单调性与最大（小）值（八种常考题型）（解析版）

单调性与最大（小）值（八种常考题型）

产二函数单调性的判断与证明

函数的单调性求函数的单调区间I

1.单调性的定义；且迎

2.函数的单调区间任二复合函数的单调性

匕根据单调性解不等式

卜型工根据函数的单调性求参数

最值史四处）相捶生一求函数的最大（小）值

根据最值求参数

函数不等式的恒（能）成立问题

知识点1函数的单调性

1.单调性的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量的值苞，与

定义

当王＜占时，都有/（%）＜/（£），那么当王时，都有/（%）＞/（%）,那么

就说函数/（X）在区间。上是增函数就说函数/（X）在区间。上是减函数

孙/E%)\y

图象

\JlX2)

描述

0X\X2X

-0pi~右X

自左向右看,图象是上升的自左向右看,图象是下降的

温馨提示：定义中的有以下3个特征

（1）任意性，即“任意取不与”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般;

（2）有大小，通常规定办,电；

（3）属于同一个单调区间.

2.函数的单调区间

如果函数），=/（X）在区间。上单调递增或单调递减,那么就说函数），=/（力在这一区间上具有（严格

的）单调性，区间D叫做函数），=/（x）的单调区间.

温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质.

（2）函数/（x）在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调.如/（"=/等.

1x是偶数

（3）并非所有的函数都具有单调性，如/（x）='口〜加，它的定义域是N,但不具有单调性.

0,尤是奇数

知识点2最值

定义几何意义

一般地，设函数y=f（x）的定义域为/,如果存在实数

M满足：

函数）,=〃同的最大值是图象最

①Vxw/，都有f^x）＜M；

最大值

②叫€/,使得岛点的纵坐标

那么，称M是函数y=/（。的最大值.

一般地，设函数），=/（X）的定义域为I,如果存在实数

M满足：

①Vxw/,都有/（x）＞M；函数y=〃X）的最小值是图象最

最小值

②&€/,使得.低点的纵坐标

那么，称M是函数y=〃x）的最小值.

注意：（1）最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素.

（2）并不是每一个函数都有最值，如函数），=•!"既没有最大值,也没有最小值.

（3）最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值.

题型一函数单调性的判断与证明

1.(多选)下列函数中满足“对任意内，X2G(0,+oo),都有"')一/(>)>0"的是()

西一/

/、2/、

A./(.r)=-B.f(x)=-3x+\

A

C./(.r)=x2+4x+3D./(x)=x-l

【答案】ACD

【分析】根据函数的单调性确定正确答案.

【详解】因为对任意力，火任(0,+8),都有>0,

王一修

所以f(x)在(0,+oo)上单调递增，

A：根据反比例函数性质可知/(%)=-£在(0,+8)上单调递增，符合题意；

Xf

B：根据一次函数的性质可知，〃x)=-3x+l在(0,+oo)上单调递减，不符合题意；

C：根据二次函数的性质可知〃x)=d+4x+3在(0,-HX))上单调递增，符合题意;

D：根据一次函数的性质可知，.f(x)=x-l在(0,+00)上单调递增，符合题意.

故迄ACD

2.设函数)，=/(/)满足：对任意的外，马仁R都有fM-fM>0则/(-3)与〃-兀)大小关系是)

A./(-3)>f(-7t)B.f(-3)>f(-n)

C./(-3)<f(-n)D./(-3)<f(-n)

【答案】A

【分析】根据已知条件确定函数的单调性,进而比较函数值大小即可.

【详解】因为/(：]；(""当王>与时/(%)>/(占)；当王<与时

所以函数在实数R上单调递增，又-3>-元，所以/(-3)>八-兀).

故选：A

3.已知/")=-!-,XG[2,6].

x—1

⑴解不等式〃/*•、)>2:;

(2)判断并证明函数/("的单调性.

【答案】(1)2,()

⑵减函数，证明见解析

【分析】(I)先去分母，把分式不等式转化为整式不等式进行求解；

(2)利用单调性的定义进行证明.

