点、线间的对称关系【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题2.5点、线间的对称关系【七大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型1点关于点的对称问题】..................................................................1

【题型2直线关于点的对称问题】...............................................................2

【题型3求点关于直线的对称点】...............................................................3

【题型4求两点的对称轴】......................................................................3

【题型5直线关于直线的对称问题】.............................................................4

【题型6光线反射问题】........................................................................5

【题型7将军饮马问题】........................................................................6

A举一反三

【知识点1点关于点的对称】

1.点关于点的对称

求点。关于点力(。/)的对称点p的问题，主要依据力是线段的中点来求解.

设珀,对称中心为4(9)，则申关于4的对称点为P(2〃一网,2。一%).

【题型1点关于点的对称问题】

【例1】(23-24高二上•四川遂宁•期中)若A(4,0)与8点关于点(2,1)对称，则8点坐标为()

A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)

【变式1-11(23-24高二•全国•课堂例题汨知不同的两点P(a,-b)与Q3+lta-1)关于点(3,4)对称，则茂=

()

A.-5B.14C.-14D.5

【变式1-2](2024高二・江苏•专题练习)点4(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为.

【变式1-3](2023高二•江苏•专题练习)求点P(4,5)关于M(3,-2)对称的点Q的坐标.

【知识点2直线关于点的对称】

1.直线关于点的对称

求直线/关于点力(凡力)对称的直线〃的步骤：

(1)由平行直线系设出直线/'的方程；

(2)在/上任取一点尸(x,y),求P关于4的对称点P(2a—x,2b—y);

(3)将P的坐标代入直线1的方程，求出参数，得到1的方程.

【题型2直线关于点的对称问题】

[例2]（23-24高二・全国・单元测试）直线2x+3y-6=0关于点（1,1）对称的直线方程为（）

A.3x-2y+2=0B.2%4-3y4-7=0

C.3x-2y-12=0D.2%+3y-4=0

【变式2/】（23-24高二上•全国♦期末）点P（l,2）在直线，上，直线。与1关于点（0,1）对称，则一定在直线。上

的点为（）

A.Q,|）B.（-1,^）C.（-1,0）D.（1,0）

【变式2・2】（2024•峡西宝鸡・一模）直线3%-2y=0关于点6,0）对称的直线方程（）

A.2x-3y=0B.3x—2y—2=0

C.x—y=0D.2%—3y—2=0

【变式2-3]（23-24高二上•江苏常州•期中）已知直线欠+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点力（1,0）对

称，则实数b的值为（）

A.2B.6C.-2D.-6

【知识点3点关于直线的对称】

1.两点关于某直线对称

设点力（.”,乂））关于直线/的对称点为4（苍丁）.

x+x。

2一.

（y=yo

t，I。

y+y_•

（0

（3）直线/的斜率存在且不为。时，设点4（刈,为）关于直线+By+C=0的对称点为8a,y）.

|kAB-kt=-\

则〈/x+xo_i_A沙+%工厂n*由此可求出8（“，）.

点对称轴对称点坐标

x轴

y轴(-4力)

y=x

P(a,b)

y=-xGb,-a)

x=m(nii-O)(2/n-a,b)

尸?(〃#))(a,2n-b)

【题型3求点关于直线的对称点】

【例3】(23-24高二下.四川雅安•开学考试)点(3,0)关于直线％-y+3=0对称的点的坐标为()

A.(3,6)B.(6,-3)C.(-6,3)D.(-3,6)

【变式3-1](23-24高二上•山东泰安・期末)点P(2,3)关于直线与+y+2=0的对称点的坐标为()

A.(—3,—2)B.(-2,—3)C.(—5,—4)D.(—4,-5)

【变式3-2](23-24高二上•北京期中)点(1,2)关于直线％—2y—2=0的对称点坐标是()

A.(-1,-4)B.(3,-2)C.(0,4)D.(-1,6)

【变式3-3](23-24高二•全国.课后作业)在平面直角坐标系％中，已知点力(1一皿2加一1),点8(-2,1),

直线Lax+匕y=0.如果对任意的zn点A到直线/的距离均为定值，则点8关于直线/的对称点当的

坐标为().

