湘教版八年级上册数学《三角形全等的判定定理》同步练习

3.4《三角形全等的判定定理》同步练习

第1题.如图，△48C中，/W=AC,£8=EC,则由“SSS”可以判定（）

A./\ABD^/\ACDB.AABE^Z\ACE

C./\BDE^Z\CDED.以上答案都不对

答案：B

第2题.如图，△ABC中，AB=AC,AE=CF,，则ZE=N

ZC4F=Z__________

答案：F,ABE

第3题.如图，AD=BC,DC=AB,AE=CF,找出图中的一对全等三角

形，并说明你的理由.

答案：答案不惟一.如△ADCgAC3A.理由：根据“SSS”即AO=C8,

DC=BA,AC=CA.

第4题.如图，△A8C是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的

顶点的连线恰好将AABC分成两个全等三角形，则这样的点共有（）

A.1个B.3个C.6个D.9个

答案：B

第5题.如图，已知ZA=ND,AB=CD.求证：△A3O94QCO.

答案：在△43。和/XDCO中

2A=/。（已知）

-/AO6=NOO。（对顶角相等）

AB=OC（已知）

.•.△ABO^ADCO(AAS).

第6题.如图，点DE分别在ABAC上，且=ZBDC=Z.CEB.

求证：BD=CE.

A

答案：ZADC+ZBDC=180,NBEC+NAEB=180,

又•・•/BDC=NCEBZADC=ZAEB

NA=NA（公共角）

在△人DC和△人石石中，.人£）二人E（已知）

NAOC=NAEB（已证）

.•.△ADC^AAE5（ASA）/.AB=AC

:.AB-AD=AC-AE,BPBD=CE.

第7题.已知AE交BC,垂足为

求证：(1)ZADC=zy\BE;

(2)DC=BE.

答案：（1）vZA£）C=Z4+Z2,ZABE=Z4+Z3XvZ2=Z3:.ZADC=^BE

（2）在△ADC和中ZADC=ZA8E（已证），（已知），Z1=Z2

（已知）:./\ADC出△ABEKASA）/.DC=BE.

第8题.如图，已知zXABC为等边三角形，QR_LAB,垂足为R,PQLAC,

垂足为Q,RPLBC,垂足为尸，且AR=BP=CQ.

求证：△RPQ为等边三角形.受

R

Q

答案：•「△ABC是等边三角形./.Z/l=ZB=ZC=60,

又•・•QRA.AB,PQ,LAC,RPA.BC/.NARQ=4BPR=NCQP=90

又AR=BP=CQ,根据ASA证4AQR4△BRPm4CPQ

得PQ=PR=QP:./\RPQ为等边三角形.

第9题.如图，已知点AC在环上，AD=BC,AD//BC,DE//BF.

求证：DE=BF.

答案：由得NC4O=ZACB,根据等角的补角相等得NE4D=,

又由DE〃BF得NE=NF,又AD=BC,根据AAS证△AOE且△CBb得

DE=BF.

第10题.如图，在△A8C和△。所中，已知4笈=力石，3C=所，根据(SAS)

判定△A5Cg△。耳还需的条件是(

A.ZA=Z£>

BCE

B.ZB=ZE

C.ZC=ZF

D.以上三个均可以

答案：B

第11题.若按给定的三个条件画一个三角形，图形惟一，则所给条件不

可能是（）

A.两边一夹角B.两角一夹边C.三边D.三角

答案：D

第12题.如图，已知。，垂足为8,EDJL8O,垂足为。，AB=CD,

BC=DE,则ZACE=

答案：90

第13题.如图，已知=AD=AE,ZBAC=ZDAE.

求证：BD=CE.

答案：TtffiZBAD=ZCAE,再根据SAS证△ABD丝△ACE,得BD=CE.

A.如果两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不可能全等

B.如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等

C.如果AMNP学AEFG,/\MNP94EF'G,那么△MNP与△EPG的面

积的和等于LMNP与△£/&面积的和

D.如果bMNPg/\EFG,HNpg/\EFG，那么

△WP+4MNP^/\EFG+/\EFG

答案：A

第15题.如图，已知A/=的，ZA=ZB,AC卦

求证：ZF=ZE.

答案：先证：AD=BC,再根据SAS证△">/四△8CE,得NF=/E.

