2026年中考数学：图形的相似与相似三角形（知识解读+例题讲义）解析版

第20讲图形的相似与位似

3"知识导航.‘十才

知识点1:比例线段

知识点2：相似图形

知识点3：位似图形

M知识梳理

知识点1：比例线段

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是

-=或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

bn

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段，简称比例线段.

若四条a,b,c,d满足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫

做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即@=2或匕：b=b：c,那么线段b叫做线段a,

bc

c的比例中项.

2.比例的基本性质：①a：b=c：doad=bc②a：b=b：c<=>/?2=ac.

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段

AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=XV——5-1AB^O.618AB.

2

知识点2：相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等

是特殊的相似图形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质:

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线

的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个二角形的两纲对应功的比相等,并口相应的夹角相等，那么这两个二角形

相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的

比对应相等，那么这两个三角形相似.

知识点3：位似图形

1.位似图形的定义

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行,

像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类

(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

4.作位似图形的步骤

第•步：在原图上找若干个去键点，并任取第、作为位似中心:

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例：

第四步：顺次连接截取点.

【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位

似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

哲题型精讲“十

【题型1:比例的性质】

【典例1】（2025•甘肃张掖•二模）如果2a=5b,那么?=.

【答案附

【分析】本题考查了比例的基本性质，对已知等式进行变形，从而得g的值.

【详解】解：2a=5b,匕工0,

a5

••b-2'

5

故答案为：5.

【变式1】（2025•四川成都•中考真题）若？=3,则?的值为.

【答案】4

【分析】本题主要查了比例的性质.根据比例的性质解答即可.

【详解】解：吟=3,

a+ba-

•••-=b+1=3+1=4・

故答案为：4

【变式2】（2025•内蒙古赤峰•一模〉已知则£=.

【答案】3

【分析】本题考查比例的性质，根据9=枭。=3k,b=2k（kHO）,代入计算即可.

【详解】解：设Q=3匕b=2k（k手0）,

,a3k3k'

人mi）a-b=3k-2k=T=3•

故答案为：3.

a3Q+2b

【变式3】（2026•四川成都•一模）已知工=5,则丁T的值为一.

【答案】7

【分析】本题考查比与比例的性质，掌握好相关知识是关键.

由已知比例关系设参数表示a和从代入目标式化简求值.

【详解】解：由?=4,设a=3k,b=2k（kHO）,

D乙

a+2b3k+2x2k3k+，k7k

Aa-b=3k-2k=k=~=7'

故答案为：7

【题型2由平行截线求相关线段的长或比值】

【典例2】（2025•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，AB||CD||EF,若8c=5,CE=8,则

”一（）

DF~k）

A.2B.3C.2D-8

【答案】D

【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键.

根据平行线分线段成比例定理得到比例线段券=鼠注意线段的对应性.

【详解】解：-AB||CD||EF,

AD££

-,~DF=CEf

-BC—5,CE—8,

BC5

'CE=8?

AD5

•••赤=8-

故选：D.

【变式1］（2025・四川乐山•中考真题）如图,L31113,AB=2,DE=3,BC=4,则EF

的长为（）

【答案】B

【分析】此题考直了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键.

A/jDE

根据kIIl2II4得到前=带再代入数据即可求解.

【详解】解：叫心2卜3,

AB__DE

：,~BC=布

-AB=2,DE=3,BC=4,

23_

•*-4=EF，

：.EF=6,

故选：B.

【变式2】（2025•河南•中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,^ABC

的三个顶点均在网格线的交点上，点。、E分别是边C4与网格线的交点，连接DE,

则0E的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△48C

的中位线是解题关键.取格点G、H,由网格的性质可知，EGIICH,得到喘=*=2，

ADAQ1

花二而二5，进而证明OE是△48。的中位线，即可求解.

【详解】解：如图，取格点G、H,

由网格的性质可知，EGIICH，

ADAG2IAG2I

J•而=而=彳=力AC=AH=4=2f

:.D、E分别是AB、AC的中点，

.•.DE是△48C的中位线，

:.DE=^BC=1>

故选：B.

【变式3】（2024•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，在四边形4BCZ）中，AD||8C,点£在力B

上，EFII/10交CO于点/，若4E:8E=1:2,OF=3,则/C的长为（）

A.6B.3C.5D.9

【答案】A

【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.根据

平行线分线段成比例即可解答.

