充分必要性的判断（解析版）-2027年高考数学一轮复习

知识点01从逻辑关系上看充分条件与必要条件

⑴若p=>q,但9分p,则称p是q的充分而不必要条件；

⑵若P不能推出q,但q分P,则称P是q的必要而不充分条件；

⑶若p=>q,且q=>p(即p<=>q)则说p是q的充要条件；

(4)p^q,且q弁p,则说p是q的既不充分也不必要条件.

知识点02充分必要性的的集合模型解释

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即人=62g)},B={x|q(x)},则

(1)若ACB,则p是q的充分条件.

(2)若BGA,则p是q的必要条件.

(3)若人=8,则p是q的充要条件.

(4)若AGB且B&A,即A§B,则p是q的充分不必要条件.

(5)若BUA且AgB,即B$A,则p是q的必要不充分条件.

(6)若A&B且BgA,则p是q的既不充分也不必要条件.

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知识点03四种命题及其真假的关系(拓展)

1.四种命题的定义：

(1)互为逆命题

如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互为逆命题，其中一个叫

作原命题，另一个叫作原命题的逆命题.

(2)互为吾命题

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫作互为否命

题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的否命题.

(3)互为逆否命题

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫作互为逆否

命题，其中一个叫作原命题，另•个叫作原命题的逆否命题.

2.四种命题之间的关系

(1)四种命题之间有如下相互关系：

原命题----1_逆------逆命题

若〜则一q互逆若一则「P

(2)四种命题真假性之间的关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

A题型01定义法判断充分必要性

定义法判断充分性与必要性的步骤

1.确定条件P是什么，结论q是什么.

2.看条件p能否推出结论q,若能，则p是q的充分条件，若不能，则p不是q的充分条件.

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【典例1】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件、充要条件川既

不充分又不必要条件”中选出一种)

⑴p:a+b=0,q:a2+b2=0;

(2)p:x=1或x=2,q:x-1=Jx-l;

(3)p:x>0,y>0,q:xy>0.

【答案】(1)必要不充分条件；(2)充要条件：(3)既不充分也不必要.

【解析】(1)；。+6=0=>。=一分/=0,。2+〃=0=4=0且b=onQ+b=o,

••.P是q的必要不充分条件.

(2)vx=1或x=2<=>x-l=Vx-1,,.--p是q的充要条件.

(3)x>0,y>0=>xy>0,xy>0与x>0,y>0,.-.p是q的充分不必要条件.

【跟踪训练】

1.设x,y都是实数，则“x>2且y>3”是“x>2或y>3"的()条件

A,充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】A

【分析】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可.

【解析】①当x>2且y>3时，则x>2或/>3,.••充分性成立，

②•.•x>2或y>3=x>2或》>3或x>2且y>3,.•.必要性不成立，

・•△>2且y>3是x>2或y>3的充分不必要条件，

故选:A.

2.(2026•江苏•模拟预测)已知实数。>0切>0,则是""<!〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】16时，1>4+6227^,.7>4",

又时，取”=[00,[)=―!—,此时。+6>1,

41000

所以a>0,6>0,则+b<1〃是“"<》的充分不必要条件.

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»题型02集合法判断充分必要性

即先将P与q的关系转化为相应的两个集合间的关系,再判断充分性与必要性.

【典例2-1］使不等式2x2-5x-3>0成立的一个充分而不必要条件是（）

A.z<0B.x20C.xG{-1»3,5）D.xW—或x23

2

【答案】C

【解析】解2x2—5x—320,得工・一工或x》3

2

对于选项4当X=时不能推出2x2—5x—3>0,不充分；

3

对于选项B当x=2时不能推出2x2-5x-3>0,不充分；

选项D是充要条件；

对于选项C,{—1,3,5}&{x|过一,或x>3},故"*£{—1,3,5}“是“不等式2*2—5x—320成立”的充

工2

分不必要条件.故选C.

【典例2-2］已知P：/-8工-20>0,q:/—2户l-nfMKmX））：且p是q的必要不充分条件,求实数m的取

值范围.

【分析】用集合的观点考虑问题，先写出P和q灼应的集合A、B,然后由p是q的必要而不充分条件得A室

B,从而可列出不等式组求解.

