高考数学二轮复习提纲1

山东省平度第一中学2008届二轮复习资料

高三数学组

高三数学复习大体可分四个阶段:第一基础知识复习阶段；第二思想方

法专题复习阶段；第三综合复习阶段；第四冲刺阶段；每一个阶段的复习

方法和侧重点都各不相同，要求层层加深，因此，同学们在每一个阶段都

应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。

第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”，也是全方位复习，重在基

础，时间大致就是高三第一学期进行，已经过去。

二轮复习就要整合各专题，划分小课时，对复习要点进行专项点拨，

各个击破，从而达到巩固基础、强化知识、提高解决问题能力的目的。

二轮复习，重在方法，重在预测，重在对高考的前瞻性把握，不求面

面俱到，只求针对突破。

二轮复习，时间紧，效率高，需去粗存精、删繁就简；需高瞻远瞩，

实战高考。达到举一反三触类旁通之功效。

为了达到这个目的，我们将知识点分成二部分：一部分是知识素能培养；

二部分是思想方法展示。

第一部分知识素能培养。我们将基本知识分成了十五个专题：

专题一：集合：主要包括集合的有关概念及基本运算；高考题主要以选择

题为主，但关于高考试题可分为两大类：一类是集合、条件、命题本身的

基本试题；一类是集合、条件、命题和其它知识的综合题，这类题分为两

种情形：一种是用集合、条件来表述的，另一种是用集合的思想或从条件

的充要性来思考问题，这时解题思维比较深刻，因而也比较难。

主要题型有:

①设㊉是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a、beA,有

a©beA,则称A对运算㊉封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除

数不等于0)四则运算都封闭的是()

A自然数集B整数集C有理数集。无理数集

答案是C

②利用集合的知识考杳对不固定集合参数讨论。

设集合M={x\x+m>0],AT={x|x2-2x-8<0},若U=R，且

(,M)nN=。，则实数掰的取值范围是()

Am<2Bm>2Cm<2Dm<2或>4

③对于集合M、N,定义M-A'=(x|xeMSJCN],

“㊉N=(M-N)U(N-M)设A={/|"X2-3x,xeR},B={x|y=lg(-x)),

则()

ABCD

④利用集合有关知识考查充分必要条件

(2006年高考湖北卷)有限集合S中元素的个数记作忆力(S),设4、8都

为有限集合，给出下列命题：

(1)ACl8=°的充要条件是carcl(AU8)=card(A)+ccml(B)

(2)A14的必要条件是card(A)<card(B)

⑶人①3的充分条件是card(A)<card(B)

(4)A=%的充分条件是card[A)=card(B)

其中真命题的序号是()

A⑶⑷B⑴⑵C⑴⑷D(2)(3)

答案是B

专题二：函数，函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，

因而历来是高考的重点，直接考查函数知识的试题在20%左右,命题的基

本题型有：

⑴单纯考查函数的基础知识、基本方法。

⑵考查几个初等函数的图象和性质。

⑶函数和其它知识的交汇处设计题。

正因为如此，分为三课时：第一课时函数的图像和性质；主要弄清一次函

数（主要是分段函）、二次函数、指数函数、对数函数、哥函数（），=八

）,=/、）,=/、、、,=■）的图象和性质，并能灵活应用图象和性质解决

问题；

第二课时几种常见函数：如二次函数，指数函数和对数函数，几个最简单

的事函数。

第三课时：函数性质的综合应用。主要讲方程的根和零点、函数和数列的

综合、函数和实际应用题

典型题型

1、已知函数是周期为2的奇函数,当0<x<l时，/（x）=lgxo设，，

则（）

Aa<b<cBb<a<cCc<b<aDc<a<b

答案是D

2、定义在R上的函数y=/（x+l）的图象如图所示，它在定义域上是减函数,

给出如下命题：①/（0）=1②=1

③若X>0则f(x)<0④若X<0则/(%)>0

其中正确的是（）

A②③B©@C②④D①③

答案是B

ca,、-1\a,a>b

3、对。、bGR,ldmax{a、bGR}=<,

bya<b

函数/（x）=max{|x+11,|A-2|）Ue/?}的最小值是。

答案是：-

2

4、已知二次函数/"）=尔+版+旧>0）和一次函数g*）=M+〃?，则””

