甘肃省武威某中学2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 单元测试题（含答案）

甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版

第二十一章《一元二次方程》单元测试题

学校;姓名:班级:考号:

一、单选题

1.将方程f-2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1,一次项系数,

常数项分别是（）

A.-2,-10B.-2,10C.2,-10D.2,10

2.已知工是实数，且满足"+4x）2+3,+4.0-18=0,则f+4x的值为（）

A.3B.3或-6C.一3或6D.6

3.已知（〃?2+/乂/+〃2+2）-8（/+〃2+2）=0,则/+〃2的值为（）

A.-8或2B.-2或8C.2D.8

4.如图，某小区计划在一个长16m,宽9m的矩形场地ABC。上，修建三条同样宽的小路,

竖直的与48平行，水平的与AO平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为112m-

设小路宽m】，若x满足的方程为（)

A.X2-17X-16=0B.X2-17X+16=0

C.X2+17X-16=OD.x2+17x+l6=O

一元二次方程），f-%。配方后可化为（

5.)

21215

A.），=4B.=4C.—D.

+2）4

6.已知％=-1是关于x的方程_?+/状+C=0的一个解，该方程的另一个解为占，则下列说

法正确的是（）

A.b-c=-\B.lr<4c

C.b=\-x2D.c=x2

7.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作.其中有一个数学问题：“直田积八

百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方

步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（）

A.3步B.5步C.6步D.9步

8.若关于1的一元二次方程f+4x+（a+6）=0有两个不相等的实数根，且关于），的分式方

程卫7+1=7^—的解为正整数，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

i-y

A.-7B.-9C.-14D.-16

9.若关于x的一元二次方程：4（%-〃。：!+〃=0与%（工-吗"+〃=。，称为“同族二次方程工如

2（1-3），4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”.现有关于大的一元二次方程；

2（..1）2+1=0与（"+2）父+3-4）工+8=。是“同族二次方程”.那么代数式G；2+〃X+2025

能取的最小值是（）

A.2018B.2020C.2025D.2030

10.定义：如果代数式4=+〃小+。（％工0,《，4,q是常数）与8+打工+。2（。2Ho，

出,打，G是常数），满足％+生=。，伪+4=0,q+q=0,则称这两个代数式4与5互

为“和谐式”，对于上述“和谐式”A、B,下列三个结论正确的个数为（）

①若A=--+2-2,B=x2-2nx+n，则（，〃+〃严°的值为一1；

②若〃为常数，关于x的方程A=&与4=攵的解相同，则及=0；

③若P,夕为常数，/乂+”的最小值为〃-4,则人有最小值，且最小值为1.

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

H.关于％的方程（1-2『=0的解是.

12.若关于x的方程（〃-3）/T+2X=O是一元二次方程，则片.

13.已知2/-3孙+/=0（9工0）,则上的值是.

x

试卷第2页，共6页

14.关于x的一元二次方程(X+2)2=,〃-21可以用直接开平方法求解，则，〃的取值范围

是.

15.若关于x的方程(1-巾2)/+2〃次-1=。所有的根都是比1小的正数.则实数小的取值范

围是•

16.某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每

星期可多卖出10件，已知商品的进价为每件20元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得6160

元利润，应将销售单价定为元.

17.若。使关于x的分式方程竺2=等1有整数解，且使关于y的一元二次方程

x-22-x

(4-1))3-5)，-2=0有实数根，那么满足条件的所有整数。的和为.

18.如图，在RlAiABC中，?B90?,AB=6cm,8c=8cm,点P从人点开始沿人8边向

点8以lcm/s的速度移动，点Q从8点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、。分

别从A、3同时出发，经过秒钟，使-P8。的面积等于8cm叱

三、解答题

19.用因式分解法解下列一元二次方程：

(1)3x(%-1)=0；

(2)(x-l)(x+l)=0；

⑶/_2x+l=l;

(4)4(工-3)2=x(x—3)；

20.已知关于k的方程/+2〃注+"/_1=().

(1)求证：无论，"取何值时，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程有一个根为1,求〉+2〃?+2017的值.

21.已知关于x的一元二次方程（加-1）丁+2（〃叶1）1+〃任1=0.

⑴若方程有实数根，求实数机的取值范围；

⑵若方程两实数根分别为毛，与，且满足（司-。（&-1）=一〃7,求实数〃，的值.

22.己知々、当是关于工为一元二次方程x2-2（/〃+1卜+〃』+5=。的两个实数根.

（I）若（*一1）（0一1）=28,求利的值：

⑵已知等腰三角形A8C的一边长为7,另外的两边长恰好是d、x2,求VA4C的周长.