【详解】(1)由」xe［2,6］,解得2Vx<；；，即不等式解集为2,-1

2

x-\5L」552L)

(2)在xe［2,6］为减函数.证明如下:

设2?』七?6,则/⑸-/(三)=专-七=篇£”

因为K-1>0,x2-1>0,x2-x(>0,

所以/(2)T(.q)>().

即fG)>/(%).

所以是［2,6］上的减函数.

4.用定义证明：函数〃幻二/在R上是增函数.

【答案】证明见解析

【分析】根据函数单调性定义证明即可二

【详解】对任意为,七wR，玉<9，

则”*)一/(占)"3—E=(%-£乂X；+中2+用=(%-工2)®+-^2)2+［石］,

因为内<马，

所以.1］-々<。，

乂(内+孑“2)〜+7工；>0，

所以〃x)-/(w)<°，

故函数/在R上是增函数.

5.利用函数单调性的定义判断函数g(x)=』-1的单调性.

【答案】g(x)在(y,o)内单调递减，在(0,转)内单调递增

【分析】根据函数单调性的定义判断.

【详解】x2eR,且王<占：则菁一工2<。，

8(%)一履七)=卜；-1)-(石-1)"-*=(5-工2)(5+工2).

当片<()<与时，西+工2与。的大小关系不能确定，所以g(X1)与gU)大小关系不能确定;

当周<W<0时，%+占<0，所以g(xj-g(七)>0，即g(芭)>g&),

所以函数g(X)-f-1在区间(-8,0)内单调递减.

当0<%<3时，X+3〉。所以g(%)-g(.)〈0,即ga)vg(w)，

所以函数g(X)=f_1在区间(0,+⑹内单调递增.

综上可知，函数g(x)在(-8,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增.

6.(多选)以下函数在其定义域上为增函数的是()

X+1r

A.y=:——(A>0)B.y=x2+x(x>0)

x

C.y=Jx-]D.y=2-x

【答案】BC

【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.

【详解】解：对于A选项，y=—=1+-Cv>0),由于反比例函数y=1(x>0)为减函数，

XX

故y=*l*>0)为减函数，故A错误；

x

对J，B选项，y=x2+x(x>0)的对称轴为工二一；<0,开口向上，故丁=%2+x(x>0)为增函数，故B正确；

对「C选项，由于)在口,田)上是增函数，又)，=正在定义域上单调递增，

故由复合函数的单调性得)，=^/^^■在定义域[l,+8)上单调递增，故C正确：

对于D选项，y=2-4为减困数，故D选项错误.

故选：BC.

7.已知函数/(x)对于任意x,y£R,总有/(x)+/(y)=f(x+y),且当x>0时，/(x)<0,求证：f

(x)在R上是减函数；

【答案】证明见解析

【分析】方法一：结合题意和函数的单调性定义即可证明；

方法二：对函数赋值，x=y=O,得/（0）=0,结合题意即可证明.

【详解】方法一：任取且用>超，

则f（%）一/（Z）=f（XLX2+X2）—f（X2）

=f（X/—X2）+/（X2）-f（X2）=f（X/—X2）

又'「X>0时，f（X）<0,而X/—K2>0,

/./（XI—X2）<U,即/（X/）</（X2）.

・•・/（%）在R上为减函数.

方法二：二函数/'（X）对于任意x,y£R总有/（x）+/（丁）=f（x+y）,

・,•令x=y=0,得/（0）=0.

再令y=-X,得/（—X）=­f（X）.

在R上任取A/>X2>则A/—X2>0t

/（七）一/（12）=/（制）+/（一工2）=f（XI—X2）.

又'/X>（）时，f（X）<0,MX/—X2>0f

.\f（XI—X2）<0,即/（X/）<f（X2）.

因此，/（X）在R上是减函数.

8.已知函数"⑴=；J（0）=0.

⑴求/（X）的解析式；

（2）判断并证明函数/（x）在（华,-2）上的单调性.

【答案】（1）/5）="

x+2

⑵单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据〃l）=；J（0）=0代入，即可求得/（力的解析式：

（2）先判断/（x）的单调性，再利用单调性的定义证明即可.