是“这两个函数的图象有两个不同交点”的（）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分条

件也不必要条件

答案是A

5、若a>2,则方程在（0,2）上恰有（）

A0个根B1个根C2个根D3个根

答案是B

6、设函数fW=1+2Hsin\的最大值是乂,最小值是m,则M+tn的

X+X+COSX

值为（）

A1B2C3D4

答案是B

7、（2002年高考题）设。为实数，函数/（x）=/+|x—xwR。

（I）讨论/（幻的奇偶性；

（n）求f（x）的最小值。

8、如青岛一摸理科第21题（2）

专题三：立体几何；分为三课时：

第一课时：空间几何体：主要包括两部分内容：一是空几何体的结构，二

是空间几何体的三视图和直观图。

第二课时：线、面的平行和垂直：主要包括平面的基本性质、平行问题、

垂直问题

第三课时：空间向量及其应用（理科），主要包括空间角和距离。

典型题目:

1、在60。的二面角a—/-#中，动点Awa,BwQ,A4,1/?,垂足为4,

且A4,=a,AB=41a,那么点B到平面a的最大距恩是

答案是：

2、己知北纬45。圈上有两点A、B

A点在东经3（）。，8点在东经12（儿

地球半径为R,则A、6两点间的球

面距离是（）

AB-TTRC-TTRR

23

答案是C

3、关于宜.线〃7,〃和平面,有以下四个命题:

①若"?//a,〃〃,且。〃夕，则"?〃n；

②若〃?J.a,〃_L且a_LQ,则m_L〃；

③若m工0旦a"°、则ml.n；

④若mHJ_夕且a_L尸,则〃z〃〃；

其中真命题的序号是()

A.B.③④C.©@D.@@

答案是D

4、如图，在直三棱柱一ABG中，底面为直角三角形,

=产6,P是1上一动点，则+i的最小值是

答案是：A、C=5立

点评：将空间问题转化为平面问题。

5、如图，正方形ABC。、/WE尸的边长都是1,而且

平面A8CD、ABE/互相垂直。点M在AC上移动,

点N在上移动，若CM=BN=a(O〈a＜五)0

(I)求MN的长;

(II)当〃为何值时，MN的长最小;

(III)当长最小时，求面A7MV和面MN8所成的二面角a的大小。

6、如图，在五面体中，点0是矩形的对角线的交点，面是等边三角形,

棱.

A

0

(I)证明/。〃平面C£)E;

()设8C=6CD证明£O_L平面CDF.

7、在四棱锥P-A8CD中，AD±AB

可求NPA〃>=12(r

(2)由题意知NaWw90°

分两种情况：当NDCN=9()。时，四边形是矩形，易知

当NDVC=90。时，由&VM"s3NC可求得

点评：此题有两种情况。

专题四：直线和圆：主要包括直线和直线的方程、圆和圆的方程、直线和

圆的关系及圆和圆的关系。

典型题目：

1、已知直线5工一12)，+。=0和圆/一24+)/=。相切，贝的值为o

答案是78或8

2、若半径为1的圆分别和)，轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为—

答案是：*一1『+(y一6)2=1

专题五：圆锥曲线，分为二课时：

第一课时椭圆、双曲线、抛物线的定义和方程和性质。

第二课时直线和圆锥曲线的位置关系及轨迹问题。

典型题目：

1、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为及，焦点到相应准线的

距离为1,则该椭圆的离心率为

(A)V2(B)克(C)1

22

(D)也

4

答案是：(B)

