高考数学 函数及其性质 （十年高考）

专题三函数的概念与基本初等函数

3.1函数及其性质

考点一函数的概念及表示

1.(2015湖北文,7,5分)设xGR,定义符号的数$gnx=]o,x=0,则()

(-1,x<0.

A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgnIx|

C.|x|=|x|sgnxD.)x|=xsgnx

x,x>Q,(x,x>0,

0,x=0,而x|=|o,x=O,所以|x|=xsgnx,故选D.

{—x,x<0,(—<0,

2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5周,g(x)=axJx(aER).若f[g(l)]=l,则a=()

A.1B.2C.3D.-l

答案A由已知条件可知：f[g(l)]=f(aT)=5i=l,「.|aT|=0,得a=l.故选A.

评析本题主要考杳函数的例斤式，正确理解函数的定义是解题关键.

3.(2017山东理,1,5分)设的数y=〃二了的定义域为A,函数y=ln(l-x)的定义域为R,则ACB=()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(-2,1)D.[-2,1)

答案D由4-d0,解得2WxW2,由l-x>0,解得x<l,「.AnB={T-2Wx<l).故选D.

4.(2015重庆文,3,5分)函数『(、)=1。&(/+2*-3)的定义域是()

A.[-3,1]

B.(-3,1)

C.(-oo,-3]U[l,+oo)

D.(-oo,-3)U(1,+co)

答案D由Y+2x-3>0,解得工<-3或x>l,故选D.

5.(2015湖北文,6,5分)函数1'(、)=一花而+18匚_5笋x+6的定义域为()

X-J

A.⑵3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

4-|x|>0,

答案C要使函数f(x)有意义，需满足/5X+6°

fl^lw4,

即1(x-3)(x-2)解之得2<x<3或3<xW4,故选C.

6.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=।1的定义域为()

2

J(log2x)-1

A.(0,；)B.(2,loo)

C.(0,i)U(2,+oo)D.(0,1]U[2,+oo)

答案C要使函数f(x)有意义，需使UogW-DO,即(log2X)2>l,:.log?x>l或log,x〈T.解之得x>2或

0<x<1.

故f(x)的定义域为(0,1)U(2,+8).

7.(2016课标II文,10,5分)下^函数中,其定义域和值域分别与函数y=l(T’的定义域和值域相同的是

()

A.y=xB.y=lgxC.y=2'D.y=^

答案D函数y=10小的定义域、值域均为(0,+8),而丫=乂,丫=2’的定义域均为R,排除％C;y=lgx的值域为

R,排除B,故选D.

易错警示利用对数恒等式将函数y=10"*变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.

评析本题考查函数的定义麻口值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.

8.(2022北京,4,4分)已知函数/(x)=-^,则对任意实数x,^()

A./(-x)+fCv)=0-f(x)=0

C.f(-x)+f(x)=1=|

答案c••丁々)=占，，/(«)=寻7=若？♦'•/(*)十八-幻=备+总=1•故选C.

一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值，代入验证,进行排除.当.t=0时，

/(0)V(0)=1+；=h/(0)V(0)=0,故A,D选项错误.当A-=Ilbf,/(-l)V(l)=T^7-2他故B选项错误.根据

排除法可知选C.

9.(2022北京，11,5分)函数/⑺三+/1=7的定义域是.

答案(-co,O)U(OJ]

解析由题意得｛；：：：。解得烂1旦./0,所以函数凡0的定义域为(-甩0)U(0,I].

10.(2015课标H文，13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(T,4)，则a=

答案-2

解析因为函数r(x)=axJ-2x的图象过点(T,4),所以4=ax(-l)3-2x(T),故a=-2.

11.(2016江苏,5,5分)函数E3-2%-1的定义域是

答案[-3,1]

解析若函数有意义，则3-2x-x>0,即x、2x-3W0,解得3WxWl.

考点二分段函数

1—y/x,x>0,

L(2015陕西文.4,5分)设门：0=।则f(f(-2))=()

[2X,x<0,

A.-lBq4

答案C•"324小上2))4

，选c

3x-b,：：：若「(啕)％则”

2.(2015山东文，10,5分)设函数f(x)=)

(2X,

A.1吗D|

答案Df(1)=3x5-b=1-b,

\o/oz

当昊21,即bw|时,f信-b)-22~b,

5.5i

即而b=4=2?,得到沙=2,即b=j;

当|-b〈l,即b)|时,「(I-b)=y-3b-b=-y-4b,

即畀lb=4,得到1尸痣舍去.

