高考数学培优第35讲直线与圆

第三十五讲直线与圆

A组

一、选择题

1.若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(X+3)?+(>+1)2=1的弦长为2,则

I7

-+-的最小值为()

mn

A.4B.6C.12D.16

【答案】B

【解析】圆心坐标为(—3,—1),半径为1,又直线截圆得弦长为2,所以直线过圆心，

I3I,、，13、

即-3m-n+2=0，3m+n=2,所以一十一=—(3〃?+〃)一+—

nin2Imn)

=—6+—+——>—6+2./—x——=6»当且仅当一二——时取等号，因此最

2\mn)2(VmnJinn

小值为6,故选B.

2.已知直线ar+y-2=0与圆C(x-l)2+()，—a)2=4相交于43两点,且线段

A8是圆C的所有弦中最长的一条弦，则实数。二()

A.2B.±1

C.1或2D.1

【答案】D

【解析】由题设可知直线奴+)，-2=0经过圆心所以2。-2=0=。=1,

应选答案D。

3.设点户是。)0:(4-1)2+(丁-1)2=8上的点,若点2到直线/:x+y—4=0的距离

为加，则这样的点?共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】O)C：(X-1)2+(3'-1)2=8的圆心坐标为(1,1),半径为2立.

,|lxl+lxl-4|r

圆心C(1,1)到直线/:x+y-4=。的距离"=-----,=-----=V2.

V2

如图，则满足条件的点〃有二个，分别是〃在A,B,。的位置上。

本题选择C选项.

4.若阿C：丁+/-2叶4尸20=0上有四个不同的点到直线/：4)+3y+c=0的距离

为2,则。的取值范围是()

A.(-12,8)B.(-8,12)C.(-13,17)D..(-17,13)

【答案】C

【解析】圆C的方程化为(才一1)2+。+2尸=25,

则圆心。为(1,-2),当径二=5.

|c-2|

据题意，圆心C到直线/的距离d<3,即5〈3,则一选C.

，则上的取值范围为(

5.若实数X,)，满足X=

【答案】D

【解析】解答：

由题意可得，上表示右当个圆Ay=i上的点J,y)与原点(0,-2)连线的斜率,

X

设心上匚，故此圆的切线方程为广履-2,

x

再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得尸-^—L=1,

J1+/

平方得代3

求得公士百，故2惚的取值范围是「百,+8),

XL'

故选：D.

6.设/(X)是定义在义上的增函数，且对于任意的X都有/(T)+/(X)=O恒成立.

如果实数。6满足不等式/(。2-6。+17)+〃从-汕+4)<0,那么。2+从的取值范

围是()

A.(9,49)B.(13,49)C.(9,25)D.(3,7)

【答案】A

【解析】由/(戈)是(9,欣)的增函数和奇函数可得

/(/-64+17)<-/伍2-汕+4),/(/-64+17)</(-从+8〃-4),/-64+17+/一勖+4<0

试卷第2页，总20页

,(1-3)2+0-4)2<4,所以/+〃q(5—2)2,(5+2)2卜［9,49］选人

二、填空题

7.已知圆G：/+),2=4和圆。2：(工一2『+()，-2)2=4,若点(a>0,

19

b>0)在两圆的公共弦上，则上+3的最小值为__________.

ab

【答案】8

【解析】由题意得，圆的：Y+V=4和圆a：(工一2『+()，-2『=4两个方程

相减即可得到两圆的公共弦，即x+)，=2,又点P(a,。)(a>0,Z?>0)在两圆的

公共弦上，即。+人=2,财

19

—+—

ab

1319

且仅当。=3a即。=上4=2,等号成立)，即士+'的最小值为8.

22ab

«.在平面直角坐标系丫Qy中，圆C:(x+2)2+(y-〃7)2=3.若圆C存在以G为中点

的弦A8,且AB=2GO,则实数〃？的取值范围是—.

【答案】［-72,72］(«Jc-V2<^<V2)

【解析】由于圆C存在以G为中点的弦A8,且人4=2G。，所以。4JLOB,如图，

过点。作圆C的两条切线，切点分别为3、D,圆上要存在满足题意的点A,只需

NBOD之90°,即NCO8245°,连接C8,-CB1OB,由于。（一2,m），

sinZCOB=旦=./二>sin450=—解得

\C0\=yJnr+4\CB\=y/3,

\CO\2

-V2</?i<V2.

