广东省惠州市2025-2026学年高二年级下册期末数学试卷（含解析）

广东惠州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题

一、单选题

1.已知向量2=(1,2),B=(3,/n),且力用，则〃?的值为()

A.-B.4C.6D.8

2

2.已知集合力=卜|/—4x+3<0},B={x\x>2},则/C|4=()

A.{x|2<x<3}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<3}D.{x|2<x<3}

3.已知复数z满足：2=平，则卜卜()

A.3B.5C.百D.V5

4.记S”为等差数列{4}的前〃项和，已知心=7,S6=5\,则口广()

A.13B.14C.15D.16

5.某中学高二年级学生有1200人,某次数学成绩X近似服从正态分布N(85,02).已知尸(70<Z<85)=0.2,

则本次考试数学成绩高于100分的人数约为()

A.240B.360C.480D.600

6.函数/(x)=x(2x-3)e」的图象大致是()

7.设抛物线£：r=2p.r,不经过焦点尸的直线与抛物线交于力，8两点，与y轴交于点C,已知点力的

坐标为(8,8),且"b与△/C下的面积之比是14,则忸可为()

A.2B.3C.4D.5

8.已知三棱锥尸-4BC的所有顶点都在半径为3的球面上，且它的三组对棱分别相等，则三棱锥f-48C体

积的最大值为（）

A.8百B.12>/3C.16石D.24石

二、多选题

9.已知函数/（x）=&sin（x-（）,

则下列结论正确的是（）

71

A.=1

<2；

B.函数/（X）的图象关于点t，（）J中心对称

71

若X+—，则（）为奇函数

C.g(x)=V4)gx

1?

D.若/(«)=£，则sin2a=W

10.已知双曲线c：X?-£=1（〃>0）的左、右焦点分别为6,6,其渐近线方程为了=±行.一过£的直

m

线,与双曲线的左右两支分别交于力，8两点（点8在第一象限），则下列说法正确的是（）

A.离心率e=2

B.若/的斜率为1时，|力却=6

C3曰+|“阴一|8工|为定值

D.当直线的斜率为冬，过线段力〃的中点和原点的直线的斜率为小时，"二一3

11.设直线y=/与函数〃X）=MI-1）2的图象有三个不同的交点，其坐标分别为4（。/），B（b.t）,C（c,）

4

C.0<abc<—

27

.,26

D.\<c-a<---

3

三、填空题

12.（xi2>的展开式中/的系数为.（用数字作答）.

13.如图为函数/(x)=Gsin®x+e)+以0>0)的图象，。为最高点，.”，N为最低点.若|用7\心|阳,

14.电影《给阿嬷的情书》中那封途中浸水损毁的手写信，令无数观众动容.影片热映后掀起怀旧风潮，

某网络平台文创商店持续向影迷推送复古书信礼盒.已知某影迷第一次收到推送时，下单购买的概率为

从第二次推送开始，若上一次未购买，则本次购买的概率为:；若上一次已购买，则本次复购的概率为

则第二次不购买的概率为,记第〃次推送时该影迷不购买礼盒的概率为匕，则匕为.

四、解答题

15.记“8C的内角4,B,C的对边分别为。，b,c,已知"8=2C.

⑴若c=6b=2,求8；

(2)若c=4,asin2C=^-bsinA»求的面积.

16.在人工智能赋能新媒体产业的大环境下，短视频行业迅速扩容.为调研某市短视频创作者单FI内容创

作耗时情况，从全市随机抽取了500名短视频创作者开展调查，得到这500名创作者的日平均创作时长(单

位:小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九

(1)求图中。的值，并估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数:

(2)为进一步了解这500名创作者文案策划与素材拍摄的时间分配情况，从R平均创作时长在(12,14],(14,16],

(16,18］三组内的创作者中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均创

作时长在(14,16］内的创作者人数为X,求X的分布列和数学期望.

17.如图，在三棱锥P-48c中，ZACB=90，4_L底面/18C.

(1)求证：BC1PC；

(2)若/1。=4。=04=1,且点"为线段尸8上的动点，求直线4M与平面相。所成角的正切值的取值范围.