A.(0,2)B.仔C.(2,3)D.(|,3)

【题型4求两点的对称轴】

【例4】(23-24高二上•四川内江期中)已知点工(1,2)关于直线，对称的点为则直线，的方程为()

A.4%+2y-5=0B.x-2y-5=0

C.x4-2y-5=0D.4x—2y—5=0

【变式4-1](23-24高一下.河北保定.期末)若点46-1,。+1)./?6,。)关干直线/对称,则/的方程为()

A.x—y+1=0B.x+y-1=0

C.2x-2y+1=0D.2x+y-2=0

【变式4-2］（23-24高二・全国•课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点（3,2）与点（1,4）重合，则折痕所在

直线的一般式方程为.

【变式4-3］（20-21高二上•上海徐汇・阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形力BCD的长为2,

宽为1,边分别在x轴、y轴的正半轴上，点力与坐标原点重合，将矩形折叠，使点力落在线段DC上，

若折痕所在直线的斜率为匕则折痕所在的直线方程为.

【知识点4直线关于直线的对称】

直线关于直线对称有两种类型：

（1）若已知直线人与对称轴/相交于点尸，则交点。必在人关于/对称的直线上，再求出。上除点尸外

任意一个己知点上关于/对称的点尸2,那么经过交点。及点尸2的直线就是L

⑵若已知宜线。与对称轴/平行，贝“关于/对称的直线右到直线/的距离和/倒直线/的距离相等，由

平行直线系和对称点即可求出关于/对称的直线

【题型5直线关于直线的对称问题】

【例5】（23-24高二上•河北石家庄•阶段练习）直线y=x+l关于直线y=2%对称的直线方程为（）

A.3x-y-1=0B.4x-y-2=0

C.5x-y-3=0D.7x-y-5=0

【变式5-1］（23-24高二上•陕西西安・期中）设直线k3x-2y-6=0,直线%：％一y-4=0,则L关于U对

称的直线方程为（）

A.3%+2y-14=0B.2x-3y-14=0

C.3x4-2y-6=0D.2%—3y-6=0

【变式5-2]（23-24高二上•江苏常州•阶段练习）两直线方程为h3%-2y-6=0J2:x-y-2=0,则匕关

于，2对称的直线方程为（）

A.3x-2y-4=0B.2x+3y-6=0

C.2x-3y-4=0D.2x+3y-4=0

【变式5・3】（1990•全国•高考真题）如果直线〃=以+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（）

A.a=6=6B.a==—6C.a=3,b=-2D.a=3,b=6

【题型6光线反射问题】

【例6】（23-24高二上•湖北恩施♦期末）已知光线从点A（-2,1）射出，经直线2x-y+10=0反射，且反射

光线所在直线过点B（-8,-3）,则反射光线所在直线的方程是（）

A.x-3y-1=0B.3x-y+21=0

C.x+3y+17=0D.3x4-y+15=0

【变式6-1］（23-24高二上•浙江•期中）已知4（-3,0）,B（0,3）,从点P（0,2）射出的光线经x轴反射到直线上，

又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（）

A.2/10B.6C.V26D.2遍

【变式6-2］（23-24高二上•山西期中）一条沿直线传播的光线经过点P（—4,8）和Q（-3,6）,然后被直线y=

%-3反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A.x+2y-3=0B.2x+y=0

C.x—2y—5=0D.x4-2y4-3=0

【变式6-3］（22-23高二上•河南南阳•阶段练习）如图，已知两点4（11,0）,B（0,»从点P（l,0）射出的光

线经直线4B上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线。B上的点N反射后又回到点P,则直线MN的方

A.4x—3y-3=0B.4x4-3y+4=0

C.3x—4y—3=0D.4x—3y+4=0

【题型7将军饮马问题】

【例7】（24-25高二上•全国•单元测试）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄

昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从

山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营

所在的位置为〃（-2,0）,若将军从山脚下的点/g,0）处出发，河岸线所在直线方程为”+2y=3,则“将军

饮马”的最短总路程为（）

A.fB.5C.后D.g

【变式7-1］（23-24高二上.上海奉贤.阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对

唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力

最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，

先到河边饮马后再问军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是4（2,4）,军

营所在位置为8（6,2）,河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将

军饮马”）