三、解答题

9.已知在平面直角坐标系工。)，中，点4(0,3),直线/：y=2x—4.设圆C的半径为

1,圆心在直线/上.

(1)若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程：

(2)若圆(:上存在点A7,使/MS=2/VQ,求圆心C的横坐标a的取值范围.

【解析】(1)由题设，圆心C是直线y=2x—4和y=x—1的交点，解得点C(3,2),于

是切线的斜率必存在.

设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,

由题意，写竽止=1,解得k=0或一,，

故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆心在直线y=2x—4上，所以圆C的方.程为

(X—a)2+(y—2(a—2)]2=1.

设点M(x,y),因为MA=2M0,

所以J,+3-3)=2商+)，2,

化简得x2+y2+2y—3=0,即x24-(y+l)2=4,

所以点M在以D(0,一1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所

以圆C与圆D有公共点，则|2—1KCDC+1,

即1<^2+(2«-3)2<3.

由SM—12口+8>0,得aGR；

12

由5a2-12as0,得04a4一.

5

12

所以点C的横坐标a的取值范围为[0,—

5

10.已知4(2,0),直线4x+3)，+l=0被圆。：(久+3)2+(》一"?)2=13(〃7〈3)所截得

的弦长为4石，且尸为圆C上任意一点.

(1)求炉川的最大值与最小值:

(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.

【解析】(1);•直线4x+3y+l=0被圆0:(/+3)2+()，一机)2=13(〃?<3)所截得的

弦长为46，

••・C(-3,根)到匕线4x+3j+1=0的距离为卜।2+；“+3一(竽)=1'

解得〃z=2或〃7=L,又〃z<3,m=2.

3

・,・照=炳，

胡L=^一而，1%2=回+9,

(2)由(1)知圆C的方程为(x+3『+(y-2『=13,

令x=(),得y=0或y=4：令y=0,得冗=(),或x=-6.

・•・这三个点的坐标为M(0,4),0(0,0),N(-6,0).

易知，△MON为直角三角形，且斜边|加2=2万，

则4MON内切圆的半径为4+6-2旧=5-.

2

试卷第4页，总20页

ii.过直线上一动点4A不在），轴上）作焦点为/（2,0）的抛物线

炉=2Px的两条切线，M.N为切点,直线AM,AN分别与y轴交于点B,C.

（I）求证：BFLAM,并求AA3C的外接圆面积的最小值；

（II）求证:直线MV恒过一定点。

设8（0.〃）,则直线AM为y=ktx+b,与产二口联立，得：

在+（2他8）x+〃=0

因为相切，所以々=（2">8）2-46力2=0,得：k、=：,又怎F=£3=-］，所以

£左»•="BF±AM,同理：CF1AN、所以A/为A48C的外接圆，又因

749

为：\AF\.=-=,所以A45C的外接圆面积最小值为：丝汗.

I1mm620

<II）设点A（Xo，）b）,M（s，y）,'（孙必），

易知：直线AM方程为：4X-），］），+4%=0,

代入点A坐标得：4%-y%+4%=。，同理：4%-），2）'O+4X2=0,

所以直线MN方程为：4m，+4.%=0,又点4（%,%）满足：Xo+2y）+5=0

所以直线MV恒过定点（5,-8）

12.已知动点M到点N（l,0）和直线/：工二-1的距离相等.

<I）求动点M的轨迹£的方程：

（II）已知不与/垂直的直线/'与曲线〃有唯一公共点儿且与直线/的交点为P,以

月刀为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论.

【解析】（I）设动点何（x,y）,

由抛物线定义可知点M的轨迹讶是以N（1,O）为焦点，直线/：x=—1为准线的抛物

线，

所以轨迹£的方程为），2=41

（II）法1：由题意可设直线/':x=%，+〃，

x=my+〃，，,

由｛,可得y2-4"?y-4〃=0（*）,

y=4x'

因为直线/'与曲线£有唯一•公共点儿

所以△=16/n2+16〃=0,即〃=—m2.

所以（*）可化简为V-4my+4w2=0,

所以A（〃亡2时，

令工二一1得「（一］,一詈）

因为〃=一〃/，

所以福•标=（W2-1,2/H）-^-2,--=-2m2+2-2-277=0

所以NA工NP,

所以点N在以融为直径的圆C上.

