高中数学：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

第八章立体几何初步

§8.3简单几何体的表面积

与体积

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

【学习目标】1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.（重点）2.理解并掌握侧面展开图与几何体

的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.（重点、难点）3.体会和理解棱台的表面

积与体积公式的推导过程.（难点）

【导语】

探索棱柱、棱锥与棱台的世界，在几何的奇妙领域中，棱柱、棱锥与棱台以其独特的结构与对称性，成为

连接平面与空间的重要桥梁.无论是建筑的稳固框架、艺术设计的灵感源泉，还是工程计算的精密需求，它

们的表面积与体积始终扮演着关键角色.

对于一般的棱柱、棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？让我们一同走进多面体的世界，感

受数学与现实的深度共鸣！

一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

问题I我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，是围成多面体的各个面的面积之和，长方

体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？

提示长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.

知识梳理棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体表面积

棱柱S「性一=S-+2S氐

棱锥S检管农=S-+S，

棱台S怙”&।倏十S一卜底

多面体的表面积就是围成多面体各个面的

结论

面枳的和

例1（课本例1）如图所示，四面体尸-A8C的各棱长均为〃，求它的表面积.

解因为APBC是止三角形，其边长为m

所以S^PBC=~Cl2-

因此，四面体P-ABC的表面积S~&<=4X^-a2=y/3a2.

4

例1现有一个底面是菱形的直四棱柱（侧棱与底面垂直），它的体对角线长为9和15,高是5,求该直

四棱柱的侧面积和表面积.

解如图，设底面对角线BD=h,交点为O,对角线4c=15,BiD=9,

/.a2+52=152,〃+52=92,

.*.a2=200,b2=56.

SPAC=1OV2,BD=2>/T4.

•・•该直四棱柱的底面是菱形，

.1/AC、？/BD\2a2+b2200+56„

・・44"=（++（同=丁=^^:6x4,.・48二n8.

，该直四棱柱的侧面积S产4X8X5=160.

该直四棱柱的底面积S产1C8O=20夕.

该直四棱柱的表面积

S表=160+2X20V7=160+40收

反思感悟多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和，表面积等于侧面积与底面积之和，所以审题时，务

必要注意求侧面积还是求表而积，在求解时需要注意各个而的形状，并选择合适的面积公式进行计算.

跟踪训练1已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,求该正四棱台的侧棱长和侧面

积.

解如图，作底面ABC。，8iQ_L8C,垂足分别为"。，连接”。.

2

AB

由题可知，HQ=BQ=\,8i/7=3,所以历。=，32+M=何,

所以侧棱长88=J(VTU齐iWIL

侧面积s=4X1X(2+4)XX^1O=12V10.

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

几何体体积说明

棱柱V^=ShS为棱柱的底面积，〃为棱柱的高

V^ShS为棱锥的底面积,/?为棱锥的直

棱锥o

棱台v校台=[〃（$+VTJ+S）s,S分别为棱台的上、下底面面积,/?为棱台的直

问题2观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？

提示

V^^IHS^ST+S）

y1m=SZJvw«=lsn

例2(1)已知高为3的三棱柱的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥％-

4BC的体积为()

A.iB.i1D.C

4264

答案D

解析设三棱锥的高为力，

则公镀81.也=沁丽话X乎X3咚

(2)(2022・新高考全国I)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.

已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面

的面积为180.0kn?.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,，则该水库水位从海拔148.5m上升

到157.5m时，增加的水量约为«7a2.65)()

A.1.0X109m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.L6X109m3

答案C

解析如图，由已知得该棱台的高为

157.5-148.5=9(m),

所以该棱台的体积

V=-X9X(140+V140X180+180)X106=60X(16+3b)X106^60X(16+3X2,65)X106=1.437X109~1.4Xl09(m3

3

).

反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长).

常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题：二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥

的有关知识及相似性来解决问题.

跟踪训练2如图，已知/WCQ-4SGS是棱长为。的正方体，石为AAi的中点，尸为CG上一点，则

三棱锥4-GEF的体积为.

答案学

解析"三棱锥A-DiEF=V三枝锥F-&D1E，

•・0%小^E4A力产沁

又三棱锥F-4OE的高为CD=a,

・“三爱锥.沱a*/,

,,吟.凌锥公-%“二石/

三、简单组合体的表面积和体积

例3(课本例2)如图所示，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高

都是0.5m,公共面4BC。是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?

(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)

解由题意知丫女方体八8sXIXO.5=O.5(m3),

V钝银/M8CD=：X1X1xo.5=^(m3).

所以这个漏斗的容积V=V=|~0.67(m3).

例3一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立

方米混凝土(钢筋体积略•去不计，精确到0.01立方米)？

解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.

5,=06X1.13x(0.5+03)X0.3

二0.541平方米)，

V=S#0.54X24.8=13.39(立方米).

故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.

反思感悟(1)求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎

样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体

的体枳，然后再相加或相减.

