二元一次方程组的概念

10.1二元一次方程组的概念

一、教学目标

【知识与技能】

1.了解二元一次方程（组）及其解的溉念.

2.会检验一对数是不是某个二元一次方程（组）的解.

3.能根据简单的实际问题列出二元一次方程（组）.

【过程与方法】

经历分析实际问题中数量关系的过程，使学生进一步体会方程是

刻画现实世界的数学模型.类比一元一次方程认识二元一次方程、二

元一次方程组，通过自由思考与小组合作交流，培养学生的探究能力.

【情感态度与价值观】

培养学生的发现意识和探究习惯，体会方程组刻画现实数量关系

的优越性和数学的应用价值.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】

1.掌握二元一次方程、二元一次方程组及其的解的概念.

2.判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程、二元一次方程

组的解.

【教学难点】

引导学生运用“实际问题一一数学问题”的建模意识来理解和

探索二元一次方程的解.

五、课前准备

教师：课件.

学生：铅笔、练习本.

六、教学过程

（-）导入新课（出示课件2）

新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为

新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉

机，lh就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采棉机lh完成2hm2棉

田的采摘，小型采棉机lh完成lhm2棉田的采摘，那么这个种棉大

户租用了大、小型采棉机各多少台？

教师问：这个问题中有几个未知数，你能用学过的一元一次方程

解决此问题吗？

（二）探索新知

1.出示课件4-8,探究二元一次方程的概念

教师问：说一说这个题目该如何进行解答？

学生答：列方程解答.

教师问：想一想，如果设一个未知数（比如设租用大型采棉机x

台），根据题意该怎样列方程？

师生共同解答：设租用大型采棉机x台，则租用小型采棉机（6-

X）台，分析如下表:

大型小型合计

采棉机数量/台X(6-x)6

lh采摘面积/hm?2x(6-x)8

教师问：根据上表你能列出方程吗？

学生答：2x+（6-X）=8.

教师问：思考能不能直接设两个未知数（比如设租用了x台大型

采棉机，y台小型采棉机），让列方程更容易呢？

师生共同分析.

容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：

大型采棉机台数+小型采棉机台数二总台数，

大型采棉机lh采摘面积+小型大型采棉机lh采摘面积二lh采摘

总面积.

教师问：根据这两个相等关系你能列出方程吗？

学生答：由题意得到方程：x+y=6,2x+y=8.

教师问：观察这两个方程是一元一次方程吗？为什么？

学生答：不是.因为方程中有两个未知数x和y,而一元一次方

程应该只有一个未知数.

教师问：说一说这两个方程有什么共同特点？

学生1答：这两个方程含有两个未知数.

学生2答：方程中含有未知数的项的次数都是L

教师提出表扬并总结：含有两个未知数,且含有未知数的式子都

是整式，含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫作二元一次

方程.

教师问：接下来同学们想一想二元一次方程与一元一次方程有什

么相同和不同之处呢？

学生1答：两种方程里含未知数的项的次数都是1.

学生2答：含未知数的个数不同.一元一次方程只有一个未知数,

二元一次方程里面含有两个未知数.

教师提出表扬并总结：两位同学总结的很好！二元一次方程与一

元一次方程的不同点：含未知数的个数不同；相同点：都是一次方程.

考点1：二元一次方程的判断(出示课件9)

判断下列方程是否为二元一次方程：

(1)3y-2x=z+5；

(2)y+/

(3)x2+y=0;

(4)x-+l;

y

(5)2y=0;

J

(6)3-2xy=l;

(7)4x+n=0;

(8)2x=l-3y.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：二元一次方程是含有两个未知数，且含有未知数的式子都是

整式，含有未知数的项的次数都是1的方程.

（1）含有三个未知数，不是.

（2）不是等式，不是.

（3）x的次数是2,不是.

（4）整理化解后为xy=2+y,xy项的未知数次数为2,不是.

（5）符合二元一次方程的定义，是.

（6）-2xy项的次数是2,不是.

（7）只含有一个未知数，不是.

（8）符合二元一次方程的定义，是.

方法点拨：（出示课件10）

判断一个方程是否为二元一次方程的方法：

一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；

二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0,且

含未知数的项的次数都是1.

出示课件11,学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：根据二元一次方程的定义求字母的值（出示课件12）

已知|m-1限司+丫21=3是二元一次方程，则m+n=.

学生独立思考后，师生共同解答.

解析：根据题意得|m|=1且|m—11WO,2n—1=1,

解得m=—1,n=l,

所以m+n=0.

答案：0

教师总结此类题目解题方法：

由方程是二元一次方程可知：(1)未知数的系数不为0;(2)含

有未知数的项的次数都是1.

出示课件13,学生自主练习后口答，教师订正.

2.出示课件14-17,探究二元一次方程组的定义

教师问：在方程x+y=6和2x+y=8中，x的含义相同吗?y呢?

学生答：两个方程x都表示租用大型采棉机的数量，y都表示租

用小型采棉机的数量.

教师总结：因为未知数的含义相同，所以我们可以这样联立起来,

得到如下形式：［x+y=6,这样我们得到了一个新的方程形式.

⑵+y=8,

教师问：你能试着给出描述这种方程形式吗？

学生答：两个二元一次方程放在一起就是二元一次方程组.

总结点拨：像这样，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在

一起就组成了一个二元一次方程组.

含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的

项的次数都是1,一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方

程组.

