上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷（含答案）

上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，在区间(0,+8)上为严格增函数的奇函数的是()

A.y=\nxB.y=\x\C.y=-^D.y=—

2.若实数a、匕满足a>b〉0,下列不等式中恒成立的是()

A.a4-b>2>/~abB.a+b<2\/~abC.^+2b>2>J~abD.^+2b<2>/~ab

3.在AO4B中，设耐=(孙力)，丽=(孙也)，贝人Q4B的面积为()

A.1以42+%2为IB.11/入2+71721C.||勺乃-X2丫11D.11%62-y/21

4.已知函数/•(%)=2sin(cox-§Q)>0)在区间［0,2加上存在零点，且函数/(%)在区间［0,2用上的值域为

MQ［->/2,2］,则⑦的取值范围是()

,用B.鼠C.居D.M

二、填空题：本大题共12小题，共54分。

5.若复数z满足(1+i)z=2i,则复数z=.

6.(3-2x)6的二项展开式中》3项的系数为.

7.已知集合力=｛为卜V1｝，B=｛x\y=lg(2-%)｝则力n8=.

8.已知a=lg5,则lg20=(用a表示)

9.已知sina-cosa=则sin2a=.

10.在A/8C中，若面积S="+；一Q［则乙力=.

(x2,-1<%<0

11.函数y=o的值域为_____.

力0<x<2

12.某校耍从2名男生和4名女生中任选4人担任志愿者工作，每个人被选中的可能性相同且要求选出的

志愿者中男女生都要有，则有种不同的选法.

13.已知点力的坐标为(1,2),将。力绕坐标原点。逆时针旋转♦至。N',则点4'的坐标为—.

14.平行四边形ABC。中，AB=4,40=2且同•而=一4,点P是边CO的一个四等分点(靠近C点)，则

PA^PB=.

第1页，共7页

DPC

15.已知Zi和Z2是复平面上的两个动点，他们所对应的复数分别是力和22,若同=3,\zx-z2\<l,则随

着Z］的运动，动点Z2所形成的平面图形的面积是.

16.如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为30c宽均为10cm.点4B、C、。在问一条

直线上，点F在边BEE点/在边GH上，测得8、C两点间距离为10口儿为了使=4”出，则C、。两点

间距离为cm.(精确到0.1cm)

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

已知数列｛册｝是公差为2的等差数列，其前15项的和为15,数列｛九｝是公比为正实数的等比数列，且

bi=1,/)3—b?=6.

(1)求数列｛%｝和｛儿｝的通项公式;

(2)设分=册+b2ns>I,n6/V),计算Q.

18.(本小题14分)

(1)若△A8C不是直角三角形，求证：tan/1+tanB4-tanC=tan4-tanfi-tanC.

(2)已知0<aV3V0<TT,且cos/?=一；,sin(a+6)=：,求sina的值.

19.(本小题14分)

已知平面直角坐标系中，向量三二(1,一2),了二(一2,6).

⑴求了在W上的投影向量；

(2)益〃(2E+方)，且回=3,求向量下的坐标;

(3)若N与五十A了的夹角为锐角，求实数2的取值范围.

20.(本小题18分)

已知向量五=(2>/3,sin(i)x),b=(cos2o)x,2cosa)x),函数/(%)=a-b—yj~3(a)>0),/(%)相邻对称轴之间

的距离为今

第2页，共7页

(1)求f(x)的单调递减区间;

(2)将函数/(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的去再向左平移居个单位得g(x)的图象，若关于％的方程

g(x)=m在［一行，落上只有一个解，求实数m的取值范围.

21.(本小题18分)

对于函数y=f(%),若在其定义域内存在与，对于常数t有/■(xo+g/ao)+f(t)成立，则称函数了二/(乃为

“C跃点”函数,并称的为函数y=f(%)的“£跃点”.

(1)若函数y=sinx-是胃跃点”函数，求实数m的取值范围；

(2)若/•(%)=sin(x+m),xeR,求证：“sinm=0”是“对任意teR,函数y=f(x)为〃跃点'函数”的充

要条件：

(3)是否同时存在实数m和正整数维使得函数、=8$2%一加在［0,九川上有2025个“:跃点”？若存在，请求

出所有符合条件的实数m和止整数n的值；若不存在，请说明理由.