(2)常见的几何体体积求法.

H公式法I-直接代入公式求解

例如四面体的任何一个面都可以作为

.等体积法-底面，只需选用底面积和高都易求的

-------形式即可

将几何体补成易求解的几何体，如棱

般补成棱柱,三枝柱补成四棱柱等

将几何体分割成易求解的几部分，分

别求体积

跟踪训练3如图，在棱长为。的正方体A8CD-A由iGS中，截去三棱锥4-A8。，求剩余的几何体

A^B^C^D^-DBC的表面积和体积.

解由图可知AA出。是边长为企。的等边三角形，其面积为当a?,

故所求几何体的表面积S=S01BD+3sMSCKS正方形.出0小二?/+3乂3乂。2+3〃2=等/

几何体AHG/VQBC的体积仁七方体做…出展榜丽=心打打。乂。义冶/

■课堂小结,

1.知识清单：

(1)棱柱、极锥、棱台的侧面积和表面积.

(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.

(3)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.

(4)简单组合体的表面积与体积.

2.方法归纳：公式法、等体积法、割补法.

3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.

随堂演练

1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2,则它的表面积是()

A.2V3B.4V3C.4D.6

答案B

解析S*=4X与又22=4回

4

2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为VL体对角线长为述，则这个棱柱的侧面积是()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1,长方体的高为距二至二2,故这个棱柱的侧

面积为1X2X4=8.

3.如图，A3C-A皮C是体积为1的三棱柱，则四棱锥的体积是()

答案C

解析,•*v=C-A，BC~^y三夜住ABC-ABC~^

•3

AVsstec-/WBfl=1-1=1.

4.己知在正三楼台ABC-AHG中，AIA?I=2,AB=4,侧棱44尸VL则该楼台的体积为.

答案亭

«3

解析补成正三棱锥P-A8C,因为A山尸2,A8=4,则4,B1,G为三棱锥P-A8C三条侧棱的中点，又

A4产鱼，则PA=PB=PC=2五,

p

则由勾股定理可知PA,PB,PC西两垂直，故该图形为正方体的一角,

所以卜三梭诙P-ABC=^PA3=^X（2鱼），平

OOO

同理，得匕棱…祖送x（或）3邛

所以正二棱台ABC-4i8iG的体积”二V三根位P-AHC-P三棱镜p_4181Gl=当''苧=3'

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分

IR基础巩固

1.若棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为（）

A.26B.28C.30D.32

答案B

解析所求棱台的体积占"（4+16+/31^）义3=28.

2.将一个棱长为。的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）

A.6«2B.I2«2C.18/D.24〃

答案B

解析棱长为。的正方体的表面积为S=6/,由棱长为。的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和

为Sz=27X6XQ）=18a2,因此表面积增加了12/

3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2：3,则棱柱与棱锥体积的比值为（）

A.-B.2C.-D.3

23

答案B

解析设棱柱的高为山底面积为5,则棱锥的高为〃，底面积为白，故二者体积的比值为?=7#—=2.

2”3X2Sh

4.已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为石，那么它的体积为（）

A.6V3B.V3C.2V3D.2

答案B

解析由题意可得高依J（石行一12=2,

又因为底面积S=6X1XIX1X争苧,

所以正六棱锥的体积V=^=^X^X2=V3.

5.（多选）正三棱锥底面边长为3,侧棱长为28，则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥的高为3

B.正三棱锥的斜高为手

C.正三棱锥的体积为竽

D.正三棱锥的侧面积为岸

4

答案ABD

解析设E为等边三角形AOC的中心，尸为CD的中点，连接PF,EF,PE,

4C

则PE为正三棱锥的高.户户为斜高.

又「广普

£HXT=T-

故PE痔1=3,故A,B正确.

而正三棱锥的体积为:X3xfx9二乎，侧面积为3X；X3X孚二号，故C错误，D正确.

344224

6.风车乂称“风谷车”（如图1）,相传是春秋时期鲁国人鲁班发明，由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件

组成.风车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力，风吹谷子将谷壳与谷粒分离.已知某风车将谷壳和谷粒

分离后，谷壳和谷粒体积的比例大概为1：5,顶部的漏斗（谷子的入料仓，也称“盛斗”）可看作是正四棱

台，如图2所示，该几何体上、下底面边长分别为30cm,18cm若使用该风车将漏斗装满后，分离出的

谷粒有6860cm3,则漏斗的高为（）

图】图2

A8575

A.------cm

882

C.14cmD.42cm

答案C

解析设棱台的高为小

由题意得谷子有686（）X约232（cm'）,

由棱台的体积公式可得

；X/zX（302+182+30X18）=8232,

故力=14cm.

7.一个封闭的正三棱柱容器，高为3,内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一

个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点E,F,R,E分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为

（）

甲乙

A.-3B二7C.2D.9-

244

答案D

解析因为E,F,Fi,昂分别为所在棱的中点，

•棱柱EFCB-E]FigBi=S嗝形环以义3=茨,义3=2此，设甲中水面的高度为力，则SMSCX行泌胆・•・壮.

