江苏省南京市鼓楼区六校2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区六校高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量=（1，-2），=（m,2），若∥，则实数m的值为（）A.-4 B.-1 C.1 D.42.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是4，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是（）A.10 B.12 C.34 D.363.已知i为虚数单位，复数z满足（1+2i）z=1-i，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知α，β为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若m⊥α，n⊥α，则m∥n

B.若m∥α，m∥β，则α∥β

C.若m⊥α，m⊥β，则α∥β

D.若α⊥β，α∩β=m,n⊂α，n⊥m,则n⊥β5.在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=2，则的值为（）A. B.-2 C.2 D.6.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为π的扇形，则此圆锥的体积为（）A. B. C.π D.3π7.某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆MN的高度.在过点N的水平地面上确定两个观测点A，B.在点A处测得N在A的北偏东60°方向上，AN=10米；点B在点A的正东方向上，米，在点B处测得M的仰角为60°.则旗杆MN的高度为（）米.

A. B. C. D.8.已知△ABC面积为S，角A，B，C的对边分别为a,b,c,，AB=3，，，角A的平分线AE交BD于点O，交AC于点E，则△BOC的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z1=1-2i,z2=-2+2i,z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则（）A.

B.|z1z2|=|z1||z2|

C.若z1+λz2（λ∈R）是纯虚数，则λ=1

D.Z1，Z2两点之间的距离为510.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是（）A.若bsinB=csinC，则△ABC是等腰三角形

B.若，则△ABC是直角三角形

C.若a2+b2＜c2，则△ABC是锐角三角形

D.若△ABC是锐角三角形，则sinB＞cosC11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是CD的中点，点P是侧面CDD1C1（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P，使得A1P⊥BD1

B.当P是正方形CDD1C1的中心时，PA与平面ABCD所成角的正弦值为

C.若A1P∥平面AED1，则线段A1P的最小值为

D.若以A1为球心，为半径的球面与侧面CDD1C1的交线长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若A=30°，a=2，则=

.13.已知，则cos2x=

.14.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PAC均为边长为的正三角形，二面角P-AC-B的大小为90°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评.根据测评的数据制成频率分布直方图如下：

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60），[60，80），[80，100]的市民中抽取200人，则从评分在[60，80）内的市民中应抽取多少人？

（3）估计本次测评分数的60百分位数和平均数.16.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，，.设，.

（1）试用，为基底表示，；

（2）若||=3，||=2，∠BAD=60°，求和的值.17.(本小题15分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足sinAtanB=1-cosA，

（1）求证：A=2B；

（2）若3a=2b,求sinA的值；

（3）求的取值范围.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，E，H分别为AD，PC的中点.

（1）证明：DH∥平面PBE；

（2）证明：DH⊥平面PBC；

（3）求点E到平面PBD的距离.19.(本小题17分)

已知点S是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P、Q任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点S对PQ施以视角运算”：

若点M在线段PQ上，记（P，；

若点M在线段PQ外，记.

已知在三棱锥O-ABC中，侧棱OB⊥平面ABC，BO=BC.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.

（1）若点D在棱BC的延长线上，且BC=CD，由点O对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；

（2）若点E在边BC上，∠BAC=120°，，由点A对BC施以视角运算，，求2b+c的最小值；

（3）若M1，M2，M3，…，Mn-1是△ABC的边BC的n（n≥2）等分点，由点A对BC施以视角运算，求（B，C；Mk）×（B，C；Mn-k）（k=1，2，3，…，n-1）的值.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】4

13.【答案】

14.【答案】20π

15.【答案】解：（1）由题意，10（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）=1，解得a=0.006．

（2）由图可得评分在[40，60）的频率为：0.04+0.06=0.10，

由图可得评分在[60，80）的频率为：0.22+0.28=0.50，

由图可得评分在[80，100]的频率为：0.22+0.18=0.40，

评分在[40，60），[60，80），[80，100]的频率比为0.1：0.5：0.4=1：5：4，

总抽取200人，则从评分在[60，80）内的市民中应抽取

人．

（3）因为（0.004+0.006+0.022+0.028）×10=0.6，所以60百分位数为80．

平均数为=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2．

16.【答案】解：（1）由可知E为AD的中点，

故，

由可知F在AB上且，

故，

根据向量加法的三角形法则和相反向量的定义可得：

，

；

（2）若||=3，||=2，∠BAD=60°，

则，

由（1）知，

所以

=，

所以；

又，

所以

=

=

=-6+4-2=-4．

17.【答案】解：（1）证明：因为sinAtanB=1-cosA，

所以，

所以sinAsinB=cosB-cosAcosB，

所以即cosAcosB+sinAsinB=cosB，

所以cos（A-B）=cosB，又△ABC为锐角三角形，

所以A-B=-B或A-B=B，

所以A=2B；

（2）因为，又3a=2b,

所以，所以，由（1）知A=2B，

所以，解得，

因为△ABC为锐角三角形，所以，

所以=；

（3）由正弦定理得，

因为A=2B，C=π-（A+B）=π-3B，

所以=4cos2B+2cosB-1，

因为△ABC为锐角三角形，

所以，解得．所以，

设t=cosB，则y=4t2+2t-1在上单调递增，

当时，；当时，，

所以的取值范围是．

18.【答案】解：（1）证明：取PB的中点M，连接MH，ME，

因为E，H分别为AD，PC的中点，

所以MH∥BC且MH=，DE∥BC且DE=BC，

所以MH∥DE且MH=DE，

所以四边形DEMH为平行四边形，

所以DH∥EM，

又DH⊄平面PBE，EM⊂平面PBE，

所以DH∥平面PBE；

（2）证明：因为△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，

所以PA=PD=AD=CD=AB=2，

又∠DAB=60°，所以△ABD是正三角形，

因为E为AD中点，所以PE⊥AD，BE⊥AD，

所以PE=BE=，又M为PB中点，

所以EM⊥PB，因为DH∥EM，所以DH⊥PB，

由PD=CD，H为PC中点，可得DH⊥PC，

又PB，PC⊂平面PBC，且PB∩PC=P，

所以DH⊥平面PBC；

（3）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥AD，PE⊂平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD，

所以VP-BDE===，

由PE⊥BE，PE=BE=，可得PB=，

所以S△PBD=PB•==，

设点E到平面PBD的距离为h,

因为VE-PBD=VP-BDE=，

所以S△PBD•h=，即=，

解得h=，

即点E到平面PBD的距离为．

19.【答案】解：（1）设BC=x,则OB=CD=x,OC=x,OD=x,

所以sin∠BOD=．

在△OCD中，，所以sin∠COD=．

因为点D在棱BC的延长线上，

所以由点O对BC施以视角运算，（B，C；D）=-=-=-2；

（2）因为，所以E在线段BC上，且=，

所以sin∠CAE=2sin∠BAE，

设∠BAE=α，则sin（120°-α）=2sinα

所以=2sinα，

所以tanα=，所以α=30°，

所以∠BAE=30°，∠CAE=90°，

利用等面积可得=+1，

所以=1，

所以2b+c=（2b+c）（）