考研数学（数学一）模拟试卷502

考研数学（数学一）模拟试卷502

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

1、设当X-0时，eSinx-eX与xn是同阶无穷小，则n的值为（）

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：C

知识点解析：根据同阶无穷小的定义，§

33▲/3\

「e8inx-ex„e金。3）-e：e”e却。（为-1]石+。（无）

lim----------=lim----------------=lim---------------------=lim---------------=C#0,

nnnn

*-*Ox£-0x*-Oxx-4）x

因此n=3,此时C=田o故本题选C。本题考查同阶无穷小的概念。利用sinx

的泰勒展开式计算极限从而确定n的值。

产小

2、设Mk=J。excosxdx（k=1,2,3）,则有（）

A、MI>M2»M3

B、M3>M2>MI

C、M2AM3AMi

D、M2AMI>M3

标准答案：D

知识点解析：根据积分区间的可加性,

5w

excos%d4,x

而［:ecosxdx>0,因此Af2>Afj

7»

xx

ecosxck=Af1+*ecosxd%+5：excosxdx

T

x7+ir

=Af,+ecosxdx^3wecos(y+*TT)dy

xxw

=M+J3w(e-e*)cosxdx,

而回(ex

-ex，7t)cosxdx<0,因此MI>M3。因此M2>MI>M3，故本题选D。本题考查

>;

定积分的比较。根据定积分的线性性质可以将M2和M3分别化为M2=MI+ecos

xdx和M3=M|+,对于M3,可以利用公式cos(x+兀)=—cosx化简定积分。通过

比较被积函数在积分区间的正负比较Mk(k=1,2,3)的大小。

3、设C为从A(0,0)到B(5,4)的直线段，则曲线积分Jc(2x+y)ds等于()

(A)｛仔+03%(B)£仔可dy。

(C)^(2x+jxjdxo(D)j(2x+旬冬lx。

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

4a5

V=—x或Jt二--V

知识点解析：直线C的方程为了5八4\根据第一类曲线积分的求法，则

有回通过比较可知，本题选D。本题考查第一类曲线积分的计算。若曲线用直

角坐标方程y=y(x)(aSxgb)表示，贝ij

|2x2-»­/-?=3,

4、曲线S：［筋-#32=°在点(］,1,J)处的切线方程为()

A、X-ly-1=z+I

x-1y-1z+1

・一'=・—・।='一,A

B、2210

C、x-1=1~y="z-1

x-1\-y-x-1

D、T=T=~

标准答案：c

知识点解析：根据已知，曲面2x?+y2-z2=3在点(1,1,一1)处的法向量为2=

(4x,2y,-2z)I(i.i.-i)=(4,2,2),同曲面2x—y+3z=0在点(1,1,—1)处

r2x2+j2-z2=3,

的法向量为破=(2,-1,3),因此曲线S：I2x-y+3z=0在点(1,1,一1)处的切

冈

向量为nixni==(8,—8,—8)=8(1,—I»—1)»则切线方程为x—1=1—y

=-zl。故本题选C。本题考查曲线的切线方程。先通过曲线的方程求出曲面2x2

+y2—z?=3和2x—y+3x=0在点(1,1,—1)处的法向量，然后对两个法向量作

向量积得出曲线在(1,1,—1)处的切向量，从而得出切线。

5、A是三阶矩阵，IAI=-3,且满足I2A2—AI=0。矩阵A的主对角线元素

三

的和为2,则A’的特征值分别为()

1

A、2,—2,3

2

B、2,6,9

3

C^—6,2,—1

D、一万，0,-3

标准答案：C

知识点解析：根据已知I2A2—AI=0,可得IAI.I2A-EI=0,进一步得I

AI21=0。因为IAlr0,因此口=0,可见猫=是人的一个特征值。再

根据IAI=-3,A的主对角线元素和为，设另外两个特征值为入2,入3,建立方

程组，解得入2=3,根据特征值的性质，A*的三个特征值分别为(i=1,2,3),即

A*的三个特征值分别为-6,,一1。故本题选C。本题考查矩阵特征值的性质。

如果为是矩阵A的一个特征值，则是其伴随矩阵A*的特征值。本题矩阵A是三阶

矩阵，故有3个特征值，因此A*也有3个特征值。根据IAI=-3,I2A2—AI

=0及主对角线元素之和，可求出A的三个特征值，从而求出A*的特征值。

6、设向量a=(1,0,—1)T,aar=A,则IaE—A”I=()

