七年级下册数学（沪科版）实数的基本概念与性质（压轴题专项训练）

专题01实数的基本概念与性质

目录

典例详解

类型一、平方根与立方根的概念辨析

类型二、无理数的识别与估更

类型三、实数的分类与性质综合

压轴专练

国类型一、平方根与立方根的概念辨析

1.平方根与立方根的定义

①平方根：若一二"420),则X是。的平方根；

②立方根：若/no,则X是。的立方根.

2.常见易错点

①负数没有平方根；②一个正数有两个平方根，互为相反数；③立方根可正可负，与底数同号

【重要性质】

①平方根性质：==a(a>0)

=a

②立方根性质：y/^a=-yfay(^)

③0的平方根和立方根都是0

例1.已知一个正数的平方根分别是〃+2和2a-5,8-3的立方根为-2.

(1)求出力的值;

⑵求4a-b的平方根和9a+b的立方根.

【答案】⑴。=1,6=-5

(2)±3,也

【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键：

(1)根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到。+2+2〃-5=0,求出。的值，立方根的定义，得到8-3=-8,

求出/的值即可;

(2)根据平方根和立方根的定义进行求解即可.

【详解】(I)解：由题意，。+2+20-5=0,6-3=(-2)'=-8,

.•.4=1,8=一5；

(2)va=1,/?=-5,

.•.4。一人=4x1—(—5)=9的平方根为±3,9a+b=9xl-5=4的立方根为班.

变式1-1.已知正数〃?的两个不同的平方根分别是。和2a-9.

(1)求q的值，并求正数〃?的值：

⑵求44+〃」的立方根.

【答案】(1)1=3,加=9

(2)5

【分析】(1)根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程可求出。，/即为胴；

(2)将(1)中结论代入即可求出44+/的值，再求立方根即可.

本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出。的值是解题的关键.

【详解】(1)解：•••正数〃?的两个不同的平方根分别是。和2a-9,

•••。+2。-9=0,

解得a=3,

6=32=9：

(2)解：由(1)得44+〃/=44+92=125,

・:厄:5,

.•.44+〃?2的立方根为5.

变式1-2.已知一个正数小的两个不相等的平方根是。+6与2〃-9.

⑴求〃的值；

⑵求这个正数〃?；

⑶求关于x的方程ad_16=0的解.

【答案】⑴。=1

(2)片49

(3)x=±4

【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键.

(1)由一个正数的两个平方根互为相反数求。的值；

(2)由(1)代入开方，即可求解这个正数m；

(3)将。=1代入-76=0即可求解.

【详解】(1)解：••・一个正数”的两个不相等的平方根是。+6与2〃-9,

，a+6+2a-9=0.

解得。=1;

(2)解：；a=1,

•。./〃=(4+6)"=(1+6)"=712=49；

(3)解：：将a=1弋入-16=0/x?-16=0,

解得x=±4.

。类型二无理数的识别与估算

1.无理数的常见形式

①开不尽方的数

②无线无循环小数

③某些含有兀的数

2.无理数估算方法

①夹逼法：比较平方数，确定根号值的整数部分

②逐次逼近法：用分数或小数逐步逼近真实值

例2.同学们知道，6是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此G的小数部分我们无法全部写出来,

喜欢动脑筋的小明同学用G-1来表示右的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法

是有道理的，因为百的整数部分是1,将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分.

(1)已知后7的整数部分为“，小数部分为儿求(〃-1)+2。的值.

⑵若，〃是6-恒的整数部分，〃是五的相反数，请比较〃?，〃的大小.

【答案】(1)拒

(2)tn<n

【分析】本题考看估算无理数的大小，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键.

(1)根据2<加一1<3得至ija=2,b=43,再代入计算即可；

(2)根据2<6-痴<3,〃是1-后的相反数，确定〃?，〃的值，再比较大小即可.