2、已知抛物线"=4x,过点P(4,0)的直线和抛物线相交于A(x„)夕”两点,

则的最小值是,

答案是32

3、设双曲线C：(。＞0)和直线/：x+y=l相交于两个不同的点A、B

(1)求双曲线离心率e的取值范围；

(2)设直线/和)，轴的交点为P,且，求。的值。

解：(1)曲线C和/相交于两个不同的点A、B可知，方程组有两个不同

的实数解，消去y整理得：

(1-«2)jr2+2a'x-2a，=0①

解得0＜。＜应且awl

.•且e工>/2

(2)由题意知:P(0,1)

设A(X|J)、伙孙必)

由知，(内,.片-1)=卷。2，%T)

*

••

由①可知

以上两式相联消去王、占可得

由〃>0知

点评：这种方式的消元在近今三年的考题中，是考查的热点。这是考查方

程，也可考查不等式。

如四川高考题：

给定抛物线c：y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线L和C相交于A、B

两点。

(1)设L的斜率为1,求办和办夹角的大小；

(2)设/^=2A#,若；1仁[4,9],求L在y轴上截距的变化范围。

而我们一摸的考试题文理的第22题正好体现了以上两点。

专题六：算法初步：主要包括算法和程序框图、基本算法语句、算法案例

(更相减损术、辗转相除法、秦九韶算法、进位制)，这部分主要提高学

生的读图和识图能力和理解程序的能力。

典型题目：

1、如图程序运行的结果是：

1

2

3

A1,2,3B2,3,1C2,3,2D3,2,1

点评：此题主要考察了交换变量的值，并输出交换前后的值

2、某地区现有人口数是〃，人口年增长率是「，预测/年后人口总数的算

法和程序框图如下：将以下内容填入框内，自上而下的填写顺序为（）

①输出〃的值②计算增量/=

③是否到时间/④用fl代替〃

⑤用/+1代替，

A③©©⑤①

B②③④⑤①

C④③②⑤①

D③®®⑤①

答案是A

3、读程序

甲：1

0

i<=1000

s

乙：1000

0

1

i>=l

s

对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是（）

A程序不同，结果不同B程序相同，结果不同

C程序不同，结果相同D程序相同，结果相同

答案是A

点评：主要考察了两种循环结构的不同之处。

专题七：主要有两个基本原理和排列数、组合数和排列、组合应用题及二

项式定理。

在掌握处理排列组合问题步骤的基础上，要学会分类并能灵活应用数

指头法做最基本的题目。要活用二项展开式的通项公式Tr+I=C『b，

特别要注意「可以取0,能够灵活应用赋值法求二项展开式

的系数和二项式系数的问题。

典型题目：

1、展开式中x4的系数是（用数字作答）。

答案是：10

2、在的展开式中，x的事的指数是整数的项共有（）

A.3项B.4项C.5项D.6项

答案是C

点评：此题二项展开式的通项中的0<r<24且reZo

专题八：概率和统计：分三课时；第一课时概率，主要介绍随机事件的有

关概念，频率和概率的联系及概率的基本性质，古典型概率和几何型概率;

第二课时统计，主要介绍抽样方法、用样本估计总体及变量间的相互关系O

第三课时随机变量及其分布，主要介绍离散型随机变量及其分布列，掌握

最常用的几个离散型随机变量的分布列及期望，并能灵活应用离散型随机

变量的定义解决问题；掌握条件概率及二项分布。此类问题在多注意05

年和06年的辽宁省高考题。也就是要关注期望和方差和不等式的结合。

典型题目：

1、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的

箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖

金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定:

甲摸一次，乙摸两次，令表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。

求：（1）的分布列（2）的的数学期望

解：（1）的所有可能的取值为0,10,20,50,60

分布列为

010205060

7292431891

P

10001000100010001000

（2）E=33

2、若随机变量A在1次试验中发生的概率为〃用随机变量J表

示A在1次试验中发生的次数。

（1）求方差。4的最大值

（2）求的最大值。

点评：这道巧妙地将不等式和期望和方差及最值问题联系起来，用到了函

数的单调性或者是导数。体现知识的综合应用。

专题九：三角函数，分为三课时，第一课时三角变换，主要讲三角函数的

求值和证明及有关三角函数的最值问题。切实利用好用已知角构造所求

角。

第二课时三角函数图象和性质，知识点有：三角函数的性质、函数

y=Asin（wx+0）的图像及三角函数的应用。

第三课时正余弦定理及其应用，知识点有：正余弦定理、解三角形及判断

三角形形状。

典型题目：

1、将函数y=sin（ox［（o>0）的图象按向量平

第（6）题图

移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是

A.

