两角和与差的余弦-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

第10章三角恒等变换

10.1两角和与差的三角函数

10.1.1两角和与差的余弦

基础过关练

题组一给角求值

1.（2025江苏南京师范大学附属实验学校月考）已知a=（cos105。,sin105°）,b=（cos45。,sin

45。）,则ab等于（）

A.埠B-|C.1D.f

2222

2.（2025江苏南京田家炳高级中学阶段性测试）cos24°cos69°+sin24°sin111°=（）

A.gB.qC.-|D.；

2222

3.（2024陕西西安一模泮潸竺等于（）

A.；B.4C.RD.l

题组二给值求值

4.（2025江苏淮安涟水第一中学月考）已知（1£（0,9,8501=*则cos（af）的值为（）

A3怖2V5小四C37io_p晒

A.——Bn.—C.--D.——或--

10510）010

5.（2025江苏南京中华中学期中）在aABC中,A为锐角，若sinA=j,cosB/,则cosC=（）

A.•1花6B-5万6C.^56或_*x益16nD.-3-3

6.（2025河北部分学校联考）已知cosa-cosp=1,sina-sinp=y,Mcos（p-a）=（）

A.：B-^C.gD.T

24242424

7.（2025江苏南通第一中学阶段性考试）已知0〈pvaq,cos（a+B）=g,sin（a-B）=g,!J!lJtanatanp

的值为（）

A.：B，7C.|D.2

253

8.（2025江苏南京二十九中月考）已知向量ei=（cosa,sina）,e2=（cosP，sinp）,m=（0,l）,若

ei+e2=m,贝ijcos（a-P）=.

题组三给值求角

9.（多选题）若（1£[0,2小亩知11?+（：05•85于0,则0（的值可以是（）

A5B，Cg*

10.（2025江苏南通如皋质量调研）已知&0£（0,兀），且tana=1,cos0=1,则a+0=（）

A.-B.-C.-D.-

4463

11.（2025江苏南京第一中学月考）已知（/£（0,3，眸（-冽,sin忏芸且cos（a-0）=|,则a的值

为（）

AA-26BR-42rJ-Un—|2

12.（2025河北廊坊月考）若cos（a-p）=y,cos2。*,（1为锐角,0为钝角,贝1）（1+0=.

能力提升练

题组一利用两角和与差的余弦公式求值

1.（2025江苏常州武进高级中学月考）已知cosg-a）+sina考，则sin（a-§的值是（）

当2V3c44

A.5O.5JU.5

2.（2025江苏扬州大学附属中学月考）已知cos（a+3=g,cos（4q）=/,aF£（05）JUJ

cos（a+p）=（）

A竺-C-D-

A，65B65L65U，65

3.（2025江苏常州学情测试）已知a,0为锐角，且cos（a+p）sin忏sina,则tana的最大值为

（）

A.V2B.lC.yD.y

4.（2025江苏南通月考）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别,

就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对

象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距

离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A（Xi,yi）,B（X2,y2）,O为坐标

原点，余弦相似度为向量方,历夹角的余弦值，记作cos（A,B）,余弦距离为l-cos（A,B）.己知

P(cosa,sina),Q(cosp,sin[3),R(cosa,-sina),若P,Q的余弦距离为g,tanatan0=g则Q,R的余

弦距离为()

AiB5c-iD」

5.(2024江苏连云港东海高级中学第一次检测)已知0<P<a<psinasinP=^j,cosacos则

题组二利用两角和与差的余弦公式求角

6.(2025江苏邳州毓秀高级中学月考)若a+昨6,兀),|3为锐角,sin(a+0)/，,cos2|3=，，则a-[3

的值为()

A，7B*C，vD.-

6446

7.(2024四川成都百师联盟冲刺)已知a,。,丫三(0弓),若sina+sin产sin°,cosp+cosy=cosa,则

a-|3=()

B.5C.-1睦

8.(2025江苏常州北郊高级中学期中)已知0°<0<180°,cos(400-9)+cos(400+9)+cos(80°-e)=0,

则0=.