第16题.如图，点尸是ZA03的平分线上的一点，作垂足为。,

P£_LO8垂足为E,DE交0C于点F.

（1）你能找到几对全等三角形？请说明理由；

（2）你能确定图中共有几个直角吗？请说明理由.

答案：（1）有三对全等三角形.由“AAS”可知4ODP会4OEP,又由“SAS

可知：AODF"AOEF,/XPDF^^XPEF

（2）共有八个直角，由（1）中的△ODF丝△。£户可知：/OFD=NOFE,

ffi]ZOFD+ZOFE=\m,因此OF_LEO.这样以尸为顶点有四个直角，另有

已知的四个直角，共计八个直角.

第17题.如图，已知AO=8C,AB=CD,。是中点，过。作直线交班

的延长线于E,交DC的延长线于F.

求证：OE=OF.

答案：在4ABD和△CQ3中，

AB=CD（已知）

<AD=C8（已知）

BD=DB（公共边）

.•.△ABD^ACZ）B（SSS）

.4BD=/CDB（全等三角形对应角相等）

・.•。是8。中点，/.B0=DO

/A80=NCOO（已证）

于是在△80E和△。0/7中,[30=QO（已证）

NBOE=/。。尸（对顶角相等）

/.△BOE^ADOF（ASA）

0E=OF（全等三角形对应边相等）.

第18题.如图，已知43=CO,AE=DF,CE=BF.

求证：AF=DE.

CD

答案：\BF=CE:BF+EF=CE-^EFBE=CF5LAB=CD,AE=DF,木艮据

“SSS”证△ABE也△Ob.;./B=/C,又AB=CD,BF=CE,根据SAS

证AABF^/\DCE...AF=DE.

第19题.对于下列各组条件，不能判定四的一组是（）

A.ZA=ZA',/B=/B'，AB=ABf

B.ZA=ZAr,AB=A,B,,AC=A,C

C.ZA=Z/T，A8=A'?，BC=B,C

D.AB=A!B,,AC=AfCf,BC=B,C,

答案：C

第20题.如图，把两根钢条4V,的中点。连在一起，可以做成一个

测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出A6的长度,

就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能说出工人这样测量的道理

吗？

答案：此工具是根据三角形全等制作而成的.由。是4V,B9的中点,

可得AO=4O,BO=B'O,又由于ZAO3与Z/VO夕是对顶角，可知

ZAOB=ZAOBf，于是根据“SAS”有△AOBg/kAO®,从而=AB,

只要量出AE的长度，就可以知道工作的内径A3是否符合标准.

第70题.如图，已知E是等边△ABC内一点，EA=EB,b是外的

一个点，BF=BC,/FBE=NCBE.

求证：NF=ZACE.

答案：先根据SAS证明公BCE^/XBFEEC=EF,BC=BF,又5c是等

边三角形/.AC=B/，XEC=EF,EA=EB,根据SSS证

△AEC^/XBEFZF=ZACE.

第21题.如图，已知在△48。和△A8C中，AM与A”分别是8GB'C

上的中线，AB=AB,>AC=AC,AM=AfMf.

求证：△A3C/△A3'C.

答案：延长AM到N使AN=24",延长4"至V使AM=24”,连接BN,

BN先证XACM丝△N8W，得BN=AC,NN=ZCAN同理可证BN=AC,

ZNf=ZCANr.利用SSS证△ABNg4NRN'.:.NBAN=NBTN',

ZN=ZN'./.ZBAC=ZB,AC,,根据SAS证△ABC丝△A5C.

第22题.如图，已知在△ABC中，AB=AC,Z1=Z2.

求证：ADA.BC,BD=DC.

答案：在AABD和△ACD中，

A5=AC（已知）

Nl=/2（已知）

AD=（公共边）

...△48。/△ACO（SAS）.

ABD=CD,Z3=Z4.

又•・・N3+N4=180',BP2Z3=180,/.Z3=90,/.AD±BC.

第23题.如图，平面内有一个“8。，0为平面内的一点，延长A。到4,

使O4=AO,延长80至ijQ,使。9=30,延长C0到C,使OC=CO,得

到△A5C,夕C与△A8C是否全等？这两个三角形的对应边是否平行？

为什么？

答案：^Z\ABC,AB//ABf,AC//AC,BC//B！C,理由略.

