平面向量的概念及线性运算-高考数学复习之重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题5.1平面向量的概念及线性运算.重难点题型精讲

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1.向量的概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量.

注：

①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.

②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素•.

③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

2.向量的表示法

(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

(2)向量的表示方法：

①字母表示法：如。，Ac,等

(2)几何表示法：以A为始点，8为终点作有向线段4B(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一

条有向线段A8表示向量，通常我们就说向量AB.

注：

①用字母表示向量便于向量运算；

②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量

就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的妗点的位置无

关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.

3.向量的有关概念

(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

注：

①向量〃的模°.

②向量不能比较大小，但卜”是实数，可以比较大小.

(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

(3)单位向量；长度等于1个单位的向量.

注：

①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同.

4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.

注：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等.

4.向量的共线或平行

方向相同或相反的外零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：0与任一向量共线.

注：

①零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

②平行向量可以在同一直线二，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量.

5.用共线(平行)向量或相等向量刻画几何关系

(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.

6.向量的加法运算

(1)向量加法的定义及两个重要法则

定义求两个向ft和的运算.叫做向量的加法.

前提已知非零向量明瓦在平面内任取•点儿

向量作法作前”.就=A,连接AC

加法结论向方证叫做。与b的和.记作a+6,即a+b=m+方寸

的三

角形

法则图形

AaR

前提已知两个不共线的向'0』,在平面内任取一点。.

向量

作法作涌=a.方力=A.以OA.OB为邻边作口。4。?.

加法

的平结论以0为起点的向量就就是向ta与b的和,即充u+瓦

行四

边形

法则图形

0aA

规定对广零向Id5任一向川我们规定o+0=0+o=a.

(2)多个向量相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一

个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.

7.向量加法的运算律

(1)交换律：〃+力=1+。；

(2)结合律：(a+力)+c=a+(b+c).

8.向量的减法运算

(1)相反向量

我们规定，与向量：长度相等，方向相反的向量，叫做二的相反向量，记作-「.零向量的相反向量仍是

零问量.

(2)向量减法的定义：

向量：加上疗的相反向量，叫做:与］的差，即:求两个向量差的运算叫做向量的减法.

(3)向量减法的三角形法则

如图，已知向量7九在平面内任取一点o,作了iC,oi}=h,则无1=。，5»工).即二)可以

表示为从向量.的终点指向向量)的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

9.向量的数乘运算

(1)向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数2与向量)的枳是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作2：,它的长度与

方向规定如下：

①|利=|川向；

②当2>0时，2：的方向与1的方向相同；当/IvO时，的方向与：的方向相反.

(2)向量的数乘的运算律

设为实数，那么①2(〃a)=(2")a；②(丸+〃)。=义；③2(a+〃)=2a+4〃.

特别地，我们有(：)〃=・(2a)=2(-a),X(a-h)=Xa-Xb.

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量1九以及任意实数2,心,"，恒有乂4

->

a±收6)=24±2"2b.

10.向量共线定理

（1）向量共线定理

向量#0）与7共线的充要釜件是：存在唯----个实数2,使

（2）向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量7力共线求参问题，可用两个不共线向量[如3"）表示向量7九设力二乂（心0）,化

成关于6,小的方程。（2问=必2泡，由于e,七不共线，则〈；二_八解方程组即可.

9（4）—U,

*呼1交三

【题型1平面向量的基本概念】

【方法点拨】

根据向量的基本概念，进行求解即可.

[例1]（2022全国.高三专题练习）下列命题中正确的是（）

A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B.两个有公共终点的向量，一定是共线向最

C.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D.若方与而是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上

【解题思路】根据向量相等与共线的概念即可解决.

【解答过程】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A止确；

两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；

两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；

而与而是共线向量，也可能是AB平行于C。，故D错误.

故选:A.

【变式1-1]（2022・全国•高三专题练习）下列说法错误的是（）

A.向量而与向量沆长度相等B.单位向量都相等

C.6的长度为0,且方向是任意的D.任一非零向量都可以平行移动

【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可.

【解答过程】因为而=-反，所以而和反互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项王确;

单位向量长度都为1，但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确：

故选:B.

【变式1-2］（2022•全国•高一课时练习）有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若五R则五,B不是共线向量;

③若|而|=|瓦则四边形力BCD是平行四边形：

④若沆=元，n=k,则访=后

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.

