计数原理与概率统计（1年汇编）-2027年高考数学（含解析）

计数原理与概率统计

真题精煤

考点01统计

1.（2026•新课标全国I卷•高考真题）样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

2.（2026・北京卷•高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩,成绩分组及对应人数如下:

成绩分组[81,94)[94,107)[107,120)[120,135)[135,150]

人数406060328

以频率估计概率，完成下列问题：

⑴求数学成绩低于120分的概率；

⑵从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；

（3）每组数据取左端、中间、右端，比较sQ4'4的大小关系•

考点02计数原理

3.（2026.新课标全国II卷.高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成46两个技术小组，要求每组4人，且

甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起,则不同的分配方案有（）

A.10种B.12种C.16种D.24种

4.（2026・北京卷•高考真题）已知（a—£）7的展开式中的砂的系数是28（）,则。=（）

A.2B.-2C.1D.-1

5.（2026・上海卷・高考真题乂5+3砂『的二项展开式中，十的系数为.

6.（2026・上海卷・高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有种选法.

7.（2026・天津卷・高考真题）（/+2犷展开式中a的系数为.

考点03概率

8.（2026・上海卷・高考真题）事件A和事件B相互独立,“4和B至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AQBB.AUBC.AQBD.AUB

9.（2026•上海卷•高考真题）

己知事件力，B互斥，P（A）=0.2,P（B）=0.5,则P（AUB）=.

10.（2026・天津卷・高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球

的概率是;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

11.（2026・上海卷・高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

年龄剪纸摄影画画人数

[25,35)845

[35,45)1055

[45,55)650

⑴现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在［25,35）岁的有多少人？

⑵该兴趣班150人的平均年龄是多少？

⑶现从150人中任意抽选1人,记抽到的学员年龄在［35,45）为事件4记抽到学员爱好摄影为事件B

事件A与B是否独立？请说明理由.

...........»

考点04随机变量及其分布列

12.(2026•新课标全国I卷•高考真题)设U={(叫附㈤山€{-2,-l,l,2},i=l,2,3}为空间中64个点构成

的集合，点P(l,l,l),记样本空间Q=八户,从。中随机取一个点，定义随机变量X如下:对Q中的每个

点①2，g),令X(A)=g+e2+，3,则X的数学期望值为()

13.(2026•上海卷•高考真题)已知随机变量X的分布为(10°3：),且E(X)—0.5,则〃一.

14.(2026•新课标全国I卷•高考真题)设整数N>2.某同学用•个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅

当投中1次时或N次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为p(OVpVl),各次投中与否相

互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数.

(1)当N=4,p=4时，求X的分布列；

⑵设均为自然数.

⑴当A;&N—1时，求P(X>k］；

(n)当k+mWN—1时,证明：P(X>k+m\X>k)=F(X>m).

15.(2026・新课标全国H卷•高考真题)某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间(天)，然后

绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

(2)设力为首次故障时间小于365天的概率估计值.

(i)求讥

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件

数,若X-B(100,p)，求E(X)和。(X).

考点05统计案例

16.（2026・天津卷・高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其

中相关系数『=一0.91,根据最小二乘法算得：。=-1.17/+1370.7,下列说法正确的是（）

八候鸟个数

•%

・・・・・・

・

••

~O

A.夕与1负相关B.当1=10时，夕一定为1359

C.当1=10时，S一定小于1359D.两变量无线性关系

17.（2026・上海卷・高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化

硫密度进行了监测和记录，数据如下：

颗粒物

101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

密度

二氧化

119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

硫密度

⑴为进一步研究，从这9年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

⑵为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行

分析，并请你判断相关系数在（一1,0）,（0,1）,（1,2）哪个区间内？（直接写结论）

⑶2023年前9年的年份Q）的平均数为2018,g（颗粒物密度）关于/（年份）的回归方程拟采用?/=

106..544C-O,,61（I-2,,1',＞，或y=aQ—2014）+83.743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程

对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.5446一0・4爪9ssi.681

q..................

