北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》训练题（三）

北师大版数学九年级上册1.3矩形的性质与判定

一、选择题

1.如图，在矩形ABCD中，点E为BC中点，点F为AE中点，DE=4,DF=岁，则BC的长为

().

A.V10B.4C.2V3D.V19

2.如图，△ABC中，E,尸分别是43,4c的中点，点D在EF上,延长/1D交BC于N,BD上AN,

AB=6,BC=8,则OF=()

3.如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分/CAB交BC于点F,点E是CD上一点,

连接AE、EF,的值为()^ZEAF=45°,AB=4,BC=3,则差的值为()

/iD

A.V5B.|C.|D.喙

4.如图，在△ABC中，点D在AC上，CE1AB,BD与CE交于点0,且BE=CD.小明思考

后得出以下结论：①若D是AC的中点，贝IJNBDO3NABD；②当E为AB中点时，△ABC是

等边三角形；则下列说法正确的是()

A

A.①②都正确B.①②都错误

C.①正确②错误D.①错误②正确

5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC,AB于点D,F,BE_LDF交DF的延长线于点E,

若NA=30。，BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是（）。

A.2A/3B.2V2C.3V3D.3V2

6.如图，已知四边形纸片/BCD,E,F,G,H是四条边上的中点，连结EG,分别过点H,F作

HIJ.EG于点LFJ上EG于点J,沿EG,Hl,可将四边形纸片4BCD剪成四个小四边形纸片，记为

①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片（①

沿B0方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180。）.若叼=5cm,JG=2cm,FJ=3cm,则四

边形〃MN的周长是（）

A.24cmB.26cmC.（22+D.28cm

7.如图，矩形。4BC中，点0（0,0）,4C=4,8。与x轴正半轴的夹角为45。.若矩形绕点。逆时针旋

转，每秒旋转45。，则第2026秒时，矩形的对角线交点。的坐标为（）

B

A.(V2,-V2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(-^,V2)

8.如图，即4BCO的对角线交于点0,M,N分别是边4D,8C的中点，连接AN,CM.下列结论：

①四边形ANCM是平行四边形；②若48=AC,则四边形AVCM是矩形；③若AB1AC,则四边形

4NCM是菱形；④若力B_L4C,AB=6,^ABC=60°,则S即动磔火时=8V5.其中正确的是

()

A.①②B.①②③C.①④D.①②③④

二、填空题

9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,

AE=6,ZAEB=60°,则EF的值为.

10.如图，在矩形48co中，点E,F,M分别在AB,DC,AD边上，8E=2CF,FM分别交对角线

BD、线段DE于点G,H,且H是DE的中点.若CF=2,=30。，则HG的长为

11.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(3,0),连接AB.若将△A8。绕

点B顺时针旋转90。，得到△AB。、则点/的坐标为.

12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC沿射线BC方向平移至△ABC,将点B

绕点A逆时针旋转90。得到点D,连接DA\DC,在平移过程中，|AD-CD|的最大值

为。

13.【问题呈现】

小明在数学兴趣小组活动时遇到一个儿何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3,点M、N分

别在边AC、8c上,且4M=CM试探究线段MN长度的最小值.

【问题分析】

小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路

径，进而解决上述几何问题.

【问题解决】

如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线4P.在【问题呈现】的条件

下，完成下列问题：

（2）乙。4P的大小为度，线段MN长度的最小值为.

【方法应用】

某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据,

并画出了示意图，如图④，△4BC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，4B=4C=CD=2米，

乙4c8=30。.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在OE上.在调整

钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始线保持4M=ON.钢丝绳MN长度的最小值为多少

米.

14.如图，直线公,=一/%+6分别与*轴，丫轴交于人、B两点，与直线％：y=kx-3交于点

(1)点4坐标为(,).

(2)在直线BC上有一点E,过点E作y轴的平行线交直线，2于点F,设点E的横坐标为m,当m

为何值时，以。、B、E、F为顶点四边形是平行四边形；

(3)若点P为直线A上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q,使得P、Q、0、B四个点

能构成一个矩形.若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】D

【知识点】勾股定理.；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系

【解析】【解答】解：延KDF交CB的延长线于点G,设CE=X,则BC=2x,

VABCD是矩形，

，AD〃BC,AD=BC=2x,

AZADG=ZG,ZDAF=ZGEA,

又丁点F是AE的中点，

/.AF=FE.