23.某校开展劳动实践活动，九（1）班分到•块如图所示的边长为8米的正方形菜地ABCD,

由于场地调整，现将菜地攻成周长不变的矩形菜地AEG”，两块菜地的重叠部分为矩形

A/3FE,不重叠两块是矩形CQEV和矩形即7G尸.设4月长为x（x<8）米，EG长为y米.

⑴用含x的代数式表示），；

（2）九（I）班的小明同学说：“矩形COE/的面积号与矩形尸的面积邑的差一定大于0.”

请你判断他的说法是否正确，并说明理由.

24.【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题.

已知关于X、丁的方程（X+），）2—2（X+），）—8=O,求x+y的值.

解：设，=x+y,则方程变形为：r-2r-8=0

/.（/-4）（r+2）=0

.」1=4,/2=-2,即x+y=4或x+），=-2

（1）【引申】已知（二+/-1）2=1,则阳2+〃2=一

⑵【拓展】已知任+矶/+/-1）=2,求V+x的值.

25.（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程3『+8x-3=0的过程，请认真阅读并

完成相应的任务.

3.r+8x-3=0

试卷第4页，共6页

Q

解：二次项系数化为1,得/—1=。，第一步

cX（4Y

配方，得丁+一工十——1=0,...第二步

3

变形，得卜+gj=l,............第三步

开方，得X+g4=±l,..............第四步

解得司=一:，工2=-：............第五步

JJ

（I）上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现

了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是;

（2）上面小君同学的解题过程中，从第步开始出现错误，写出正确的解答过程.

26.如果关于"的一元二次方程分2i/，xic=0（a¥0）有两个实数根，且其中一个根为另一

个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程的两个根是2和4,则方

程£_6x+8=0就是“倍根方程”.

（1）若一元二次方程产-34+。=。是“倍根方程”，求。的值；

⑵若（4-2）（〃氏-〃）=0（〃;工0）是“倍根方程”，求代数式4m2_5〃"?+/的值；

⑶若关于x的一元二次方程加+bx+c=0（"0）是“倍根方程”，请说明：2b，=9ac.

27.阅读材料：

材料1：法国数学家弗朗索瓦・书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程

根与系数的关系，提出一元二次方程加+笈+c=0b2-4ac>0）的两根K,xa

hc

有如卜的关系（韦达定理）：X]+工2=--，不，W二—；

a"a

材料2：如果实数机、〃满足〃$一〃?—1=0、〃2一〃一1=0，且"?工〃，则可利用根的定义构

造一元二次方程/-4-1=0,然后将/〃、〃看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问

题.

请根据上述材料解决下面问题：

（1）若实数。，方满足：/+3。-5=0，"+3〃一5=0（。/。）则。+〃=,ab=；

⑵若内，与是方程幺一61+左+3=0两个不等实数根，且满足5凶=&+6,求*的值;

⑶已知实数〃?、〃、/满足：加2-4〃?=7+/,=+且〃2vOv〃，求(〃2+])(4〃?+3+1)

的取值范围.

试卷第6页，共6页

《甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版期末模拟试卷2》参考答案

题号12345678910

答案AADBBCCABC

11.%%=2

12.-1

13.1或2

14.m>2\

15.〃7>2或〃?=1/〃？=1或"7>2

16.42

17.-2

18.2秒或4秒

19.(I)•13&-1)=(),

.•.x=O或x-l=0,

解得$=0,*2=1；

(2)v(^-IX^+D=0,

."-1=0或工+1=0,

解得X]=1,々=7；

(3)整理，得：X2-2X=0,

/.x(x-2)=0,

则x=O或工-2=0,

解得玉=(),&=2；

(4)4(X-3)2=X*-3),

/.4(x--x(.r-3)=0,

贝叱3)(312)=0,

.,.%-3=0或31-12=0,

解得苔=3,々=4.

20.(1)解：方程f2+2〃t%+〃?2-1=。中，。=],b=2in,c=nr-1»

A=/?2-4ac=(2/n)2-4x1x_))

答案第1页，共8页

二4〃『-4(病—

=4"『-4"「+4

=4>0,

••・无论〃，取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：•・•该方程有一个根为1,

•*»I2+2mx1+in2-1=0»即2m+m2=0,

Am2+2zn+2017=0+2017=2017.