第24题.如图，在△ABC中，ZC=90,D,£分别为AC,A8上的点，且

AD=BD，AE=BC，DE=DC.

求证：DE±AB.

答案：在△ADE和△BDC中，

AE=3C（已知）

,A。=8。（已知）

EO=CO（已知）

:△ADEgABDC（SSS）

/.NC=NAE。（全等三角形对应角相等）

•・•ZC=90°（已知）「.ZAED=90

A8（垂直定义）

第25题.如图，A8=AC,要使△ABE丝△4CQ,应添加的条件是

（添加一个条件即可）

DE

O

B

C

答案：答案不惟一，如N3=NC等.

第26题.如图，四边形4BCZ）中，42垂直平分ND,垂足为点O.

（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出深；

（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明/\

答案：解：（1）图中有三对全等三角形：工

C

△COB△COD,△AOD,△ADC.

（2）证明

证明：•・,AC垂直平分8。，

：.AB=AD,CB=CD.

又・・・AC=AC,ADC.

第27题.在△ABC和所中，已知NC=N。，NB=NE,要判定这两个

三角形全等，还需要条件（）

A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.Z4=ZF

答案：C

第28题.小明用匹根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知A8=CD,

=你认为小明的风筝两脚大小相同吗（即N2,/£）相等吗）？请

说明理由.

答案：相等.可以连接AC,由SSS可知△ABC丝△CD4.•.NBrNO.

第29题.小民用五根木条钉成了如图所示的两个三角形，且A3=AC,

BD=CD,若△A3。为锐角三角形，则△ACQ中的最大角。的取范围是

()

A.30Wa<60°B.45Wav60

C.45Wav90°D.60Wa<90

答案：D

第30题.已知：AABC的三边分别为a,b,c,9C的三边分别为

fff

a',从d,且有/+42+b2+b，2+「+c，2=2ab+2bc+2cd,则/\ABC与AABC

()

A.一定全等B.不一定全等C.一定不全等D.无法确

定

答案：A

第31题.如图,已知Z1=Z2，

求证：BE=CD.

答案：vZ3=Z4,,\AD=AE,

又N1+N3=N2+N4

即ZADC=ZAEB,

又ZA=ZA根据ASA证AABE四△AC。,

:.BE=CD.

第32题.你见过形如图所示的风筝吗？开始制作时，AB=CD,AC=DB,

后来为了加固，又过点。加了一根竹棒所，分别用48产＞于点£F,

且ZAOE=NDOF,你认为OE,。「相等吗？请说V

BC

答案：相等.可以连接BC,首先由“SSS”可知：4ABe名LDCB,因此

ZA=ZD,同理可得N5=NC,又由“ASA”可知△A3。且△DCO,因此

AO=DO,最后可由“ASA”得△AQE之△">F，所以OE=OF.

第33题.如图，4D,BC相交于点O,OA=OD9OB=OC.

求证：^AOB^/XDOC.

答案：在XNQB和/XDOC中，

04=00（已知）

<乙4。8=/。。。（对顶角相等）

OB=0C（已知）

^AZ）（7C（SAS）.

第34题.如图，已知N1=N2,ZABC=/DCB,AC=DB.

求证：△48C空△OCB.

4八八。

1y

BC

答案：：VZABC=ZDCB,Z1=Z2,:"DBC=ZACB,BPZACB=ZDBC,

又ZABC=ADCB,AC=DB,BC=CB,.△ABC丝△DC8.

第35题.在△4BC和AAfBfC中，①AB=A必②BC=B，C;③AC=A,Cf;

④ZA=ZAf;⑤NB=NB，则下列条件中不能保证AABC也△A5C的是

()

A.①②③B.①②⑤C.②0X5)D.①③⑤

答案：D

第36题.在AABC和△AAG中，已知N4=N41，4B=A石，在下列说法中，

错误的是()

A.如果增加条件AC=AG，那么△ABCgAAMG(SAS)

B.如果增加条件8c=3IG，那么△ABCgZUMa(SAS)

C.如果增加条件N，=N4，那么△ABC沿△A4G(ASA)

D.如果增加条件NC=NG，那么△ABC也△AgG(AAS)

答案：B

第37题.如图，AB=AC,BE与CF交于点、0,EC与用相等吗？为什么？

八

F/\E

O

BC

答案：不一定.EC与所可能相等，也可能不相等.

