函数的性质 综合测试（解析卷）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第7讲函数的性质・综合测试(解析卷)

答案速查表

12345

DDDAB

678910

ACDACDABD

1112131415

(1)a=1,

_1

ABD1-1奇函数(2)

7+—L

e证明见解析

16171819

(1)Q=5,

(1)单调递(1)存在，(1)1(2)

b=0(2)单调

减，证明见解/(x)=%4-2(2)偶函数，证明

递减，证明见解

析⑵4|)证明见解析见解析

析

1,函数y=IN+3x的单调递减区间为()

A.(—oo,--]B.[--,+°°)C.[0,+8)D.(—co,-3]

【答案】D

【解析】由题意，得力2十3%z0,解得工三一3或工工0,.：函数y=J/十3%的定义域为(一8,一

3]U[0,4-co),令t=/+3%,贝ijt=%2+3%开口向上，对称轴为工二一|,.工=/+3%在(一

8,-3]上单调递减，在[0,+8)上单调递增，而y=近在[0,+8)上单调递增，.：函数y=+3%

的单调递减区间为(-8,-3].故选：D.

【点拨】本题考查复合函数的单调性，需先求出函数的定义域，再利用“同增异减”法则进行判

断.

2.(2025•河北•模拟预测)已知函数f(x)=1嬴:60是R上的增函数，且关十x

的不等式f(Q+x2)>f(x)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[0,J]-5-林]D.6,l]

【答案】D

【解析】因为函数g(x)=Q-2-"(％W0)与/i(x)=ln(x+l)(x>0)均是增函数，所以，函数y=

是R上的增函数只需满足g(0)<h(0),即Q-1W0,解得QWI,由/(Q+，)之f(%)得

22

a+x?>x,即aN-卜一号+?1亘成立，所以，当汇二机寸：函数丫一一卜一号+"取得最大值%

所以，a>^即QW®”因此，实数a的取值范围是41].

【点拨】本题考查分段函数的单调性及不等式恒成立问题，根据分段函数的单调性求出QW1是基

础，利用单调性将不等式转化为Q+x2>%恒成立是解题关犍.

3.(2026•郑州四中•适应性考试)下列函数中，既满足/(-x)=/Q),又满足/@)=一

/(%)的为()

11

A./(%)=%+-B./(%)=%-;

C.f(x)=d+/D.7(%)=%2-^

【答案】D

【解析】A选项，f(1)=2,/(-1)=-2,不满足/(一X)=/(工)，故A不符合题意；B选项，

f(2)=-2)=-1,不满足/(一%)=/(%),故B不符合题意；C选项，f(1)=2,不符

合/——/(x)(/(1)-0),故C不符合题意；D选项，/(—x)-(—x)2—一工?一玄一

/(x),/(：)=(_.=_/(x),故D符合题意.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性，通过逐项验证所给的两个函数方程即可得出结论.

4.(2026•安徽安庆•二模)己知a>l,函数/(%)=2。+工一2。・2一%(xER)为奇函数，

则/(2)=()

1517

A.15B.yC.yD.4

【答案】A

【解析】由/'(0)=0,得2。-2a=0,得a=2,故/'(;<)=-22-\f(2)=24-2°=15,

&A.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数及函数值，根据奇函数在原点有定义时/(0)=0求

出参数Q是解题的关键.

5.(2026•山东临沂•一模)函数f(工)=2好一士+"若对任意XE[—2,2],都有

/(%+a)4-/(I-%2)>2,则a的取值范围是()

44

A.(-,+°°)B.(5,+8)C.(—oo,-)D.(—8,5)

【答案】B

【解析】由题意得/(x)=2好一不，+g=2必一不%+；+1=2炉+募壬+1,令。(%)=2炉+

若去，则9(一为=一2炉+亲去=一2炉+，志=-9。)，刈(；0为奇函数，又'=2/与丫=

/3=2一焉■在A上均为增函数，「g(”)在R上为增函数，旦/(刈=0。)+1，，不等式/5+

a)+/(I-%2)>2等价于g(x+a)+1+g(l-x2)+1>2,即g(x+a)>-g(l-x2)=g(x2-

1),.-x+a>x2—1,即a>/一%一i对任意％w[-2,2]恒成立，令力(%)=，一％一i=(%一

广一右当算€[—2,2]时,/i(X)max=h(-2)=5，.妆>5.故选：B.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，通过构造函数g(x)并利用其奇偶性和单调

性将不等式转化为恒成立问题是解题的关键.

