则|力。|+|比］的最小值为()

A.2>/13B.9C.774D.10

6.已知4(-4,8),6(2,4),点C在直线N=x上，则|力。|+忸。|的最小值为()

A.2x/13B.9C.10D.774

题型十一：平行直线间的距离的最值问题

L两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(—3,-1),并且各自绕着A,B旋转，如果两条平行直线间

的更离为d.求：

(l)d的变化范围;

⑵当d取最大值时，两条直线的方程.

2.己知A,8两点的坐标分别为(1,0),(-1,2),若两平行直线乙，分别过点A,B,则小4间的距离的

最大值为()

A.1B.41C.2D.272

3.设机eA,已知直线/1：（m+2）x+2〃?+2-〃?=0,过点（2,3）作直线右，且《〃叫则直线<与6之间距离

的最大值是

模块三：综合巩固

1.已知46,0）,8（—2,0）,则|网=（）

A.3B.4C.6D.8

2.原点到直线9x+12y-l0=0间的距离是（）

3.两条平行线<：x+2y-2=0,/2：改+6），-9=0间的距离等于（）

A.立B.坡C.石D.拽

555

4.已知点4（2,1）,点8在直线x-y+3=0上，则48的最小值为（）

A.石B.>/26C.2及D.4

5.已知/"/?/:2x+y+4=0J,:6x+ay+2=0,则它们的距离为()

A,2B,正在D.毡

C.

15553

6.已知力（一2,0）,8（4,m）两点到直线/：x-y+\=0的距离相等，则m=()

A.-2B.6C.一2或4D.4或6

7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体.”事实上，有很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，如：J（x—〃）2+（）,一/））2可以转化为平面上点与点Ma㈤的距离.结合上述观点,

可得j=J/+4x+8-4x+8的最小值为（）

A.4及B.2x/2C.x/2+V10D.3+石

8.在梯形4“。。中，|CO|=2|月耳=6,且/"和C'。所在直线的方程分别是x+2y—3=O与x+2y+7=0,则

梯形力8C。的面积为（）

A.9B.18C.9石D.18石

9.已知点儿8分别是直线《：2x+y-2=0与直线，2：4X+2J，+1=0上的点，则的最小值为（：）

A.0B.x/5

C.立D.@

24

10.已知，国必），2（%,），2）是直线），二h+2023（〃为常数）上两个不同的点，则关于x和），的方程组

x.x+y.y=1

r1।的解的情况，下列说法正确的是（）

x,x+^2^=l

A.无论k,P、,々如何，总是无解B.无论勺，々如何，总有唯一解

X=1

C.存在〃，6，6,使‘一，是方程组的一组解D.存在％,A，P?,使之有无穷多解

[y=2

11.已知直线6r+j-l=（）与直线2Gx+2y+3=0平行，则它们之间的距离是（）

A.1B.-C.3D.4

4

12.若三条直线y=3x,x+y=4,械+町，+5=0相交于同一点，则点（〃“〃）到原点的距离d的最小值是（）

A.&B.旦C.且D.叵

2222

13.已知直线/：（m+2）x+（〃Ll）y—3〃?—3=0,点时（5,4）,记〃至心的距离为“，则d的取值范围为（）

A.[。,3间B.[。,3@C.[0,18]D.[0,18)

14.两直线方程为《：3x-2y-6=0,/2：x-y-2=0,则4关于4对称的直线方程为（）

A.3x-2y-4=0B.2x+3v-6=0C.2x-3^-4=0D.2x+3y-4=0

15.（多选）若直线4：歹=代+3〃-2与直线，2：x+y-3=O的交由在第四象限，则实数4的取值可以是（）

A.0cB.—]•C.—1D.—1

32

16.（多选）平面上有三条直线2x-y+5=0,x+y+l=0/-如=0,将平面划分为六个部分，则实数〃的

所有可能取值为（）

A，\B一C.-2D.1

17.（多选）已知直线/：（a+\）x-ay-3a-4=0fO为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.若。/0,则。越大，直线的倾斜角越小

B.若直线/关于直线）=4对称的直线方程是2x+y-9=（）,则〃=|

C.若直线/过定点0，直线用经过P和原点O,则直线加闱绕点2旋转45。后得到的直线方程是

5x-3y-17=0或3x+5y-13=0

D.若直线/与X轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|。4|+|。目最小时，a=~

18.（多选）已知三条直线：直线L："+y-3=0,/2：X+）'-i=04：2x-y-5=0不能围成一个封闭图形，则

实数。的值可以是（）

A.-2B.1C.2D.3

19.（多选）已知直线hx-2y+4=0,直线右：（a-l）x+4y+2=0,下列结论正确的是（）

A.直•线可能不存在斜率

B.直线乙恒过点（0，-；、

\乙）

C.若则a=9

D.点P和点。分别是直线小4上的动点，若l\〃k则|尸。|的最小值是石

20.(多选)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句；“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有

趣的数学问题——“将军饮马”，明某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军

营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流〃?，