【详解】解：•••在四边形力BCD中，ADIIBC,EFWAD,

'-AD||EF||BC,

AEDF

：''EB二正’

13

即5=FC*

解得尸c=6,

故选：A.

【题型3黄金分割比】

【典例3】（2025・四川乐山•中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一

条线段48分割成长、短两条线段AC、CB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与

CBAC

全长之比，即元=而，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点。叫做线段

48的黄金分割点.

【问题初探】

如图1,己知点C为线段43的黄金分割点（AC>BC）,求黄金比.

解：设48=1,AC=x,贝iJCB=1—x.

••CBAC

•AC~田

请补全以上解题过程；

【问题再探】

如图2,在RtZkABC中，4c=90。，BC=1,AC=2,请作出AC的黄金分割点（要求:

仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

【知识迁移】

如图3,点。为线段4B的黄金分割点（力。>8。），分别以AC、8C为边在线段48同侧

作正方形4C0E和矩形连结80、BE.求证：AEABFBCD；

【延伸拓展】

如图4,在正五边形4BCDE中，对角线4。与BE交于点M.求证：点M是4D的黄金分割

点,

【答案】［问题初探］:黄金比为与［问题再探］:作图见解析；［知识迁移］证明见解析：

［延伸拓展］证明见解析

【分析】［问题初探］代入数据，再解一元二次方程即可；

［问题再探］以点8为圆心，BC为半径画弧交于点E,再以4为圆心，AE为半径画弧与

4c相交，交点记为点P，点P即为黄金分割点.由公股定理可得力8=而，由作图可得

BC=BE=1,那么HP=AE=V5-1,则CP=AC-AP=2-（而-1）=3—而，则而=

93=3口,而竟=写±故券=竟，故点P即为黄金分割点；

V5—1

［知识迁移］根据点C为线段48的黄金分割点，得到等=器再由正方形的性质得到

4C=C。=4E,则黑=器再由夹角均为直角即可证明；

AEAMDMAM

［延伸拓展］先证明DM=DE=4£则而=正，那么而=俞，即可

证明.

【详解】［问题初探］

解：设/B=LAC=x,PllJCF=1-x.

••CBAC

•AC-田

1-xx

,•­=1,

..Vs-i-i—Vs,

解得：%=下一,^2=—r~（舍），

ACV5-1

•

''AB-2'

.•・黄金比为与

［问题再探］

解：如图，点P即为4C的黄金分割点：

［知识辽移］

证明：•.•四边形4CDE是正方形，四边形CBFO是矩形，

：.Z-EAB=乙BCD=90°,AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF,

•・•点C为线段4B的黄金分割点，

ACBC

'''AB=笳

CDBC

''AB=AEf

•••△EABFBCD；

［延伸拓展］

证明：•.•五边形力BCOE是正五边形,

(5-2)x180°

'.£BAE=Z,AED=-~——=108°,AB=AE=DE,

...zABE=Z-AEM=WAE=Z-ADE=,x(180。—108。)=36°,

：/DME=LAEM+LDAE=36°+36°=72°,

^/-DEM=LAED-Z-AEM=108。-36。=72°,

：.Z.DME=Z.DEM,

:.DM=DE=AE,

-/.DAE=/.DAE,Z-ADE=Z-AEM=36°,

△AME〜△AED,

AEAM

''AD=~AE

DMAM

~AD='DM

•••点M是的黄金分割点.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等

腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟

练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

AB\/5-1

【变式1】（2025•甘肃兰州•中考真题）如图，黄金矩形力BCD中标=丁，以宽AB为边在

其内部作正方形?18FE,得到四边形CDEF是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH,四边

形KEGL也是黄金矩形.依次以点E,G,L为圆心作而，而，就，曲线AFHK叫做"黄

金螺线若40=2,则"黄金螺线"1FHK的长为.（结果用IT表示）

【答案】（石一1）加

【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式1=篝.先根据黄金矩形

中标=羊，11/0=2，求出48二后一1,进而求出G尸=6"="0="？=3—而，

LH=HD=2V5-4,再根据弧长公式即可求出“黄金螺线””HK的长.根据黄金矩形的

定义求出4B的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键.

ABVs—I

【详解】解:•••黄金矩形/BCD中而=下一，且AD=2.