法2：依题意可设直线/':），=依+b,（AwO）,

由（）；可得k2x2+2（M-2）X+Z?2=0（*）,

因为直线V与曲线后有唯一公共点A,且与直线/的交点为P,

人工0,上00,

所以1八即｛以1

A=0,bk=1,

所以（*）可化简为公x2—4x+j=0,

（12、

所以A-T，-.

U-k）

令人二一1得户（一1,'一攵',

因为丽.而=W+2+/_2=0,

\k-k八k）k-k~

所以NA1NP,

试卷第6页，总20页

所以点N在以处为直径的圆C上.

B组

一、选择题

1.已知A(2,0),直线4x+3)，+l=0被圆C:(x+3『+(yT〃y=13(m<3)所截得的

弦长为4后，且P为圆C上任意一点，则|PA|的最大值为•)

A.V29-V13B.5+V13C.2V7+V13D.x/29+V13

【答案】D

【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得：色？1+(26)2=13,解得：

加=2或〃7=3(舍去)，当团=2时，伊川的最大值仍。+r=，沟+旧，故选

3

D.

2.过直线片2万上一点P作圆M(x-3『+(y-2)2的两条切线k,A,B为

切点，当直线h4关于直线片2x对称时，则/力阳等于

A.30°B.45°C.60°D.90°

连接0/、4M可得当切线人A关于直线/对称时，

直线，1〃从且射线月犷恰好是的平分线，

,圆必的方程为(x—3)+(y—2)=—»

・••点V坐标为(3,2),半径厂学，

...|2x3-2|

点J/到直线7:2x-y=0的距・高为P宙—]-=------>

V4+15

由/切切圆”于力，得应△/%/中，sinZ/1/^A——=—,

PM2

得N/优佐30°,

••・//1琢2//死心60”.

故选：c.

3.已知直线PA,PB分别了半往为1（佝圆。相切于点

AB.PO=2,PM=2AP/i+（l-2）PB.,若点例在圆。的内部（不包括边界），则实

数4的取值范围是（）

A.（-1,1）B.，.（g,lA（0,1）

【答案】B

【解析】因为PO=2,由切线长定理知PA=PB=6，乂

丽=丽+丽=而+2之西+。一4）万,因此加,=9/2-62+1<1,解得

0<A<—.

4.已知动点A（心,y,J在直线/:y=6-x上,动点8在圆C:/+J一2工一2），-2=0

上，若NCA8=30。，则s的最大值为（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】如图所示，设点A（%,6-

圆心M到直线AC的距离为d,则d=|AM|sin30°=，

因为直线AC与圆。有交点，所以=

所以（%—1『+（5—/）匕16,解得1W/W5,所以心的最大值为5,故选C.

5.若在圆（工一〃?『+（），-石〃7丫=9上，总存在相异两点到原点的距离等于1,则实

数用的取值范围是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（―2,—D.（—1,1）^（1,2）

【答案】c

【解析】圆心卜小、回〃?）与原点之间的距离为d=J//+3〃『=2向|,当原点在例外

时，则3<2>〃|<4:当原点在圆外时，则2<2帆<3；当点在圆上，2同=3显然

试卷第8页，总20页

符合，综上3种情况有2＜2帆＜4,解得一2v〃iv—1或1＜加＜2,选C.

6.已知圆C：卜一6『+（），-1『=1和两点A（T,O）,B（f,0）«＞0）,若圆C上

存在点p,使得P4PA=0,则I的最小值为（）

A.3B.2C.丛D.1

【答案】D

【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以A8位直径的圆，当两圆外切时有：

J（可+F=Zmin+1=%n=1,

即t的最小值为1.

本题选择D选项.

二、填空题

7.已知函数=丽卜eR）,其中是半径为4的圆O的一条弦，O

为原点，P为单位圆上的点，设函数/（x）的最小值为九当点尸在单位圆上运动时，

f的最大值为3,则线段MN的长度为.

【答案】473

【解析】设=

则函数〃X）=|射—口-加卜I同,其中，为单位圆。上的点，

•・,xMN=MA,

・•・点A在直线MN上：

•♦・函数段）的最小值，为点P到直线MN的距离,

当人尸3时,如图所示：

线段MN的长度为|MN|=2^42-（3-1）2=46.

8.在平面直角坐标系xOy中，以点（0,1）为圆心且与直线如-y—2〃L1=O（x£R）相

切的所有网中，半径最大的圆的标准方程为.