直观地解释：E,尸在AC,A3上的位置不定，因此"与EC的关系也不定.

逻辑地解释：斯与CE所在的两个三角形，无法确定其是否全等，因此

△F与CE的关系不一定.

第38题.如图，A8〃OC,A8=OC,AC与8。相交于点。，你能找出两对全

等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？

答案：事实上有四对全等的三角形.

AAOB^Z\COD；/\AOD^Z\COB；/\ABC^/\CDA；/\ADB且△C3D

理由分别是：

NCAB=NACD

的理由：“角边角"，即=

ZABD=ZCDB

AO=CO（由△AOBg/XCOO所得）

/\AOD四△C03的理由.“边角边”,EP<ZAOD=4C0B

DO=30（由AAOBg△COO所得）

AB=CD

△ABC经△CD4的理由：“边角边即<44。=ZDCA

AC=CA

AB=CD

△ADBq△CBZ）的理由：“边角边”.BPZABD=ZCDB

BD=DB

第39题.已知：如图，。是△A8C的边A4上一点，〃/C,。尸交AC于点E,

DE=FE.

求证：AE=CE.

人

答案：证明：・・・/W〃尸C,

：.ZADE=ZCFE.

又,:ZAED=ZCEF,

・・・△AED^△CEF.

・・・AE=CE.

第40题.如图，给出五个等量关系：①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、

④ND=NC、⑤4DAB=/CBA.

已知：

求证:

证明：

答案：情况一：已知：AD=BC,AC=BD

求证：CE=DE（或ND=NC或=）

证明：在△/W。和△ZMC中

•；AD=BC,AC=BD

AB=BA

・•・△BAC

：.NCAB=NDBA/.AE=BE

：.AC-AE=BD-BE

即CE=ED.

情况二：已知：Z£）=ZC,ZDAB=Z.CBA

求证：AD=BC（或AC=BD或CE=DE）

证明：在4ABD^\/\BAC中

ZD=ZC,ZDAB=ZCBA

*：AB=AB

・•・△ABD^/\BAC

・•・AD=BC.

第41题.如图，AB两点分别位于池塘两端，小明和同伴用下面的方法

测量A8间的距离：先在地上取一个可以直接到达A点和8点的点C,连

接AC并延长到。，使。=AC,连接BC并延长到E,使CE=BC,连接DE,

那么量出。石的长，就是48的距离，小明和同伴的测量方法对不对？为

什么？

答案：小明和同伴的测量方法是正确的.由于在△ABC和中，

AC=DC（测得），Z4CB=ZDCE（对顶角相等），BC=EC（测得），于是

/\ABC^/\DEC（SAS）,因而可得所以量出。E的长，就是儿B两

点间的距离.

第42题.如图，要测量河两岸相对的两点4,B的距离，可以在43的垂

线8月上取两点C,D,使CD=BC,再定出B/的垂线OE,使AC,石在

一条直线上，这时测得的。石的长就是48的长，为什么？

答案：由DEA.BF,nJWZABC=ZEDC=901,又由于直线B/与

AE交于点C,可知ZAC3=NEC£>（对顶角相等），再加上条件C£>=8C,

根据“ASA”有△ABC,从而AB=ED,即测得OE的长就是A,B

两点间的距离.

第43题.如图A,B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离,

可以从6出发沿河岸画♦条射线竹，在8尸上截取8C=CD,过，作

DE//AB,使石，C,4在同一条直线上，则。E的长就是A,B之间的距

离,请你说明道理.你还能想出其他方法吗？

ZB=ZEDC

答案：（1）BC=DC—△ABCq4EDCtAB=DE.

ZBCA=ZDCE

（2）新方法：如图:

4

从8出发沿河岸作射线8尸，且使在8户上截取8C=CD,过。

作OE_L8/，使E,C,4在一条直线上，则。上的长就是48之间的距离.

道理同上.

第44题.如图，已知NB=NO=90,AB=AD.

A

求证：BC=DC.

答案：因为AB=AT>,AC=AC,根据“HL”证Rlz2\ACZ)WRl氏ACB

:.CD—BC.

第45题.如图，已知4）,”分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果

AD=AF