第3页，共7页

1.【答案】。

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】1+i

6.【答案】-4320

7.【答案】（-8,0）u（1,2）

8.【答案】2-Q/-Q+2

9.【答案】1/0.75

10•【答案】*/45°

11.【答案】[0,y]

12.【答案】14

13.【答案】（一苧，孚）

14.【答案】-1

15.【答案】127r

16.【答案】21.2

17.【答案】解：（1）由Si5=15德15%+£^X2=15,解得力=-13,故即=一13+2（几-1）=

2n-15；

设公比q>0,由b[=l,%-勿=6得q2-q-6=0,解得q=3（舍去q=-2）,故勾=3"T.

（2）因.=%+b2n=2n-15+32-1,

则

E"i=1G=2ni=l（2i-15）+E”=132*-1=（215n）+=n2+n-15n4-3（9，'-1）

乙x~~JLO

一n

=7/2-14n4।-3（9-l）

o

18.【答案】解：⑴•・•△ABC不是直角三角形，・•.48,C均不等于热

tanA、tanB、tanC均有意义，又力+8+C=4，即4+8=4一。，

第4页，共7页

得tan(71+8)=tan(?r-C),即=-tanC,

''v71-tan/ltanF

得tanA+tanB=-tanC+tan/1•tanJ9-tanC,

整理得tanA+tanB+tanC=tan.4-tanF-tanC,得证；

(2)v0<tz<y,(V0V<,•,•a+0€(J,孚),

又cos/?=-1,/?e(7,7r),sin/?>0,故sin£=y/1-cos2/?=乎；

由sin(a+/?)=^>0,得a+/?G(p7r)t

故cos(a+/?)V0,cos(a+0)=-J1-siM(a+/?)=-又a=(a+0)—0,

由两角差的正弦公式得sina=sin[(a+/?)-/?]=sin(a+0)cos0-cos(a+0)sin0,

/Hxz.7、，，1、/4/2.、，2/l1

代入何Hsina=9X(-3)~(--T)x—=3-

19.【答案】(一若普”=(0,3)酝二(0,-3)(-8,0)u(0京)

DJA1

20.【答案】解：(1)由题意知/

=2-vT3cos2a>x+2sina>xcosa)x—4~3

l1+cos2a)xf—

=2v3x------------Fsin2(ox-v3

乙

=\QCOS23X4-sin2a)x

=2sin(2tox+?),

因为f(x)相邻对称轴之间的距离为》

所以/•(%)的最小正周期为m

所以舁="，得3=1,

L(JO

所以/'(X)=2sin(2x+g),

令3+2/czrW2x十弓W当十2/czr,keZ,解得色十/CTTWXW号+k/r,keZ,

4、LJLJL4

所以/W的单调递减区间是总+而塔+而以eZ).

(2)由题意知9(%)=/(2(%+£))

=2sin(4(x+今)+曰)=2sin(4x+等)，

令1=4)+4,3W则七€[枭“],

第5页，共7页

所以2sintG[-73,2],

因为2sint=加在£G居，!汨上只有一个解，

由卜=2sint的图象可得，一mVV?或m=2,

所以m的取值范围是［一禽,6)U{2}.

21.【答案】解：(1)令/(%)=sin-—m,

由题意知，方程/'(%+为=f(*o)+fG)有解，

即sin(x0+J)—m=sinx0-m4-sin^-m,

整理得COSXQ—sinx0=1—m,

即、弓cos(%o+，)=1-m,

XQGR,—<1—mWy/~2i解得1—>/~2.WmW1+V-2»

故实数m的取值范围为口-V^,l+>/2].

(2)充分性：

若sinm=0,则m=kn(kGZ),

此时方程/'(&+t)=/(%o)+f(t)转化为sin(x0+t+kn)=sin(x0+kif)+sin(t+ATT),

取“0=0,上式变为sinQ+kn')=siii(fc/i)十sin(t+A”)对任意，6R均成立，故充分性得证;

必要性：

由题意得，对任意t€R,方程sin(x()+t+m)=sin(%o+m)+sin(t+m)关于无°有解，

取£=2n,得sin(x04-2n,+m)=sin(x0+m)+sin(2;r+m),

整埋得sin(x0+m)=sin(x0+m\+sinm,

所以sinm=0,故必要性得证，

综上，“sinm=0”是“对任意tWK,函数y=/(%)为・£跃点'函数”的允要条件.

第6页，共7页

(3)存在，

由题意知方程/(X+，)=/(X)+/《)在［0,71用上有2025个解,