B.

C.

D.

答案是C

解：将函数片sins(0＞0)的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解

析式为，由图象知，，所以0=2,因此选C。

2、设。＞0,对于函数〃同=①*(()＜X＜外，下列结论正确的是()

sinx

A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值

C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值

答案是：B

解：令/=sinx/e(0,l],则函数f(x)=+乃)的值域为函数的值

sinx

域，又。＞0,所以是一个减函减，故选B。

3、已知，，，

求①cosa和cos/y

②

解：①由知(考察半角公式)

二.cos尸=cos[^z+P)-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/Jisina

sin尸=71-cos*2P=63

65

ap19

tan------tan--------.,

22=27=_21

,a?一।19-23

1+tan—•tan—1+-x-

2227

点评：此题主要考察了半角公式及两角差的正切公式，考察了角的构造即

利用已知角构造所求角即尸

4、在AA8C中，内角4、B、。的对边分别为〃、b、c,已知C=60。,

a+b=Ac(\<A<y[3),求角4的取值范围。

解：•.•C=60°/.A+B=\2(r

由正弦定理知

.Ac_c

sini4+sin(120°-A)sin60°

..sin+sin1200coSi4-cosl20°sinA

••/t-

百

T

石43.A

—cosA+-sinA

：.2=-------兽------=2sin(A+30°)

V3

2

*/1<2<73/.

又•••()<Av12(尸/.3(?<A+300Vl500

/.30。<4+30。<60°或120°<A+30°<15(f

0°vAv30°或900cA<120°

点评：学生不能通过正弦定理建立a和A之间的关系式。

5、在A48C中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,B.a2+b2-c2=>/3ab

①求角C的大小。

②如果，，求实数机的取值范围。

解：①由/+〃2=Ga〃知+/一6。8

又•:c2=a2+b2-2abcosC

二.又，•0<C<7T/.

A+B+C=TV

由=sin(9;r_A)_2sin2]

=sin，乃cosA-cos,乃sinA一(1-cosA)

3A百•一

=—UU5AH---SUIA-1

22

-14V3sin(AH—)-14V3—1

6

-1<m<V3-1

点评：以上两题都应用广公1弋asinx十〃cosx=Ja〉十sin（x十0）,通过角的

范围确定参数的取值范围。

6、已知包<tz<4,tana+cota=一3

43

(I)求tana的值;

□usi.n、—aF8csi.n—acos—a,Fi,lcos---8

(II)求-----2------2_2J的值。

6sin

解：(I)由得3tan2a+10tana+3=0,即lana=-3或lana=—1，又，所

3

以为所求。

。一2。八Jcosa..,,l+cosa

5sin—+8sin-cos—+1Icos*----85----------+4sina+l1-------------8n

II)_____2_____2__2_________2_=_2________________2______

V2sin^-|l-42cosa

5-5cosa+8sina+l1+1lcosa-168sina+6cos«_8tan<z+6

-2^2cosa-2V2cosa-2^2

7、设函数/(工)=〃.(/?+c),其中向量”=(sinx,-cosx),/?=(sinx,-3cosx),

c=(-cosx,sinx)»xeR。

(I)、求函数/(x)的最大值和最小正周期；

(II)、将函数/(幻的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐

标原点成中心对称，求长度最小的

解：(I)由题意得，

f(x)=a(b+c)=(sinx,-cosx)«(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=?x-2寸x=22x-2x=2&(2—).

4

所以，/(x)的最大值为2+四，最小正周期是日=乃.

(II)由©生得2网=4.乃，即*=£2,

44

于是d=(,—2),A£Z.

因为〃为整数，要使同最小，则只有4=1,此时公(~1,-2)即为

所求.