/（0）=-=0

【详解】（1）由题意得2

解得々=1,6=0,

x+2

（2）/（x）在（f,-2）上单调递增，证明如下:

设任意％〈天〈一2,

则伍）

N+2X2+2

_3（七+2）一巧（》+2）

（内+2）（占+2）

2（%一占）

（再+2）（再+2）

由百<一2,得％+2<0,x2+2<0,x）-x2<0.

・••/（%）-/（%）<6即/（x）</0）,

故"工）在（Y，-2）上单调递增.

9.已知函数），=/。）的定义域为R,对任意/，（且耳都有/（芭）一/（8）>一］,则下列说法正确的

王一天

是（）

A.y=/（x）+x是增函数B.y=/（x）+x是减函数

C.），=/"）是增函数D.），=/（©是减函数

【答案】A

【分析】对题中条件>-1进行变化,构造新函数g（.i）=/Q）+x,根据增、减函数的定义即可.

内一声

【详解】不妨令再</,「.N-9vO，

""‘㈤>-1<=>/（内）-/（x,）<一（玉一x,）o/（%）+%<f（x,）+%,,

王一占

令g（x）=/（x）+x,:.g（xi）<g（x2）,

又为<W，，g（x）=/（x）+x是增函数.

故选:A.

题型二求函数的单调区间

10.定义在区间［-2,2］上的函数/*）的图象如图所示，则八幻的单调递减区间为（）

C.[-2,0]D.[-1,2]

【答案】B

【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.

【详解】由题图知:在[-1,1]上/⑶的单调递减,在洋2,-1),(1,2)上f(x)的单调递增,

所以f(%)的单调递减区间为[-U].

故选:B

11.函数/(x)=|x-l|+|x-2|的单调递增区间是()

A.(1,-KO)B.S，l]C.[l，2]D.[2,-KO)

【答案】D

【分析】先将函数化简，然后由解析式可求出函数的增区间.

3-2A\X<1

[详解】因为/(X)=|X-1|+|A-2|=«-1J<X<2,

2x-3,x>2

所以的增区间为⑵+⑹,

故选：D.

12.己知函数)，=/@)的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1,则函数的单调递增区间有

函数的单调递减区间有

【答案】(-3,-1],[3,5][-1,1],(1,3]

【分析】利用定义结合函数图象分析可得答案：

【详解】由图可知函数的单调递增区间有[3,5].

函数的单调递减区间有(1.3］，

故答案为：(-3,一小［3,5］；［-川，(1,3］

13.函数/(x)=f-2x-8的单调递增区间是

【答案】。，+8)

【分析】利用二次函数的性质即可求解

【详解】因为/(x)=f-2X-8=(X-1)2-9,且的开口向上,

故的单调递增区间是(1，+8),

故答案为：(1，+8)

2x,xe[0,2]

14.已知函数/(x)=18C-

-,xe(2.4]

lx

⑴画出/(x)的函数图像

>1

ill,

______III：.

'o］~1X

(2)写出/(x)的最大值和单调递减区间.

【答案】(1)见解析，

⑵/(')的最大值为4,单调递减区间(2,4］

【分析】(1)列表，描点，再连线可得函数的图象，

(2)根据函数图象可求出/")的最大值和单调递减区间.

【详解】(1)列表

X0234

8

042

3

函数图象如下

(2)由函数图象可知/(.r)的最大值为4,单调递减区间(2,4].

15.定义域为域2,0)U(0,U的函数函x)在区间区2,0)上是增函数,在区间义域上是减函数,则:

(1)函数y=-八幻的单调递增区间是；单调递减区间是：

(2)函数)，=-/3+1)的单调递增区间是；单调递减区间是.

【答案】92)(-2,0)(-U)(-3,-1)

【分析】由y=-/(x)的图象与丁=/(幻的图象关于X轴对称和的图象是由y=/(x)的图象向左

平移一个单位，再关于关于x轴对称得到，从而得解.