9.已知a=(cosa,sina),b=(cosp,sinp)(0<a<p<7i).

(1)求证:a+b与a-b互相垂直；

⑵若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数)，求。-a的值.

答案与分层梯度式解析

第10章三角恒等变换

10.1两角和与差的三角函数

10.1.1两角和与差的余弦

基础过关练

l.Cab=cos105°cos450+sin105°sin45°=cos(1050-45°)=cos60°=1.

2.Bcos240cos69°十sin24°sin1110

=cos24°cos690+sin24°sin(180°-69°)

=cos24°cos69°+sin24°sin69°

=cos(69o-24°)=cos45°=^.

Nr8s550+sin250sin30°

'cos250

cos(250+300)+sin250sin30°

cos250

cos?S0cns^00.sin7S°sin'?00+«;in7S0sin；00

cos25°

cos25°cos30°\A。

=----——=COS30°=—.

cos25°2

4.A由aW(0,9,cosa=y，得sina=Vl-cos2a=言，

m.i，叫7T,..JIV5V2,2s/5V23M

叫ijcosla--)=cosacos-+sinasm-=-x—+-x—=-rr-

\4/44525210

5.A在AABC中,cosB为锐角,，sinB=Vl-cos2B=^,

*.*sinA=|,A为锐角,cosA=Vl-sin2A=

JJ

则cosC=COS[7T-(A4-B)]=-COS(A+B)=-COSACOSB+sinAsinB=-7><7-+7X77=77.

51351365

6.C对cosa-cos两边平方，得cos2a-2cosacos|3+cos2|3=1),

对sina-sin0=，两边平方，得sima-2sinasin0+simp=检，

①+②得,cos%+sin%+cos2p+si"p-2(cosacosP+sinasinP)=^,

即2-2(cosacosp+sinasinp)=^,

即2-2cos（p-（x）W，解得cos（。一a尸盘.

7.A由题意知cos(a+p)=cosacosp-sinasin①

因为sin(a-p)=^.0<(3<a<

fa・》0,

所以代<一阵0,所以0<a邛杉，

所以cos(a-P)=cosacosP+sinasin[3=1,②

联立①②，得cosacosp=|,sinasinp=1,

所以tanatan0见吗二

cosacos/l2

8.答案力

解析由ei+e2=m可知(cosa,sina)+(cosp,sin0尸(0,1),即cosa+cos[3=0,sina+sinp=1,

将两式平方再相加可得(cosa+cosp)2+(sina+sinp)2=l,

B|Jcos2a+2cosacosp+cos2p-l-sin2a+2sinasinp+sin2p=2+2(cosacosp+sinasin0)=1,

/.cosacos[3+sinasin0=g

故cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=-；.

9.CD由已矢U得cosycos"+sinysinj=cos(y-J)=cosa=0,

又aW[0,2兀]，所以或。=y.

10.A因为a,。W(0,兀),且tana=y,cos0=1,

所以af£(0,3,

又tana=^=1,sin2a+cos2a=1,sin2p+cos2p=1,

所以sina=^,cosa=^y,sinp=|,

所以cos(a+P)=cosacosP-sinasinp=^x|-^x|=

因为a+g。兀)，所以a+吃.

1LB•・•仁(彳,0),sinB=Y，・・・COS审,

•・•a£(0,9平£,0),・・・a-pe(0,兀)，

又cos(a-p)=|,

sin(a-0尸Jl-cos2(a-0)=,

故cosa=cos(a-p+p)=cos(a-p)cosp-sin(a-p)sin0

又(1£(0,5・・・(1三.

