高考数学理科复习课件：用样本估计总体

1.了解分布的意义和作用.能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎

叶图，理解它们各自的特点.

2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做山合理的解释.

4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数

字特征，理解用样本估计总体的思想.

5.会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

・课前双基巩IB

知识聚焦

1.作频率分布直方图的步骤

⑴求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）.

⑵决定组距与组数.

⑶将数据分组.

（4）列频率分布表.

5）画频率分布直方图

2.频率分布折线图和总体密度曲线

⑴频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的史点，就得到频率分布折线图.

⑵总体密度曲线：随着样本容量的;曾加，作图时所分的组数增加.组3减小，相应的频率分布

折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

健前^基巩S

3.茎叶图

⑴茎叶图的概念：统计中还有一种被用来表示数据的图叫作茎叶图，茎是指中间的一列数，叶

就是从茎的旁边生长出来的数.

⑵茎叶图的优点：茎叶图不但可以保图所有的数据信息，而且可以随时记录，方便记

录和表示.

・课前双基巩固

（续表）

数字特征定义与求法优点与缺点

将一组数据按大小依次排列，把处

中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个

在最中间位置的一个数据（或

中位数极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极

最中间两个数据的平均数）叫作

端值的不敏感有时也会成为缺点

这组数据的中位数

平均数与每一个样本数据都有关，可以反映出更

如果有n个数据xi,x,…….xn,那么这

2多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据

平均数n个数的平均数x二

中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可

X1+x2+.+xn

n靠性降低

•课前双基巩固

⑵标准差、方差

踊睹是样本如居到平均数的一种¥均距离，TSffls表

示’二出('「"2+(应与+…+(y7)2］，其中x；(i=lZ3,…4星样本数据,n是样本容量，x

是洋本平均数

②^差：标准方』［(x㈤2+(如刘♦...+(xn-x)2］.

H

⑶平均数、方差的性质：

①若数据Xi,X2,...,xn的平均数为X,则mxi+a,mx2+a,mx3+a,..mxn+a的平均数是mx+a.

②若数据Xi为，…,x的方差为s?,则Xi+a,x2+a,...,Xn+a的方差也为s—axi郊2,....,axn的

方差为a2s2.

・课前双基巩固

对点演爆，

题组一常识题

［答氧0.3600

1.［教材改编］2000辆汽车通过某一段公

路时的时速的频率分布直方图如图［解析］依据频率分布直方图可以看出，

10-57-1所示，则时速（单位：km/h）在［50,60时速在［50,60］的小矩形的高为0.03,则

的频率为，此范围内的汽车大约频率为0.03X10=0.3,此范围内的汽车

有辆.tw大约有0.3X2000=600（辆）.

°M506070«Qi-li-Ekn-Irl

・课前双基巩

2.［教材改编］某赛季甲、乙两名篮球运动

［答案］乙乙

员每场比赛得分的茎叶图如图10-57-2所

示,从茎n榴的分布情况看，运动［解析］从茎叶图可以看出，乙的数据分布

员的发挥更稳定，运动员的水平更加集中，所以乙运动员的发挥更稳定.甲

较高（填“甲”或“乙”）甲乙中的数据总体偏上，乙中的数据总体偏下，

80

64312因此乙的水平较高.

863245

983116679

449

i5

・课前双基巩I

3.［教材改编］若某校高一年级8个班参加

合唱比赛的得分的茎叶图如图10-57-3所［答案191.591.5

示，则这组数据的中位数是，平［解析］:这组数据由小到大排列为

均数是________87,89,90,91,92,93,94,96,:中位数是

手=915,平均数是

879

87+89+90+91+92+93+94+96.

9012346------------：------------=91.5.

・课前双基巩固___________________________________________________________

题组二常错题

♦索引：频率分布直方图与茎叶图的识图不清；对方差、平均数的统计意义的认识有误

4.某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情

［答案］7976

况，将调查得到的小的题绘M成了

［解析］由茎叶图可以看出甲、乙两市

如图10~57-4所示的茎叶图，则调查中甲市空置

的空置房套数的中位数分别是

房套数的中位数为，乙市空置房套数79,76.