点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数

的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

专题十：平面向量，知识点有向量的概念及运算、向量的数量积和运算律、

平面的量的应用。

典型题目：

1、已知闰=1,|OB|=瓜OA.OB=0.点C在上且ZAOC=30"。设

OC=mOA+nOB(m,neR)f则上等于

n

(A)-(B)3(C)且(D)V3

33

答案是B

解：已知|。4卜1,囱=6,04.08=0,点C在上，且ZAOC=30"。设A点坐

标为(1,0),B点的坐标为(0,Q),C点的坐标为(x,y)=(-,—),

44

OC=mOA+nOB(n,neR),则工—=3,选B.

f44〃

专题十一：数列，分为两课时，第一课时等差数列、等比数列。知识点有:

等差、等比数列的定义和判断和计算；等差、等比数列的性质；数列的通

项；数列求和。第二课时数列的综合应用；知识点有：等差数列和等比数

列的综合问题；数列和函数、方程、不等式的综合问题；数列应用题。

典型题目：

1、在〃行加列的方格表中每个方格上都填上一个数，使得每行的，〃个数和

每列的〃个数都成等差数列，如果角上的四个数之和等于S,则这表中所

有数之和等于C

a\\a\l.................a\,n

a2\牝2ai.n

解：如右图是〃行加列的方格表示意图：…..............

atn-｛］\"（”-1）2a（,n-\）m

a»\ar,2................anm

根据题意可知：

（61+.一+《”,）+（。21+.一+42,

=y［（^ll+。办）+（。21+。2，”）十.一+（。"1+"，””）］

m,

=—^a\\+Cl2\+…+々僦）+16，“+a2m+.一+〃皿）］

m.n..n.、，

=T2a"+%）+］（"加+%»）］

=­l（^+an.）+（aim+atJ］

点评：此题和大学中的行列式和矩阵联系紧密，是高中知识和大学知识的

交汇点，属重点知识新考法。

2、已知数列｛〃"｝满足4=1,/+］=2a“+l（〃eN'）.

（I）求数列｛q｝的通项公式；

O若数列｛｝满足4"中，..4『=（q+1卢（〃wM）,证明:数列｛｝是等差

数列；

（III）证明：口<△+”+...+2<2QL.

23七%%2

解：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法,

考查综合解题能力。

（I）解：*=2ar+1（〃eN*）,

「•凡+|+1=2&+1),

/.+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列。

/.。”+1=2".

即^,=22-l(nG^).

()证法一：•.■小-中-1.41=(4,+1产.

.4々+的+…+4)-”=2'叱

/.2|(4+2+…+bn)-n]=nblt,①

4(々+优+…+2+b,“)一(〃+1)]=(〃+1)2+i.②

②一①，得2(%-1)=(〃+1)%-必，

即(〃一1)%-必+2=0,

〃4+2一(〃+1曲用+2=0.

③一④，得吟+2-2的z+nbit=0,

即l*-2bx+b“=0、

，b“+2-bN=bCwN)

.,.｛〃｝是等差数列。

证法二：同证法一，得

(〃T)%-叽+2=0

令〃=1,得4=2.

设2=2+d(deR),下面用数学归纳法证明bn=2+(〃-1”.

(1)当〃=1,2时，等式成立。

(2)假设当〃=k(k>2)时，々=2+(攵-1)",那么

L1k2

b=-b--=—l2(k-\)d]--=2[(lc\)-\\d.

k+]k-\kk-\k-\+k-\++

这就是说，当〃=k+l时，等式也成立。

根据(1)和(2),可知"=2+(〃-l)d对任何N,都成立。

・.・①「"=4.・.也｝是等差数歹注

()证明：...=2k~\<-.k=1.2…n.