12.答案日

解析Vcos2a三牛，且a为锐角,

.,.2ae(0,g,BPae(0^),sin2a=^

,•*P为钝角，即。£g，兀)**-a-。e(-兀,-,a+。仁6T)，又C0S(a-P)=*•*-sin(a-0)=-率

cos(a+p)=cos[2a-(a-p)]=cos2acos(a-p)+sin2asin(a-p)=^xg+^^x(-管)=-

・・・a+吟.

能力提升练

l.Dcos^-a^+sina=cos^cosa+sin^sina+sina

V3.3/y/I.V3-\

=ycosa+-sina=V3(；cosa+-^-sin6j

=V3(cosmcosQ+sinmsina)=V3cos(a-三)=-r-,

所以cos(aq)=g，故sin^a-^j=sin(a-1-=-cos(吟)=一*

2D.・.4£(*)，・・・*£(曷)，尸浮(小。)，・.・加(%)>0,sin(纭)VO,

.•・cos(a+0)=cos[(a+?+0.初

=cos(a+3cos0-3-sin(奸Jsin0.?

3.D因为a,0为锐角，所以sina>0,cosa>0,tana>0,sinf>0,cos[3>0,tanP>0,

由cos(a+P)sinP=sina,得(cosacos(3-sinasin|3)sinP=sina,即cosacosPsinP-sinasin2p=sin

a,

贝ijcospsinp-tanasin2p=tana,

整理得tan&="锣="J「条当且仅当2tan忏七；,即tanP=T

sm-p+l2sin2p+cos~p21aM岛2/2tan/?—4tan^2

时等号成立，则tana的最大值为苧

方法技巧三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看“角”，这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系，把角进行合理拆分，从而正确使

用公式；

二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

三看“结构特征”,分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分'零.

4.A由题意知0P=(cosa,sina),O0=(cos[3,sin[3),OR=(cosa,-sina),

则cos(PQ)：而说=cosacosp+sinasinP=cos(a-P),

cos(Q,R尸黑黑=cosacosP-sinasinp=cos(a+p),

由题意知l-cos(a-[3)=4则cos(a-p)=cosacos[Hsinasinp=|,©

tanatan1当、②

cosacosp7

联立①②可得sinasinp=^,cosacos[3=—,

因此,Q,R的余弦距离为l-cos(a+p)=l-cosacosp+sinasinp=l--+=

5.答案0

解析:sinasin|3=土,cosacosP=看

cos(a-P)=cosacosP+sinasin0三+看=*

cos(a+P)=cosacos[3-sinasin

*.*0<P<a<^,/.0<a_p<g,0<a+pv兀,

sin(a-p)=-yl-cos2(a-p)=1,sin(a+p)^1-cos2(a+P)=g,

则cos2a=cos[(a+p)+(a-p)]=cos(a+p)cos(a-p)-sin(a+p)sin(a-p)=|xj-jx|=0.

方法技巧用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合,常见的变换如

下:a=(a+p)-p,a=p-(0-a),2a=(a+p)+(a-。)等.

6.B因为a+p£Q，兀)，所以cos(a+p)=-J1-(#)=一*

因为g(0,"所以2眸(0,兀)，所以sin20=J1.(甯)笔

因为sin(a+p)=^>-y,cos2尸噂

所以3<a+P<g5<204则"<-2P<-j,

所以0<a-p<p

故cos(a-P)=cos[(a+P)-2p]=cos(a+P)cos2[3+sin(a+P)sin2p=-^x—+—

J1UJIu乙

所以a-归.

7.A由sina+siny=sin°,cos0+cosy=cosa,得sina-sinp=-siny,cosa-cosp=cosy,

.'.(sina-sinp)2+(cosa-cosp)2=(-sinyA+cos^ul,

(提示:所求角与丫无关，则需根据已知条件消去y)

即2-2sinasinP-2cosacos0=1,

即2-2cos(a-0)=l,解得cos(a-p)=^.

的),

Asina-sinP="siny<0,Asina<sin0,

Xa,pc(0,3,.・・Ovav吃，二字