6.(2025•河北承德张家口-一模)已知定义在实数集上的函数/(切满足以下条件：①

/(l+x)=/(l-x)；②/(3+%)+/(3-％)=0；③/(5)=1.则/(I)+/(2)+

•••+/(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】由/(1+乃=/(1一乃可知，函数图象关于直线无=1对称，即/'(乃=/(2—盼.由/(3+

幻+/(3-》)=0可知，函数图象关于点(3,0)对称，即人>)=一/(6-丫)，将乂替换为4得

/(x+4)=-/(2-x),所以/'(2-©=-/(6—幻,即/•(%)=-fQ+4),由/'(乃=一/(4+x)可

得，f(1)=-f(5),f(2)=-f(6),f(3)=-f(7),f(4)=-f(8),所以

f(1)+/(2)+…+f(8)=0.又因为/(%)=-/。+4),所以/•(%)=一(—/■(%+8))=

/(x+8),因此/(%)是周期为8的周期函数，故/(I)+f(2)+•••+/<2025；=

/<2025)=/(8x253+l)=f(1)=-f(5)=-1,故选A.

【点拨】本题考查函数的对称性与周期性，通过已知条件推导出函数的周期为8,并求巴一个周期

内的函数值之和是解题的关键.

7.(2026•河北石家庄•一模)已知定义在R上的偶函数/(%),满足/(%+2)=/(%—2),

且当XW[0,2]时，/(乃=二一1.若。=/(-3),b=/(4),c=/(log27),则a,b,c的大

小关系为()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD,b<c<a

【答案】C

【解析】由f(x+2)=f(x-2)得f(x+4)=函数/(%)是周期为4的周期函数.：7(x)是偶

函数，.：Q=/(—3)=f(3)=/(—1)=/'(1)=e1—l=e—l.b=f(4)=/(0)=e°—

1=O.c=/(log27),-.,2<log27<3,

•七=Z(log27)=f(log27-4)=/(4-log27)=/(log2y).v2<y<e,.4<log2y<log2e<2.

当XW[0,2]时，f(x)=eX—l单调递增，且0V(Vlog2学.：/(0)<f(l)</(10g2y),即

b<a<c.故选C.

【点拨】本题考查函数的奇偶性、周期性及单调性的综合应用，利用周期性和奇偶性将3变量转

化到同一单调区间内是比较大小的关键.

8.(2025•江西萍乡实验大联考•一模)函数/(%)是(一8,0)u(0,+8)上的奇函数，且

当XV0时，函数的部分图象如图所示，则不等式叵乙出<0的解集是()

X

A.(—3,—1)U(1,3)

B.(-3,-1)U(0,1)U(3,+8)

C.(—8,—3)U(—1,1)U(3,+8)

D.(—8,—3)U(—1,0)U(0,1)U(3,+co)

【答案】D

【解析】：,函数/(X)是(一8,0)u(0,+8)上的奇函数，.:/■(-%)=-/(%),不等式V0可

0

化为竽V0,即呼<0,等价于优)co或$(3,0.如)是奇函数，.淇图象关于原点对称，

由当x<0时，函数的部分图象可知，当％V-3或一1Vx<0时，/(%)>0；当-3VXV-1时，

/(x)<0.由奇函数的对称性可知，当0<x<l或%>3时，/(x)<0；当1<%<3时，/(x)>

。，不等式号<0的解集为(-8,-3)U(-1,0)U(0,1)U(3,+8).故选D.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与图象的综合应用，利用奇函数的性质将不等式化简，并结合图

象的对称性数形结合求解是关键.

9.(2025•河北张家口-二模)已知函数/(x)的定义域为R,当p>0时，/(p)>0,且对

于任意的pqVI，都有/伽)+/9)=/(簿)，则()

A./(0)=0B・/(x)为偶函数C.当一1VXV0时，/(好)〉/。)

D・当0<%<1时，/(x2)</(X)

【答案】ACD

【解析】令p=q=0,所以/(0)+/(0)=/(0),解得/(0)=0,故A正确；令q=-p,

所以/'3)+〃一口)=/(0)=0,所以/(%)为奇函数，故B错误；当一1VXV0时，A2>0>X,

因为当p>0时,r(p)>0,/'(%)为奇函数，所以当p<0时，f(p)<0,所以/(，)>0>/(x),

故C正确：设一1<%1<%2<0，令P=X1，q=-x2,贝Ijpq=-无1%2<1，因为/(%2)=-〃一

皿)，所以/(必)"打)=f(禽*)，因为磊；>°，所以>°，因此人型)/(xi)>0,

\X।人［人z/x।人［42、人I人［4z/

艮Jfco在(-L0)上单调递增,因为f(x)为奇函数,所以f(%)在(一U)上单调递增,当0VXC1

时,x2<x,故/(，)v/a),故D正确.故选ACD.

【点拨】本题考查抽象函数的性质，利用赋值法求出/(0)并判断奇偶性，再利用定义法判断单

调性是解题的核心.