【答案】x2+(y-l)2=8

2|加+1|nr+2m+1

【解析】r=,r2=4x=4<4

+1m+-

m

当机=1时，半径最大为2日，圆方程为V+（y_l）-=8,故答案为

%2+(>'-1)~=8.

9.已知直线/:x-y=l与圆+-2x+2），=0相交于A,。两点，点从。分

别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形人5co面积的最大值为

【答案】730

【解析】把圆M:x2+y2-2x+2y-l=0化为标准方程：（xT）2+（y+l）2=3,圆心（1,7）,半径

r=£.

Ixl-lx(-l)-l|_72

直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d

/+㈠9F，

，所以弦长H网=2x芈=M.

由勾股定理的半弦长=

又B,D两点在圆上，并且过于直线1的两f则，四边形ABCD的面积可以看成是两个三

角形4ABC和4ACD的面积之和,

如图所示，

当B,D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积

之和最大，即四边形ABCD的面积最大，

最大面积为：

试卷第10页，总20页

S=^|AB|X|CE|+||AB|X|£>E|=1|AB|X|C£)|=1XVK)X2^=5/30.

10.己知圆C:f+(y+i『=3,设£/为直线/：y=2x+4上的一条线段，若对于圆

C上的任意一点Q,ZEQF>-,贝IJ忸目的最小值是________.

2

【答案】2（石+G）

【解析】若对于圆C上的任意一点Q,NEQPz],则圆C上的任意一点都在以线段

E厂为直径的圆内，圆心到直线/的距离为"一，所以圆上的点

到直线/的距离的最大值为6+6,所以以线段石厂为直径的圆的半径的最小值为

V5+V3,则但目的最小值是2（逐+6）。

三、解答题

11.如图，已知圆。与y轴相切于点7（0,2）,与x轴的正半轴交于M,N两点（点M

在点N的左侧），日」MN|=3.

（I）求圆C的方程：

（H）过点M任作一条直线与圆。：/+），2=4相交于A8两点，连接AN,8N,求

证：32+%都为定值•

【解析】（1）因为圆。与相相切于点7（0,2）,可设圆心的坐标为,2乂〃00）,则

/3Y25S

圆C的半径为机，又|MN|=3,所以〃『=4+[+=亍，解得/〃=,所以圆的方

程为（工一|）+（）-2）2=F

<2）由（1）M（l,0）,N（4,0）,知，当直线AB的斜率为0时，易知砥”=原,\，=0即

“AN+&8N=0

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:1=1+）将x=l+）代入*+），2-4=0,,

力九.2,1

并整理得（产+1）＞2+2）-3=0,设A（x“J,8（孙），2）,所以｛13则

-676/

k.L:M|乃_一|必_2一%-3（"），2）_+一。

AN

册内-4X2-4%-3ty2-3（rv,-3）（rv2-3）（r^-3）（（y2-3）

综上可得kAN+kBN=0o

12.若圆C］：x2+y2=〃］与圆G：W+y2-6X一8），+|6=0相外切.

（1）求〃？的值：

（2）若圆C与x轴的正半釉交于点A,与y轴的正半轴交于点8,P为第三象限内

一点且在圆G上，直线与），轴交于点“，直线尸8与x轴交于点N,求证：四边

形A8MW的而枳为定值.

【解析】

（1）圆G的圆心坐标（。，0），半径为标,

圆G的圆心坐标（3,4）,半径为3,

又两圆外切得Vw+3=5,〃z=4.

（2）点A坐标为（2,0）,点8坐标为（0,2）,

设P点坐标为（玉）,为），

由题意得点M的坐标为（（）.3纥）：点N的坐标为，

14—74-2/一2为1（4-2），。-2%）2

22-%2-题2（2-y0）（2-x0）

有P点在圆C上，有*+%2=4

・•・四边形ABNM的面积S=4（4：2..-2.%+小品）=%

（2-%）（2-%）

即四边形ABNM的而积为定值4.

试卷第12页，总20页

13.己知平面直角坐标系W)，内两个定点A(1,O)、3(4,0)：满足

PB=2B4的点P(x,y)形成的曲线记为「.

(1)求曲线「的方程；

⑵过点少的直线/与曲线「相交于两点，当的面积最大时，求直线/的方程(0

为坐标原点)；

(3)设曲线「分别交/、y轴1勺正半轴于业内两点，点0是曲线「位于第三象限内一段上

的任意一点,连结Q¥交》轴于点E、连结Q”交y轴于户.求证四边形网断的面积为定

值.