【解答过程】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若Gw3也有可能五，B长度不等，但方向相同或相反，却共线，②错误；

对于③，若|而|二|沆则而，丽不一定相等，所以四边形4BCD不一定是平行四边形，③错误；

对于④，若沅=元，五=k,则万=K④正确：

对「⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.

综上，错误的是②③⑤，共3个.

故选：B.

【变式1-31（2022・河南•高一阶段练习）下列结论正确的是（）

A.平行向量的方向都相同

B.零向量与任意向量都不平行

C.长度相等且共线的向量是相等向量

D.平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示

【解题思路】选项A.根据平行向量的定义，考虑方向可判断；选项B.由零向量与任意向量都平行可判断;

选项C.当方向相反时不成亡，可判断；选项D.由平面向量向量的基本定理可判断.

【解答过程】选项A.根据平行向量的定义，其方向可能相反，故不正确.

选项B.由零向量与任意向量都平行，故不正确.

选项C.长度相等且共线的向量,若方向相反，则不是相等向量，故不正确.

选项D.由平面向量向量的基本定理有：平面内任一非零向量都可以用两个不共线的向量表示，正确.

故选:D.

【题型2向量相等或共线】

【方法点拨】

判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量

所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.

【例2】（2022•全国•高三专题练习）下列命题正确的是（）

A.单位向量都相等B.任一向量与它H勺相反向量不相等

C.平行向量不一定是共线向量D.模为。的向量与任意向最共线

【解题思路】根据零向量、单位向量、共线向量的定义判断即口二

【解答过程】解：对于A：模为1的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，

故A错误；

对于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；

对于C：平行向量即共线向量，故C错误；

对于D：模为0的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确；

故选:D.

【变式2”】（2022•河南•高三阶段练习（文））已知4B,C,D为平面上四点,则“向量而II而”是“直线48||CD”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量共线的概念理解判断.

【解答过程】若前IICD,则48,C,D四点共线或ABIICD,

IICD,则衲I而，

故响量而II而”是“直线4B||8"的必要不充分条件.

故选:B.

【变式2-2］（2022.内蒙古高一期末）给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若4B,C,。是不共线的四点，则标=沆是四边形为平行四边形的充要条件；

③若d与3同向，且|五|＞向，则

④3〃为实数，若2五=而,则,।弁共线.

其中假命题的个数为（)

A.1B.2

C.3D.4

【解题思路】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②：根据两向量不

能比较大小判断③；举反例否定④.

【解答过程】①不正确.当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；

②正确.-：AB=DC,・,.|丽|=|瓦|且而〃DC；

又IN,B,C,。是不共线的四点,

，四边形是平行四边形.

反之，若四边形ABCD是平行四边形，

则且而与反方向相同，因此而=反；

③不正确.两向量不能比较大小.

④不正确.当入=〃=0时，五与3可以为任意向量，

满足汨=4，但d与B不一定共线.

故选:C.

【变式2-3］（2022•全国•高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若乙了满足同>|瓦,且M与I同向，则、>5

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合：

⑤若G||b,b||c,则d||c

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【解答过程】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；

模相等的两个平行向量是相等向量或相反向最，故②错误；

向最有方向，不能比较大小，故③错误；

向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误；

当E=6时，可满足dIIb,bIIc,但2与1不一定平行，故⑤错误；

综上，正确的个数是0,

故选：A.

【题型3平面向量的加、减运算的几何意义】

【方法点拨】

根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来，结合具体条件，进行求解即可.

【例3】（2022.广东•高二期中）在空间四边形48CQ中，M,G分别是3C,CO的中点，则同-荏+前=

（）

A.GMB.2MGC.3GMD.3MG

【解题思路】利用中位线的性质可以得出：BD=2MG,然后利用向量的线性运算即可求解.

【解答过程】因为M,G分别是8C,C。的中点，由三角形中位线的性质可得：BD=2MG,

又因为而一而=而，所以而一厢+雨=2丽+丽=3诟，

故选：D.

【变式3-1］（2022•山东烟台•高三期中）设P是A4BC所在平面内一点，而=3而，则丽二（）

A.BC+-2BA2B.BC--BA2C.BA+-BCD2.BA--BC

【解题思路】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.

【解答过程】因为前=3万，

所以瓦？+3?=3而，所以瓦J=L通,

所以无=刀+元,

=-AB+BC-BA

Z

=前一河

故选：B.