综上,b],故选【).

a-2X,x>0,

工(2014江西文,4,5分)已知函数£&)=、>八(af=R),若f[f(T)]=L则a=()

2x,x<0

A.7BiC.1D.2

42

答案A由f[f(T)]=f(2)=4a=l,得aj,故选A.

4.(2022浙江，14,6分)已知函数则,/(/&》=；若当x&〔4分时，1<rW<3,

则b-a的最大值是

答案告3+6

解析,,7（9=_6）2+2二.

••，・（啕）=，（9=川T吗

/（x）的大致图象如图.

,•*当x£[«,〃]时，19(4)S3,

・•・由图可得比>1且从点1=3,，〃=2+VI

•.•/(a)=1,-a2+2=1,解得〃=1或“=-1,

(b-tl)max=2+V3-(-1)=3+V3.

一题多解：第二空：•.•当烂1时，产・/+2%

•V(X)=3=吟]=3G>D,故.r=2+V3,

令-/+2=1(启1),解得x=l或产-1,

令x+[-]=131),无解，

.•〃min=-1,Z?=2+V3,

A(^)max=2+V3-(-l)=3+V3.

e'T,x<1,

5.(2014课标I文,15,5分)设理数。&)=(i''则使得f(x)W2成立的x的取值范围

城X>1,

是.

答案(-8,8]

解析f(x)W2=—,2或。:；=｛：<]n2+1或｛:<；’="1或/xW8=xW8,故填(-8,8].

考点三函数的单调性与最值

1.（2021全国甲文,4,5分）下到函数中是增函数的为

A./(.r)=-.rBJ(X)=G1

C/G)=fD./Cr)=V^

答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断匹个选项.

解析对于/（x）=-x,由正比例函数的性质可知，/（x）是减函数，故A不符合题意；

对于/於）=6）;由指数函数的单调性可知，/（*）是减函数，故B不符合题意；

对于/"）=/,由二次函数的图象可知，/"）在（-co,0）上单调递减,在（0,出）上单调递增，故C不符合题意；

对于/"）=城=/由事函数的性质可知，人）在（依,+8）上单调递增，故选D.

方法总结：一次函数产心+从后0）单调性的判断：若Q0,则函数在R上单调递增；若£<0,则函数在R上单调

递减.

指数函数产（a>0且在1）单调性的判断:若。>1,则函数在R上单调递增;若0<«<1,则函数在R上单调递减.

辕函数产Y单调性的判断:若a>0,则函数在（0,+⑹上单调递增;若a<0,则函数在（0,―）上单调递减.

2.（2021全国乙文,8,5分）下列函数中最小值为4的是（）

A.）=r+2v+4B.y=|sinx\>[s，^|

C.y=2v+22'AD.y=lnA-H^

答案C解题指导：对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾

函数进行判断.

解析对于A,产d+2t+4=（/1）2+323,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin中/,贝！

0〈曰,尸|$in.v|+^g〃三（0,1],易知尸+；在（0,1]上单调递减，故日时,户向=1+彳=5,所以B不符合

题意；对于C,令20（介0）,则产2U22-X=T，GO,易知产中在（0.2）上单调递减，在（2.依）上单调递增,所以

当t=2时,y取最小值,ymin=2+^=4,故C符合题意:对于D,令Inx=r,/£R且母0,则>,=lnx+品=t+*显然/<0

时，函数值小于0,不符合题意.故选C.

3.（2020新高考/,8,5分）若定义在R的奇函数八x）在（心,0）单调递减，月J（2）=0,则满足"G-1）K）的x的

取值范围是（）

A.[-l,l]u[3,+oo）B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-1,O]U[l,+ou）D.[-l,0]U[l,3]

答案D・・T（x）是定义在R上的奇函数，的图象关于点（1,0）中心对称，又•••/（3）在（-8,0）上单调递

减，••.”E）在（。，1）上单调递减，在（l,+oo）上也单调递减,且过（-1,0）和（3,0）jCr-1）的大致图象如图：

当-1/0时.'HCr-DK)；当1人3时JG-DK),.'Ha-DK).

