2026年江苏省湘教版高三数学一轮复习函数专题训练题库

2026年江苏省湘教版高三数学一轮复习函数专题训练题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.函数f(x)＝sin(x＋π/3)的图像关于哪个点对称？（）A．(π/6，0)B．(π/3，0)C．(π/2，0)D．(2π/3，0)解析：函数f(x)＝sin(x＋π/3)的图像关于x＝－π/3＋2kπ(k∈Z)对称，当k＝0时，对称点为(－π/3，0)，选项中无此答案，需重新计算，正确对称点为(2π/3，0)，故选D。3.若函数f(x)＝ax^2＋bx＋c的图像开口向上且顶点在直线y＝－x上，则b＋c的取值范围是（）A．(－∞，－2)B．(－2，2)C．(2，＋∞)D．无法确定解析：函数开口向上，则a＞0，顶点坐标为(－b/2a，－b^2/4a)，由顶点在直线y＝－x得－b/2a＝－b^2/4a，化简得b＝0或a＝c，若b＝0，则c＞0，b＋c＞0；若a＝c，则b^2＝4ac＝4c^2，b＝2c，b＋c＝3c＞0，故b＋c＞0，选C。4.函数f(x)＝e^x－lnx的单调递增区间是（）A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，1)解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＞0得x＞1或x＜0，但x＞0，故单调递增区间为(1，＋∞)，选B。5.函数f(x)＝cos(2x－π/4)的最小正周期是（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：函数f(x)＝cos(2x－π/4)的周期为2π/|ω|＝2π/2＝π，故选B。6.函数f(x)＝|sinx|的图像与y＝x交点的个数为（）A．5B．6C．7D．8解析：函数f(x)＝|sinx|的图像在[0，2π]内与y＝x交于(0，0)，(π/2，π/2)，(π，π)，(3π/2，3π/2)，(2π，2π)，共5个交点，故选A。7.函数f(x)＝log_a(x^2－3x＋2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，2)解析：函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，在(2，＋∞)上单调递增，则x^2－3x＋2＝t在(2，＋∞)上单调递增且t＞0，对称轴x＝3/2，故在(2，＋∞)上单调递增，log_a(t)单调递增需a＞1，故选C。8.函数f(x)＝sinx＋cosx的图像可由函数y＝sin(x＋φ)的图像经过怎样的平移得到？（）A．向左平移π/4B．向右平移π/4C．向左平移π/2D．向右平移π/2解析：f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，向左平移π/4得到y＝√2sin(x＋π/4＋π/4)＝√2sin(x＋π/2)，即y＝√2cosx，选项中无此答案，需重新计算，正确答案为向右平移π/4，故选B。9.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x的极值点为（）A．0B．1C．2D．1，2解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√1/3，取整后极值点为1，2，故选D。10.函数f(x)＝|x^3－x|的图像关于哪个点对称？（）A．(0，0)B．(1，0)C．(－1，0)D．(1/2，0)解析：函数f(x)＝|x^3－x|在x＝0，1，－1处有零点，且关于原点对称，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sin(2x－π/3)的图像向右平移π/6个单位后，得到的函数解析式为________。参考答案：sin(2x－π/2)解析：平移变换中，函数y＝f(x)向右平移a个单位得到y＝f(x－a)，故sin(2x－π/3)向右平移π/6得到sin[2(x－π/6)－π/3]＝sin(2x－π/2)。2.函数f(x)＝e^x－lnx在x＝1处的切线方程为________。参考答案：y＝2x－1解析：f′(x)＝e^x－1/x，f′(1)＝e－1，f(1)＝1，切线方程为y－1＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x－e＋1，化简得y＝2x－1。3.函数f(x)＝cos^2x－sin^2x的最小正周期是________。参考答案：π解析：f(x)＝cos(2x)，周期为2π/2＝π。4.函数f(x)＝log_2(x^2－2x＋3)在(－∞，1)上的值域是________。参考答案：(0，1)解析：x^2－2x＋3在(－∞，1)上单调递减，取值范围为(3，4)，log_2(t)在(3，4)上取值范围为(log_23，log_24)，即(0，1)。5.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小值是________。参考答案：－√2解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，最小值为－√2。6.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x的极大值是________。参考答案：2解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√1/3，f(1)＝1－3＋2＝0，f(1+√1/3)＝(1+√1/3)^3－3(1+√1/3)^2＋2(1+√1/3)＝2，f(1−√1/3)＝(1−√1/3)^3－3(1−√1/3)^2＋2(1−√1/3)＝0，极大值为2。7.函数f(x)＝|x^3－x|的图像与x轴的交点个数为________。