【变式3-2］（2022•广东•高三学业考试）在四边形A8CQ中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（）

A.AB+BC=CAB.AB-AD=BD

C.AB+AD=ACD.FC+CD=BD

【解题思路】由向量加法的三角形法则可判断AD,由向量减法的运算法则可判断B,由向量加法的平行四

边形法则可判断C.

【解答过程】根据三角形法则可得而+灰二冠，所以A错误；

根据向量减法的运算法则可得方一而=而，所以B错误；

四边形ABC。不一定是平行四边形，所以不一定有方+而=元，C错误:

根据三角形法则可得证+而=而正确，所以D正确.

故选：D.

【变式3-3］（2022•山东•高三期中）在△力BC中，已知。为力B上一点，若而=3而，则而=（）

3——,1♦1,33一，

A.-CA^--CBB.-CA+-CBC.3CA-CBD.CA-3CB

4444

【解题思路】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解.

【解答过程】因为而二3而,

所以而=荏+前=同一元一工而二三而一正

44

=^（CB-CA）+CA=\CA+:盘.

故选：B.

【题型4向量的线性运算】

【方法点拨】

向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要

注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.

【例4】（2022•四川绵阳•一模（理））在△力8c中，点M为边4?上一点，2丽=而，若3而=入乙？+〃丽,

则4=（）

A.3B.2C.1D.-1

【解题思路】根据向量的线性运算法则求解即可.

【解答过程】由2而=而得福丽，

所以标=C4+4M=C4+^AB-CA+^（CB-CA）-1CA+^CB,

所以3屈=2石？+而，即〃=1,

故选:C.

【变式4-1］（2022.湖南.高三阶段练习）△48C中，D为BC中点,设向吊通=a,AC=b,AE=^BC,则尻=

（）

A.—2d+bB・2d-bC.d—2bD.—u.+2b

【解题思路】利用向量线性运算直接求解即可.

【解答过程】

~DE=AE-AD=^~BC-^(AB+AC)=|(^C-^5)-^(AB+AC)=AC-2AB=-2a+b.

故选:A.

【变式4-2］（2022.山东.高二阶段练习）设G,族为不共线向量，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5c-3b,则下列

关系式中正确的是（）

A.AD=BCB.AD=2BCC.AD=-BCD.AD=-2BC

【解题思路】根据平面向量线性运算法则求出而，即可判断.

【解答过程】解:因为方=五+21BC=-4d-b,CD=-5a-3b,

所［XAD=AB+Jc+W=-Sa-2b=2BC,

则关系式中正确的是而=2就，

故选:B.

【变式4-3］（2022・河北•高三阶段练习）在中，满足而=?35+三通，CE=-CA--BC,则（）

3344

A.DE=2EBB.DE=-AB

2

C.AD=^EBD.AE=^DB

【解题思路】根据给定条件，利用平面向量的线性运算逐项判断作答.

【解答过程】在中，满足万一：而，CE--CA--BC--CA+'^CB,

334444

~DE=CE-CD=-CA+-CB-'-CA-^'CS=--CA+-CB=~~AB,B不正确；

4433121212

~EB=CB-CE=CB--CA--^=-AB,~DE=-~EB,A不正确；

4443

AD=CD-CA=-CA+-CB-CA=-AB=-'EB,C正确：

3333

AE=AB-EB=-AB,~DB=AB-AD=-AB,AE=-~DB,D不正确.

438

故选：c.

【题型5向量共线定理的应用】

【方法点拨】

向量共线的判定一般是用其判定定理，即：是一个非零向量，若存在唯一一个实数1•,使得力='W,则向量

办与非零向量：共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.

［例5］（2023・广东两三学业考试）已知向量落加不共线，若而=d+2b,BC=-3a+7b,CD=4a-5b,

则（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

【解题思路】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.

【解答过程】对于A,因为而=2+2及BC=-3a+7b,

若A,B,。三点共线，则存在实数4使得而=义说，

则上:二不，无解，所以A，B,C三点不共线，故A错误；

对于B,VAD=AB+~BC+CD=a+2b-3a+7b+4d-5b=2a+4b,

,而=2伍+2办=2而，又•・•/1是公共点，，A,B,。三点共线，

故B正确；

对于C,因为丽=日+2反BC=-3a+7b,所以苑二一2五+9人

若A,C,D三点共线,则存在实数;I使得前=2而，又而=43-5儿

所以仁2=曾，无解，所以4C,力三点不共线，故C错误；

对于D,若B,C,。三点共线，则存在实数4使得近=4而，

又芯=-3d+7另,CD=4a-5b,所以无解，

所以丛C,D三点不共线，故D错误；

故选:B.