选B。本题考查二维正态分布的性质。利用X和Y,的分布求出aX+bY的期

望，由于随机变量aX+bY服从正态分布，因此可将P{aX+bYW}=标准化之后

根据标准正态分布的性质得出a和b的关系，从而确定其值。

8、设总体X与Y都服从正态分布N(0,o2),已知Xi，X2，…，Xm与Yi，

丫2,…，Yn均是来自正态总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服

2(屈地♦・・叶()

Y=-----------------一7

从丫=3jy；+.+….匕t(n)分布,则m与n应满足的关系为()

A、n=m

9n=4m

C^3n=2m

D、m=n-1

标准答案：B

m

x

知识点解析：根据t分布的模型，因为Xi〜N(0,o2)(i=1,2,m),所以

、[xl

2

Xi〜N(0.mn),进一步U==〜N(0,l)n而〜N(0,l)(i=I,2,...»m)且相

互独立，则因为U和V相互独立，所以有可得，因此9n=4m。故本题选B。本

题考查t分布的经典模型。首先利用已知条件将Xi标准化之后得出I分布的服从正

态分布的分子部分，再利用X?分布的定义凑出分与的形式，从而得出m和n的关

系。

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

9、交换积分次序1°-idyP丫2f(x,y)dx=。

标准答案：J]2dxJo「Xf(x,y)dy

知识点解析：由累次积分的内外层积分限可以确定积分区域D,如下图阴影部分所

jjyJ/(x,y)(kdyo

交换积分次序

f(x9y)dx

=-\dxf/(x,y)dy=fdxf/(x,y)dyo

示，则有JihJ。本题

考查交换累次积分的积分次序。交换累次积分的积分次序的步骤：①由已知的累

次积分写出积分区域；②画出积分区域的示意图；③由积分区域的示意图写巴积

分区域的另一种类型的表达式，从而写出交换积分次序之后的积分表达式。

10、曲线y=J』、直线戈=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的

旋转体的体积为。

4

~­TT

标准答案：3

知识点解析：所围成的平面图形如图中阴影部分所示，直接利用旋转体的体积公式

V-Ttf(x2-l)dx=ir(^—x)I=~n

可得Ji13Jli3o本题考查旋转体体积的计算。平面图形

由曲线y=f(x)(f(x)K))与直线x=a,x=b和x轴围成。图形绕x轴旋转一周的体积

b2b

为Vx=7ifaf(x)dx；绕y轴旋转一周的体积为Vy=2nfaxf(x)dxo

11、微分方程y+y=eXcosx满足y(0)=0的特解为。

标准答案:y=exsinx

知识点解析：微分方程的通解为y=excosx-e^ldx+C)=ex(fcosxdx+C)=

ex(sinx+C)o由y(0)=0得C=0,故所求特解为y=exsinx<>本题考查一阶线

性微分方程的求解。微分方程)，y+p(x)y=q(x)称为一阶线性微分方程，它的通解

公式为y=「Mx)dX[jq(xrJp(x)dXdx+c],其中Jp(x)dx表示原函数，且不用再加任意

常数。

12、设。是空间区域((x,y,z)Ix2+y2+z2<l},

标准答案：3

知识点解析：因为积分区域为x2+y2+z2q,该积分区域关于x轴、y轴、z轲均

对称。

=T。町)”：(土云目晶"卡伊"塌。

本题考查三重积分的计算。因为本题的积分区域为球面，所以采用球面坐标系计算

更为简单。

13、设A=(xi，X2，X3)是三阶矩阵，且IAI=5,若B=(X]+2x2+3x3，^2~

3X3，2X2+X3)，则IBI=o

标准答案：35

知识点解析：方法一：由行列式的性质可得|B|=|XI+22+3X3,X2—3X3,2x2

+X3I=IXI+3X2，X2-3X3，7X3I=7IX|+3X2，X2，X3I=7IX],X2，X3I

=35o方法二：由分块矩阵的乘法公式可得B=(xi+2x2+3x3，X2—3x3，2x2+

2

=35

本题考萱行

列式的计算。考生可以由行列式的性质，找出矩阵B与矩阵A的关系，从而可以

求得矩阵B的行列式；考生也可以利用分块矩阵的乘法公式求解矩阵B的行列

式。

14、设随机变量X〜N(H，』)，且二次方程y2—4y+2X=0无实根的概率为

0.5,则|1=o

标准答案：2

知识点解析：设事件A表示二次方程y2—4y+2X=0无实根，则人={16—8XV0}

={X>2)o由题意得，P(A)=P{X>2}=0.5,即

P{X>2]=1-P|XW2|=1-。(?卜0.5,

则有)=0.5=2

©(警汐$=。本题考查正态分布的

相关知识。考生可由一元二次方程无实根得到随机变量X的取值范围，进而结合

正态分布的性质可以得到N的值。

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

11

lim—j--■~：—77

15、求极限flsin”In(1+x)