【详解】（1）解：•♦•3<行<4,

•••2<万-1<3,

・•・仃-1的整数部分为。=2,小数部分为8=a-3,

1）+2«=713-3-l+2x2=V13；

（2）ft?：V33<33<43,

•••3<V33<4,

二2<6-际<3，

二6-际的整数部分是少=2,

•••〃是1-历的相反数，

••w=V21-l

,•4<V2T<5»

二3<历-1<4，

m=2<3<n<4,

ni<fl,

变式2T.阅读材料，根据材料解答下列问题.

因为“<近<6,所以2<b<3,所以旧的整数部分是2,小数部分是b-2.因为所

以"-1的整数部分是1,小数部分是b-2.

（1）求J厅的整数部分和小数部分.

（2）已知卅是返1—3的整数部分，〃是用—3的小数部分，求（-用户”+（〃+4『的值.

【答案】（1）整数部分是4,小数部分是J万-4

（2）22

【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键.

（1）根据J正</7<后可得4<5/万<5,由此即可得；

（2）根据J正<历<后可得4<后<5，则可得1<01-3<2，从而可得犯〃的假，代入计算即可得.

【详解】（1）解：•••16<17<25,

:诉<后<后，

•••4<如<5，

••.J万的整数部分是4,小数部分是J万-4.

(2)解：•••16V21V25,

:正＜后＜后，

•••4＜V2T＜5»

二1(历-3＜2，

•・・〃?是后-3的整数部分，〃是与-3的小数部分，

，"?=1,n=5/21-3-1=J21—4•

...(_〃产+(〃+4)2

=(一1广+回4+4

=1+21

=22.

变式2-2.&是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用血-|表示它的小数，理由是：&的整数部分

是I，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：因为也,即2＜逐＜3,所以"的

整数部分为2,小数部分为"-2,参考小徽的做法解答：

⑴石介于连续的两个整数〃和b之间，且。＜力，那么",b=；

(2)"的整数部分是，小数部分是；

(3)已知2+后的小数部分为x，5-而的小数部分为v，求工+丁的值.

【答案】⑴2,3：

(2)2,V7-2：

(3)x+y=l.

【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键.

(1)仿照题例即可求解；

(2)仿照题例即可求解；

(3)仿照题例求出X=JTT-3,y=4-布，然后代入即可求解.

【详解】(1)解：＜下＜处,

•••2＜石＜3,

b=3,

故答案为：2»3：

(2)解：•.♦4＜行＜囱，

••.2<币<3,

•••近的整数部分是2,小数部分是"-2,

故答案为：2»>11-2:

（3）解：,:如<旧〈历，

，3<而<4，

5<2+Vn<6.-4<-Vn<-3.

•••1<5-VH<2»

・••2+Jii的小数部分X=2+而-5=而一3,

5—VH■的小数部分y=5—E—i=4—VTT,

•••x+y=VTT-3+4-VH=1.

类型三、实数的分类与性质综合

1.实数的基本分类

①按定义分类：有理数与无理数统称为实数

②按符号分类：正实数、零、负实数

③按形式分类：整数、分数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）

2.实数性质综合辨析

①实数与数轴的一一对应关系；

②实数具有有序性、稠密性、连续性；

③实数运算的封闭性（四则运算结果仍为实数，除零不能作除数外）

【重要性质】

①元理数不能表示为分数形式；

②元理数与有理数的和、差仍为无理数；

③元理数与有理数的积、商仍为无理数（有理数不为零）

例3.有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若〃和力是有理数，。（兀+3）+力=（）,则

a=O,b=O.已知加和〃是有理数.

⑴若（加-3）x指+〃-3=0,则〃川的算术平方根为；

⑵若（2+6）〃?-（1-码〃=6,其中孙〃是x的平方根，则x的值为.

【答案】（1）3

(2)4

【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)根据题意可得m-3=0,〃-3=0,从而可得加=3,〃=3.然后代入式子中，再根据算术平方根的定

义求解即可；

(2)根据已知易得2〃?-〃-6+工(〃?+〃=0,从而可得{A,进而可得：°,然后利用平

m+n={)[〃=-2

方根的意义，即可解答.