21.(I)解：,,•关于工的一元二次方程+2(〃z+l)x+加+1=0有实数根，

:.b2-4〃0=[2(/〃+1)丁一=+2/〃+1)-4〃，+4=86+820,且〃L1工0

解得：〃?2-1且加工1，

即加的取值范围是加2-1且加工1;

/.、-2(/n+l)in+1

(2)x+X-,=-------->

rn-1

V(x,-l)(x2-1)=-/«,

A(Xj-l)(x2-1)=xtx2-x1-x2+1=-in

"7+12(m+l)

+1=-f7l

m-1tn-\

化简得到:

m+\+2(m+\)+in-\

-------------------=-ni

m-1

4m+2

-----=-m

m-1

4/〃4-2=-nr+tn

m2+3m+2=0

(/〃+2)(/〃+1)=()

解得：〃?=-2或〃?二一1

•••加2-1且口Hl

答案第2页，共8页

22.(1)解：・・・西,电是方程f-2W+l)x+〃?2+5=。的两个实数根,

2

，X+9=2(/〃+1),xxx2=m+5,

•••内，/是方程幺一2(〃?+1八+/+5=0的两个实数根，

:.A=/?2-4ac=[-2(阳+1)丁一4x(〃/+5)xl>0,

解得〃?£2.

V(^-1)(^-1)=28,

XR-％-+1=28,

••・病+5-2(m+1)-27=0,

整理，Wm2-2m-24=0-

解得〃7=6或"?=Y(舍去)，

故机的值为6.

(2)解：・・・不当是方程V—2(m+l)x+>+5=0的两个实数根，

2

.二%+玉=2(〃?+1),XjX2=m+5,

•••等腰三角形A8C的一边长为7,

当％=7时，

/.7+X,=2(/??+1),7X2=nr+5,

・”.i\-z"『+5

.・2(m+1)-7=---,

整理，得，〃*—14〃?+40=0,

解得町=4,吗=10,

当m=4时，占=+5=3,

一7

此时三角形的三边长为7,7,3,三角形存在，

故三角形的周长为7+7+3=17；

当〃?二10时，与=巴士=15,

-7

此时三角形的三边长为7,7,15,三角形不存在；

答案第3页，共8页

同理可证，当期=7时，三角形的周长为17；

•・•N，当是方程/一2(〃?+1)x+/+5=0的两个实数根，

/.xi+9=2(//z+1),x(x2=nr+5,

•・•等腰三角形ABC的一边长为7,

当％=A2时，

:.△=〃-4ao=[-2(〃?+1)J-4x(〃/+5)xl=0,

解得〃?=2,

..$=工2=3,

此时三角形的三边长为7,3,3,三角形不存在；

综上所述，三角形周长为17.

23.(1)解：根据长方形的周长公式，得2(X+)，)=8X4,即),=一工+16,

二丁关于x的函数表达式为丁=-x+16(x<8).

(2)解：他的说法正确.理由如下：

・・・所=8,

/.FG=>,-8=-.¥4-8,

.­.S2=FGBF=(-X+8)X,

•・・CO=8,DE=8-x,

:.Si=CDDE=8(8-x)=64-8x,

/.Sj-S2=64—8x—(—x+8)x=(x—8)~20,

,x<8,

2

Sj-S2=(x-8)>0

s,>s2.

即矩形CQEF的面积S1与矩形/的面积s?的差一定大于0.

24.(1)解：设/=〃/+〃2,

则原方程变形为(1-1尸=1,

答案第4页，共8页

即E-l=±l,

解得：/=2或0,

nr+〃2=0或2,

故答案为：0或2；

(2)解：设y=x?+x,

则原方程可化为：y(y-i)=2,

即/一y_2=0,

解得)*2,y2=-l,

Vx2+x=-lW»x2+x+l=0>A=l-4=-3<0,丁+工二-1无解.

，x2+x=2.

25.(1)解.：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一兀二次方程“降次”为两个一兀一次

方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；

故答案为：完全平方公式；

(2)上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下：

正确过程如下：

3x2+8X-3=0,

解：移项，得：3f+8x=3,

二次项系数化为1，得：A2+^X=I,

配方,得—+京+(3=咤),

变形，得：fx+-l=—,

I3)9

45

开方，得：x+-=±-,

解得：X,=P勺=-3.

26.(1)解：设一元二次方程x2-3x+c=O的一个根为公,

・•・另一个根为工2=23.

答案第5页，共8页

/7c

则内+x=—=3,=—=c,

2aa

/.Xj+2x1=3,

即3$=3,

X]=I,*2=2,

c=x}-x2=1x2=2；

(2)解：:(x-2乂〃吠-〃)=()(/"()),

・•・该方程的两根为芭=2,x=~.

2m

(工-2)(〃氏-〃)=0(〃2工0)是倍根方程，

.」=4或2=1.

ntm

当2=4,即〃=4m时,

m

4/-5〃〃?+n2

=4/n2-5m•4m+(4m)2=Arn2-20m2+16m2=0,

当。=1,即〃=，〃时，

m

4/5mnitr

=4/n2-5nr+nr=0,

；•代数式4m