4

ak_2-1_11_11>111

,^7-2A+I-1-2-2(2A+,-1)~2~3.2A+2k-2~2~3^

・刍+&

3、已知数列｛%｝的各项均为正数，q=6,点在抛物线V=x+l

上;数列也｝中，点&S也)在过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线上

①求数列｛凡｝、｛4｝的通项公式

②对任意正整数"，不等式帅―2+/V(1+1)(1+」)(1+3)…(1+3)成立,

仇瓦久

求正数。的取值范围。

解：♦.•点43“,可")在抛物线V=x+1上

二•数列｛%｝是以1为公差的等差数列

凡=〃+5

由题意知，过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线的方程是y=2x+\

而点乩(〃也)在过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线上

bn=2n+l

由上可知J“-2+a”=j2〃+3

v对任意正整数〃，不等式adn-2+a,,W(1+^X1+3)。+3)…。+[)成立

4与仇a

(i+()(i+!)(i+!)・(i+1)

・•.对任意正整数〃，不等式—一台鸟—组成立

，〃-2+4“

(1+1)(1+1)(1+3••・(1+[)(1+」)

♦^13b“%

〃

而J2+5

(1+3(1+"+"<+3

a%"勿

j2〃+3

(1+()(1+，1+，71+,)

二.数列一—------工是递增数列

j2〃+3

(1+()(1+「)。+:)…。+()/)r-

....b24.)4=4V5

j2〃+3—3卮15

点评：此题主考察了直线的方向向量、等差数列的通项公式、恒成立问题

(最值问题)。

4、己知二次函数)，=/*)的图像经过坐标原点，其导函数为八x)=6x-2,

数列｛4｝的前n项和为S”，点(〃,S“)(〃wV)均在函数y=/(x)的图像上。

(I)、求数列｛4｝的通项公式；

(H)、设，7；是数列｛"｝的前n项和，求使得对所有〃wN•都成立的

最小正整数m；

解：(I)设这二次函数8X。，则/⑨二2由于/4

一2得

3,一2所以f(x)=3寸-2x.

又因为点(〃£)(〃€7,)均在函数)，=/&)的图像上，所以Sn=3d-2n

当n22时，——-/=(3n~2n)一13(〃一一2(〃-1)]=6n—5.

当〃=/时，a尸S尸3XF—2=6Xl-5,所以，=6n-5"eAT)

(II)由(I)得知==,

故=1>•=；

;=!L

因此，要使L(1-X—CwM)成立的〃7,必须且仅须满足LW色，

220220

即/〃310,所以满足要求的最小正整数/〃为10.

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知

识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

专题十二：不等式；分为两课时。第一课时不等式的性质和解法；知识点

有：不等式的概念和性质；一元一次不等式和一元二次不等式；第二课时

不等式的应用；知识点有：基本不等式、线性规划问题、不等式的应用；

典型题目：

1、已知全集。=&且4=卜|卜-1|>2},8=卜|12-61+8<0},则(。“4)。8等于

(A)[-1,4)(B)(2,3)(C)(2,3](D)(-1,4)

答案是c

点评：最近几年的高考题考查不等式问题都是通过集合的知识来考查的，

重点考查了绝对值不等式和一元二次不等式。

2、如果实数x、y满足条件，那么、的最大值为

A、2B、1C、-2D、-3

答案是：B

点评：重点考查了线性规划问题。这类问题要注意最优解问题，如（06年

山东卷理11文12）

专题十三：常用逻辑用语；知识点有：四种命题、简单的逻辑联结词、全

称命题和特称命题。

典型题目:

1、下列特称命题中真命题的个数是（）

①存在xeR,xWO②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数。

③存在是无理数｝,/也是无理数。

A、0个B1个C2个D3个

答案是D

2、命题〃：x+yw3,命题q：xwl或则命题〃是命题夕的（）

A、充分不必要条件B必要不充分条件C、充要条件D、既不充

分也不必要条件

答案是A

专题十四：导数及其应用，分为两课时；第一课时导数。知识点有：导数

基本问题、函数单调性的判断、函数的极值和最值。第二课时积分(理科)。

知识点有：积分基本原理、定积的性质及简单应用。

典型题目：

1f'evdx和fZ相比有关系式()

JoJo

C(£exdx)2=^evdxD(£exdx)x=£exdx

方法数形结合。

答案是B

2、/\la2-x-dx=o

数形结合法。,产了心表示是的半圆/+),2="()叱0)的面积，从而有

变式：『L272dx二。

答案是：

2

3、已知函数,f(X)=-x+8x,g(JV)=6Inx+m.