【详解】(1)解：•.•(/n-3)xV6+«-3=0,〃[和〃是有理数，

二一3二0,〃-3二0,

解得：〃?=3,〃=3,

•••〃〃?=3x3=9,

的算术平方根为3,

故答案为：3；

(2)解：+-6)〃=6,

2〃？+y/3m-〃+6n—6=0»

2/n-77-64-VJ(w+w)=0,

•♦•〃?和n是有理数,

2m一〃-6二0

••・«■

加+〃=0

m=2

解得：、，

77=-2

•・•〃?，〃是X的平方根，

/.x=4,

故答案为：4.

变式3-1.阅读理解：三位同学在研究无理数时有以下发现:

同学研究成果

①任意一个有理数与无理数的和为无理数；

小红②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；

③零与无理数的积为零

若ar+/>=0,其中。、Z)为有理数，x为无理数，则a=0且/)=().例

小蓝

如：若6a+b=0,其中〃、人为有理数，则。=0且6=0.

根据小红、小蓝的研究成果，成功解决了以下题目：

已知a(l+&)+也+/)=0,其中。、方为有理数，求〃、方的值.

小张

分析：：通)4变形,得(1+〃)&+〃+方=0.

因为a、b为有理数，所以可列方程组为二解得

运用上述知识解决下列问题：

(1)已知小+/?-4=0,其中。，5为有理数，则、=_；

(2)在小张的研究成果中，可列方程组为并解方程；

⑶已知/-〃(2-J7)=30+3j7,其中小，〃为有理数，求加一〃的值.

【答案】(1)0,4

[1+fl=0ia=-\

“a+b=0b=1

(3)加一〃=3或m-n=-9

【分析】本题考查了实数的分类，二次根式的乘法，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键.

<1)利用实数的性质得到〃=0巨〃-4=0,从而可求出外b；

1+4=0

(2)利用实数的性质得到方程组入八，然后解方程组即可；

(3)先整理得至1］旭2一2〃+〃6=30+3",再利用实数的性质得到苏-2〃=30且〃=3,然后解方程组求H；

加、〃，从而得到小一〃的值.

【详解】(1)解：•••氐+6-4=0,其中a,b为有理数，

••・4=0且6-4=0,

.-.a=0,b=4；

故答案为：0；4；

(2)解：(1+。)拒+4+6=0.

•••〃、6为有理数,

14-67=0

・••可列方程组

a+b=0

解得

b=l

1+a=0

故答案为：，

a+b=0b=l

(3)解：•"〃2-”(2->/7)=30+2>/7,

•••w2-2n+w>/7=30+377,

•••〃?，〃为有理数，

•••nr-2/7=30"〃=3,

解得〃?=6或-6,〃=3,

/〃一〃=6-3=3或加一〃=一6—3=—9

压轴专练

一、填空题

1.设初、〃是有理数，且满足等式/〃2+3〃+〃0+5&=21贝1」阳+〃=.

【答案】1或-11

【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键.对等式整理得

(〃/+3〃-21)+/(〃+5)=0,结合机、〃是有理数得出〃/+3〃-21=0，〃+5=0,解出加，〃的值即可解答.

［详解】解：:m2+3n+n-Jl+5>j2=21»

+3〃-21)+正(〃+5)=0,

•••〃?、〃是有理数，

w2+3/j-21=0,»+5=0,

解得：/〃=6或一6,n=-5,

当阳=6时，w+??=6-5=1,

当阳二-6时，w+7/=-6-5=—11>

一•综上所述，，〃+〃=1或-11

故答案为：1或T1.

2.小潘同学估算后大小的计算过程如图所示，用这种方法估算M的大小，则M的大小约为.(精

确到0.01)

因为3<4,所以9的整数部分是3.

因为10-9=1,16-9=7,

所以的小数部分约为:，

所以瓶。3；a314.

【答案】4.33

【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键.仿照小潘同学估算后的

方法，先确定M的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到0.01，即可

得解.

【详解】解：因为4<J历<5,所以的整数部分是4.