【详解】解：因为解X)的定义域为(-2,0)U(0,2),且吐%)在区间(-2,0)上是增函数，在区间(0,2)上是减函数,

且y=-fw的图象与y=/(x)的图象关于X轴对称，

所以y=-/(x)的单调递增区间是(。⑵；单调递减区间是(-2,0)：

又y=-/(x+i)的图象是由y=/(x)的图象向左平移一个单位，再关于关于X轴对称得到的，

所以函数y=-/(x+i)的单调递增区间是(-14)：单调递减区间是(-3,-1).

故答案为：(0,2),(-2,0),(-1,1),(-3,-1).

16.函数y=x+，的单调递减区间为()

x

A.(0,1]B.[-1,1]C.[-1,0)50,1]D.[-1,0),(0,1]

【答案】D

【分析】由对勾函数的单调性求解即可.

【详解】函数y=x+，为对勾函数，

X

由对勾函数的性质知，函数y=x+，的单调递减区间为：(0,1].

X

不能选C,因为不满足减函数的定义.

故选；D.

17.已知函数=2|-2,XGR.求函数/(x)的单调区间.

【答案】单调递增区间为(―』和［2,+8),单调递减区间为(1,2)

【分析】由/(6=巾-2|-2=『；2：-2产2利用二次函数的性质求解.

-V+2x-2,x<2

x2-2x-2,x>2,

【详解】由题意得一斗-2卜2一.

-x2+2x-2,x<2.

当上22时，/(x)=(x-l)2-3,

此时函数/(x)的单调递增区间为［2,田)，没有单调递减区间；

当H<2时，/(x)=-(x-l)2-1,

此时函数/(%)的单调递增区间为(-85•单调递减区间为(1,2).

综上所述，函数)("的单调递增区间为(TO/和［2,+oo),单调递减区间为(1,2).

题型三复合函数的单调性

18.函数=+6工—5的定义域为，减区间为.

【答案】［冏［3,5］

【分析】解不等式一+645")即可得出/⑴的定义域为［L5］；根据复合函数的单调性，只需在定义域内求

函数〃=-x2+6.X-5的减区间即可.

2

【详解】函数/(x)=J_x2+6x—5有意义,-X+6^-5>0,即(X-1)(X-5)40.解得1。《5,所以函数定

义域为［1,5］

令〃=r2+6x_5,x«l,5］,则,，=4，函数y=4在定义域内单调递增，求解f")的单调减区间，即求函

数〃=-/+6］_5在定义域内的单调减区间，函数“=-/+6公5图像抛物线开口向下，对称轴为x=3,所

以在定义域范围内，可得单调减区间为［3,5］

所以/⑴的减区间为［3,5］.

故答案为：［1,5］；［3,5］.

19.〃力=>/^^2^15的单调增区间是.

【答案】［5,内)

【分析】先求函数定义域,再求复合函数中内外函数的单调性，根据同增异减原则，写出结果即可.

【详解】解:由题知/(x)=Jd-2.15.

由f-2x-1520解得xK-3或x25,

故函数的定义域为3x4-3或/5},

因为y=f-2x-15对称轴为x=l,开【响上，

故)，=/一21一15在(f—3］单调递减，在［5,+8)单调递增，

因为),=五在定义域内单调递增，

根括复合函数单词性的求法可知,/(》)=42-21-15的单惆增区间为：［5,+00).

故答案为:［5,+8)

20.(多选)已知/(力是R上的增函数，g(x)是R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递减，则()

A./仅⑺)在(f,0)上单调递增B./(g(x))在(F,0)上单调递减

C./(g(x))在(0,+司上单调递增D./(g(»)在(。,+8)上单调递减

【答案】AD

【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项.

【详解】因为函数g(・r)是R上的偶函数，且在(0,+纥)上单调递减，

所以在区间(-吵。)上单调递增，

根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法，

可知，/(g(H)在(-8,。)上单调递增，故A正确，B错误；

/(g(x))在(0,s)上单调递减，故C错误，D正确.

故选：AD

21.函数y=r4+./+2的图象大致为()

A.

C.

【答案】D

【分析】先利用特殊值法排除选项AB,再根据复合函数的单调性判断函数的单调性，从而得解.