10.(2025•河南创新发展联盟•一模)已知函数/(%)=cos(%3+%),则()

A./(%)为偶函数B./(x)的值域为[-1,1]C.不存在a6R,

使得/'(a)=-/(-a)D.f(x)在[0,1]上单调递减

【答案】ABD

【解析】对于A,/(-x)=cos((-x)34-(-x))=cos(-(x3+%))=cos(x3+%)=f(x)，•：/(%)

为偶函数，故A正确；对于B,:xER,X3+X6R,.：COS(X34-x)€[-1,1],故B正确；对于C,

若f(a)=-f(-a)，歹(%)是偶函数，・：/(-Q)=/(Q)，代入得f(a)=-((a)，即f(a)=0,

.xos(a3+a)=0,则Q3+Q=kw+(AWZ),令9(。)=。'+。，则g'(a)=3Q2+1>o,g(Q)

单调递增，值域为R,.•・必然存在Q使得a3+Q=k7r+5即存在aWR满足条件，故C错误；对于

D,当％E[0,1]时，%3+%在[0,2]上单调递增,：,2<7T,zx34-xe[0,2]c[0,TT],又y=cost在

[0,兀]上单调递减，在[0,1]上单调递减，故D正确.故选ABD.

【点拨】本题考查复合函数的奇偶性、值域及单调性的判断，利用内层函数的单调性结合外层余

弦函数的性质是解题的关键.

11.(2024•山东烟台•二模)定义在R上的函数/(x)满足f(%)+f(4+%)=0,f(2+2x)

是偶函数，f(1)=1,则()

A./(x)是奇函数B.f(2023)=-1C./(x)的图象关于直线x=1对称

D.^/c/(2k-l)=-100

【答案】ABD

【解析】对于选项A,・•,/(2+2%)是偶函数，・7'(2-2幻=/(2+2盼，，函数/(对关于直线％=2

对称，・丁(一功=/(4+乃,叭%)+/(4+@=0,・/(一切=一/(%)，4(%)是奇函数,则A正

确；对于选项B,可(4+%)=-/(%),・。(8+幻=一八4+幻=/•(%),•••/•(%)的周期为8,

//(2023)=/(253x8-l)=/(-l)=-f(1)=-1,则B正确；对于选项C,若/'(x)的图

象关于直线％=1对称，则/'(3)但是/(-1)二一/(1)=-1,f(3)=/(4-

1)=-/(-1)=1,即/(3)Hf(-1),这与假设条件矛盾，则选项C错误；对于选项D,将

%=g代入/(2-2%)=/(2+2丫)，得f(3)=/(1)=1,将x=1代入/(x)+/(4+x)=0,得

/(5)=-/(1)=-1,同理可知f(7)=-/(3)=-1,又・••/•(%)的周期为8,.,./(乃正奇数

项的周期为4,dkf(2k—l)=f(1)4-2/(3)+3f(5)+…+100/(199)=

[f(1)+2/(3)+3/(5)+4/(7)]+[S/(9)+6/(11)+7f(13)+R/(1S)]+

…+[97/(193)+98/(195)+99/(197)+100/(199)]=25x(-4)=-100,则D正

确.故选：ABD.

【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性，根据已知条件推导出函数的周期及对称

轴，进而求出特定函数值是解题的关键.

12.(2024•河南省部分学校大联考•质量检测)已知函数〃幻=a*+3%+l(Q>0且

QHl),若曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线与直线x+2y-l=0垂直，则/(x)在

[-1,2]上的最大值为.

【答案】7吟

【解析】由题意得/'(%)=crHna+3,•••/(0)=Ina+3,切线与直线工+2y-1=0垂直，而

x+2y-l=0的斜率为一5切线斜率为2,即lna+3=2,解得Q=+

3x+l,±L/(x)=-e-x+3,显然f'(x)是增函数，当工£[-1,2]时，/(%)>/(-1)=3-e>0,

・••/•(%)在[-1,2]上单调递增，故/(x)max=f(2)=7+5

【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数求函数的最值，根据切线垂直关系求出参数a的值是

解题的第一步.

13.(2026•广东省汕头市•二模)已知函数/(%)=必但,2"-2一“)是偶函数，则。=

【答案】1

【解析】：7(x)=炉(。•2"-2-“)，故/(一x)=-％3(Q.2f-2"),••,/(x)为偶函数，故/(-%)=

/(%),即一%3伍.2T-2,=/9-2》一2一%),整理得到(a-1)(2*+2-)=0,故a=1.

【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，根据偶函数的定义列出恒等式是解题的关健.

14.(2026•江西省八所重点中学・4月联考)已知函数y=/(%)满足/。)+/(%+1)+

/(%+2)=/Q)・/Q+l)・f(%+2)对任意实数%都成立,若/(I)=2,f(2)=3,则

f(13)-f(14)=.