【解析】

(1)由题设知2,.］丫+)，2=&-盯+y?,两边平方化简得/+),2=4

，点P的轨迹「的方程为W+y2=4

⑵由题意知|OS|=JsQf=G的斜率一定存在,设/：)，二女(x—4)即

kx-y-4/c=0.

•••原点到直线/的距离d=-J=L,|CD|=2,4-42,

vi।k2

•Yew=婀+（：々）=2,

当且仅当/=2时，取得“="d2=2<r2=4

当d2=2时,此时，I，=2=k，=—=>/:=±

公+177

・••直线/的方程为y=±3（x-4）

⑶设SMNEF=S&VNE+S&Wh=—|AfE|-|7VF|

2

设。（%%）,E（e,0）,尸（0,0）（其中x°v0,%<O,xo+靖=4）

则QM:y=^-（x_2）,令x=0得/=

%-2x°-2

.・.|册|=2_—=2（仆+3）-4

%-2拓-2

。%:），=^^1+2,令），=0得《二^-

/2-），o

/.\ME\=2—三="小…。）

2-%2一%

S“、7r|=2.,（/+『）；=2.8-4（：。+%）：2/%=4（定值）

'’25一2）（%-2）4-2（/+%）+/光

14.已知动圆C与圆工2+）2+2工=0外切，与圆丁+）,2一2X-24=0内切.

（1）试求动圆圆心C的轨迹方程；

（2）过定点尸（0,2）且斜率为可女工0）的直线/与⑴中轨迹交于不同的两点M,N,

试判断在/轴上是否存在点A（〃?,0）,使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？

若存在，求出实数加的范围：若不存在，请说明理由.

【解析】

（1）由了2+）3+2_¥=0得（x+l『+），2=i,由x2+y2-2x-24=o得

（x-l）2+y2=25,设动圆。的半径为长，两圆的圆心分别为£（—1,0）,g（l,0）,则

|CG|=R+U5|=5-R,...|CEHCE|=6,根据椭圆的定义可知，点。的轨迹为

以鸟为焦点的椭圆，，c=l,a=3,

/?2=«2-c2=9-1=8,・•・动圆圆C的轨迹方程为三+匕=1.

98

（2）存在，直线/的方程为），=履+2,设历（内,,）,2（毛,％）,MN的中点为

£（%，%）•假设存在点4h几0），使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形，则

AE工MN,

y=kx+2

由｛/2,得（8+9产卜2+36&-36=0,

—+—=1

98

36k.-18攵,r16

…=诉，♦・％=诉'…+2=^7r

~7^----01

即9K+8——_1.

•••AE_LMN,・•・我“=

-侬k

-----m

9/十8

当k>0时，9^+->2x/9^8=12^,A--<w<0；

k12

试卷第14页，总20页

当k<0时，9k+-<-\2>/2,：.0<m<—

k12

因此，存在点A（m,O）,使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形，且实数用的取

值范围为

12

C组

一、选择题

1.已知左£R,点p（a,b）是直线X+），=2女与圆/+V=公一24+3的公共点，则ab

的最大值为（）

5

A.15B.9C.1D.——

3

【答案】B

【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即

^＜ylk2-2k+3,解得—3＜攵＜1,将夕点坐标代入直线和圆的方程，有

a+b=2k,a2+b2=k2-2k+3,第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得

ab=-k2+k--,二次函数），=?忆2+左一巳对称轴为一2.，且开口向上，根据

22223

一34女41可知当人=一3时，出?有最大值为9,

2.已知点A,B,C在画Y+V=4上运动，且AB18C.若点尸的坐标为（3,4）,

则忸X+刖+正|的取值范围为（）

A,[10,15]B.[12,17]C.[13,17]D.[15,17]

【答案】C

【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故「反+户6=2尸0,PO的长

为5,所以|西+丽+对平间+网，显然当B在P0上时，廊+加+园有最

小值10+5-2=13,当B在P0的延长线上时，|闻+刖+后|有最大值

10十5+2=17,故选C.