/.△ADF^AEGF,

AGE=AD=BC=2x,DG=2DF=3V6»

ACG=3x,

在RtAGDC和RtADEC中，DC?=DG2-GC?=DE2-CE2,即DC2=（3通产（3乂）2=42小2,

解得x二学，

.\BC=2x=\/19,

故答案为：D.

【分析】延长DF交CB的延长线于点G,设CE=X,则BC=2x,根据矩形的性质，利用AAS得至lj

△ADF^AEGF,即可得到GE=AD=BC=2x,DG=2DF=3VS，再在RsGDC和DEC中，根据

勾股定理得到DC2=DG2-GC2=DE2-CE2,求出x的值解答即氏.

2.【答案】C

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：BD⑦AN,

LADB=90°.

•・,E是AB的中点，

AED是斜边AB上的中线,

•••AB=6,

1

ED=-T^AB=3.

乙

VE,F分别是AB,AC的中点，

JEF是△ABC的中位线.

EF=^BC.

•••BC=8,

:.EF=4.

­.DF=EF-ED=4-3=1.

故选：C.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，根据

线段的和差解答即可.

3.【答案】A

【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念

【解析】【解答】解:如图

•・•四边形ABCD是矩形

AZD=ZDAB=90°

VAB=4,BC=3

A.4C=7AB2+8c2=5

•・•ZEAF=45°

AZ2+Z3=45°,Zl+Z4=45°

TAF平分NCAB

AZ3=Z4

AZ1=Z2

作EG_LAC于点G

设DE=x,则CE=4-x

「・ED=EG=x

VZD=ZEGA=90°,AE=AE

/.RtAAED=RtAAEG

/.AG=AD=3

ACG=5-3=2

在RsCEG中，EG2+CG2=CE2

3

解得X

=2-

¥

AE==

3名

,AE=于=芯

••诟

2

故答案为：A

【分析】根据矩形性质可得ND=NDAB=90。，根据勾股定理可得AC,根据角之间的关系，结合角

平分线定义可得/1=/2,作EG_LAC于点G,设DE=x,则CE=4-x,ED=EG=x,根据全等三角形

判定定理可得RQAED咨为△AEG,贝1AG=AD=3,根据边之间的关系可得CG,再根据勾股定理建

立方程，解方程可得x,再根据勾股定理可得AE,再根据边之间的关系即可求出答案.

4.【答案】C

【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的

中浅；等腰三角形的性质-等边对等角

【释析】【解答】解：①如图，连接。E,

A

*：CELAB,

J.LAEC=90°,

•・・D是4C的中点，

­\DE=^AC=AD=CD,

J

tLAED=Z./4,

•;BE=CD,

：.BE=DE,

/.LABD=Z.BDE,

：.LAED=Z-ABD+乙BDE=2乙ABD,

/.LA=2乙ABD,

・"BDC=乙ABD十乙4二3乙AS。，故①正确；

②;七为48中点时，CELAB,

・・・"是48的垂直平分线，

：.AC=BC,

・・・A/WC是等腰三角形，

由题意，无法证明△4BC是等边三角形，故②错误；

综上，①止确②错误；

故选：C.

【分析】连接0E,根据斜边中线定理得到DE==AD=CO,得到乙4E。二4力，由BE=CO得

到BE=OE,得到4480=28DE,再利用三角形外角的性质即可判断①；根据垂直平分线的性质

得到AC=8C,则△A8C是等腰三角形，可判断②，即可得出结论.

5.【答案】A

【知识点】勾股定理：矩形的判定与性质：三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：・・・AF二BF,即F为AB的中点，又DE垂直平分AC,即D为AC的中点，

・・・DF为三角形ABC的中位线，

1

•••DE||BC.DF

乙

又NADF=90°,

/.ZC=ZADF=900,

又BE_LDE,DE±AC,

AZCDE=ZE=90°,

・•・四边形BCDE为矩形，

1

在RsADF中，ZA=30°,AF=BF=BC=2,

•'-AD=y/AF2-DF3=低

•••CD=AD=V3,

则矩形BCDE的面积，S=CD-BC=273.

故答案为：A.

【分析】根据三角形的中位线定理得到DF〃CB,DFyBC,然后根据平行线得到NC=90。，根据

垂直得到NCDE=NE=90。，即可得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，根据30。角的直

角三角形的性质和勾股定理求出AD的长，根据矩形BCED的面积公式计算即可.

6.【答案】B

【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值

【解析】【解答】解：如图,

由题可知H=PM=PL=3cm-JG=GL=2cm,MQ=EJ=5cm,

设〃=xcm,则NQ=El=EJ-]l=(S-x)cm,

NQ=£7=(5—x)cm,

矩形周长为=MN+ML+L/+N/=5-x+5+6+4+x+6=26cm.