教师问：根据二元一次方程组的定义，说一说下列哪些是二元一

次方程组？

0+y=2,

(X-y=1;

x+-=2,

(2)y

(x=y;

fx=0,

(3)ty=i;

[Z=X+1,

(4)(2x-y=5;

fx-3y=8,

(5)

Ixy=6;

f3x=5y,

(6)

(2x-y=0.

师生共同讨论解答如下:

解：（1）每一个方程含未知数的项x,y的次数都是1,是.

（2）第一个方程不是整式方程，不是.

（3）每一个方程含未知数的项x,y的次数都是1,是.

（4）方程组中共含有三个未知数，不是.

（5）第二个方程中含xy的次数是2,不是.

（6）每一个方程含未知数的项x,y的次数都是1,是.

教师问：通过练习，请你说说二元一次方程组有哪些特点？

师生一起总结：二元一次方程组有以下特点:

①方程组中共有2个不同未知数；

②方程组有2个一次方程；

③一般用大括号把2个方程连起来.

考点3：二元一次方程组的判断（出示课件18）

2x—y=1,x=2,

在方程组①②

3y—x=1,

ii]

'x+y=0,xy=1,_X=1,一+(一=1,

刨々r④'⑤1⑥xy

3%-y=5,%+2y=3,[y=1，x+y=1.

中，是二元一次方程组的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（含有两个未知数

教师提示：三个要素（含有未知数的项的次数为1

（整式方程

学生独立思考后，师生共同解答.

解析：①②③方程组中每一个方程含未知数的项x,y的次数都

是1,是二元一次方程组；

④方程组中第一个方程中xy的次数是2,不是一次方程，所以

不是二元一次方程组；

⑤方程组中每一个方程含未知数的项x,y的次数都是1,是二

元一次方程组；

⑥方程组中第一个方程不是整式方程，所以不是二元一次方程组.

只有①②③⑤满足.故选D.

答案：D

师生共同归纳：

识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法:

一看方程组中的方程是否都是整式方程；

二看方程组中是不是只含两个未知数；

三看含未知数的项的次数是不是都为1.

出示课件19,学生自主练习后口答，教师订正.

3.出示课件20-21,探究二元一次方程的解的定义

教师问：满足课堂开始采棉问题中的方程户产6,且符合问题的

实际意义的乂y值有哪些？把它们填入表中.

X

y

教师提示，学生依次回答:

X12345

y54321

教师问：如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？

学生1答：x,y还可取到一个正数和一个负数,如x=-l,y=7等.

学生2答：x,y还可取到小数,如x=0.5,y=5.5等.

教师问：这些值是有限的吗？

学生答：这些值是无限的，有无数组这样的值.

师生总结点拨：

二元一次方程解的定义：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作这个二元

一次方程的解.

教师问：说一说，怎么判断一对数值是不是二元一次方程的解

呢？

学生答：把这对数值代入到原方程对应的未知数中，看看是否满

足.

教师提出表扬并总结：

判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：

把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边二右边,则这对数值

是这个方程的解;若左边手右边,则这对数值不是这个方程的解.

教师提示:一般情况下，二元一次方程有无数个解,但如果对其未

知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.

出示课件22,学生自主练习后口答，教师订正.

4.出示课件23-24,探究二元一次方程组的解的定义

教师出示问题：方程x+y=6中，符合实际意义的x―的值有哪

些？把它们填入表格中.

X

y

学生依次回答：填写如下表:

X12345

y54321

教师问：再找出方程2x+y=8的符合实际意义的解,并用表格罗

列.

学生依次回答：填写如下表:

X123

y642

教师问：第1个表中哪对X,y的值还满足方程2x+y=8?

学生答：x=2,y=4还满足方程2x+y=8.

教师讲解：x=12,y=4即满足方程2x+y=8,也满足方程x+y=6.

它是方程x+y=6与方程2x+y=8的公共解，记作言:j

联系前面的实际问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机,

4台小型采棉机.

师生总结：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次

方程组的解.

出示课件25,学生自主练习后口答，教师订正.

考点4：利用二元一次方程组的解求字母的值

已知二元一次方程组修一Qy=6,的解是j求。与〃

{bx+6y=-1[y=-2,

的值.(出示课件26)

学生独立思考后，师生共同解答.

解：把二，2代入到方程组，得

(2x1-(-2)。=6,

[l・/)+6x(-2)=-1,

解得a=2,b=11.

总结点拨：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解

代入方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解.

出示课件27,学生自主练习后口答，教师订正.

考点5：根据实际问题列二元一次方程组

对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义,

找出问题的解.

某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工

2t,后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t,前后共用8

天完成全部加工任务，这个项目改进加工方法前、后各用了多少大？

（出示课件28）

师生共同分析.（出示课件29）

教师问：此题中的等量关系是什么？

学生答：改进加工方法前的天数+改进加工方法后的天数=8天,

改进加工方法前加工的黄桃+改进加工方法后加工的黄桃=

28t.

教师问：怎么列方程呢？

学生答：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后

用了y天，用方程把这些等量关系表示出来：

①x+y=8,②2x+4y=28.

教师共同解答.（出示课件30）

解：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了

y天.

x+y=8,

根据题意，得自+分=2&

卜=2,

根据问题的实际意义，可知jy=6是该问题的解.

答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6

出示课件31,学生自主练习，教师给出答案.

教师：学了前面的知识，接下来做儿道练习题看看你掌握的怎么

样吧.

（三）课堂练习（出示课件32-38）

练习课件第32-38页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件39）