【答案】-1

【解析】«/(x)+/(x+1)+f(x+2)=/(x)•f(x+1)-/(r+2),令％=1,得f(1)+

f(2)+f(3)=/(1)/(2)f(3),即2+3+f(3)=6/(3),解得/(3)=1.令

x=2,得/(2)+f(3)+f(4)=/(2)/(3)f(4),即3+1+/(4)=3/(4),解

得/'(4)=2.同理可得/'(5)=3,f(6)=1,f(7)=2,…，"⑴是周期为3的周期函数,

4(13)-f(14)=/(1)-f(2)=2-3=-l.

【点拨】本题考查抽象函数的周期性，通过赋值法依次求出函数值，发现其周期规律是解题的关

键.

IS.（13分）已知函数fO）==一/（a>0）,且f（0）=0.

（1）求Q的值，并指出函数八为的奇偶性；

（2）在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数人为在（-8,+8）上是增函

数.

【答案】（I）Q=1,奇函数（2）证明见解析

【解析】（1）•/（0）=--a=0,又a>0,•,-a=1,...............................2分

a

，/（%）=2”-白XE（-oo,+oo）,...................................................4分

应时/■（一%）=右-2、=一/。），次乃为奇函数；......................................6分

（2）任取/〈冷，贝疗。1）一/（必）=2肛一击一24+击..............................8分

=（2勺-2小）+=（2打一2^）（1+.......................................10分

，2勺<2*2,即2孙-2肛<0,.............................................11分

又1+$>0,•••/（右）―/（心）<0,即/（不）<f（不），..............................12分

•：函数/■（%）在（一8,+8）上是增函数.................................................13分

【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的定义证明，作差、变形、定号是利用定义证明单调性

的标准步骤.

16.（15分）（2026•河北沧州十二校•一模）函数/Q）=篝•是定义在??上的奇函数,

且/（1）=1.

（1）求a,b的值；

（2）判断并证明f（x）在6,+8）的单调性.

【答案】（I）Q=5,b=0（2）单调递减，证明见解析

【解析】（1）:•/（%）=黑是定义在R上的奇函数，

J'4AT+1

•••f（0）=b=0,................................................................3分

又由/'（1）=挤=1,故Q=5；....................................................6分

（2）由（1）中可知/（乃二岛，八>）在弓,+8）上单调递减...........................8分

证明：设孙工2£（g，+8）,且...............................................9分

mi"/”\—Vx5勺5X5（X-XI）（4XX-1）/、

则/（勺）一/（、2）=而一砺27=（42*+1）（4/1+21），....................................112O分

•|<%i<x2».式2-打>0，4-XI%2-1>0,（4xf4-1）（4^+1）>0...................14分

从而f（%i）-/（%2）>0,即/（勺）>fg）,

故，（%）在（3,+8）上单调递减........................................................15分

【点拨】本题考查函数的奇偶性及单调性的定义证明，利用奇函数在原点有定义时/(0)=0求

参数是常用的技巧.

17,(15分)(2024•江苏泰州海陵­期中)己知函数f(x)=—2，xe(0,+oo).

(1)判断函数/(%)的单调性，并利用定义证明；

(2)若/'(2m-1)>/(I-m),求实数m的取值范围.

【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)

【解析】(1)f(x)在(0,+8)上递减，理由如下：.....................................2分

任取%1，%2W(°，+8),且与<则

/3)-/(勺)=-含+3.........................................................4分

_2孙(*2+1)-2肛。1+1)_2(小-X2)6今

-

(X2+1)(*1+1)-(x2+l)(x1+l)...............................................................................

£(0,+8),且与<%2，

•次1-X2<0,(x2+1)(%1+1)>0,................................................7分

V(X2)-/(%l)<0,即/(%2)</(打)，

•：/■(%)在(0,+8)上递减；...........................................................8分

(2)由⑴可知/(%)在(0,+8)上递减,

W(2m-l)>/(l-?n),得......................................................10分

(2m—1>0

j1—m>0,.................................................................13分

\2m—1<1—m

解得;<771V

•核数血的取值范围为(J])........................................................15分

【点拨】本题考查函数单调性的定义证明及应用，利用单调性解不等式时，务必注意函数定义域

的限制.

18,(17分)(2024•四川遂宁•期末)定义在R上的函数/(%),对任意XI，QER，满足

下列条件：①列占+%2)=](/)+/(%2)—2;②/(2)=4.

(1)是否存在一次函数f。)满足条件①②，若存在，求出f。)的解析式；若不存在，说

明理由；

(2)证明：g(x)=/(x)—2为奇函数.

【答案】(1)存在，/(x)=x+2(2)证明见解析

【解析】(1)假设存在一次函数/'(%),设/'(%)=匕+H0).........................2分

则fOi+%2)=k(Xi4-%2)+