【变式5-1］（2022.重庆市高三阶段练习（理））在△ABC中，点尸为48的中点，荏=2正,BE与CF交于点P,

且满足前=2而，则2的值为（）

3432

A.-B.-C.-D.-

5743

【解题思路】把而用而，而表示，然后由此P,C三点共线定理得出结论.

【解答过程】由题意

AP=AB+~BP=AB+ABE=AB+X(AE-AF)=(1-A)AB+AE=(1-A)•2AF+A--AC=(2-

3

24)存+|沆，

因为尸,P,C三点共线，所以2-24+：/1=1,解得入=：.

故选：C.

【变式5-2](2022•全国•高三专题练习)已知O,4B,C是平面上的4个定点，4,8,C不共线，若点P满足而=

OA+AiAB+AC),其中/IWR,则点P的轨迹一定经过△力8。的()

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】设8C边的中点为0,则通+配=2而，进而结合题意得而=2/1而，再根据向量共线判断

即可.

【解答过程】解：根据题意，设BC边的中点为D,则左十元=2近，

因为点P满足而=函+4(而+就)，其中/IER

所以，~OP-OA=AP=+4C)=2XAD,即而=22而，

所以，点P的轨迹为△ABC的中线AO,

所以，点P的轨迹一定经过△ABC的重心.

故选:A.

【变式5・3】式022♦湖南长沙•高二阶段练习)已知向量五，b,且而=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,

则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【解题思路】由己知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向最共线定理进行判断即可完成求解.

【解答过程】因为丽=d+2B,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,

选项A,AB=a+2b,~BD=~BC-}-CD=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b,若A,B,。三点共线，则丽=

ABD,即5+23=4(2五+丽，解得；1=5故该选项正确；

选项B,AB-a+2b,BC--5a+6b,若A,B,C三点共线，则而一入万乙即日十三；1(一5日十65)，

解得;I不存在，故该选项错误：

选项C,BC=-5a4-6ft,CD=la-2b,若B,C,。三点共线，则说=2而，即一5G+6石=2（76-2母,

解得a不存在，故该选项错误；

选项D,AC=AB+BC=（a+2b）+（-5a+6b）=-4a4-8b,CD=7a-2b,若A,C,。三点共线，则

AC=ACD,即一4五+83=4（7五-23）,解得义不存在，故该选项错误；

故选：A.

【题型6向量线性运算在三角形中的运用】

【方法点拨】

结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.

【例6】（2022•山西太原•高三期中）已知点0,P在△4BC所在平面内，^OA+OB+OC=0,\PA\=\PB\=

\PC\,则点O,P依次是△48C的（）

A.重心，外心B.内心，外,心C.重心，内心D.垂心，外心

【解题思路】设AB中点为。，进而结合向量加法法则与共线定理得O,D,C三点共线，。在的中线CD,

进而得。为△力BC的重心，根据题意得点P为△48C的外接圆圆心，进而可得答案.

【解答过程】解：设A8中点为。，因为赤+而+而=6,

所以瓦J+砺+沆：=2而+沆=6,即一2赤二沆，

因为赤，沆有公共点。，

所以，O,D,C三点共线,即。在△ABC的中线CD,

同理可得。在△ABC的三条中线匕即为△4BC的重心；

因为同|=\PB\=|PC|,

所以，点P为△4BC的外接圆圆心，即为△ABC的外心

综上，点O,P依次是△48C的重心，外心.

故选：A.

【变式6-1］（2022•陕西・高二阶段练习（文））已知。是平面上的一个定点，A、8、C是平面上不共线的三点,

动点P满足而=赤+/1（篇+售）（AGR）,则点。的轨迹一定经过AAB。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P轨迹.

【解答过程】因为黑为荏方向.上的单位向量，备为配方向上的单位向量，

\AB\1周

则1ft+备的方向与®C的角平分线一致，

由而=瓦+%（儡+裔），可得而-而=4儒+部

即而=”儒+裔），

所以点。的轨迹为4847的角平分线所在直线，

故点。的轨迹一定经过△力8c的内心.

故选：C.

【变式6-2]（2022•江西省高三期中（文））已知。是ZMBC内部的一点，〃，乙B,NC所对的边分别为Q=3,

b=2,c=4,若sinA•次+sin8•砺+sinC•沅=1则△40B与△ABC的面积之比为（）

A.：B.；C.ID.I

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