标准答案：先对极限式通分，再利用麦克劳林公式展开得

2

lim[~;--77-=limIn(1+x)-sin%

*7Lsin2xIn(1)Jsin2%,In(1+x2)

2x,/43

x-y+o(x)-x---+o(«)j

lim---------------

本题考查极限的计算。考生可以

先对极限式通分，再利用麦克劳林公式展开，其中

sinx=x--+o(%3)Jn(l+x2)=x2-+o(%4)

知识点解析：暂无解析

.(周

16>证明不等式3xVtanx+2sinx,xG

(0,y)

标准答案：设f(x)=tanx+2sinx—3x,xG')则有f(x)=sec2x+2cosx—3,

f(x)=2sec"xtanx—2sinx=2sinx(secx—1),由于当x€时，sinx>0,secx—

1>0,所以f(x)>0,函数f(x)=sec2x+2eosx-3为增函数。f(0)=0,因此当x€

时，f(x)>0,所以f(x)=tanx+2sinx—3x为增函数，f(x)=tanx+2sinx-5-3x>f(0)

=0,XG,移项后得3x<tanx+2sinx,x€本题考查不等式的证明。考生可将不等

号两边的函数相减，从而构造辅助函数，根据辅助函数的单调性证明不等式。

知识点解析：暂无解析

17、设函数z=z(x,y)具有二阶连续偏导数，变量代换11=2乂+丫，v=x+by把方

2

£4,方。化为占0

dudv十,

程,求abo

标准答案：对函数Z=Z(x,y)求偏导数得

dzdzdudzdvdzdzdzdzdudzdvdz,dz

-=+=a—+—,-=+=—+6一,

dxdudxdvdxdudvdydudydvdydudv

d2zdud2zdvazHuazdv

KIdu2dxdudvdxHdudvdxdv2dx

Idzdz\/dzd2z\

aa-r+-----1+a

\dududv)\dudv

d2z/d2zdud2zdvja2zdv'

2

dy\dudydudvdyt2

\dudvdydvdyt

[dz,dz

=­r+6+b

\du8u加

=1+26

du2

所以

dx24

Y—=0,

V或1

ba=-----.

即有2Q-彳KO,解得2'所以而=-1。

b=2,6=2,

b2

1-7=0,

4本

题考查多元函数求偏导。考生可写出函数z=z(x,y)的一阶和一阶偏导数，代入已

知等式化简，结合等号两边多项式对应项系数相等得出结果。

知识点解析•：暂无解析

18^求函数f(x,y)=x?+y2-xy-y在由直线x+y=6、x轴及y轴所围成的封闭

区域D上的最大值和最小值。

标准答案：因为函数在闭区域D上连续，所以必存在最大值和最小值。首先，求

/；(x,y)=2x-y=0t

f(x,y)=x?+y2—xy—y在D内部的极值：解方程组2厂4-1=0,解

得区域D内部唯一的驻点为口，因为A=fxx=2,B=fXy=-1,C=fyy=2,

可知A>0,AC-B2=3>0,因此为极小值点。此时函数值为。其次，求f(x,y)