【详解】因为)，=/(x)=f-+/+2,

所以/(1)=HU2=2>0,故排除选项AB,

1Y9

令则/。)=一/+/+

«x)=V,2=-t2J+4,

因为r(x)=M在(y\0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

又」'")=一上单调递增，在上单调递减,

+泮叼2

V2上单调递增，(当，+«>'上单调递减，故C错

由复合函数的单调性可知函数y=/(')=-丁+/+2在0,

误，D正确.

故选：D.

22.已知函数)，=/(幻在R上单调递减，则函数y=/(|x+2］)的单调递减区间是()

A.(TO,+8)B.(-co,-2]C.[-2,+x)D.[2,+oo)

【答案】C

【分析】由)，=/(|x+2|)是复合函数，则根据复合函数同增异减原则来判断单调区间即可.

【详解】令心)=卜+2|,

则力(x)=|x+2|在(e,-2］上为减函数；在［-2,抬)上为增函数,

又函数y=/a)在R上单调递减,

则根据复合函数同增异减原则得〉=/(|x+2])的单调递减区间为[-2,+8).

故选：C.

23.已知函数/(x)=8+2x-W,^(X)=/(2-X2),试求屋力的单调区间.

【答案】单调递增区间为(7,-1],[0』,单调递减区间为[-L0],口,”)

2

【分析】设“=2—/(M)-8+2«-W,画出两函数的图象，然后分XG[-L0],XG[0,1],

xe[l,+e)四种情况分别讨论函数的单调区间即可

①当时，〃G(TX>,-1],”在(-00,-1]上单调递增，〃〃)在上单调递增,

故屋力在(-00/上单调递增;

②当1,0]时，〃目1,2],〃在[—1,0]上单调递增，/(〃)在[L2]上单调递减,

故g(“在[T，。]上单调递减；

③当人W05时，〃41,2],〃在[0』上单调递减，/(〃)在口，2]上单调递减，

故g(x)在[0』上单调递增:

④当xc[l,y)时，〃8,1],〃在[1,+0。)上单调递减，/(〃)在(-co』上单调递增，

故g(x)在[L+00)上单调递减.

综上，g(x)的单调递增区间为(70,-1],[0』,单调递减区间为[T0],[1,+00).

【点睛】方法点睛:

(1)由于函数的单调区间是定义域的子区间，解题时一定要注意函数的定义域，否则容易出错.

(2)对于复合函数y=/(g(x))的单调性的判断，把函数y=/(g(x))通过中间变量，分解为两个函数：外

层函数丁=/(。和内层函数，=g(x).

24.函数)，二r4；~^的单调递增区间为__________.

-X2+2X+3

【答案】［1,3)和(3,2)

【分析】先求出函数的定义域，再根据复数函数的单调性“同增异减”，即可得到答案

【详解】要使y=—―^有意义，则-/+24+3/0,解得g3且

-x-+2x+3

设1=-丁+2x+3=-(x-l)2+2,

则/=-x2+2x+3在［1,3)和(3,+oo)单调递减,在(一8,一1)和(一1』单调递增,

所以丁=―;的单调增区间为口，3)和(3,”)，

-x+2x4-3

故答案为：［1,3)和(3,长。)

25.(多选)若函数/(另，晨同均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是()

A./(x)+g(x)B./(x)g(x)

C.［/(A)］3D./(g(x))

【答案】ACD

【分析】设巧，由题意可得/(%)>/(£)，g(xj>g(z),利用单调性的定义可判AC；举反例可判断

C；根据复合函数的单调性的判断方法可判断D.

【详解】函数/(x)，g(“)均是定义域为R的增函数,所以“6,g(x)不是常数函数,

设为>占，则/(芭)>/(%2)，g(%)>g(W)，

对于A,设3则/(%)+g(Xi)-/(W)-g(W)=/(%)-/(&)+g(X)-g(X2)>0，

所以〃x)+g(x)为单调递增函数，故A正确;

对于B,函数〃力=x,g(x)=3x均是定义域为R的增函数,但是/a)g(x)=3d不是单调增函数,故B错

误;

对于C,设“〜,则［/&)了一丁(♦)了=(/(%)-/㈤)［(〃x))2+/(x)/(w)+(，(z))2

因为/(%)>/伍)，所以［(/3+卜(々))+?/(£))2>0,

［/(内)T_［/伉)了>0,即［/(x)］3是定义域为R的增函数，故C正确：

对于D,因为函数/(x)，g(“均是定义域为R的增函数，根据且合函数的单调性可得/(g(H)是定义域为

R的增函数，故D正确.