.-.AB=Vs-l,

•••四边形48FE是正方形，

AE=EF=BF=AB=V5-1,

•••FC=ED=2-(V5-l)=3-V5,

••・四边形FGHC是正方形，

GF=GH=HC=FC=3一“，

vCD=AB=VS-l,

:.HD=CD-CH=(4-1)-(3-百)=2而-4,

•四边形LKDH是正方形，

LH=HD=2V5-4,

••・"黄金螺线"AFHK的长为，

907r-AE907r•GH907r-LH

180+-180+180

1

=-n(AE+GH+LH)

乙

1

=-n(AE+ED+LH)

乙

1

=-n(AD+LH)

1厂

=-TT(2+2V5-4)

乙

=(V5—1)7T.

故答案为：(逐一Dm

【变式2】(2024•山西・中考真题)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形

习字格书写的汉字清远的“远〃端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点力,8分别

在习字格的边MN,PQ上，月.力8IINP,“远〃字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C

处，且落=*二若NP=2cm,则BC的长为_________cm（结果保留根号）.

【答案】V5-1/-1+V5

【分析［本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边

BC75-1

形ABPN是矩形，根据布=一"求解即可.

【详解】解：•.•四边形MNPQ是正方形，

:/N=4P=90°,

-AB||NP,

:ZBAN+乙N=180%

:/BAN=90°,

.••四边形力BPN是矩形,

'.AB=NP=2,

BCV5-1

'AB-2'

■BC=近—1,

故答案为：Vs—1.

【变式3】（2025•陕西西安•模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经

常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点8为4C的黄金分割点（48>BC）,若

AC=20cm,则力B的长为cm.（结果保留根号）

Ar一一一一一一—一rB一一一一一C、

【答案】（10而一10）/（-10+10芯）

【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.

【详解】解：•.•点4为AC的黄金分割点,AC=20cm,

Vs—1V5-1x20=(I0V5—10)cm,

MB=—^~AC=2

••・AB的长为(10点T0)cm,

故答案为：（10百TO）.

【题型4：相似三角形的相关计算】

【典例4】（2025•江苏南京•中考真题）如图，在RtZ\?lBC中，LACB=90°,CD是边4B上

的高，=则金亍的值是

LU4DAA8C

【答案】，0.2

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，4CB=90。，CD是边AB上的高,

2

证明△780C,故或詈=(缴=4»则SAABC=5△"£)+SMBD=5S2XACD，则

△ac。_S^ACD:即可作答.

△々sc5s△北。

【详解】解：-^ACB=90°,

.^ACD+乙BCD=90°,

•・£。是边A8上的高,

.-.CDLAB,

：.Z.CDA=Z.CDB=90°,

:ZB+乙BCD=90°,

:/B=Z.ACDr

△CDABDC,

S^ACD_(40)2_2.

=W=4,

:，S&CBD=4s△AC。，

则=S^ACD+S^CBD=^^ACD+4SA/JCD=^^ACD

.S^ACDS△入82.

SADBC5s5'

故答案为：

【变式1】（2025•江苏盐城•中考真题）如图，在△//?（：中，DEWBC.若=1:3,

DE=4,则BC=.

【答案】12

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应月，熟练掌握相似三角形的性质是解

题的关键.

根据题意，易得△ABC〜△ADE,有黑=箓，结合已知条件，得到BC的长.

【详解】解：•••DEII8C,

•••△4"必/。£

AD_

AB=BC,

DE=4.

BC=12.

故答案为：12.

【变式2】（2025•西藏•中考真题）如图，点。，E分别是△ABC边力B,4C上的点，且

DE2AE

DE||BC,若说二§,则说的值是.

【答案】2

【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形

的基本定理是解此题的关键.根据题意先证得△ADE和△4BC相似，进而歹IJ出对应线

段的比例关系，再将AE与AC之间的数量关系进行转化后代入序中即可求出结果.

【详解】解：•••DEIIDC,U=

.•.△ADEYABC,

DEAE

：'BC=ACf

DE2

,.o,ZC7=不QAC=AE+EC,

DE__2

'He=AC=3f

.-3AE=2AC,即/IE=^AC,

.竺_/______®_2

“EC-4CTE-Re-氨C-'

AE

即正二2-

故答案为:2.