3.已知圆。的半径为1,A及C,。为该圆上四个点，且4启+4《=4方，则

AABC的面积最大值为（）

A.2B.1C.V2D.上

【答案】B

【解析】因为4总+4《=人万，所以四边形48OC为平行四边形，又因为48。。都

在圆上，所以，A23C必为网的直径，/4。。=/区4。=90°四边形48。。为矩形,

AO=2JACF+|/W『=|砌2=4,

|ACT+|A8『

“=1|A郎|A牛=1,当且仅当|AC|=\AB\时取等号,选B.

4

4.若曲线G：/+y2-2x=0与曲线G：如°-xy+"a=0有三个不同的公共点,

则实数制的取值范围是（）

A.(0,G)B.(-x/3,0|u(0,x/3)D.岑0时,

C唱

【答案】D

【解析】曲线C?可化为x（〃ir-y+"7）=0,表示直线x=0和直线"比一），+/〃=（）,

直线x=0与曲线G：（X-1『+），2=1,有一个交点，即原点则需直线如一），+，〃=0

和C1后两个交点，即圆心到直线的距离小于半径，也即F"，父।,解得

meH，铜。,.（当m=0时，两直线y=O.x=O有相同的公共点为原点,

故舍去）

5.在区间［-3,3］中随机取一个实数3则事件“直线），="与圆。一2『+），2=1相

交”发生的概率为（)

A且B叵

96

【答案】A

【解析】圆（x-2『+y2=i的圆心为（2,0）,半径为1.同心到直线），=6的距离为

固-,要使直线y=区与圆（x—2『+y2=i相交，则耳L<1,解得

r+1K+1

一qVAV乎..•・在区间［-3,3］上随机取一个数"使直线）•二心与圆

3_13)_&

2

（x-2）+/=1相交的概望为一.故选A

3-(-3)—9

6.已知圆C：Y+y2=l,点p为直线工+上=1上一动点，过点P向圆C引两条

42

试卷第16页，总20页

切线?APRA8为切点，则直线A8经过定点.()

【答案】B

【解析】设P(4—2/n,nt)-PA,依是圆C的切线，「.CA±PA,CB±PB,/W是

圆C与以PC为直径的两圆的公共弦，可得以PC为直径的圆的方程为

口_(2-切2+”—4：(2-〃"+式，①

I2J4

又•.•/+9=],②①-②得48:2（2-加■+切=1,可得满足上式,

142）

(1]

即A8过定点一,一，故选B.

(42)

二、填空题

7.在平面直角坐标系•中，点?是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆

C:Y+y2-2x—2)，+1=0的两条切线，切点分别是A,4,则|人到的取值范围为

【答案】[6,2)

【解析】圆心(1,1)半径为1,要使AB的长度最小，则/ACB最小，即NPCB最小,

即PC最小，由点到直线的距离公式可得：d[3+4+3|=2,则NPCB=60。，

5

N4C8=】20°,即AB=JJ,当P在3x+4y+3=0无限远取道时，4C8趋近180。，

此时AB趋近直径2,故|43|的取值范围为[6,2)

8.直线依+力+c=0与到f+),2=]6相交于两点M、N.若c'chb：则

OMON(。为坐标原点)等于是.

【答案】T4

【解析】解：取MN的中点4连接04则04_LMN,,：c2=a2+b2,

。点到直线MN的距离04=/R,"2+，=16的中径r=4,

\Ja2+b2

Q4I

:.RtAAON中，设N40N=9,得cos”——二一，

ON4

cosZMON=COS20=2COS20-1=-----

8

/7)

由此可得：OM-ON=\0M\x\0N\xcos/MON=4x4x—=-14.

=2交于P、Q两点，若满足

A2+B2=2C2,则丽•丽=

【答案】-1

,,-Ar+Bv+C=0

【解析】设P(x”y,),Q(X2,y),则由方程组，｛,.、

2x+y=2

直线Ax+By+C=0与圆x?+y2=2联立消去y,得(A2+B2)X2+2ACX+(C2-2B2)=0,

C2-2B2

X,X2=A2+B2；

C2-2A2

消去x,得(A2+B2)y2+2BCy+(C2-2B2)=0,

C2-2B2C2-2A22C2

***OPOQ=x\x+y\y2=+222

2A2+B2^+B~A+B

VA2,C2,B?成等差数列,

/.2C2=A2+B2,

：.OPOQ=-1.

故答案为：-1.

二、解答题

10.己知圆G：V+）J=/">0）与直线4：y=4x+3指相切，点A为圆G上一