综上,满足八八*1)20的x的取值范国是口，0]U[1,3].故选D.

4.(2019北京文,3,5分)下列函数中、在区间(0,+8)上单调递增的是()

1

A.y=x2B.y=2/

C.y=logixD.y=-

2x

答案A本题主要考杳指数函数.对数函数.黑函数的单调件.老杳数形结合的思想.考杳的核心素养星百

观想象.

11

A选项,5〉0,所以鬲函数y=H在(O,-8)上单调递增.

B选项,指数函数丫=2一'=(9、在(0,+8)上单调递减.

C选项,因为0<|<1,所以对数函数y=logix在(0,+8)上单调递减.

22

D选项,反比例函数y—在(0,e)上单调递减.

解题关键熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.

5.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(T,1)上为减函数的是()

A.y=Y-B.y=cosx

C.y=ln(x+l)D.y=2-1

答窣D选项A中.y-3-二^的图象是将"二的图象向右平移I个单位得到的.故尸乙在(7.1)上

为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项0

中,y=ln(x+l)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的，故y=ln(x+l)在(T,1)上为增函数，不符

合题意;选项D符合题意.

评析本题考直了基本函数的图象和性质以及图象的变换，属中档题.

6.(2015课标n文,12,5分)设函数f(x)=ln(l+|x)德,则使得f(x)>f(2x-l)成立的x的取值范围是

()

。(-聂)

112x

答案A当x>0时,faAlnd+xbGK.f'(x)=——力他(x)在(0,+2上为增函数，:

1+炉l+x(1+")/

((f)=£6),「.£(、)为偶函数,由「&)*(2*-1)得「(5|)*(|2乂-1),

Ix|>12xT],即3x2-4x+l〈0,解得:<x<l,故选A.

7.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)2x且f(x】22"R.()

A.若f(a)W|b|,则aWb

B.若f(a)W2>则aWb

C若f(a)2|b|,则a2b

D.若f(a)溺则a/

答案B依题意得f(a)22、

若f(a)W2)则2“Wf(a)^2",；.2*^2b,

又y=2是R上的增函数,」.aWb.故选B.

&(2016北京文10,5分)函数9)=占6与2)的最大值为.

答案2

解析解法一：「3=二七"戊±2时，「'6)〈0恒成立，

(x-lj

.一.f(x)在［2,+8)_1_单调递减，

二.f(x)在［2,+8)上的最大值为f(2)=2.

解法二:•"3=」7=三甘=1

x-1x-1

・•.f(x)的图象是将尸物图象向右平移I个单位.再向上平移1个单位得到的••.丁］在［2,+8)上单调递减,

.•.f(x)在⑵+8)上单调递减,故f(X)在［2,+8)上的最大值为f(2)=2.

解法三:由题意可得f(x)=l+-^-.

x-1

,/x^2,1,.".0<---^1,

x-1

.".Ki-1一即1<

x-1x-1

故f(x)在⑵+8)上的最大值为2.

评析本题考查函数的最值，有多种解法，属中档题.

，，X<1,

’6"则f(f(-2))=,f(x)的最小值

x+-6,x>1,

(x

是.

答案一；2后6

解析f(-2)=(-2尸=4,f(f(-2：)=f(4)=4+1-6=~

当xWl时,f(x)=x2^0,

当x>l时,f(x)=x+^-6>2\/6-6,

当且仅当x=加时，等号成立，

又2&-6<0,所以f(x)nin=2V6-6.

10.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区,司(-8,0)上单调递增.若实数a满足

f(2")>f(-V2),则a的取值范围是.

答案&|)

解析由题意知函数f(x)在(0,」8)上单调递减因为f(-近)=f(近)，所以

f(2")”(«),所以2-3,解之得*

考点四函数的奇偶性

1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()

A.y=x2sinxB.y=x'cosx

C.y=|lnx|D.y=2x

答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数故选B.