【变式3］（2025•江苏常州•中考真题）如图，在匚MBCD中，月是40上一点，0E=24E,

CE、84的延长线相交于点巴若力8=2,贝l〃F=.

【答案】1

【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与

判定是解题的关键.先利用平行四边形的性质得48||CD,CD=AB=2,证明

^AEFDEC,得出。=、，结合。E=24E,即可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

"BIICD,CD=AB=2,

△AEFDEC,

AFAE

：'~CD=而，

-DE=2AE,

•-A-F——1

*-2-2'

•••/IF=1,

故答案为：1.

【题型5：相似三角形的实际应用】

【典例5】（2025•河南•中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位,

革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动,

记录如下.

活动

测量纪念碑的高度

主题

4

实物

图和

测量■E/“

示意

zW..Z........B.....

图

IMFMD(r

如图，纪念碑48位于有台阶的平台8。上，太阳光下，其顶端A的影子落在点。处，

测量同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点尸处，位于点M处的观测者眼

说明睛所在位置为点N,点N,E/在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线

上.

测量DE=2.1m,DF=2.1m,DM=Im,MN=1.2m

数据

备注点F,M,D,C在同一水平线上.

根据以上信息，解决下列问题.

⑴由标杆的影子。尸的长和标杆OE的长相等，可得CD=Q4,请说明理由.

⑵求纪念碑48的高度.

⑶小红通过间接测量得到CO的长，进而求出纪念碑力8的高度约为18.5m.杳阅资料得

知，纪念碑的实际高度为19.64m.请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？

并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）.

【答案】（1）见解析；

（2）纪念碑为B的高度为19.8m.

⑶小红的结果误差较大，理由见解析

【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相

似三角形的判定和性质是解题关键.

(1)根据平行投影的性质川得无=赤即可肝明结论；

(2)令8N与QE的交点为，，则四边形BCD”和MNHD是矩形，设力B=心证明

4NEHFNAB,得到器=入，求出力的值即可;

(3)比较纪念碑的实际高度与小红和(2)中的结果，得到误差较大的一方，再分析可

能的原因即可.

【详解】(1)解：•••太阳光下，其顶端A的影子落在点。处，同一时刻，竖直放置的标

杆。E顶端E的影子落在点F处，

ACDE

'~CD~~DF,

•••标杆的影子的长和标杆。E的长相等，即DE=DF,

ACD=CA-,

(2)解：如图,令BN与DE的交点为H,

则四边形BCD〃和MNHD是矩形，

DE=2.1m,DF=2.1m,DM=lm,MN=1.2m

•••CD=BH,BC=DH=MN=1.2m,NH=DM=lm,

:.EH=DE-DH=0.9m,

设=则4c=4B+BC=(1.2+x)m,

:.BH=CD=(1.24-x)m.

.-，NB=BH+NH=[2.2+X\

-EHWAB,

:.ANEHFNAB、

EH__NH_

：•归二而’

0.9_1

二~-2.2+x，

解得：X=19.8,

答：纪念碑48的高度为19.8m.

(3)解：纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m,(2)

中纪念碑的高度为19.8m,

则小红的结果误差较大，

理由是：纪念碑力B位于有台阶的平台BC上，点。的位置无法正确定位，使得CD的长存

在误差，影响计算结果.

【变式1】(2025•四川内江・中考真题)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地

球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬

动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压

杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂。4=150cm,阻力臂。8=50

cm,BD=20cm,贝i/C的长度是()

【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角

形的对应边成比例求得4c的长度.解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角

形的性质列出比例式.

【详解】解：-ACLAB,BDLAB,

ACIIBD,

△力OC〜△80。，

ACAO

'BD='OB>

•.•动力臂。A=150cm,阻力臂08=50cm,BD=20cm

20=_50-,

•••AC=60,

.•.AC的长为60cm.

故选：B.

【变式2】（2025・四川绵阳•中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进

行测量.他准备了一-根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的。处，然后沿着大树底

部E和竹竿底部。所在水平直线由。点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿

的顶端。，测得小明的眼睛距地面的高度48为1.6m,竹竿CD长3m,则大树的高度E尸

为m.

ACE

【答案】io

【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键.

先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形

对应线段成比例计算即可.