因为19-16=3,25-16=9,

3I

所以M的小数部分约为

所以炳亡494.33,

故答案为：4.33.

二、解答题

1.已知一个正数x的两个平方根分别为。+3和2〃-6,8+3的立方根是-2,。是痴的整数部分.

(1)求a,b,c的值；

(2)求c(x-b)的平方根.

【答案】(1)。=1，b=-\\,c=3

(2)±9

【分析】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解一元一次方程，解题关键是正确求出相关字母的值.

(1)根据一个正数有两个平方，它们互相反数，列出关于〃的方程求解求出。，再根据立方根的意义求得

b,然后求出行的范围，从而可求得。的值；

(2)先求出c(x-b)的值，再求出它的平方根.

【详解】(1)解：•.•一个正数x的两个平方根分别为。+3和2a-6,

/.a+3+2a—6=0,

二a=1；

•"+3的立方根是-2,

血3=(-2)'=-8,

•，./)=—11；

••・3<Ji3<4,c是撷的整数部分，

•••e=3；

(2)V6r+3=4,

.••x=(a+3)~=16,

.•.c(x-Z?)=3[16-(-ll)]=81,

:，±5/=±9.

2.已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和2〃-7.

(1)求X的值；

(2)若人为x+7的算术平方根，。为。+25的立方根，求代数式8-c的立方根.

【答案】(1)9

(2)1

【分析】本题考查算术平方根，平方根及土方根，结合已知条件求得。、x的值是解答本题的关键.

(1)根据平方根的形式求得。的宣后代入。+1中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案：

(2)根据算术平方根及立方根的定义求得力、c的值，然后将其代入b-c中计算即可.

【详解】(1)解：因为•个正数x的两个平方根分别是。+1和2«-7,

所以。+1+2。-7=0,

整理，得%-6=0,

解得：4=2,

贝lja+1=2+1=3,

所以x=3?=9；

(2)解：由(1)知x=9,«=2,

由题意，得x+7=9+7=16,4+25=2+25=27,

因为b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根，

所以匕=4,c=3,

所以6-c=4-3=1,

所以代数式6-C的立方根为1.

3.大家知道血是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此也的小数部分我们不可•能全部写出来.由于

6的整数部分是1,因此我们可用拒-1来表示血的小数部分.

例如：因为4<7<9,即2<不<3,所以旧的整数部分为2,小数部分为6-2.

根据以上内容，解答下列问题：

(1)而的整数部分是,G数部分是.

(2)如果有的小数部分为明加的整数部分为〃，求a+8-石的值.

(3)已知10+JJ=x+y,其中x是整数，且Ovyvl,求x-N的值.

【答案】(1)3；岳-3

(2)1

(3)12-73

【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是

解本题的关键；

(1)根据题意求出3<JF<4,即可求解；

⑵利用4<5<9,得出2〈石<3,得到后的整数部分是2,石的小数部分是6-2,则”指-2,同

理可得后的整数部分是3,即6=3,代入〃+即可得到答案；

(3)求出1<G<2,则11<10+后<12,由10+G=x+y,其中x是整数，且0<y<l得到x=U,

丁=6-1,即可求解.

【详解】(1)解：,・・囱<>/15<而，

••.3<713<4,

加的整数部分是3,小数部分是厉-3,

故答案为：3,JI5-3;

(2)解：・.・4<5<9,

.•.2〈石<3,

.•.占的整数部分是2,小数部分是逐-2,即。=逐-2.

同理可得后的整数部分是3,即。=3,

:.a+b-y/5=y/5-2+3-V5=1：

(3)解：•••10+G=x+y,其中％是整数，且Ojvl,

••.x是10+6的整数部分，J'是10+6的小数部分，

1<G<2,

.­•11<10+V3<12,

.••X=1L^=10+>/3-11=>/3-1,

x-=11--1)=12-5/3.

