第7节 勾股定理-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）学生版

第七讲勾股定理

【学习目标】

1.掌握勾股定理的作用：

（I）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另外两边的关系。

2.根据情境或条件构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题，充分体现数学学以

至用的特点。

【基础知识】

I.如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么

a2+b2=C2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理是数形结合的典范，当三角形有一个直角这一“形”的特征时，就可以得到三边

的数量关系.

3.运用勾股定理进行计算时，除了掌握公式c2=a?+b2外，还应掌握它的几种变式，即a^c2

一b2;b2=c?-a2.总之，已知直角二角形的两条边的长，就可以第二边的长.

【考点剖析】

考点一：勾股定理的简单应用

例1.（1）在△ABC中，ZC=90°,BC=2,AC=28，则A8=.

（2）已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3,则斜边长为.

（3）直角坐标系中有一点PG2,3）,。为坐标原点，则OP二.

（4）如图，4ABC中，ZACB=90n,分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为Si,

S2,若Si=2,S2=5,则BC2=.

考点二：勾股定理的证明

例2.三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割

补的方法构造了“弦图”（如图1,并给出了勾股定理的证明.已知，图2中涂色部分是直角

边长为a,b,斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理.

b

（图1）（图2）

【答案】见解析

【分析】

根据总面积二以C为边的正方形的面积+2个直角边长为a,b的三角形的面积二以b为上底、

(a+b)为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为a的梯形的面积，据此

列式求解.

【详解】

证明：总面积S+2x,4〃=+J_（4+

222

.•1=4+〃

考点三：勾股定理与折叠问题

例3.如图，将等腰直角三角形ABC(ZA8C=90。)沿EE折叠，使点A落在BC边的

中点A处，BC=6,那么线段AE的长度为

B.4

15

C.4.25D.

T

例4.己知，如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的--边A。使点。落在BC

边的点尸处，已知AB=8c77Z,BC=10cm,求EC的长.

【真题演练】

1.在△ABC中，NA、DB、NC的对应边分别是〃、b、c,若/A+NC=90。，则下列

等式中成立的是（）

A.a2-vb1=c2B.b2+c2=a2C.a2+c2=b2D.c2-a2=b2

2.在平面直角坐标系中，点尸（3,4）到原点的距离是（）

A.3B.4C.5D.7

3.如图所示，在等腰RSA/3c中，N/WC=9（）。，BA=BC=\（）,直线/过点8,分别过点人、

C作直线/的垂线，垂足分别为E、F,若4E=8,则CF的长为（）

A.5B.6C.7D.8

4.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点、A,B,。都在格点上，AD1BC

于点。，则A。的长为（）

37

A.1B.2C.-D.-

23

5.有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16

厘米，这根木棒理论上（填“能”或“不能”）放进木箱.

9.中，NC=90。,AC=5,8。=12,。为8c边上的一点，将aA5c沿4。折

叠，使点C落在45边的点£处，则△OEB的面积为.

10.如图，以直角三角形A8C的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S,5：.S3,

若Si=9,52=16,则8=.

11.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则下列关于面积的等

式：①SA=SB+SC；®SA=SF+Sc+SB；@SB+Sc=SD+SE+SF+Sc,其中成立

的有（写出序号即可）

12.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△713c如图折叠，使点A与点6重合,

则Of的长是

C

ZX%、

BDA

13.如图，在4x5的网格中，最小正方形的边长为1,A,B,C,。均为格点（最小正方形的

顶点）.

（1）如图1,在网格中画出一个以48为一边且与△A8C全等的格点三角形，8c的

面积为________

（2）如图2,在线段A3上画出一点P，使CP+PO最小，其最小值为.

14.如图，某斜拉桥的主梁A。垂直于桥面M/V与点。，主梁上有两根拉索分别为A&AC.

（1）若拉索48JLAC,AB.BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC=米；

（2）若AB、AC的长分别为13米，2（）米，且固定点屎C之间的距离为21米，求主梁A。

的高度.

1.两个直角三角形拼成如图所示的图形，则Y的值为（）

A.GB.3C.y/5D.5

2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形

若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

3.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为（）

A.15B.12C.10D.9

4.直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,斜边上的高是（）

A.10B.2.4C.4.8D.1.2

5.如图是2002年8月在二匕京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与

中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm,每个直角三角形较短

的一条直角边的长是5cm,则小正方形的边长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

6.如图，长方形纸片ABC。中，AB=6cm,BC=&m,现将其沿E/对折，使得点C

与点4重合，则A厂的长为（）

BEC

25八，八7八23

A.—B.6C.—D.—

444

7.如图，在三角形纸片ABC中，NC=90。，AC=I8,将NA沿DE折叠，使点A与点B

重合，折痕和AC交于点E,BC=12,则EC的长为.

8.在AABC中NC=90°,a=6cm,b=8cm,则c=cm.

9.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,中间所夹三角形为直角三角形，贝!字母

A所代表的正方形的面积为.

10.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8离点。的距离为5,一只蚂蚁如果要

沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是_____.

11.如图，已知在Rt/kABC中，ZACB=90°,AB=4,分别以A