【详解】解：如图，过点B作BN1EF,交CD卜点、M,EFJ.•点/V,

ACE

:.LBNF=乙BNE=90°,

由题意，得4814E,DCLAE,EF1AE.

'-AB||CDIIEF,

.-.BM1CD,BNLAB,

•••四边形A8MC,CMNE,力阴VE都是矩形，

工BN=AE,BM=AC,MN=CE,AB=CM=EN,

由题意，得CE=10m,AC=2m,AB=1.6m,CD=3m,

.-.BN=AE=AC+CE=12m,BM=AC=2m,EN=AB=1.6m,

DM=CD-CM=CD-AB=1.4m,

••2DBM=乙FBN,乙DMB=乙FNB=90°,

△DBMFBN,

:-~FN―丽，丽二12

:.FN=8.4m,

:.EF=FN+EN=10m,

故答案为：10.

【变式3】（2025•陕西渭南•一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休

闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心.小明想利用所学知识测剧陶艺

村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度48（如图）.小明在点C处竖立一根

高为2米的标杆CD（即CD=2米），此时标杆在BE光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下

的影子顶端重合于地面上的点E处：小明在点尸处放置一面平面镜，随后，小明从点产

处移动3米至点〃处（即FH=3米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧

烟囱顶端力的像.经测量得知：CE=1.6米，G〃=1.8米，CF=14.6米，已知

ABLBH,DC上BH,GH1BH,点、B、C、E、F、H在一条直线上，图中所有点均在同

一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度Aa（平面镜的大小忽略不计）

【答案】15米

【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练运用相似三角形的比值关系是解题的

关键.

ABBFABFC+14.6ABBE

证出△ABFGHF得到m=市,即讪=—3-,再证出△ABEDCE得至ij比=77

AB1.6+BC，、—4，一

即三二一丁，联立两个式子运算即可.

【详解】解：由题意得：乙AFB=4FH,

=乙GHF=90。，

：.4ABFFGHF,

ABBFAB8C+14.6G

•"'CH=即1.8=-3—①，

DCLBH,

...44BE=乙DCE=90°,

,.Z.AEB=乙DEC，

:.AABE〜ADCE,

AB些AB1.J8C小

•'/=CE，即2=1.6②，

联汇①②得A8=15,

••・旧烟囱顶部到地面的高度48为15米.

【题型6：位似】

【典例6】（2025・甘肃兰州•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△，1C

位似，位似中心是原点O，已知8C:B'C'=1:2,则8（2,0）的对应点B'的坐标是（）

A.(3,0)B.(4,0)D.(8,0)

【答案】B

【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-匕根据位似变换

的性质解答即可.

【详解】解：••・△48C与△4'B'C'位似，位似中心是原点。BC.B'C'=1:2

•••位似比为1:2,

•・•8(2,0),

W(2x2,0x2),即B'(4,0),

故选:B.

【变式1］（2025•广东•中考真题）如图,把△408放大后得到△CO真则△AOB与△C。。

的相似比是.

【答案】|/1：3

【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把△AOB放大后得到△C。。,

则△AOB与△COD位似，从而得到△AOB与△COD的相似比等于对应点到位似中心线

OF21

段的比，即而=忆=三，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段

的比例关系是解决问题的关键.

【详解】解：把△40B放大后得到△COD,则△/0B与△COD位似，

OB21

△4。8与2\。。。为相似比为而=&=辛

故答案为：

【变式2】(2025・浙江•中考真题)如图，五边形48CD&4'B'C'D'E'是以坐标原点。为位似

中心的位似图形，已知点44的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则的长为

()

A.2B.4C.2D.5

【答案】C

【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的

性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

根据位似图形的性质得到等=券=券=a证明aDOE〜△60E',即可求解.

【详解】解：•.•五边形ABCDE/'B'C'D'E'是以坐标原点。为位似中心的位似图形，点

84的坐标分别为(2,0),(3,0)

OAOEOD2

,■,37=3F=0D7=3*

，：LDOE=乙DOE,

△DOE〜△»0E',

DEOE2

=oF=3»

♦•・DE=3,

;.D'E'=I，

故选：C.

【变式3】（2025•内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△048的顶点坐标分别

是0（0,0）,4（2,1）,夙1,2）,以原点0为位似中心,在第三象限画△04/与△O4B位

似，若△O，B'与△。48的相似比为2:1,则点4的对应点，的坐标为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题

的关键.利用相似比为2:1,4（2,1）,直接利用相似比可得出坐标.