【解析】解不等式工2-网-20>0,得p:4={工|工〉10,或¥<—2}.

解不等式下一2户I—小2>（）,得q：B={x\x>1+〃?,或x<0}.

••♦p是q的必要不充分条件,

m>0,m>0,

ABCA,结合数轴（如下图）可知，\-m<-2,或<\-m<-2,解得m云9.

1+/«>10,\Jrtn>10,

<u

1—m—20101+痴x

・，.m的取值范围为{mm>9}.

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【跟踪训练】

1.（2026•江苏南通•三模）设集合4={x|V-（。+1）X+。=0},集合8==二=1、则"4cA={3}〃的一

人乙

个必要不充分条件是（）

A.a=3B.67e{2,3}C.a=\D.aw{l,2}

【答案】B

【详解】因为8=卜士=1»={3},

若4c8={3},则3w4,所以9—3（a+l）+〃=0,解得a=3,

当4=3时，J={x|x2-4x+3=o）={1,3},此时/c8={3},

所以a=3是4cB={3}的充要条件.

故~八8={3}〃的一个必要不充分条件是。£{2,3}.

2.（2026・福建泉州•模拟预测）“函数在区间（Q—4M）内存在最小值〃的充分不必要条件可以

是（）

A.0<。<2B.1<<4C.1<cr<4D.-2<a<2

【答案】B

【详解】由题意/'（x）=/+2x=;r（x+2）,令八x）=0,解得x=-2或x=0,

当xw（-oo,-2）,（0,+oo）时,/'（x）>0,则/*）单调递增，

当xw（-2,0）时，/'（x）<0,则/⑴单调递减，

所以/（x）的极小值为/（0）=0,

因为/（X）区间（。-4,a）内存在最小值，所以极小值点0在区间（。-4,〃）内，

a-4<0

则,解得0<”4,

a>0A

令〃力=；/+/=/（：%+1]=0,解得x=—3,或x=0,

所以。-42-3,解得

综上，函数/（X）=g.一+./在区间（Q_4,a）内存在最小值时14a<4.

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要满足“函数/(x)=；d+x2在区间("4M)内存在最小值〃的充分不必要条件，

即所求为14。<4的真子集，

分析选项可得，只有<4符合题意.

3.(2026•云南怒江•模拟预测)已知〃?>(),使得不等式，」力成立的一个充分不必要条件是-2«x«4,

x-m

则用的取值范围是.

【答案】(4,y)

【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于〃，的不等式求解即可.

［详解］由生1-1="+'"咤0,可得(x+〃?+l)(x-/")W0且

x-mx-m

因为m>0,所以_〃—<〃?，故不等式的解集为

Itl-2<x<4是不等式成立的充分不必要条件，可得［-2,4］是［-阳-1,6)的真子集，

-m-1<-2

故(彳，解得4<小，

所以〃?的取值范围是(4,+8).

I►题型03逆否命题法判断充分必要性

1.互为逆否的两个命题是等价的.当我们从正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为

对它的逆否命题进行判断.该方法也称为等价法.

2.由原命题和逆否命题间的关系可知：

4n8等价于非Bn非4；

8=>4等价于非力n非8；

4<=>8等价于非80非/.

【典例3・1】钱大姐常说“便宜没好宜货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B.

【详解】根据等价命题，便宜=>没好货，等价于，好货=不便宜，故选B.

【典例3・2】设条件〃：实数x满足/一40¥+3/<()3<0)；条件q：实数x满足/+2工-8>0且「〃是

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「q的必要不充分条件，则实数。的取值范围是

【答案】a<-4

【分析】Jp是「q的必要不充分条件”等价于“夕是〃的必要不充分条件”

【详解】设夕二卜|/一4尔+342VoM<0},可解得：。=（3%。），

设。二卜|炉+2x-8>0卜4解得:0=（-oo,-4）u（2,-Foo）,

•・•「〃是「q的必要不充分条件.■.夕是夕的必要不充分条件：.Q^P'：a<^：.a<-4

【跟踪训练】

1.祖瞄原理：“寻势既同，则积不容异它是中国古代一个涉及几何体体枳的问题，意思是两个同高的几何

体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。设44为两个司高的几何体，p:4,3的体积不相等，

夕：43在等高处的截面积不恒相等，根据祖唯原理可最知，〃是^的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】如果48在等高处的截面积恒相等，则48的体积相等，即因此有png,但

p^q,例如，把两个相同的锥体放在•个平面上，再把其中•个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平

面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等.故〃是4的充分不必要条件.故选A.