模拟练习

一、单选JB

18.（2026・湖南长沙•三模）一组数据升序排列为：2,4,5逆,7,9,已知这组数据中位数是5.5,。的值为（）

A.5B.6C.7D.8

19.（2026•浙江绍兴•模拟预测）在（4一I），的展开式中，含有4项的系数为（）

A.15B.6C.20D.1

20.（2026•山东泰安・模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（）

A.24B.48C.72D.96

21.（2026・江苏无锡•模拟预测）已知A9为两个随机事件，。（4）=0.2,23）=05则下列结论错误的是

（）

A.若则P（/U6）=0.5B.若独立，则尸（40=0.1

C.若独立，则PG4UB）=0.7D.若AB互斥，则尸（4UB）=0.7

22.（2026•黑龙江哈尔滨•模拟预测）若随机变量X〜B（9,p）,已知E（X）=3,则。（2X）为（）

A.1B.2C.4D.8

23.（2026・湖南常德•一模）已知变量I和g有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可

以得到经验回归方程为y=2.2x+d，则（）

X2356

y57915

A.经验回归直线必过点（3.5,7.5）B.6=0.8

C.，=2对■应的样本点的残差为一0.4D.当1=7时,预测值。=15.6

24.（2026•山东东营•模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若P（X<a）+P（X4a+b）=1,

则而的最大值为（）

A.yB.得C.1D.2

25.（2026.上海杨浦•模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜

色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为

（）

...........»

二、多选题

26.（2026・湖北武汉•三模）关于多项式（2/-工+if的展开式，下列结论正确的是（

X

A.各项系数之和为32B.常数项为80

C.4项的系数为一120D.展开式一共有21项

27.（2026•山西忻州•模拟预测）有一组样本数据电，电，…，4,其平均数为谟方差为sis,。）.现向这组数

据中加入两个新数据无一d,无+d（d>0）,得到一组新的样本数据，其平均数为―方差为s%则下列说

法正确的是（）

A.x'=xB.新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数

C.若d=s,则/vs?D.s*.*乎

28.（2026•江苏南京•三模）已知X-H（n,M,N］，当苗<0.05时，可以认为）,如果,

当np>10,np（l-p）>10,可以认为Y-NQd）.某校高中有学生1000人，近视人数有400人.从中随

机抽取100人，记这100人中近视人数为随机变量X；若从中有放回的一个一个的抽查100人，这100人

中近视人数为随机变量Y.则（）

附：若随机变量§服从正态分布则尸（〃一。<5<〃+。）=0.6826,P"-2o<W<n+2（y）=

0.9544,+=0.9974.

A.X-B（100恪）B.y-7V（40,24）

C.随机变量y的取值在［35,45］之间的概率大于0.6826D.E（X）=40

29.（2026,河北保定•三模）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用力/技术为用户生成个性

化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则:①风格类型分为国风、

科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为［，《，J，②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动

作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、

奔跑、比心的概率分别为4若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比

心的概率均为喜；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为

，③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔

跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（）

A.随机抽取1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相

互独立

B.随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是1

C.随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量今,则尸（虞=5）最大

D.随机抽取2位用户，记生成的数字人形象为照藏款的人数为随机变量£，另外随机抽取3位用户，记

生成的数字人形象为普通款旦动作特效为奔跑的人数为随机变量小则。（？）>。（&）

三、填空题

30.（2026•山东聊城•模拟预测）已知（2+03+（2+c>+…+（2+：r）i3=Qo+Q］（3+：r）+色（3+。）2+…+3（3

+'，则Q（j+Q?+Q.iH=•

31.（2026•陕西西安•模拟预测）某公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为

110分，方差为55,女性平均成绩为130分，方差为95,则在这次团建中，该公司的平均成绩为分，

方差为.

32.（2026•福建泉州•模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、

乙、丙、丁共四名同学参加某口早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负

贲接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数

为.

33.（2026•山东日照•模拟预测）若甲、乙两名同学进行投篮游戏，甲投球入篮的概率为J,乙投球入篮的概率

为《.经过两人约定,游戏规她如下:若甲投球未入篮,则下一球由乙投球;若乙投球未入篮，则下一球等

O

可能地由甲、乙投球，如此循环，直到一名同学投球入篮，则该学生获胜.通过硬币裁定，由甲先进行投

篮.若甲、乙两名同学的投篮次数不限，则最终乙获胜的概率为.