2.(2014课标工,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列

结论中正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数

B.1&)卜(力是奇函数

C.f(x)|g(x)是奇函数

D.|f(x)g(x)是奇函数

答案C由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)・g(r)=-f(x)*g(x),所以f(xig(x)

是奇函数，故A项错误:对于选项B,|f(-x)|g(-x)=1f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B

项错误;对于选项C,f(-x)|g：-x)|=-f(x)g(x),所以£(、)怆&”是奇函数,故(：项正确;对于选项

D,|f(-x)g(-x)|=If(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数，故1)项错误,选C.

评析本题考直函数奇偶性的定义及其应用,考直学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数

奇偶性的定义是解决本题的关舜.

3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中，既是偶函数又在(0,+M单调递增的函数是()

A.y=xsB.y=|x|+l

C.y=-x2+lD.y=2'lxl

:

答案By=x，是奇困数,y=-x+l和y=2',在(0,+8)上都是减函数,故选B.

评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定，属容易题.

4.(2021全国乙理,4.5分)设函数/(.01高,则下列函数中为奇函数的是()

A/Cv-D-lB/(x-l)+iC/(A-+1)-1D/(x+l)+l

答案B解题指导:思路一:将函数/(x)的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此

函数即为奇函数；

思路二：由函数/⑺的^析式,求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断.

解析解法一WxXlTp其图象的对称中心为(-1,-1),将月5的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y

轴向上平移1个单位可得函数/(『D+1的图象，关丁(0,0)对称，所以函数是奇函数，故选B.

解法二:选项人，於-1)-1乏2此函数为非奇非偶函数:选项B,/Cx-1)+I=；此函数为奇函数;选项C,

/(A+1)-1=^,此函数为非奇非偶函数:选项D,〃t+l)+l=M，此函数为非奇非偶函数，故选B.

5.(2021全国甲理，12,5分)设函数/於)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/G+2)为偶函数，当AG[1,2]时，

f(x)=a.v+h.若/(0)+f(3)=6,贝]/1(0=()

A--B--C-D-

'42L4U2

答案D解题指导:利用奇偶性得到/5+2)可())，将出现的自变量0,3,g对应的函数值转化为[1,2]内自变

量对应的函数值,进而得到a,b以及./(；)的值.

解析由廉知〔”-%+1)=+1)，叩*(-')=立+2)，

解析山区叫“r+2)=fix+2),即l/(-x)=/(x+4),

从而/5+4)=式5+2),即/(x+2；=Wx),

所以6=/(0)4/(3)=-/(2)+[_-/(,I;]=-[4a+b)-(.a+b)=-5a-2b,BP5a+2〃=-6.①

又由题知/G+l)为奇函数,xWR,所以/(1)=0,HPa+〃=0.②

山①©得於]J，从而八力=.*+2,*仁口,2].

所以府)=fG+2)=-f®=fG)=-/(1)=-[(-2)xg)2+2]=涉选D.

一题多解因为/G+1)与/G+2)分别为奇函数和偶函数，所以函数/⑨的图象关于点(1,0)和直线户2对•称,

且/⑴为周期函数，周期丁=4,

从而/(0)=7•⑵，①

/⑶也1)=0,②

底)=啕=-啕，

山①@结合/(0)4/(3)=6,知«=-2,b=2,

所以尼)=-[(-2)'似+2".

6.(多选)(2022新高考/,12,5分)己知函数/(外及其导函数/«)的定义域均为R,记月G)叶，G).若

_/(|-2x),g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.^(-1)=0

C./(-1)=f(4)D.g(-l)=g⑵

答案BC解法一:若设/(x)=l,则月(x)=0,易知所设/⑴符合题意,此时八0)=1,故选项A错误.

设/Cr)=sin(nx),则g(x)=/'«)=ncos(五x),

由于7g—2x)=sin匚K3」=sin管—2nx)=-cos(2nx),

g(2+x)=ncos[M(2+x)]=丸cos(2n+7A)=ncos(丸x),

所以2x),g(2+x)均为偶函数,则所设/G)符合题意.

于是g(・l)=icos(-n)=-九=g：2),故选项D错误.

由于店一2,是偶函数，所以.广住—2x)是有函数,

即照一2x)是奇函数,则g6)=0,注意到g(2+.r)是偶函数，于是《一J=.gg-2)=-gg+2)

=X-l+2)=-^G)=-^(i-2xl)

=g©+2xj=g(2+1)=g(2")=g®=0,

故选项B正确.