故选：B.

【分析】

由旋转和平移的性质可得打=PM=PL,JG=JL,MQ=EJ"M=Z/V=乙NIL=90。,则四边形ILMN

是矩形，此时可设〃=%,则NQ=E/=5-x,ML=6.L/=4+x,NI=ML=6,再利用整式的加

减运算求出周长即可.

7.【答案】D

【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化-旋转

【解析】【解答】解：・・•四边形0ABC是矩形，

=AC=4,00=80=2,

•・•每秒旋转45。，8次一个循环,2026+8=253••…2,

・•・此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示;

过点小作D,Elx轴于点E,由旋转的性质可知：LD'OE=45°,

:・0E=»E=导0»=叵

・••点D的坐标为（-企,企）.

【分析】

首先先确定矩形对角线交点D到原点0的距离，结合题目条件，矩形每秒绕原点旋转45。，旋转一

周为因此每旋转8次,图形会回到初始位置,形成一个循环.计算可得2026+8=26?••…

2,说明经过2026秒后，点D的位置和旋转2秒后点D的位置一致，且此时点D位于第二象限的对

角线上，据此即可求出对应坐标.

8.【答案】B

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；等腰三角形的性质•三线合一

【解析】【解答】解：①:四边形ABCD是平行四边形

AAD-BC,AD〃BC

••・AM〃NC

•・・M,N分别是边AD,BC的中点

：-AM=MD=^AD,NC=BN二BC

AAM=NC

・•.四边形ANCM是平行四边形，①正确

@VAB=AC,N为BC的中点

AAN为等腰三角形ABC底边上的中线

AAN1BC

/.ZANC=90°

由①可得，四边形ANCM是平行四边形

.••四边形ANCM为矩形，②正确

@-：AB1AC,N为BC的中点

:・AN=gBC=NC

・•・四边形ANCM为菱形，③正确

④过点A作BC的垂线，垂足为E

\'AB1AC,AB=6,4ABC=60°

AZACB=3O°

ABC=2AB=8

A.4C=y/BC2-AB2=4V3

ii

•••S48C=4BC.4E=/B.4C

ABAC

A.4E=2V3

~BC~

•・7为BC的中点

；・CN=4

:S四边形ANCM=NC.AE=8V3

故答案为：B

【分析】根据平行四边形判定定理及性质可判断①；根据等腰三角形三线合一性质可得

NANO90。，再根据矩形判定定理可判断②；根据直线角三角形斜边上的中线性质可得4N=

%C=NC,再根据菱形判定定理可判断③；过点A作BC的垂线，垂足为E,根据直角三角形两

锐角互余可得NACB,根据含30。角的直角三角形性质可得BC,根据勾股定理可得AC,再根据三

角形面积可得AE,再根据线段中点可得CN,再根据平行四边形面积可判断④.

9.【答案】6

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA：全等三

角形中对应边的关系

【解析】【解答】解：设4GEF交于点0,

•.•矩形力BCD,

'.AD||BC,

•••LFAE=Z.AEB,

•••LAEB=60°,

LFAE=60°,

•••EF是4c的垂直平分线,

•••AO=CO,EF1AC>

LAOF=乙COE=90°,

-AD||BC,

•••乙FAO=乙ECO,

在△4。/和△COE中，

Z.FAO=乙ECO

AO=CO,

(4AOF=乙COE

•••△AOFCOE(ASA),

•••OF=OE,

-AO=CO,

四边形4反了是平行四边形,

•••EFLAC,

•••四边形"EC尸是菱形，

AF=AE,

vLFAE=60°,

••.△4E/是等边三角形，

-AE=6,

EF=AE=6.

故答案为：6.

【分析】设力C、EF交于点0,杈据矩形的性质，利用ASA得到△力"三△COE,即可得到

OE=OF,得到四边形AECF是菱形，进而可得△口尸是等边三角形，即可得到EF长解答即可.

10.【答案】孥

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS

【解析】【解答】已知CF=2,BE=2CF,

ABE=4.

过H作HN〃AB,交AD于N.

•••H为DE中点，

•♦・口1^是4ADE的中位线，

・・・HN乌AE,DN=AN.

VHN/7DC,

可证△HNM0△FDM(AAS),

AHN=DF.

设矩形AD=y,在RtZkABD中，ZABD=30°,

BD=2y,AB=V3y.