四、解答JR

34.（2026・湖北•模拟预测）台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通

常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调

查，得到下表：

白光黄光

近视8060

不近视4060

⑴根据小概率值a=0.01的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关；

⑵用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率.：

.............G

.>n(ad-bcY

=------------------------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

35.（2026.山西运城.模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第。天的高度为y。cm,测得的一些数据如下表所

示：

第1天1491G253649

高度y。cm0479111213

作出这组数据的散点图发现：认cm）与4天）之间近似满足关系式g=bG+a,其中a,b均为常数.

⑴试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对Q,b作出估计,并求出g关于4的经脸回

归方程；

⑵在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于歹的

点的个数为£，其中歹为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量S的分布列和数学期望.

7777

参考数据：令〃=Vx,X%仇=283,£底=140,=28»X%=56.

<=1»=1»=1/=1

n

^XiVi-nxy

参考公式:经验回归直线5=应+五的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：6=弓--------,«

y^,Xj—nx2

i=l

=y—bx.

36.(2026・陕西・一模)2026年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言

-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人

类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进

行.第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、

小方3位同学通过第一轮的概率均为,，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为日，

4O

4,。，假设他们之间通过与否相互独立.

(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；

(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；

(3)设这3人中通过第二轮的人数为自求S的分布列及期望.

............即

37.(2026•陕西西安・模拟预测)一个袋子中装有n个大小相同的小球，编号分别为1,2,3,…，九，且九＞3,

九WN”.进行两次实验:第一次:从中不放回地随机取出k个球，记所取球的编号组成的集合为4第一次

实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出k个球,记所取球的编

号组成的集合为B.设随机变量X表示AQB的元素个数.

(1)若九=4,k=2,求所有的力；

(2)若o=4,k=2,求X的分布列和数学期望E(X)；

⑶若k=3,且P(X=2)=三，求侬

38.(2026・陕西咸阳•三模)某新华书店为庆祝“六一”儿童节,推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为

10元和5元两利现金抵用券”.规则如下:顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元

券的概率为p(0VpVI).已知某顾客购买了。本图书，用X表示该顾客在几次抽奖中获得的奖券金额

总和,每次抽奖相互独立.

(1)若0=4,p=/,求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率；

(2)求X的分布列与数学期望E(X)；

(3)若设事件人表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件，表示“该顾客抽到10元券的总次

数不少于2"，证明：P(A\B)<P(4).

.............国

计数原理与概率统计

真题精煤

考点01统计

1.（2026•新课标全国I卷•高考真题）样本数据6,8,4,5,12的中位数为（

【答案】3

【分析】结合中位数定义可得.

【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12,则中位数为6.

2.（2026・北京卷•高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩,成绩分组及对应人数如下:

成绩分组[81,94)[94,107)[107,120)[120,135)[135,150]

人数406060328

以频率估计概率，完成下列问题：

⑴求数学成绩低于120分的概率；

（2）从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；

⑶每组数据取左端、中间、右端，比较碌、s%、的大小关系.

【答案】（1）0.8

⑶窿V珞V品

【分析】（1）先求样本中数学成绩低于120分的频率，再由频率估计概率；

⑵先分别求事件成绩不低于120分的概,率和事件成绩小于94分的概率，再由独立事件概率乘法公式求

结论；

（3）根据方差公式分别求s3s》s/比较大小可得结论.

【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于120分的频率为4°+黑、+6。=±,

所以数学成绮低于120分的概率为0.8,

（2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于120分的概率为1■,

小于94分的概率为二，

5

所以从学校随机抽取4人，2人不低于120且2人小于94的概率为=熹，

（3）每组数据取左端的值记为羽，i=123,4,5,

每组数据取中间的值记为%，i=1,2,345,

每组数据取右端的值记为i=1,2,3,4,5,

由已知g=81,电=94,g=107,g=120,x5=135,

所以云=81X40+94X60+107x60+120x32+135x8

4=

^-[(81-101.1)2X40+(94-101.1)2X60+(107-101.1)2X60+(120-101.1)2X32+(135-101.1)2X8]