18.已知点夕在椭圆C：£+Z=i^>Z,>o)±,F］t乃分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心

率为；•

⑴求椭圆c的标准方程；

(2)设过点々的两直线4和4分别与椭圆。相交于4,8和。，E两点，且点M,N分别是弦

的中点，若直线4和直线。均不与x轴重合，求证：直线MN过定点.

19.已知函数/(x)=2(x+l)lnx-a(."l).

⑴若。=2,求函数〃x)在x=l处的切线方程；

(2)若0<x<l时，/(x)<0恒成立，求实数。的最大值；

(3)设数列｛%｝满足q方为数列｛%｝的前〃项积，求证：Tn<-^.

参考答案

1.c

【详解】由题设向量3=(1,2),5=(3,〃])，且£疮，

则1x一2x3=0n〃？=6.

2.D

【详解】由/—4x+3vO可得(丫-1)(-3)<。，解得lvxv3；

则集合力=卜|1<%<3}

故4c8={x[24x<3}.

3.B

MI4-3i(4-3i)i4i-3i23+4i...

【洋角*】z=----=--^-=—；—=----=-3-4i,

ii~i--1

忖=J(-3)2+(-4)2=5.

4.A

,、[ci,=a.+2d=1

【详解】设等差数列叫的公差为d,则；]……

[&=6%+15〃=51

解得|7二，故人=%+4</=I+4X3=13.

[fl=3

5.B

【详解】由正态分布的对称性知P(85<XQ00)=0(70<XW85)=0.2,且P(X485)=0.5,

所以P(X>100)=1-P(85<%<100)-P(%<85)=0.3,

所以本次考试数学成绩高于100分的人数约为1200x0.3=360人.

6.D

【详解】令/(力=0,即x(2x—3)e'=0,因为c、>0恒成立，所以x=0或》=,，

即函数/(x)的图象与x轴有两个交点，分别为(0,0)和(g,。)，

A选项：图象在x>0时恒小于0,无正零点，排除；A错误

C选项：图象在x<0处有一个零点，与题意不符，排除：C错误

对干B、D选项，当x<0时，x<0且2x-3<0,所以x(2x-3)e'>0,B、D均符合。

考虑x->-8时，）,-0+,故D选项符合题意。

故选：D.

【详解】由题知点4（8,8）在抛物线在b=2"（。>0）上,故8、16p,即….

所以抛物线£的方程为歹2=8x,焦点为/（2,0）,准线方程为戈=-2,

如图，SA/)CF=-\CF\^\BC\sinZFCBfSAACF=-\CF\^\CA\sin^FCB,|4尸|=4+2,|力尸|=演+2

所以为L=01=红」

历气心|以|34，

又由点力（8,8）知%=8,故/=2,

所以|8尸卜/+2=4.

【详解】将其补形为长方体，设其长宽高分别为苍乂2,

因为其外接球半径为3,所以J'+F+z'=3,则/+/+?2=36,

故—++z：=3623,(xyz)2>xyz<2473>当且仅当x=y=z=2G时等号成立,

故三棱锥/8C体枳的最大值为80

c

A

9.AB

【详解】A,==正确：

B,令==E+左wZ,取k=0可得=0,正确；

44⑷

C,g(x)=Mx+：)=&xsinx,g(-x)=V2xsinx,错误；

D,/(a)=V2sinfa'=sinacosa=,所以l-sin2a=-5-=sin2a=*,错误.

I4j52525

10.ABC

2

【详解】对于A选项，因为双曲线C：/一二二乂〃?〉。)的渐近线方程为),=士力工，

m

即行=6,所以〃7=3,此时双曲线的方程为一一己=1,则〃2=1,从=3,

3

所以丫=/+从=]+3=4,所以c=2,所以e=g=2,故A正确；

a

对于B选项，因为c=2,所以耳(-2,0),

又过大的直线/的斜率为1，所以直线/的方程为y=x+2,

因为直线/与双曲线的左右两支分别交于4,8两点，

2_/

与双曲线联立Jr3=1,化简得2/-4.丫一7=0,

y=x+2

7

设4(N，M),8(七,%)，则网+七=2,彳丫2=-5，

所以|叫=Jl+k2J(X1+垃一4.天々=布可22-4x-=6,故B正确;