4.阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的

绝对值.例如：1.4的整数部分为I,小数部分为1.4-1=0.4；百的整数部分为1,小数部分为Q-1；再如，

-3.8的整数部分为-4,小数部分为卜3.8-(-4)|=0.2.由此得到：若行=x+y,其中x是整数，且0<”1,

则i=l,y=V3-l.根据材料，回答下列问题：

(1)若Ji6=〃?+〃，其中，〃是整数，且0<〃<1,则〃[=_,〃=_；

(2)若8-a=b+,其中a是整数，且0<力<1,求|。+4一(6-1)的值；

(3)若4—后=〃+夕，其中p是整数，且0<令<1,求〃一9的值.

【答案】(1)3,而一3

⑵3

(3)717-6

【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解

题的关键.

(1)根据2〈逐<3即可得出结论；

(2)先得出a+力=8—而，进而求出a=2,力=6-而，代入求出值即可；

(3)先求出p=-l,g=4-JT7-(T)=5-JT7,代入求值即可.

【详解】(1)解：nc加<4,Jm=/〃+〃，其中m是整数，且0<〃<1

则阳=3,n=Vio-3；

(2)解!：\'S-a=b+V56»

：.a+b=^~y/16♦

是整数，5<>/26<6，

fl=2,b=6—A/26,

.­.|6z+Z>|-(Z)-l)=8-726-(6-726-1)=8-726-5+726=3.

(3)•.-4<V17<5,

.•.-l<4-V17<0,

•.•4-JTF=p+q,其中P是整数，且0<夕<1,

二根据题意得，p=-l,^=4-717-(-1)=5-717,

=-l-(5-VT7)=Vr7-6.

5.己知。的立方根是2,。的算术平方根是I,。是病的整数部分，d是病的小数部分.

(1)求。，b,c,d的值：

⑵求。-38+c的平方根.

【答案】(l)a=8,b=\,c=4,i/=720-4；

⑵士3

【分析】本题考查了土方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知

识为解题关键

(1)根据立方根，算术平方根的定义求出。，b的值，再根据无理数的估算求出以d的值即可；

(2)先代入求出代数式的值，再求平方根即可.

【详解】(1)解：•••〃的立方根是2,

•••«=8,

••・人的算术平方根是1，

•••Z)=1,

vl6<20<25,

•••瓦〈而〈岳即4<病<5，

•••扬的整数部分是4,

又c是病的整数部分，

•••c=4,d=>/20-4；

(2)va=8,b=l,c=4,

a-3/＞+c=8-3+4=9.

••/-36+c的平方根为±3.

6.己知近+2在两个连续的自然数。和b之间，-2是c的立方根.

(1)求a,b,c的值.

(2)求a+b的平方根与c的差.

【答案］(1)〃=4,6=5,c=-8

⑵11或5

【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解

决本题的关键.

(1)根据平方根、立方根的定义以及算术平方根的性质解决此题.

(2)根据平方根的定义以及性质解决此题.

【详解】(1)解：•••2＜近＜3,

•••4＜五+2＜5,

:.a=4,b=5,

•••-2是c的立方根，

:.c=-8：

(2)解：•••a=4,b=5,

•••。+6=4+5=9,

.•・〃+人的平方根为±3，

二。+8的平方根与c的差为3-(-8)=3+8=11或-3-(-8)=-3+8=5.

7.［课本再现】一般地，如果一个正数x的平方等于。，即/=*那么这个正数x叫做。的算术平方根，

记为G：0的算术平方根是0,即m=0..••被开方数。为非负数.

(1)【探究新知】若(6『=a,则。的取值范围是二

(2)【知识应用】若M+b+l|+L-2H4=0,求(a+/))2025的值；

(3)【拓展应用】若|2025-4+&-2()26=%求〃-20252的值.

【答案】(1)。20

(2)-1

(3)2026

【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元•次方程组的解法.

(1)根据被开方数为非负数可得答案；

a+b+\=0

(2)根据非负数的性质可得办42再解方程组，最后代入计算即可；

(3)由被开方数为非负数确定。的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案.

【详解】(1)解：(右『=。，则。的取值范围是

故答案为：>0;

(2)解：•.[