=209.49

由已知纳=87.5,y2=100.5,yz=113.5,m=127.5,yr)=142.5,

87.5x4()+100.5x6()+113.5x60+127.5x32+142.5x8

所以歹==107.8,

200

s产

1

而

[[87.5—107.8)2x40+(100.5—107.8)2x60+⑴3.5—107.8)2x60+(127.5—107.8)々32+(142.5—107.8)2x8]

=218.41

Zi=94,z2=107,z3=120,z4=135,3=150,

诉山一_94X40+107X60+120X60+135x32+150x8

所以z:200;4r。，

4=

备[(94-114.5)2x40+(107-114.5)2x60+(120-114.5)2x60+(135-114.5)2x32+(150-114.5)2x8]

=227.65,

2

所以st</<s'4..

考点02计数原理

3.(2026•新课标全国II卷•高考真题)现有甲、乙、丙、丁等8人分成48两个技术小组，要求每组4人，且

甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一-起,则不同的分配方案有()

A.10种B.12种C.16种D.24种

【答案】C

【分析】对甲、乙两人都在4小组和比卜组进行分类，结合计数原理求解即可.

【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，

安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在力组，另一个在B组.

若丙在4组，丁在8组：此时4组已有｛甲，乙，丙｝，还差1人；

B组已有｛丁｝，还差3人，

财从轲余4人中选1人进A组，方案数为C；=4.

若丁在力组，丙在B组：同理，方案数为©=4.

所以当甲、乙在A组时，方案数为4+4=8种.

情况2:甲、乙两人都在B小组，

甲、乙在B如的情况与在工匆的情况完全一致,

安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为C=4,

所以当甲、乙在6组时，方案数为4+4=8种.

故所有分配方案共有8+8=16种.

4.（2026・北京卷•高考真题）已知（①一£）7的展开式中的炉的系数是280,则。=（）

A.2B.—2C.1D.—1!

【答案:M：

【详解】二项式（a—6）7的展升式的通项为五+产C”一气一心）卜=。"-气-1）在，其中立｛0,1,2,…，

............B

7}.

令寺=2,解得Jb=4,则d项的系数为。如-4（T）4.

•・,C?=35,（—1）4=1,且已知〃的系数为280,

35a3=280，即4=8,解得Q=2.

5.（2026・上海卷・高考真题乂?+3d）6的二项展开式中，/的系数为.

【答案】18

【分析】写出二项展开式的通项公式式十1=趺-，令弘一6=—3,解出左，代人即可得到答案.

【详解】二项式的展开式的通项公式为-=C肚厂（3。2片戊3包弘-6,

令3k—6=-3,解得k=1,

所以二的系数为&x3=18.

x3

故答案为：18.

6.（2026・上海卷・高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有种选法.

【答案】6

【分析】结合组合知识求解即可.

【详解】由题意，甲一定去，则从剌下的4人中任选2人即可，

则一共有Cf=6种选法.

故答案为：6.

7.（2026・天津卷・高考真题）（①+2y）4展开式中x^y的系数为.

【答案】8

【分析】根据二项式定理得到（i+2y）i展开式的通项公式即可求解.

【详解】根据二项式定理，（a+2y）」展开式的通项公式为耳+i=CU姆，

当丁=1时，冕=（2/=C；2"勿,因此xAy的系数为。⑵=4x2=8.

考点03概率

8.（2026・上海卷・高考真题）事件4和事件石相互独立,“4和B至少一个发生”的对立事件是（）.

A.ADBB.AUBC.AHBD.AUB

【答案】C

【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.

【详解】根据已知A3至少有一个发生，

则对立事件为A6都不发生，所以力u6的对立事件为才nm.

9.（2026•上海卷•高考真题）

己知事件A,B互斥，P（力）=0.2,P（B）=0.5,则P（AUB）=______.

【答案】0.7/春

【详解】因为互斥，所以F（AUB）=P（力）+P（B）=0.2+0.5=07

10.（2026・天津卷・高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球

的概率是;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

【答案】合备

【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至

少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.

【详解】由题意,

第一空：

箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。

谈事件4表示没取到黄球，事件4表示三次都没取到黄球,

有放回抽取，每次取到非黄球的概率为p（4）=?,

0J

：，

三次都没取到黄球的概率：P（A2）=（4）=^.