对于C选项，根据双曲线定义，|防|-忸玛|=2a=2,X局-|月6|=20=2,

所以忸周=|纳卜2,\AF2\=2+\AF]t

所以%曰+M用—忸q=2+3川+|力却一忸用+2=2+忸用一出用+2=4,故C正确:

对于D选项，设力（“J,3M，线段向勺中点。（”0）,见犷詈‘犷,，所以心皆

%,J。二为+M人生=三口.匹埴=耳二4,

2%X2+再

x2-X1x2+X[x,-X；

又,4（不必），又勾为）在双曲线上，所以X；-注=1,只-区=1,

33

所以"=3x”3,乂=3*-3,

所以占•鼠二月一4二（3》23）―（3$3）=3x[3f=3=_3,故D错误.

■x；-x[x；-X；x；-xf

综上所述，选项ABC正确.

11.ACD

【详解】因为/(x)+/^_.]=Mx——

VJ7IJ.八.J)//

所以/(X)的图象的对称中心为整为故A正确；

因为4也c是方程x(x-l)2=/的三个根，所以x(x-l)2-=(x-a)(x-b)(x-c),

B|Jx3-2x2+x-/=x3-(a+h+c)x2+(ac+ab+be)x-abc,

则a+b+c=2,ac+ah+hc=\,abc=t,

则(4+b+c)"=a'+b~+c2+2(ac-i-ab+bc)=a~+b~+c2+2=4,

得L+/+C2=2,故B错误；

当或X>1时/'(切>0,则/(x)在18，；)(1，转)上单调递增；

当;<x<l时仆)<0,/⑺在旨”上单调递减；

则"1)</<吗｝即0<1<捺，贝1」0<欣吟，故C正确；

因为/(o)=/⑴=o，/(；)=/信=:，所以

=1-/>(«+c)=1-6(2-/?)=(/>-1)",

5!iJ(c-«)2=«2+c2-2«c=2-Z)2-2(Z)-l)2=-3/>2+4Z>e^l,1,

贝，苧］,故D正确.

12.40

【详解】(x+2)’展开式的通项心=仁・/'2,令5f=3,得/・=2.

所以/的系数为C>22=40.

故答案为：40

【详解】设函数最小正周期为7,由图象可知，〃,N为相邻最低点，故|MN|=7,

最高点。与最低点N的横坐标差为纵坐标差为26，

M=J图2+仅6）-，

已知|MM=|NC|,则r=一,解得厂=4,

2Jin

rtXfi>=—=—

T2

14.3一「（〃工）

3055・6"一

【详解】设事件4为“第一次推送时购买”，彳为“第一次推送时不购买”，彳为“第二次推送时不购买

I—I4—1I--------19

由题意得Q(4)=G，故P(4)=I-G=G：条件概率P(4I4)=I-K=K，P(^I4)=I--=.

555223jT

———--------11421819

根据全概率公式：P(A2)=P(Al)P(A2\Ai)+P(Ai)P(A2\Ai)=-x-+-x-=-+-=^

D乙，D1vJ1JJU

求日的通项：当〃之2,〃€N・时，第〃次不购买包含两种互斥情形:

①第〃-1次购买，第〃次不购买，对应概率为（1-々T）xg;

2

②第〃-1次不购买，第〃次不购买，对应概率为CTX：.

1211

因此递推关系为：,

2302

构造等比数列，令匕-2=:1(41-幻，展开对比递推5式得1解得4=33,

6625

因此化-m是公比为4的等比数列，首项4=1-。=2,故公-卜!，

565555

3I(IY'131

等比数列通项为q-±=2x上，整理得：E,==+=T，"€N・

55)55-6

JT

15.(1)5=-

⑵4G

【详解】(1)由题知,4+8=2。,则sin(4+8)=sin2C,

即sinC=2sinCcosC,因为0＜。＜兀，

所以sinC/O,所以cosC=1,sinC=—»

22

,2V6

hc____一___

由正弦定理得，-7^-=-i-,即sin^-W，

sin8sinC—

2

所以sinA=也，又b〈c,

2

所以8=：.