=x2+)2—*丫—丫在D的边界上的极值：边界上的极值属于条件极值，在x+y=6

的条件下，拉格朗日函数为F(x,y,兀)=x2+y2—xy—y+Mx+y—6),解方程组

得可能的极值点为在区域下边界y=0(0Wx&6)上，函数f(x,0)=x?最小值为0,最

大值为36；在区域左边界x=0(0SyW6)上，函数f(0,y)=/一y最小值为，最大值

为30。综上所述，函数f(x,y)=X?+y2-xy-y在区域D上的最小值为，最大值

为36。本题考查二元函数的最值。该题先分成两部分求极值，再比较各极值得出

最值。在区域内部，先求出驻点，利用二元函数极值的充分条件判断驻点是否为极

值；区域边界上的极值属于条件极值，利用拉格朗日乘数法求出各边界的极值。

知识点解析：暂无解析

19、设对任意光滑的有向闭合曲面片S,均有s(y+i)f'(x)dydz+(y-

y2)f(x)dzdx+[zyf(x)—2zex]dxdy=0,其中f(x)在(-8,+⑹内具有连续的二阶导

数，求f(x)。

标准答案:令P(x,y)=(y+l)f(z),Q(x,y)=(y—y2)f(x),R(x,y)=zyf(x)—

2zex,由于f(x)在(-8,+8)内具有连续的二阶导数，所以P,Q,R在闭区域上

i

具有一阶连续偏导数，故由高斯公式可知?(y+l)f(x)dydz+(y—y2)f(x)dzdx+

[zyf(x)—2zex]dxdy=土"[(y+1)f(x)+(1—2y)f(x)+yf(x)—2ex]dxdydz=0,其

中，。是由闭合曲面片S所围成的区域，由区域C的任意性可知(y+l)f"(x)+(l-

2y)f(x)+yf(x)—2ex=0,即y[f(x)f(x)—2f(x)]+[f(x)+f(x)—2ex]=0,则有f(x)

+f(x)-2f(x)=0,f'(x)+f(x)-2ex=0,求解f”(x)+f'(x)—2f(x)=0得f(x)=C)ex+

2x

C2e-,则该通解同样满足微分方程f"(x)+f(x)—2d=0,代入后可得Ci=l,C2

=0,所以f(x)=ex。本题考查高斯公式和齐次微分方程的计算。考生在应用高斯

公式前要注意检查高斯公式成立的条件。

知识点解析：暂无解析

•22*

20

20、设I"】"2」，x是三阶矩阵，求当a为何值

时，方程AX-B=BX无解；当a为何值时，方程AX-B=BX有解，有解时，求

出全部解。

1-21-

011

标准答案：由题意得，矩阵方程为(A—B)X=B,且A-B=L1将矩阵B

和X写成分块矩阵(按列分)的形式，则B=(0],p2'p.3)»x=(X],X2，X3),所以

矩阵方程为(A—B)X=(A—B)(A—B)(x],X2,X3)=(pi，p2»p3)»即(A—B)xi=

由，i=1,2,3o对增广矩阵(A—B,B)实施初等行变换3当a=3时，r(A-B)

=2,r(A-B,B)=3,则r(A—B)Vr(A—B,B),此时方程AX—B=BX无解。

当时3时，r(A-B)=r(A-B,B)=3,此时方程AX-B=BX有唯一解。(A-

B)xi=Pi的解为xi=(A-B)X2=%的解为X2=(0,0,1)T；(A-B)X3=%的解为

x3=综上，方程AX-B=BX的解为本题考查矩阵方程的求解。考生可由给出的矩

阵方程为出发点，先将其转化为一个关干X的分量的线性方程组：再结合线性方

程组解的结构理论进行求解。

知识点解析：暂无解析

21、设二次型f(X],X2，X3)=X」+X2?+X3?—2XIX2—2x]X3+2ax2X3通过正交变换

化为标准形f=2y12+2y22+by32。⑴求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q；(D)

求f在xTx=3下的最大值。

标准答案：⑴由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为

■1

4=-12

“由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2,2,bo矩

I

阵A的迹tr(A)=3=2+2+6,所以b=—1。由于2是矩阵A的二重特征值，而

实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征

向量有2个。于是矩阵A—2E的秩为1,而山所以a=-1。由(A—AE)x=0

得，特征值为无=入2=2,入3=-1,对应的特征向量分别为回=(1,0,—1)T.a2

=(0,1,-1)T,a3=(I,1,1)T,由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正

交，所以只需将ai，(X2正交化得再将Pl，的，a3单位化得则正交变换矩阵为(口)

T222T

一次型f=XAX在正交变换X=Qy,下的标准形为f=2yi+2y2-y3<>条件xx

=3等价于yTQ2Qy=yi2+y22+y32=3；此时f=2yi2+2yi2—ys2=6-3ys2的最大

值为6,所以f在xTx=3的条件下的最大值为6。本题考查二次型的正交变换。考

生可由题干给出的标准形得出二次型矩阵的特征值，进而由二次型矩阵及其对应的

标准形矩阵的性质得到常数a,b的值。考生可由矩阵的特征方程解得矩阵的特征

向量，对特征向量正交叱、单位化，即可求出所用的正交变换矩阵。

知识点解析：暂无解析

22、设随机变量X和Y分分别服从O和时$）已知P{X=0,Y=0}=

12。⑴求（X,Y）的联合分布律；（口）求X和Y的相关系数；（III）求P{X=1IX2

+Y2=1)O

标准答案：⑴由已知叁纱利离散型随机变量的边缘分布的性质，得（X,Y）的联合

X01

7