【点拨】破解此类题的关键:一是读懂数学文化的背景的含义；二是利用“以小推大”的技巧来破解充分必要

条件的判断.

2.判断下列命题p是命题q的什么条件.

（Dp：x2y2；q：xwy或xw-y.

（2）若x,y为实数，p：m+|yk0；q：x,y不全为0.

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【解析】（1）-yp：x=y；「q：*=丫且*=—y,-1P今「g,但-1g=ip,

所以「g是「p的充分不必要条件，即P是q的充分不必要条件.

（2）「p：|x|+|y|=0；「q：x,y全为0,o,所以-1g是「p的充分条且是必要条件，即p

是q的充分且必要条件.

►题型04递推法判定充分必要性

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由于逻辑联结符号“=”"u”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干

次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.

【典例4】己知〃是，•的充分不必要条件，q是厂的充分条件，S是，•的必要条件，4是S的必要条件•现有

下列命题：

(1)S是q的充要条件；(2)〃是9的充分条件而不是必要条件；(34是夕的必要条件而不是充分条件；(4)「〃

是「S的必要条件而不是充分条件：

(5)，,是S的充分条件而不是必要条件.

则正确命题的序号是

【答案】⑴(2)(4)

【详解】根据已知条件画出下图；

结合上图可知，，su>q,(1)正辅；pnrnsnq,...p=q,但夕w>p,(2)正确；同理判断(3)(5)不

正确，(4)正确.

【跟踪训练】

1.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是5的充分一条件.那么：

(1)5是4的什么条件？

(2),•是q的什么条件？

(3)〃是(］的什么条件？

【解析】由题意画出网络示意图.

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由图可知：

(1)1=>s,5=>厂=>令，所以s是q的充要条件.

(2)r=>q,q=>s=>r,所以/•是</的充要条件.

(3)q=>s=>r=>p,所以p是q的必要条件.

1.(2026•上海普陀•二模)已知直线/、〃?和平面若mua,则“/与m不相交"是"〃a"的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.

【详解】当直线/与平面。相交，且交点不在直线〃，上时，满足“/与，〃不相交”,

但“///a”不成立，故充分性不成立；

若,则/与。无交点，所以"/与m不相交”,故必要性成立:

所以〃/与〃?不相交〃是“"/a”的必要非充分条件.

2.(2026•四川达州•二模)己知向量比=("L"5),n=(-\,a-2),则“a=-1〃是“而〃斤”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】当。=-1时，向量加=(-2,-6),斤=(-1,-3),则而=2万，即玩"万，故充分性成立；

当丽/加时,满足(a-l)(4-2)+lx(a-5)=0,即(°-3瓶+1)=0,解得:。=3或。=-1,所以必要性不成立;

所以是"而〃万”的充分不必要条件

3.(2026•山东烟台•二模)已知｛可｝是等差数列，其公差为d,前〃项和为S“，则"d>0〃是微列,为

单调递增数列”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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【答案】C

【详解】因为S”=〃q+&二所以2=+

2n22

若d>0,则关于〃的函数2=4是单调递增的一次函数，

n22

所以数列｛9｝为单调递增数列.

ccc

二为单调递增数列，贝IJ当心2时，区、2，

｛nn/7-1

即口>刍〃-1),解得4>().

所以“d>0〃是"数列为单调递增数列〃的充要条件.

4.(2026•河北邢台•二模)已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且S”="〃2+加+i,贝广。>g〃是“数列｛q｝为

递增数列''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】当〃=1时，q=S]=a+b+l,

当〃之2时，a”=S"一S"_|=。〃2+加+1—〃(〃-1)~+人(〃-1)+1=2an-a+b,

当〃22时，cin+x-an=2a(n+\)-a+b-(2an-a+b)=2a,

(、[2a>0

要使数列｛可｝为递增数列，则[,

a>01

即工AAr解得”彳；

3a+b>a+b+\2

若a>；，则一定满足。>0且4>/，数列｛/｝递增，充分性成立；

若数列｛对｝递增，则必有必要性成立；

所以>；”是“数列｛%｝为递增数歹U”的充要条件.