的中位数为甲市乙巾

069

9431456

21823

190

・课前双基巩固

5.某学校为了调查学生在课外读物方面

的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，［答案］100

其频率分布直方图如图1K57-5所示，分［解析］根据频率分布直方图的面

组为(20,30),(30,40),⑷,50),［50,60］,其中积和为1,可得支出在［50,60］的频

率为

1-10X(0.01-K).024+0.036)=0.3,所

以把=0.3解得n=100.

n

・课前双基巩IB

6.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（W

管案1s2<s2<s2

‘'''丙乙甲

的频数条形统计图如图10七7-6所示，则甲、乙

睇析］方差表示数据的稳定程度，越

丙三人成绩的方差的大小关系

甲乙丙稳定根越小，甲、乙、丙三人的数

据中，蘸中在卿，乙平均分散，甲分

散在两边，所以丙最稳定，方差最小，

甲最不稳定，方差最大，所以

・课前双基巩固

7.若数据x1,X2,X3,.x的平均数x=5方差

［答案11618

s2=2,贝I］数据3xi+l,3x2+1,3x3+1,,3xn+l的

［解析］：**2内,…用的平均数为

平均数4-.x+x+x+...+x.

D123Dn■

n

为,方差为.3'1+3*2+3,3+…+34+|=3x5+1=16.

n

丁方用用,…内》的方差为2,・：

3xi+1,3x2+1,3冷+1，…,3xn+1的方差

为3?义2=18.

・课堂考点探究

探究点一频率分布直方图

例1[2018•内蒙古包头一模]从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质

量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标

(75,85)[85,95](95,105)(105,115)[115,125]

值分组

频数82237285

⑴在图10-57-7上作出这些数据的频率分布直方图.

⑵估计这种面包质量指标值的平均数x（同一组中的数据用该组1

区间的中点值作代表）.

⑶根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包

符合”质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包的90犷

的规定？

・课堂考点探究

［思路点拨］(1)根据题设中各分组的频数求出频率，进而求出小矩形的高，即可画出频率

分布直方图；⑵利用平均数的计算公式，即可求得平均数X；⑶计算得质量指标值不低于

85的面包的频率，以此估计概率可作出判断.

课堂考点探究

解：⑴计算出各分组的频率，画出频率分布直方图如下图所示.

⑵质量指标值的样本平均数x=80X0.08+90X0.22+100X0.37+110X0.28+120X0.05=100,

所以估计这种面包质量指标值的平均数为100.

⑶质量指标值不低于85的频率为

0.22+0.37+0.28+0.05=0.92>0.9,

故可以认为该食品厂生产的这种面包符合”质量指标值不低于

85的面包至少要占全部面包的90%”的规定.

95106U5125

・课堂考点探究

［总结反思］⑴绘制频率分布直方图时的两个注意点：

①制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和为1来检验该表是否正确；

频率

②频率分布直方图的纵坐标是“工而不是频率.

⑵由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的两个关系式：

组距频率；惫翳趣率，此关系式的变形鬻1聿本容量，样本容量x频的频

数.

・课堂考点探究

变式题[2018•河南八市测评]某校对高二⑴班的数学期末考试

成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140之间，其频率

分布直方图如图10-57-8所示.若分数在130~140的人数为2,则分

数在100~120的人数为()

A.12B.28C.32D.40

⑵[2018.陕西榆林二中月考]某学校为了调查学生在学科教辅

书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方

图如图10~57-所示，分组^[10,20],[20,30],(30,40),[40,50],其中支

出(单位：元)在[30,40]的同学比支出在(10,20)的同学多26人，贝l]n

的值为________

•课堂考点探究

［答案］⑴B(2)100

［解析］(1)分数在130~140的频率为1-10X(0.01+0.025+0.345+0.015)=0.05,根据对应

关系得分数在100120的人数为粤普x2=28,故选B.

⑵支出在［30,40］的频率为038,频数为0.38n,支出在［10,2。］的频率为0.12,频数为012n

依题意得0.38n-0.12n=26,解得"100.

・课堂考点探究

探究点二茎叶图

例2某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这

两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制了如图10-5770所示的茎叶图.

甲部门乙部门

359

440448

975122156677789

9766533211060112346^8

98877766555554443332100700113449

66552008123345

6322209011456

10000

・课堂考点探究

⑴分别求出该市的市民对甲、乙两部门评分的［思路点拨］(1)利用中位数的定义，即

中位数；可求出答案；⑵通过读茎叶图求出评

⑵分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分分高于90的频率，用频率估计概率；⑶

高于90的概率；

可以从评分的中位数、平均数(茎叶图

⑶根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的中心)，数据的集中程度等方面给出

的评价.

合理的解释.

课堂考点探究___________________________________________

解：⑴由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75

故柱本的中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数是75.

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68,故样本的中位数为

竺罗二67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数是67.

⑵由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高十90的频率分别为触0,喘=0.16,

故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.

⑶由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎

叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市

民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.（注：考生利用

其他统计量进行分析，结论合理的同样给分）

・课堂考点探究

［总结反思］茎叶图的识别与绘制需注意：

(D“叶”的位S上的数字只能是T立数，而“茎”的位置上的数字位数T虾需要统一;

⑵重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别注意“叶”的位置上的数据.