第二空：

设事件B表示至少取到一次红球，事件耳表示三次都取到白球,

尸（3）=（W

尸（4㈤

•・,三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：P（814）=

尸（月2）

尸回)=专一看=箴,

(4F(A2)-F(B2)=

*2r

•P(R\A}-P(A2B^-216-37

仍8闻一下丁一二亩’

在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是巨.

64

11.（2026・上海卷・高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下:

年龄剪纸摄影画画人数

[25,35)845

[35,45)1055

[45,55)650

⑴现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在［25,35）岁的有多少人？

（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？

⑶现从150人中任意抽选1人,记抽到的学员年龄在［35,45）为事件4记抽到学员爱好摄影为事件R

事件A与6是否独立？请说明理由.

【答案】⑴9;

（3）不相互独立，理由见解析.

【分析】（1）由题意，计算［25,35）年龄段占总体比例，据此可得答案.

（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案;

⑶脸证是否等于P（4B）可得答案.

【详解】(1)[25,35)年龄段占总体比例为：卷•=条，则抽取人数为：30x2=9;

1501010

(2)由题可得150人的平均年龄为：30x/*+40x告+50x黑=30x义+40x2+50x《二

15015015010303

121•

3•

(3)由题可得=-^-=—P(B)=,P(AB)=,

切寸15030't315025，I/15015，

注意到F(A)-P(B)丰P(AB)，则事件4与事件B不相互独立.

考点04随机变■及其分布列

12.(2026•新课标全国I卷•高考真题)设U={⑶,物⑹|电G{-2,-l,l,2},i=l,2,3}为空间中64个点构成

的集合，点P(l,1,1),记样本空间。=鼠尸，从。中随机取一个点，定义随机变量X如下:对。中的每个

点A(如①2,①3)，令X(力)=Ci+g+①3,则X的数学期望值为()

A--2TB.一表COD.I

【答案】A

【分析】由题意可知"(。)=63.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得

P(X=-3)=焉，P(X=3)=白，根据对称性运算求解；解法三:根据点的特征结合古典蝶型运算求解.

Uo

【详解】由题意可知：九(。)=4x4x4-1=63,且随机变量X的取值为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,

2,3,4,5,6.

解法一：依题意，可得P(X=-6)=F(X=6)=4，

F(X=-5)=F(X=5)=P(X=-4)=P(X=4)=卷,

尸(X=-3)=条，0(X=3)=磊，

UoOu

尸(X=.2)=产(X=2)=P(X=-1)=尸(X=1)=表,户(X=0)=4,

所以E(X)=(-6+6)x《+(-5+5-4+4)x磊一3X—+3X磊+(-2+2-l+l)x6+0x

o3o3o3bobo

6=__1_.

63-21，

解法二:根据对称性可知：P(X=-6)=P(X=6),尸(X=-5)=P(X=5),P(X=-4)=0(X=4),

尸(X=-2)=P(X=2),P(X=-1)=P(X=1),

51P(X=-3)=卷，P(X=3)=备，

所以E(X)=-3x焉+3xR=一十：

解法三：因为骂W{-2,-1,1,2},i€{1,2,3},

对于任意一点31，①2,①3)，均存在(一为，一12,一①3)与之对应，可知这两点的坐标和为0,

因为样本空间。=c匕产，

：可知样本空间Q中存在唯一点(一1,一1,一1)与点F(l,l,l)对应，

所以。中所有点的坐标和的总和为一1一1-1=一3,

:故…高一今

包...........

13.(2026・上海卷・高考真题)已知履机变量X的分布为(：机j，且E(X)=。-5，则b=

【答案】0.6居

5

【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.

【详解】因为随机变量X的分布为I,且E(X)=0.5,

\a0.3bf

所以a+b=0.7,且右(X)=—Q+0+0=0.5,

解得b=0.6.

14.(2026•新课标全国I卷•高考真题)设整数N>2.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅

当投中1次时或N次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为p(OVpVl),各次投中与否相

互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数.

(1)当N=4,P=<"时，求X的分布列；

⑵设礼馆均为自然数.

⑴当k&N-1时，求P(X>k］；

(n)当k+7小WN—1时,证明：P(X>k+m\X>k)=P(X>m).