AE=AB-BE=V3y-4,DF=DC-CF=AB-CF=V3y-2.

VHN=1AE=DF,歹ij方程：

1(V3y-4)=V3y-2；

身-2=V3y-2；

y=2V3.

AAD=2V3，AB=V3X2V3=6.

AE=6-4=2,

DF=6-2=4.

y

以D为原点，DC为x轴，DA为y轴:

D(0,0),A(0,26)，B(6,2物，C(6,0),

E在AB上:E(2,2遍)，F在DC上：F(4,0).

H是DE中点，由中点坐标公式：

竽，答)，即H(l,V3).

①直线FM经过H(l,6)、F(4,0),设解析式丫=1^+卜,

k]+必=V3

代入两点:

4kl4-b1=0'

解得：k『-冬b尸华，

・•・直线FM：y=—亭x+竽，

②直线BD经过D(0,0)、B(6,2V5),

斜率k2春，

解析式：y哮x.

(=叵

联立］屋4厅

(y=r%+.

解得：x=2,广竽，

得G(2,孥).

两点距离公式：d=J(X2―勺)2+佻—y)2,

H(l,®G(2,孥)，

故答案为：苧

【分析】先根据CF的长度，求出BE,再利用“H是DE中点、M、H、F三点共线”，构造全等三

角形，结合矩形性质，解含30。的直角三角形，求出矩形AB、AD边长；建立平面直角坐标系，写

出D、E、F、H的坐标，求出直线FM、直线BD的函数解析式；联立两个一次函数解析式，求得交

点G的坐标；利用两点间距离公式，计算HG的长度.

11.【答案】(5,3)

【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；旋转的性质

7O'Ar

【解析】【解答】解：过点/作/G108于点G，彳

O\B-G~x

J.LA'GB=90°

由旋转的性质可知：AO'=AO^OB'=OB,乙OBO'=乙O'BG=90。,=^AOB=90°,

：.LA'GB=乙O'BG=/-A'O'B=90°,

，四边形/O'BG是矩形，

***AG=0B,BG=0A,

*,«.4G=OB,BG=OA

•・•点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(3,0),

/.OA=2,OB-3,

•,AG-3,BG—2，

：.UG-OB+BG=3+2=5,

•♦・点/的坐标为(5,3).

故答案为：(5,3).

【分析】本题考查图形旋转后的坐标变换，图形旋转后对应线段长度不变，可通过“作垂线构造直角

三角形”，利用原坐标的线段长度求旋转后的坐标.

12•【答案】＞/13

【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质：三角形全等的判定-AAS

【解析】【解答】解：如图，作AGJ_BC于G,作.团B'C'于H,作DE_LAG于E,交AH于

F,在AH延长线上取点K,使得FK=AF,连接DK、C'K,

AAr

VAB=AC=5,AG1EC,

ABG=CG=jBC=1x6=3,Z-AGB=〃GC=90。，

乙乙

AG=>JAB2-BG2=4,

由旋转的性质得，AD=AB,^BAD=90°,

:.4BAG+Z-DAE=90°,

■:DE^\AG,

•••4DEA=乙DEG=90°,

/.ZADE+ZDAE=9O°,ZDEA=ZAGB=90°,

AZADE=ZBAG,

ADE^ABAG(AAS),

AAE=BG=3,

AEG=AG-AE=1,

VA'H±B,C",

・・・NA'HB'=90°,

JZA'HB'=ZAGC=ZDEG=90c,

・•・四边形EFHG是矩形，

AFH=EG=1,

由平移的性质可得，△A'B'C'^AABC,

又•・,AH、AG分别为△ABC、△ABC对应边的高，

JA'H二AG=4,C"H=CG=3,

.*.A'F=A,H-FH=3,

VFK=ArF=3,

：.HK=FK-FH=3-4=2,

••.UK=y/HK2+C/H2=y/22+32=V13,

•••DF^A'K.AF=FK,

・・・DF是AK的垂直平分线,

.•・A'D=DK,

A'D-CD|=|DK-CD\<C'K=13,

・••当D、K、C”共线时,I4D-CK||的最大值为V13,

故答案为：V13.

【分析】作AG_LBC于G,作AH_LBC于H,作DE_LAG于E,交AH于F,在AH延长线上取

点K,使得FK=AF,连接DK、CK,利用三线合一性质和勾股定理求出AG=4,通过证明

△ADE且Z\BAG得至ljAE=BG=3,利用矩形的判定推出四边形EFHG是矩形，得至IjFH=EG=1,再

利用平移的性质得到AH=AG=4,C'H=CG=3,进而求出Ck的长，利用垂直平分线的性质得出

AD二DK,最后利用线段的性质即可求解.