・课堂考点探究

变式题⑴[2018.石家庄二中三模“五四青年节”活动中，高三⑴班和高三⑵班进行了3场知

识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图10~57-11所示，其中高三⑵班得分有

一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x具有随机性，那么高三⑵班的平

均得分大于高三⑴班的平均得分的概率为（）

4355甲乙

⑵某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的期末考试成绩“7

（单位：分）,得到如图10T772所示的茎叶图.已知甲班6名同学成绩的平均7270y

6x1825

数为82,乙班6名同学成绩的中位数为77,则x-y=（）

091

A.3B.-3C.4D.-4

・课堂考点探究

［答案］⑴D(2)C

［解析］⑴依题意得88+91+90+x>89+92+93,解得x>5,又x的可能结果有0,1,2,・・・.，9,共10

种，其中x>5的结果有钟则所求概率2哮=|故选D.

⑵由72+77+81+,+X+86+9O=82,可得x=6.由^^^=77,可得y=2,所以x—y62=4,故选C

・课堂考点探究

探究点三样本的数字特征

例3某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，将这60名学生的

成绩（满分10分）进彳诊计，绘制如下表格:

成绩1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分

人数0006152112330

⑴求样本的平均值和标准差（精确到0.01）;

⑵若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以参加复赛.

・课堂考点探究

［思路点拨］(1)利用平均值、方差(标准差)公式可求出结果；⑵用频率估计概率，进而

计算参加复赛的人数.

・课堂考点探究

1

解：(1)平均值x=60X(4X6+5X15+6X21+7X12+8X3+9X3)=6,

222

方差塞力*[634=6)35X(5-6)2+21X(6-6)2+12x(7-6)+3X(8-6)+3X(9-6)>1.5,

则标准差s-L22,故样本的平均值为6,标准差约为1.22.

(2)在60名学生中，有12十3十3二18(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，所以210

名学生中约有2x210:63((名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，故估计有63名学

O1J

生可以参加复赛.

・课堂考点探究

［总结反思］平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所

反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势、平均水平，

方差和标准差描述其波动大小、稳定性.

・点探究

例4为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学

生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩的频率

分布直方图如图10-5773所示.

⑴若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数.

率/HUE

⑵①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间0.030

的中点值作代表）；

0.020

0.015L...

②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机

0.010

抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典，试求恰好抽中2名优秀生0.005

的概率.0405060708090100成缭/分

・课堂考点探究

［思路点拨］⑴将频率作为概率计算可得;⑵①利用频率分布直方图算出样本数据

的平均数，②用分层抽样的方法抽出个体,列举求出概率.

・点探究

解：⑴由频率分布直方图可知，样本中数据落在［80,100］的频率为0.2X).1=0.3,

则估计全校这次考试中优秀生人数为2000X0.3二600.

⑵①设样本数据的平均数为x,

则x~l5X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.2+95X0.1=72.5,

则估计这次参加考试的学生的平均成绩为72.5分.

课堂考点探究

②由分层抽样知识可知，从成绩在［70,80］,［80,90］,［90,100］内的学生中分别抽取了3人、2人、

1人记成绩在［70,80］内的3人为a,b,c,成绩在(80,90)内的2人为d,e,成绩在［90,100］内的’

人为f,记恰好抽中2名优秀生为事件A,则从这6人中抽取3人的所有可能结果有

(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,0Xa,c,d),(a,c5e),(a,c0,(a,d,e),(a,d.0,(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,cf),(b,de)

,(b.df),(b,e,f),(c,d,e),(c,df),(c,e,f),(def)洪渊

其中恰好抽中2名优秀生的结果有(a,d,e),(b,d,e),(c,d,e),(a,d.f).(b,d.f),(c,d.f),(a,e,f),(b,e,fl,(c,ef)

共9种，则P(4)吟

・课堂考点探究

［总结反思］利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法：

①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小矩形的面积相等，由此可以

估计中位数的值.

②平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积分别乘小矩形底边中点的横坐

标之和.

③众数：最高的矩形的中点的横坐标.

■课堂考点探究

变式题⑴[2018.重庆诊断]记5个互不相等的正实数的平均值为x,方差为A,去掉其中某个数

后，记余下4个数的平均值为y,方差为B.则下列说法中一定正确的是（）

A.若x=y,则A<BB.若毛y,则A>B

C.若x〈y,则A<BD.若x〈y,则A>B

⑵[2018.福建龙岩质检]如图I0-57T4是由某校高三⑴班上学期期末数学考试成绩整理得到

的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数（精确到0.1）分别为（）

A.105,103B.115,125

C.125,113.3D.115.1133

・课堂考点探究_______________________________________________________