4

(2)由(1)知，cosC=7，sinC'=—»C=g，

23

又c=4,«sin2C=—hsinJ＞

2

_b

所以ax'=也6出4,即sin力，

42—

且，又上_=上-

由正弦定理得，sin8=

2sinBsinC

b_4

即近=近，所以8=4,

TT

又A+B=2C=",所以4

33

所以力=兀一4一。=冷，

所以△力〃。的面积为—besinA=—x4x4x-^-=4后.

222

16.(l)a=O.l,第75百分位数为11.5;

Q)

x的分布列为

X0123

]_31

P\_

6TTo30

E(x)=《

【详解】（1）由概率和为1得:

2x0.02+2x0.03+2x0.05+2x0.05+2x0.15+2x4+2x0.05+2x0.04+2x0.01=1.

解得：。=0.1；

前5组的频率之和为（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15）x2=0.6<0.75,

前6组的频率之和为0.6+0.1X2=0.8>0.75,所以第75百分位数位于第6组（10,12］内.

设第75百分位数为x,则0.6+（x-10）x0.1=0.75,解得x=11.5.

所以估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数为11.5.

（2）这500名创作者中口平均创作时长在（12,14］,（14,16］,（16,18］三组内的人数分别为：

500x0.05x2=50人，500x0.04x2=40人，500x0.01x2=10

由分层抽样性质知，从日平均创作时长在（12,14］中抽取5人，从日平均创作时长在（14,16］中抽取4人，从

日平均创作时长在。6,18］中抽取1人，

从该10人中抽取3人，则X的可能取值为0,1,2,3,

尸（x=o）=享L**=］）=卑=_L,

\JC；o61'c：。2，

「（、=2）=超H，"+

则X的分布列为

X0123

]_31

P\_

6Tlo30

所以颐X)=lx，+2xa+3x-!-=9

210305

17.(1)21，底面48C,且BCu底面ABC,

故以18C,

又乙4cB=90°,

故,4C18C,

Q44Cu平面尸4。，且产力

则8C_L平面尸4C,

又尸Cu平面4C,

故BC上PC.

⑵

【详解】（1）略

（2）以C为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系,

则C(0,0,0),月(0,1,0),6(1,0,0)/(0,1,1),

点M（x,y,z）在上，设两二，厢,04Yl,

故布=（U）,

设平面P8c的法向量为万=（x，%zj,则

PB,5=X]-必-Z]=0

令H=l,则万=（0/1）,

BCH=-xl=0

设直线4W与平面28。所成角为凡则

°-n|/-0+(-r)-14-(l-/)-(-1)|1

]西同一J+H+q-]正―旧3『-Z+1

sin6?1

tan0=

71-sin20xlbr-4t+\

令/«)=6/-4/+1=6,-3)+g,

o</<i,故/⑺m，

故lanO=7^je惇同，当/=1时取最小值半,

当f=g时取最大值VL

18.⑴兰+仁=1

43

(2)证明：设过点6(-1,0)的直线/“=叼-1(如工0),4(孙必),仅马，必)，

3r24-4V2=12

联立方程组得，得(3〃J+4)y2-6my-9—0,

x=my-1

6my.+y,3m

…2=赤，%=丁=左可

,3〃/,-4A*-43m、

x,=my..-1=—；-------1=—；-----,则MIL.M(--；—-,--—-),

t3〃?-+43〃厂+43〃?-+43nr+4

L工I2，所以4：X=----、一1，

m

同理可得"(一p—,—产一)，即不乎力，

3(-—)2+43(-—)2+43+463+46

mm

3m3m,、、

二21矶〃广+1)二7m

当阳工土1时,&MV

-4।4/12(w4-l)4付-1)

3〃/+43+4〃/

3机1m41

直线MN的方程为广彳7r逾口卜+病^^

整理可得尸而7m时卜(十4寸、

4

所以直线"N恒过定点(--,0),

44

当〃=±1时，直线MN的方程为x=-5,也过点(-T0),

椭圆c的标准方程为工+片=1.

43

(2)略

19.(\)y=2x-2

(2)4

⑶证明：4=岛广，则山导备

I,为数列｛叫的前〃项积，所以In7；=\>q=之白卜一,

»=li=l2I+1

当。=4时，2(x+l)ln