故选：ACD.

题型四根据单调性解不等式

26.己知函数y=/(x)为定义在［0,4］上的减函数，且/(m+l)>f(2m),试求实数m的取值范围.

【答案】0,2］

【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.

【详解】函数y=〃力是定义在［0,4］上的减函数,K/(m+l)>/(2m),

••・0W〃2+1<2〃Z«4,解得

故实数〃，的取值范围为(1,2］.

27.已知函数/(x)是实数集R上的减函数，则不等式“2-x)>/(x-2)的解集为()

A.(f,2)B.(f,一2)C.(2,+oo)D.(-2,+co)

【答案】C

【分析】由函数为减函数可得2-尤<工-2,从而得出答案.

【详解】由函数“X)是实数集R上的减函数，又/(2-刈>〃A2)

所以2-x<x-2,解得x>2

故选：C

28.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的％,±cR,当芭>七时，都有/(斗)>/*2)，若不

等式/(〃?+1)>/(2〃?)恒成立，则实数机的可能取值为()

A.-B.-C.0D.1

33

【答案】ABC

【分析】首先判断“X)的单调性，将函数不等式转化为自变最的不等式，即可求出参数”的取徜范围，即

可判断.

【详解】因为对任意的x-qeR，当%>与时，都有/区)>/(々)，

所以〃力在R上单调递增，

又不等式/(M+1)>"2㈤恒成立,即〃7+1>2"7,解得〃2<1,

所以符合题意的有A、B、C.

故选：ABC

29.已知/(x)是R上的增函数，40,-1),仇3,1)是其图象上两点，则不等式|/(x+l)|vl的解集为()

A.(9,-1)U(2,+co)B.(f,l)U(4,+x)

C.(-1,2)D.(1,4)

【答案】C

【分析】公式法解绝对值不等式，结合函数的单调性和已知点得0<x+l<3,即可求解集.

【详解】由题意,l/(x+l)|<l,则Tv/(x+l)vl,故/(0)</(x+l)v/(3),

所以0<x+l<3=—l<x<2,即解集为(-1,2).

故选：C

30.函数/(x)的定义域为[-3,4],且在定义域内是增函数，若>0,则机的取值范围是()

22252

A.m>—B.m<-C.-<rri<-D.—1<<—

33323

【答案】C

【分析】将不等式/(2〃-1)-/(1-〃?)>0化为八2〃[-1)>/(1-2，再利用的单调性即可列不等式组求解.

【详解】因为/(2加一1)一/(1一6)>0,所以〃

又函数/(幻的定义域为且在定义域内是增函数，

-3<2/n-l<4

25

所以有，-3<l-w<4,解得尸哼.

2m-1>1-w

故选：C

31.已知函数函x)对任意的qbeR,都有E3+份=/3)+/S)T,且当x>0时，>1.

⑴求证：/*)是R上的增函数：

(2)若/[-]=fM-/()，)J(2)=1,解不等式f(x)-f(<2.

l-Vj\x-3)

【答案】(1)证明见解析

⑵H,3)U(3,4]

【分析】(1)由已知条件结合函数单调性的定义证明；

(2)利用赋值法求得八4)=2,再利用⑴求出的函数单调性解不等式.

【详解】(1)设为,“2W区，且王<工2，

则用一%>0,即

所以/(42)一/(为)=/[(巧一%)+%1一/*1)=/。2一%)+/(%)一1一/(%)=/。2一%)一】>。，

所以/(芭)</(W)，所以M是R上的增函数.

/\/\

(2)因为/-=/(x)-/(y),所以/-+/(y)=/(x).

在上式中取x=4,y=2,则有/(2)+/(2)=/(4),

因为八2)=1,所以/(4)=2.

于是不等式fW等价于/Ix(x-3)]</(4),(xa3).