13.【答案】解：问题解决：(1〕证明：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线

AP,

NC

图②

••・四边形MNCP是平行四边形,

NC=MP,MN=PC

-AM=NC

AM=MP：

(2)30：1

方法应用：过点。、M分别作MN、的平行线，并交于点心作射线4”，连接力D,

四边形MNDH是平行四边形，

•••ND=MH,MN=DH,MH||ED

-AM=ND

AAM=MH,

•••四边形BCOE是矩形,

:.BC||ED/BCD=90°

・••BC||MH

/-ACB=乙CMH=30°

vAM=MH

:./-MAH=15°

•••AC=CD=3m,Z.ACD=Z.ACB十4BCD=120°

:.LDAC=30°

^DAH=45°

当时，DH最小,此时MN最小,

作CR1/10于点R,

图④

在RtaACR中，AC=2,/-CAR=30°

C/?=2x2=1,

・•・AR=近

AD=2AR=2V3

在R£M0H中，AD=2V3,^DAH=45°

DH=AH=乌又2V3=通，

••・线段MN长度的最小值为石米.

【知识点】含30。角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质

【解析】【解答】（2）在等边△/8C中，/-ACB=60°,

•••MP||CN

乙PMC=Z-ACB=60°

AM=MP

LCAP=乙MPA=30°；

当CPI4P时，CP最小，此时MN最小，

在RtzMC『中，AC=3,^.CAP=30°

13

CP=>3=授，

二线段MN长度的最小值为之

【分析】(1)过点C、M分别作MN、8C的平行线，并交于点P,作射线AP,先证出四边形MNCP是

平行四边形，再利用平行四边形的性质及等量代换求出力M=MP即可；

(2)先证出当CPJ./P时，CP最小，此时MN最小，再结合4c=3,zC4P=30。求出CP=；x3=|

即可；

(3)过点。、M分别作MN、ED的平行线，并交于点H,作射线AH,连接AD,先证出当DH14H

时，0”最小，此时MN最小，作CR1AO于点R,求出乙OAH=45。，最后求出O“=AH=¥X

乙

o

14

1

将

解X-

y=2y

・・・B(0,2),

：.0B=2,

将点C(2,l)代入直线，2：y=以-3得：2々-3=1,

解得：k=2,

・•・直线，2的解析式为y=2%-3,

•.•点E的横坐标为m,且点E在直线Sy=-4%+2上，

••EF(jn,2m-3),

EF=|(2m—3)—+2)|=||TH—51

VFF||OB,

，要使以0、B、E、F为顶点四边形是平行四边形，贝UEF=08,

5

m5=2

・-

2

6

解得

154或m-

5

6

为

或

时

当m154-

5以。、B、E、尸为顶点四边形是平行四边形;

(3)解：存在，点Q坐标为(一机卷)或(4,2).

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的为定；矩形的

性质；一次函数的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解：(1)将点C(2,l)代入直线h：y=—4%+b得：—gx2+b=l,

解得：b=2,

・•・直线，1的解析式为y=—^x+2,

将y=0代入一次函数y=-**+2得：—；％+2=0，

解得：x=4,

.,..4(4,0)：

故答案为：4,0.

(3)F(4,0),OB=2,

/.OA—4,

A.45=>JOA2+OB2=V42+22=2瓜

•・•点P为直线A上一点，且在RtZkAOB中，Z-OBA<90°,/-AOB=90°,

・•・分以下两种情况:

①如图，以P、Q、。、8四个点构成的是矩形。尸BQ,过点P作PM_Lx轴于点M,

11

:^LAOB=^OP-AB=jOA-OB,

.cnOAOB4x2475

••PA=y/OA2-OP2=笺，

J

11

•••S&AOP=*PM・OA=^0P,P4,

.D.,OPPA8

---------4

：・0M=\/0P2-PM2=

48

p-1

55

设点Q的坐标为Q(S,£),

,/矩形。P8Q的对角线PQ,。8互相平分，。(0,0),8(0,2),

(t=5

・♦•此时点Q的坐标为(―KI)；

②如图，以P、Q、。、8四个点构成的是矩形0PQ8,此时点P与点A重合，则。P=OA=4,

：.PQ1OP.PQ=OB=2,

.••此时点Q的坐标为(4,2