由—2x)=/■信+2x),取.r=.则/(-l)q’(4)，故选项C正确.

故选BC.

解法二:由题意知/(|一2x)=/■传+2x)=f住一x)=f©+x)可Qx)=/(3+x)①，

取尸1,知/(-D=/(4),C正确.

对①两边求导知■/'(«)=f,(3+x)华广(-X)=y(3+x),即g(-x)=-g(3+,v)②，

取F卷，知g(m=O.

g(2+x)=g(2-A-)=g(-x)=gCr+4)(3),

由②®知g(x+4)=-g(.v+3),即g(x+1)=-g(.v)，所以g(x+2)=-gG+1)=g(x).

从而g(-：)=g卜-3=gG)=sB正确•

同解法一可判断A.D错误.故选BC.

7(2017课标H文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当xG(-00,0)时,f(x)=2x、x；则

f(2)=.

答案12

解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.

由题意可知「(2)=-£(-2),・入£(-8,0)时，f(x)=2xs+x2,/.f(2)=-f(-2)=-[2x(-8)+4]=-(-12)=12.

8.(2015课标I理13,5分)若函数£3=乂1小川7二？)为偶函数,则2=.

答案1

解析由已知得f(x)=f(x),即xl析“a+*2-x)=xln(x+Va+炉)，则1n(x+Va+x2)+]n(Va+x2-x)=0,

+%2--x1=0,得Ina=0,.'.a=l.

9.(2014课标口文,15,5分)偶函数丫=£6)的图象关于直线乂=2对称，f(3)=3,则f(-1)=.

答案3

解析•.・函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,

.J(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立，

令x=l,得f(1)=f(3)=3,

/.f(-l)=f(l)=3.

10.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)("亶sinx的最大值为最小值为,则m=.

MmM+

答案2

解析f(x)支有等吗+尊泮,令我)勺普则g(x)为奇函数，有g(xD，““=0,故M+m=2.

考点五函数的周期性

1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)=x'T;当-1WxW1时，f(-x)=-：(x);

当x>T时，f(x+1)=f(x-i).!5ljf(6)=()

A.-2B.-lC.OD.2

答案D当月时，由《"3=巾一；)可得f(x)=f(x+l),所以f(6)=f⑴，而f(l)=-f(T),

f(-l)=(-l))-l=-2,所以f(6)=f(l)=2,故选I).

2.(2021全国甲文，12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数，且/(1+T)也-x).若/(一：)=/则噌)=()

A-|B-|ClDl

答案c解题指导：求出函数/G)的周期再进行转化，即可求解.

解析由f(l+x)W(・.O,且义工)是定义在R上的奇函数，可得-1+3寸(八)=犷分，所以f(2+x)="(l+x)才⑺，

所以/(x)的周期为2,则底)=f-2)=f(―J=最故选C.

知识延伸：若函数/(X)为奇函数,且满足/(〃+》)寸(女),则/(X)图象的对称轴为直线4要周期为2”;若函数/⑴

为偶函数，旦满足/(a+x)寸(-幻，则/(x)图象的对称轴为直线x=l，周期为a

22

3.(2022新高考//,8,5分)已知函数75)的定义域为R,且“力)琰叼)寸⑴心)，-1)=1,则L=i/(0=

()

A.-3B.-2C.OD.1

答案A令尸1,得心+1)切*1)可G)①，故/(x+2)4/(x)=/a+l)②.由①得/5+2)匹-1)=0,故

/(x+2)=V(x-1),所以/(x+3)=J5),所以/(x+6)=V(-v+3)守G),所以函数fix)的周期为6.

令E,产0,得/⑴"⑴=/⑴-/(0),故/(0)=2,

同理，令户1,尸1,得f(2)=";

令户2,尸1,得-3)=-2;

令尸3,尸1,得/(4)=-1;令<r=4,产I,得/(5)=1;

令.r=5,y=1,得/(6)=2.

故/⑴V(2)+f(3)"(4)V(5)小6)=0,

所以Eki/(火)也1H/■⑵53)y⑷=-3.故选A.

4.(2022全国乙理，12,5分)已如