又由(1)知/“)是R上的增函数，

x(x-3)<4

所以,解得一1Wx<3或3<x44,

x-3^0

所以原不等式的解集为[T3)U(3,4|.

x2-3x,x<3

32.已知函数/(幻=11，则关于x的不等式/0-x)</(2-x)的解集为

-x-l,x>3

13

【答案】(一8,0)

【分析】分析函数/3)的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.

【详解】当工43时，/“)=/一标在(口方3上单调递减，在[3/上单调递增,

当时，=是增函数，且；乂3-1=0=/(3),

JJ

因此函数/⑶在(-co,口3上单调递减，在匕3+oo)上单调递增，而l-xv2-x,

22

则当1一工2«1,即时，恒有/(l-x)</(2-x)成立，则工工-(，

当时，2-x<|<3,不等式化为(1—X)2—3(1—X)V(2—X)2—3(2—X),解得XVO,则一:<X<0,

所以不等式的解集为(--0).

故答案为：(f,0)

33.若函数/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，且对一切x>0,y>0,满足/土=/3-/()),则不等式

\y)

〃x+6)-/]£)<2/(4)的解为

【答案】(0,2)

【分析】确定2〃4)=/(16),不等式转化为/(f+6x)</(16),根据函数的单调性结合定义域计算得到答

案.

【详解】/^)=取x=l6,y=4,得到〃4)=〃16)-〃4),

即2/(4)="16),

小+6)一/用<

2/(4),即/(f+6x)</(16),

x+6>0

函数/(“是定义在(0,口)上的增函数，故，->0,解得0<x<2.

x

x2+6,v<16

故答案为：(0,2).

34.已知函数/(力是定义域为(0.+⑹的减函数，若〃2-2⑼>/(1+6)，则实数，〃的取值范围是()

1

A.3，+°°B.f3C.9D.-4

【答案】C

【分析】根据函数的定义域和单调性得到。<2-2/〃<1+/〃，解得答案.

【详解】函数/(力是定义域为(。,+8)的减函数,E/(2-2m)>/(l+/w),

故0<2—2mv1+〃2,解得一

3

故选:C

题型五根据函数的单调性求参数

35.已知函数=f+2区-5在［-2,4］上具有单调性，则实数A的取值范围为().

A.k<-4B.k>2

C.k<-4^k>2D.kv-4或k>2

【答案】C

【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.

【详解】函数〃工）=V+2履一5的对称轴为X=-k,

因为函数/（力二丁+2日-5在124］上具有单调性，

所以一女24或一上m一2,即ZW-4或攵22.

故选:C

36.“々>1”是“函数y=^+c•在R上函数值V随自变量x增大而增大，的.（填充分不必要条件、必要

不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）

【答案】充分不必要条件

【分析】由函数y=kr+c的单调性可得出左的取值范围，再由充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若函数y="+c在R上函数值y随自变量X的增大而增大，则&>0,

因为“％>1k>0”，但“女>「牛"k>0”，

所以，X>1”是"函数产依+C在R上函数值y随自变量X增大而增大”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件.

37.设函数〃幻二（。-1），1+1是R上的减函数，则有（）

A.a>\B.a<\C.a>\D.c?<1

【答案】D

【分析】根据函数的单调性列出相应的不等式，即可求得答案.

【详解】由题意函数/*）=（〃-Dx+l是R上的减函数,

则〃。1，否则/（幻=1为常数函数，不合题意，故/（幻=3-Dx+l为一次函数，

故〃一1<0,4<1,

故选：D

38.若函数/（可=加一2工+1在区间（3,4）上单调递减，则〃的取值范围是.

【答案】b8，：

【分析】按。值对函数f{x}=ajC-2x+\进行分类讨论，再结合函数/（x）的性质求解作答.

【详解】由于函数〃x）=or?_"+1在区间（3,4）上单调递减，

①当〃=0时，函数/（6=-2—1,在区间（3,4）上单调递减，符合题意:

o1

②当a<0时，开口向下，对称轴为x=-《=，则上43,可得函数/(”在区间(3,4)上单调递减，符合题

2aaa

意；

I

-<

③当〃>0时，开口向上，对称轴为x=-京=2,/(x)在区间(3,4)上单调递减需满足「24,因比04-

综上所述，a的取值范围是.