【详解】解：'与△OAB位似，相似比为2:1,

••.0B:08'=1:2=04。4'，

•M（2,l）,位似中心为原点。，

故选：B.

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1.（2025•贵州•中考真题）如图，已知△ABC〜△DEE/8:DE=2:1,若。尸=2,则4c的

长为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】本题考查相似.三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可.

【详解】解：〜居48:DE=2:1,

"C:DF=2:1,

•:DF=2,

"C=4：

故选C.

2.（2025・河北•中考真题）如图，在五边形/1BCOE中，AE\\BC,延长B/l,BC,分别交直线

OE于点M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE〜△DCW,则这个条件是

（）

A.+44=180°B.CDWABC.Z.1=Z4

D.Z2=Z3

【答案】D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当乙B十乙4=180。

时，可证明CDIIBM,由平行线的性质得到ZCON=NAME,/.AEM=Z.CND,则可证

明△M4E~4DCN,据此可判断A、B；由平行线的性质可得Nl+N8=180。，则

ZF+Z4=180°,同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明△MAE〜△DC7V.

【详解】解：A、•；乙B+Z4=180°,

；.CDIIBM.

：〃DN=LAME,

•••AEII8C,

：.Z.AEM=乙CND,

二△M4E〜△DCN,故A不符合题意：

Bs-CDWAB,

：/CDN=Z.AME.

-AEWBC,

：^AEM=乙CND,

•••△MAE〜△DCN,故B不符合题意；

C.-AEWBC,

••.zl+Z.B=180°,

vzl=z4*

.-.z/?+Z4=180°.

；.CDIIBM,

：/CDN=Z.AME,

-AEWBC,

•••△AEM=乙CND,

△MAE〜△DCN,故C不符合题意：

D、根据，2=43结合已知条件不能证明〜△OCN,故D符俏题意；

故选：D.

3.(2025・四川眉山•中考真题)如图，在4x3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

将△0力8以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△。力B与△OCD的周长之比是

()

A.2:1B.1:2C.4:1D.1:4

【答案】B

【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到△OAB以点。为位似中心放大2倍后

得到△OCO是解题的关键：

根据题意可得△。力8以点O为位似中心放大2倍后得到△0c0,再根据位似图形的性

质求解即可.

【详解】解：根据题意可得：△04B以点。为位似中心放大2倍后得到△0CD,

,-0B:0D=1:2,

•••△。48与△0CD的周长之比是1:2；

故选：B.

4.（2025・河北•中考真题）"这么近，那么美，周末到河北嘉嘉周末到弘济桥游览，发现

青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如

图）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm,笔的实际长度为14cm,则

该化石的实际长度为（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】C

【分析】本题考查了用似图形的性质，设该化石的实际长度为xcm,根据题意得出卷=

4

7即可求解.

【详解】设该化石的实际长度为xcm,依题意，

74

一

14-x

解得：X=8

故选：C.

5.（2025•陕西•中考真题）如图，正方形A8CO的边长为4,点E为/W的中点，点尸在A0上,

EF1EC,则△CE厂的面积为（）

BC

A.10B.8C.5D.4

【答案】C

【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形

相似是解题的关键.

根据四边形4BCD为正方形，得出48=4。===90。，AE=BE=2,

勾股定理求出CE,证明〜△BCE,根据相似三角形的性质求出E凡即可求出

△CE"的面积.

【详解】解：•••四边形A8CD为正方形，

AB=AD=BC=4/力==90°

•・•£为48的中点，

:.AE=BE=2,

..CE=yJBE2+BC2=V22+42=2\/5,

-EFlEC,

：./.AEF+ABEC=9C°,

乂乙BCE+乙BEC=90°,

-Z-AEF=乙BCE,

•••△AEFBCE,

AE丝2竺

•京一CE，即％一2而，

:.EF=瓜

•••△CEF的面积=xEC=|xV5X2>/5=5.

故选：C.

6.（2025•江苏淮安•中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板40B按如图位置摆放，直

角顶点与原点O重合，点A在反比例函数y=3％>。）的图像上，乙B=30°.若点B

坐标为（1,一3）,则上的值是（）

斗

x

B

1

A.-2B.2C.1D.2

【答案】C

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例

函数，根据相似求出点力的坐标是解题的关键.