5.(多选)(2026•山东泰安•三模)下列选项正确的有()

A.已知所，斤是两个非零向量，则“而与万的夹角为钝角〃是“而•"〈0”的充要条件

B."sinx=1"是"cosx=0"的充分不必要条件

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C.事件力与8相互独立的充要条件是P(AB)=P(4)P(8)

D.已知等比数列｛%｝的公比为/则5>1"是"｛%｝是单调递增数列”的必要不充分条件

【答案】BC

【详解】对于A,因为玩，方是两个非零向量，

所以所♦万<0<=>网•同cos〈通行〉<0=cos〈两万〉<0=而与n的夹角为钝角或180。，

所以“而与万的夹角为钝角”是“而•万<()”的充分不必要条件，故A错误.

对千B,因为cosx=0ocos2x=0o1-sin2x=0<=>sinx=±1»

所以“sinx=l"是"cosx=0"的充分不必要条件，故B正确.

对于C,根据事件相互独立的定义可知，事件力与5相互独立的充要条件是尸(力㈤=P(4)P(夕，故C正

确.

对于D,当q<0时，若g>1,则4“=4闻1,

由指数函数的性质可知/(〃)=。0山是减函数，所以%>1〃推不出“｛%｝是单调递增数列”；

若等比数列｛4｝是单调递增数列，则/(〃)=卬72是增函数，

所以％<0且0<”1或％>0且g>1,

所以“｛q｝是单调递增数歹『‘推不出5>1”,

所以〃g>I"是"｛q｝是单调递增数列〃的既不充分也不必要条件，故D错误.

6.(多选)(25-26高三下•湖北襄阳•月考)有限集合S中元素的个数记作card(S),设48都为有限集合,

则下列命题中是真命题的有()

A.彳n8=0的充要条件是card(/U8)=card(A)+card(B)

B.的必要条件是card(N)Wcard(A)

C./不是8的子集的必要条件是card(N)Kcard(8)

D.力=8的充要条件是card(.4)=card(B).

【答案】AB

【详解】对于A,因为力f!8=0等价于card(404)=0,

又card(/lU8)=card(J)+card(Z?)-card(/in^),

所以card(4n8)=0等价于card(/(U8)=card(4)+card(8),

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故4nB=0的充要条件是card(4U8)=card(/4)+card(B),故A正确；

对于B,因为力qB,所以集合力中的元素都是集合“中的元素，故card(4)4card(8),

所以©@3(力)交2d(8)<=力18,故B正确；

对于C,令/={0,2,3},8={1,2},显然力不是6的子集，此时card(4)>card(8),

故C错误；

对于D,令力={0,1},8={1,2},显然card(4)=card(8),但力工B,所以4=8的充要条件不是

card(J)=card(^),故D错误：

7.已知p是q的必要不充分条件,q是厂的充要条件，s是厂的充分不必要条件，现有下列命题：①p是s的

必要不充分条件；②q是s的充要条件；③广是p的充分不充分条件；④非p是非s的必要不充分条件；⑤

P是r的充分而不必要条件；则正确命题序号是：

【答案】①③

【解析】如图，P第go'"、观图并结合充分条件与必要条件的传递性可得，p是s的必要不充分条件,q

是s的必要不充分条件J是P的充分不必要条件,s是p的充分不必要条件(即非p是非s的充分不必要条件),p

是「的必要不充分条件.

8.(2025高一•全国•专题练习)若是张一时<1〃的充分不必要条件，则实数机的取值范围为.

【答案】[L2]

【详解】由旧一切|<1,可得一1一一机<1,

得用一1CXV/M+1,即加+1),区间长度为2,

(1,2)区间长度为1,

因为"1<x<2"是"卜一讨<1"的充分不必要条件，

所以(1,2)是+的真子集，

又+区间长度为2,。,2)区间长度为1,

所以1解得14〃?42,

W+1>2

故实数的取值范围为[1,2].