I4」

故答案为；卜8，；

(3«-l)x+4dz(x<I)

,满足对任意的实数占，巧且内工/，都有［/(X)-/(Xj)］(%f)V0,

39.已知函数=・2)

则实数。的取值范围为()

1,1

D.

6J

【答案】C

【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出。的范围.

【详解】对任意的实数x"王，者用即&与3<0成立，

X一天

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

3«-1<0

可得：虫>0,

3〃-1+4a2a

解得

L63)

故选：C

ar-2,x<2

40.命题P:/(/=，〃-2J〉.("SR)在R上为增函数,命题。：8(幻=江+3+1(420)在［-1，2］单调增

函数，则命题尸是命题Q()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别求出命题P，。为真命题的条件，然后根据必要条件，充分条件的判断即可求解.

ax-2yx<2

【详解】因为命题P:fM=\a-2r(aeR)在R上为增函数，

----,x>2

A

67>0

则有,2〃-2二一，解得0<。<|,

«-2<0

又因为命题Q：g（x）=or?+：X+1（。N0）在［-L2］单调增函数，

22

则有一1,解得

3a3

若命题「成立，则命题。一定成立，反之则不一定成立，

所以。是。的充分不必要条件，

故选：A.

41.己知函数=奴在（0J）上单调递增，则实数〃的取值范围为.

【答案】［3,KO）

【分析】任取与与C（°，1）且设利用函数单调性的定义得”才+中2+4，结合与々的范围可得解.

【详解】任取西取,1）且设再<型,

则f*2）-/（X】）=（Y+%）-（-M+叼）=（X：-W）4-a（x2-%）

=（』一42）（X；+巧巧+X：-4）.

3

因为/（X）=-X+CLX在（0,1）上单调递增，X,-x2<0,

所以X：+菁电+X；—4<0,则Cl>X++后.

又再,七€（°，1），所以片+斗马+*<3,

所以。23,则实数〃的取值范围为［3,+00）.

故答案为：［3,+8）.

42.己知函数/（力=&-24+软在区间［2,4］上单调递减，则实数左的取值范围是

【答案】t.

【分析】根据一次函数与二次函数的单调性分类讨论求解.

【详解】当2=0时,f（x）=-2x在区间⑵4］上单调递减,符合题意；

当人>0时，函数图象的对称轴为直线x二!，

K

因为/（x）在区间［2.4］上单调递减，所以?之4,得&工!，所以0<女与:；

k44

当人<0时，函数八2在区间［24］上单调递减，符合题意.

综上，实数k的取值范围为卜8，；.

故答案为：

题型六求函数的最大(小)值

43.已知函数/(x)=f

⑴用定义法判断函数在(y,o)上的单调性；

(2)求函数在［-5,-2］上的最值.

【答案】(1)证明见解析

(2)最大值25,最小值4

【分析】(1)根据函数单调性的定义进行判断.

(2)根据/(X)在区间-5,-2］上的单调性求得止确答案.

【详解】(1)任取大＜(＜0,=(^)+X2)(x1-x2),

其中x+%V。,X-＜。，所以/(王)一/(王)＞。，/(N)＞/(42)，

所以/W在(-8,0)上单调递减.

(2)由于/(X)在(y,0)上单调递减，

所以在区间卜5,-2］上，

最小值为/(-2)=4,最大值为〃-5)=25.

44.已知函数/(力="+%,且"2)=4.

X

⑴求实数机的值；

⑵判断函数/(X)在［2,+8)上的单调性，并证明你的结论：

(3)求函数/(“在［3,4］上的最值.

【答案】(1)4

⑵单调递增，证明见解析

【分析】（1）代入尤=2,求出实数，〃的值；

（2）利用定义法求解函数的单调性，步骤为，取值，作差，判号，下结论;

（3）在（2）求出的函数单调性基础上求解最值.

【详解】（1）根据题意得：/（2）=2+y=4,

解得：/?:=4；

A

（2）〃x）=x+—在[2,2