过点力作4c_Ly轴，垂足为C,过点3作30“轴，垂足为。，证明△。。4s△BD。,

根据相似三角形对应边长成比例求出点力的坐标，即可求解.

【详解】解：如图，过点力作ACJLy轴，垂足为C,过点4作BOJLy轴，垂足为D,

0A百

:，7^；=tanz.B=tar)30°=丁，

VACly轴,

:.Z.0AC+Z-C0A=90°,

•••直角三角板4。8中乙A0B=90°,

:.48OD+HM=90。，

•••(BOD=Z.0AC,

又•••/,BD0=Z.0CA=90°,

:.△BOD-△OAC,

OCAC0A百

'BD=OD='BO=~,

••,点B坐标为(1,一3),

BD=1,0D=3.

•••OC==景AC=~^0D=苧x3=百,

•・•点A坐标为(百,亭)，

b

•••点力在反比例函数y=-(x>0)的图像上，

...k=百x浮=1,

故选：C.

7.（2025•山东东营•中考真题）如图1,在矩形ABC。中，BC=4,E是8c边上的一个动点,

AEA.EF,EF交CD于点、F，设BE=%,CF=y，图2是点E从点3运动到点C的过程中,

y关于"的函数图象，则力B的长为（）

图2

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，

利用相似三角形的性质求出y关于％的函数关系式是解题的关键.首先推导出

^AEBEFC,设AB=m,利用相似三角形的性质求出y关于％的函数关系式为y=A

（轨-二）,再结合函数图象求出m的值即可得出结论.

【详解】解：・・•矩形ABCD,

•••="=90°,

LCEF+Z.CFE=90%

vBC=4,BE=x,

:.CE=BC-BE=4-x.

AE1EF,

Z.AEB+乙CEF=90°.

•••Z.AEB=LEFC.

AEB〜AEFC,

.6BE

EC=CF*

,mx

设A8=m,则屋F｝人=7/

整理得y=5（4x—/），

由图象可知，y关于x的函数图象经过（2,0.8）,

代入（2,0.8）得，0.8=《x（4x2-22）,

•••m=5,

:.AB=5.

故选：A.

8.(2025•黑龙江绥化•中考真题)在平面直角坐标系中，把以原点0为位似中心放大,

得到△，8'C'.若点力和它的对应点大的坐标分别为(3,7),(-9,-21),则△4BC与

△TIC'的相似比为.

【答案】1:3片

【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为

位似中心，相似比为A,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键.

根据坐标与图形的性质进行解答即可.

【详解】解：把△ABC以原点为位似中心缩小得到△A'8'C',点A和它的对应点"的坐

标分别为(3,7),(-9厂21),

371

则△ABC与△AfBfC的相似比为§=27=3,

故答案为：1:3.

9.(2025•甘肃平凉•中考真题)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸青〃风筝古称纸蒿，起源于

春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校

开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图

所示，其中对角线4C18D.已知大、小风筝的对应边之比为3:1,如果小风筝两条对

角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条对角线长的和为cm.

【答案】195

【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为3:1,即

可解决问题.熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键.

【详解】解：•••小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边

之比为3:1,

•••大风筝和小风筝相似，相似比为3:1,

•••大风筝两条对角线长:小风筝两条对角线长=3:1,

•••大风筝两条对角线的长分别为30cmx3=90cm和35cmx3=105cm,

二大风筝两条对角线长的和为195cm,

故答案为：195.

10.（2025•四川•中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，AC=BC=8,4C=90。.用

这块材料剪出一个矩形COE入其中点D,E,尸分别在8C,AB,4c上.则可剪出矩形CD"

的最大面积为一.

【答案】16

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题

的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函

数”开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积.

设矩形-边长为未知数（如CD=x）,利用等腰直角三角形△A8C的性质及矩形对边

相等的特点，得出AAEP也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如

CF=8-x）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数

顶点坐标公式或配方法求出最大值.

【详解】解：设矩形CDE/中，CD=x（0<%<8；.

AC=BC=8,zC=90°,

二△48。是等腰直角三角形.

V四边形COEF是矩形，

:.EF||BC,EF=CD=x,CF=DE

•••EF||BC,

△AE/sAABC,又△ABC是等腰直角三角形，

・