8.（5分）如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的儿何体，若该几何体的体

积为60,则该几何体的表面积为.

答案110

解析设正四棱柱的底面边长为〃?，则4（42-加）=60,解得〃-1,则该几何体的表面积为42义4+（4二

12）X2+4X1X4=110.

9.（5分）若正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上、下底面

的面积分别是百和4百，体积为子，则其侧棱长为.

答案V3

解析设该正三棱台的高为〃，

所以乎=；X（遥+46+2百）人，解得上孚，

又因为正三棱台上、下底面的面积分别是百和4百，所以上、下底面的边长分别是2和4,

如图所示，。分别是上、下底面的中心，连接OO，，OE,OB,

A

在平面3005讷作B'E上BO于点、E,

贝ij8户誓，

因为。》1X2X声=型，OB=-X4X—=—,

323323

所以BE=O8-O7T=竽，

在RS'EB中，BB'=\lBE2+B'E2

4件）二（等步

所以该正三棱台的侧棱长为8.

10.（12分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-ABGD，下部分的形

状是正四棱柱A8CDAi8G"（如图所示），并要求正四棱柱的高OiO是正四极锥的高QOi的4倍，若

AB=6m,PO\=2m,则仓库的容积是多少？

解由POi=2m,知O|O=4POi=8m.

因为A\By=AB=6m,

所以正四棱锥P-48QO］的体积V»=1-AIFf-POiX62X2=24(m3),正四棱柱ABCO-ABQ"的体积V柱

=4序。0=62义8=288(1一),所以仓库的容积V=Vtg+V^=24+288=312(m3),

故仓库的容积是312m3.

ID综合运用

ii.（多选）“堑堵”“阳马”和“鳖嚅”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术・商场》：“斜解

立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖席”.一个长方体沿对角面斜切（图1）,得到一模一样

的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜切（图2）,得一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三

棱锥称为鳖牖（图4）.

若长方体的体积为匕由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖嚅的体积分别为%，%,匕，则下列选项

正确的是（）

A.VI+V2+V3=VB.VI=2L

C.V=2V,D.V-V3=-

224

答案AC

解析由题意，堑堵的体积片《阳马的体积丫24鳌腌的体积5t3

2336

所以％+L+匕=匕2%=3V2,6V3=3匕=匕即匕=2匕，所以心-匕=匕二:,

6

所以A,C选项正确，B,D选项错误.

12.（多选）正多面体统称为柏拉图体.若连接某正方体ABCQ-A由CG的相邻面的中心，可以得到•个新的体

积为：的柏拉图体。则（）

A.0是正六面体

B.正方体A8CD-A181Goi的边长为2

C.0与正方体ABCLM/QOi的表面积之比是当

D.平面ACCA马。相交所得截面的面积是迎

答案BCD

解析对于A,如图，。是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；

对于B,设正方体A8CD-481Goi的边长为a,Q是正八面体，且四边形NGMH是对角线长为。的正方

形，以四边形NGM"为底面的两个四棱锥E-NGMH与FWGM，的高都为去

则0的体积为：X：XaXaX：X2=%3W，

所以〃=2,所以B正确；

对于C,正方体ABCD-ABGd的表面积是6X2X2=24,

。的各个面是边长为遮的等边三角形，

所以。的表面积是8X1XV2XV2X^=4V3,

所以等=£,所以C正确；

246

对于D,如图，平面ACG4与。相交所得截面为四边形EQFP,P,。分别是NG的中点，

且E。，QF,FP,PE相等，EQ//FP,QF//PE,四边形石。”是菱形，EF=2,PQ=&,其面积为

|X2XV2=V2,所以D正确.

13.（5分）如图①所示，已知正方体的面对角线长为四小沿阴影面将它切割成两块，拼成如图②所示的几何

体，那么此儿何体的表面积为.

答案（4+2a）/

解析因为正方体的面对角线长为&〃，则其棱长为a,图②所示的几何体是平行六面体，上下，左右，

前后两两的面积分别相等，上、下底面是长和宽分别为或。和。的矩形，其面积均为&aXa;或〃2,前、

后两个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2X：XoXa=a2,左、右两个面是

边长为。的正方形，其面积均为=〃2,则此几何体的表面积为2(尤〃2+a2+a2)=(4+2&)a2.

14.(15分)如图，正六棱锥被过棱锥高P0的中点。'旦平行于底面的平面所截，得到正六楼台。。利较小的

棱锥P0：

(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(7分)

(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm,小棱锥的底面边长为4cm,求截得的棱台的侧面面积和表面积.(8分)

解⑴由题意知S小校傕何：S大校论上1：4,

贝1S大校校蕾：S小校依同：S梭台同

=4：I：3.

(2)如图所示，•・•小棱锥的底面边长为4