【答案】(1)X的分布列如下图所示：

X1234

124

P8

V2727

⑵⑴P(X>用=(1一2)人

(n)由题意及(2)⑴证明如下:

P(X>h+?nnX>/c)_P(X>k+m)_(l—p产

P(X>k-Vm\X>k)

P(X>k)P(X>k)~(l-p)k

=(l-p)m=P(X>m)

即，3>k+馆|*>储=?(*>小).

【分析】(1)求出X的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.

⑵⑴产(X>k)等价于前尼次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出P(X>k).

(z»)利用条件概率公式，结合⑴的结论与事件的包含关系即可证明结论.

【详解】(1)由题意，

整数2,某同学进行投篮练习，至多投篮N次，

当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，

.•.X的可能取值为1,2,3,4,

当X=1时，表示第一次就投进球，尸(X=l)=:，

当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进，尸(X=2)=(l—

当X=3时，表示第3次投进球，前两次没有投进，0优=3)=(1-!)，4=今,

ootL(

...........»

当X=4时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中，产(X=4)=尸(X>3)=(1—/=

8

药，

作出X的分布列如下图所示：

X1234

_L2_48

P

-39~~2727

(2)⑴由题意及(1)得，

整数2,某同学进行投篮练习，至多投篮N次，

当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，

当kMN-l时，X>k表示前h次均未投中，

.•.P(X>fc)=(l-p)\

(n)略.

15.(2026•新课标全国H卷•高考真题)某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间(天)，然后

绘制出如下有关于“首次故障时间''与"对应频率”的频率分石直方图：

(2)设/为首次故障时间小于365天的概率估计值.

⑴求讥

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这10D件产品首次出现故障时间小于365天的件

数,若X-B(100,p),求E(X)和D(X).

【答案】(1)第一四分位数为370,中住数为381:

(2)(i)0.15:(ii)E(X)=15,D(X)=12.75.

【分析】⑴根据百分住数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；

⑵根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解.

【详解】(1)由直方图可知，［345,365］的频率为0.015x10=0.15<0.25,

［345,375］的频率为0.035x10=0.35>0.25,

故第一四分位数在［365,375］上，设为①，则3—365)x0.02+0.15=0.25，解得工=370;

［345,375］的频率为0.035x10=0.35<0.5,

［345,385］的频率为0.06x10=0.6>0.5,

故中位数在［375,385］上，设为g,则(y-375)X0.025+0.35=0.5,解得y=381.

故第一四分位数为370,中位数为381:

(2)由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.01)x10=0.15,故力=0.15,

根据二项分布的期望和方差公式，

E(X)=100x0.15=15,D(X)=100x0.15x0.85=12.75

考点05统计案例

16.(2026・天津卷・高考真题)调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其

中相关系数〃:一0.91，根据最小二乘法算得；。二一1.17。+1370.7,下列说法正确的是()

；候鸟个数

羸

A.夕与1负相关B.当1=10时，y一定为1359

C.当工=1()时，y一定小于1359D.两变量无线性关系

【答案】4

【详解】因为相关系数夕=一0.91,且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，

所以y与①负相关，所以人正确，。错误；

当。=1()时，y=-11.7+1370.7=1359，所以y约为1359,

所以错误.

17.(2026•上海卷・高考真题)某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化

硫密度进行了监测和记录，数据如下：

颗粒物

101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

密度

二氧化

119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

硫密度

⑴为进一步研究，从这9年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

⑵为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行

分析，并请你判断相关系数在(一1,0),(0,1),(1⑵哪个区间内？(直接写结论)

⑶2023年前9年的年份3)的平均数为2018,版颗粒物密度)关于以年份)的回归方程拟采用g=

106.544e一°,6i(k2oi4)，或沙=以2-2014)+83.743.己知2023年实际颗粒物密度为3.88,则哪个回归方程

对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.544€一°蚓*9七1.681

【答案】⑴《；：

(2)散点图；(0,1)：

(3)9一106.514e-0J0,(x-20,4)的预测值与实际值之差的绝对值更小.

.............G

【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可：

（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；

⑶根据题意分别求解两种方程下