(I)求/lx)在区间［"+1］上的最大值〃⑴;

()是否存在实数〃1,使得)，=f(x)的图象和y=g(x)的图象有且只有三

个不同的交点？若存在，求出用的取值范围；若不存在，说明理由。

解：(I)f(x)=-x24-8x=-(x-4)2+16.

当，+1<4,即，<3时，/(.在在"+1］上单调递增,

h{t}=f(t+1)=—。+1)，+8Q+1)=-r+6,+7:

当1W4W/+I,即3«fW4时，/2(r)=/(4)=16;

当空4时，〃工)在R［+1］上单调递减，

h(t)=y(r)=-/2+8r.

一厂+6/+7,，<3,

综上，力⑴=(16,3</<4,

-r+87,/>4

()函数y=/(A)的图象和y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，

即函数

°(x)=g(x)—/(x)的图象和％轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

,/。(.1)=x2-8.V+6inx+〃?，

A,、与61x~-8x+62(x—l)(x—3).

。(x)=2x-8Q+—=----------=—----------(x>A0),

XXX

当XG(0,1)时，,(%)>0,次X)是增函数;

当xw(0,3)时,取x)是减函数;

当工£(3,+O0)时，“⑶>0,次.0是增函数；

当x=l,或x=3时，"(x)=0.

。⑶最大值=汽1)=，〃-7,。(工)最小侦=。⑶="?+61n3-15.

・・•当x充分接近。时,。⑶<0,当x充分大时,—.

.••要使次X)的图象和X轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

°(x)最大位=〃?一7>0,

H|J7</n<15-61n3.

.(x)最小值=m+61n3-15<0,

所以存在实数小，使得函数y=/(x)和)，=g(x)的图象有且只有三个不

同的交点，〃，的取值范围为(7/5-61n3).

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用

导数研究函数性质

的方法，考查运算能力，考查函数和方程、数形结合、分类和整合等数学

思想方法和分析问题、解决问题的能力。

4、已知函数/(A)=x3+ax2+/»+c在x=—|■和x=l时都取得极值

(1)求a、b的值和函数f(x)的单调区间

(2)若对x(-1,2),不等式f(x)0?恒成立，求c的取值范围。

322

解：(1)f(x)=%4-ax+bx+cff(X)=3x+lax+b

由f(--)=,f(1)=3+2a+b=0得

3

a=--,b=—2

・9

f(x)=3x2—x—2=(3x+2)(x—1),函数/'的单调区间

如下表：

_22

X(-,--)1)1(1,+)

333

f+0—0+

(X)

f(x)极大极小

值值

所以函数f⑺的递增区间是(-，-|)和⑷+)

递减区间是(一2,1)

3

(2)f(x)=x3——X2—2x+c,x(—1,2],当x=—2时，f(x)

23

22

=—+c

27

为极大值，而f(2)=2+c,则F(2)=2+c为最大值。

要使FG)c2(x(-1,2))恒成立，只需/>/(2)=2+c

解得c-1或c2

专题十五：推理和证明。知识点有：合情推理和演绎推理、直接证明和间

接证明、数学归纳法，思想方法展示。

思想一：函数和方程的思想

函数是中学数学的一个重要概念，它描述了自然界中量和量之间的依

存关系，从量的方面刻划了宏观世界的运动变化、相互联系的规律，是对

问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画。变量是函数基础，对应

（映射）是函数本质，函数一直是高考的热点、重点内容，它渗透在数学

的部分内容之中。

函数和方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，集合和对应思想，去分析和

研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象

的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数

概念的本质认识，用于指导解题就是善于函数知识或函数观点观察、分析

和处理问题。

（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或

方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分

析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，

用于指导解题就是善于利用方程或方程的观点观察处理问题。

（3）函数的思想和方程的思想是密切相关的，对于函数），=/*）,当），=0

时，就转