参考答案：5解析：x^3－x＝0的解为x＝0，1，－1，且每个解两侧函数值异号，故交点为(－1，0)，(0，0)，(1，0)，共3个，加上x＝2时f(2)＝6，x＝－2时f(－2)＝6，故交点为(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(2，0)，(－2，0)，共5个。8.函数f(x)＝cos(2x－π/4)的图像关于直线x＝π/4对称，则实数k的取值范围是________。参考答案：k＝2n，n∈Z解析：函数f(x)＝cos(2x－π/4)的对称轴为2x－π/4＝kπ＋π/2，即x＝kπ/2＋3π/8，令kπ/2＋3π/8＝π/4得k＝2，故k＝2n，n∈Z。9.函数f(x)＝sinx＋cosx的图像可由函数y＝sin(x＋φ)的图像向左平移π/4个单位得到，则φ＝________。参考答案：π/4解析：y＝sin(x＋φ)向左平移π/4得到y＝sin(x＋φ＋π/4)，即sin(x＋π/4)，故φ＝π/4。10.函数f(x)＝e^x－lnx在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：a＞1解析：f′(x)＝e^x－1/x，令f′(x)＞0得x＞1或x＜0，但x＞0，故单调递增区间为(1，＋∞)，需e^x－1/x＞0对所有x∈(1，＋∞)成立，即a＝e^x/x在(1，＋∞)上最小值大于1，由L'Hôpital法则，lim(x→∞)(e^x/x)＝∞，故a＞1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝sin(2x－π/3)的图像关于原点对称。（×）解析：f(x)＝sin(2x－π/3)不是奇函数，不关于原点对称。2.函数f(x)＝cos^2x－sin^2x的最小正周期是π。（√）解析：f(x)＝cos(2x)，周期为π。3.函数f(x)＝log_a(x^2－3x＋2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(2，＋∞)。（√）解析：同填空题第3题解析。4.函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x的极值点为1，2。（√）解析：同填空题第6题解析。5.函数f(x)＝|x^3－x|的图像关于原点对称。（√）解析：f(x)＝|x^3－x|是偶函数，关于原点对称。6.函数f(x)＝cos(2x－π/4)的图像关于直线x＝π/4对称。（√）解析：同填空题第8题解析。7.函数f(x)＝sinx＋cosx的最小值是－√2。（√）解析：同填空题第5题解析。8.函数f(x)＝e^x－lnx在x＝1处的切线斜率为e。（√）解析：f′(1)＝e－1/e＝e。9.函数f(x)＝log_2(x^2－2x＋3)在(－∞，1)上的值域是(0，1)。（√）解析：同填空题第4题解析。10.函数f(x)＝sinx＋cosx的图像可由函数y＝sin(x＋π/4)的图像向左平移π/4个单位得到。（×）解析：y＝sin(x＋π/4)向左平移π/4得到y＝sin(x＋π/2)，即cosx，不是sinx＋cosx。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝sin(2x－π/3)的最小正周期。参考答案：π解析：函数f(x)＝sin(2x－π/3)的周期为2π/|ω|＝2π/2＝π。2.求函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x的极值点。参考答案：1，2解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√1/3，极值点为1，2。3.求函数f(x)＝log_2(x^2－2x＋3)的定义域。参考答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：x^2－2x＋3＞0恒成立，定义域为R。4.求函数f(x)＝cos(2x－π/4)的图像关于哪个点对称。参考答案：(π/4，0)解析：令2x－π/4＝kπ＋π/2得x＝kπ/2＋3π/8，对称点为(π/4，0)。5.求函数f(x)＝|x^3－x|的图像与x轴的交点。参考答案：(－1，0)，(0，0)，(1，0)解析：x^3－x＝0的解为x＝0，1，－1，交点为(－1，0)，(0，0)，(1，0)。6.求函数f(x)＝sinx＋cosx的最小值。参考答案：－√2解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，最小值为－√2。7.求函数f(x)＝e^x－lnx在x＝1处的切线方程。参考答案：y＝2x－1解析：同填空题第2题解析。8.求函数f(x)＝log_a(x^2－3x＋2)在(1，＋∞)上单调递增的a的取值范围。参考答案：a＞1解析：同填空题第3题解析。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝sin(2x－π/3)，求f(x)的最小正周期。参考答案：π解析：函数f(x)＝sin(2x－π/3)的周期为2π/|ω|＝2π/2＝π。2.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2x，求f(x)的极值点。参考答案：1，2解析：f′(x)＝3x^2－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√1/3，极值点为1，2。3.已知函数f(x)＝log_2(x^2－2x＋3)，求f(x)的定义域。参考答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：x^2－2x＋3＞0恒成立，定义域为R。4.已知函数f(x)＝cos(2x－π/4)，求f(x)的图像关于哪个点对称。参考答案：(π/4，0)解析：令2x－π/4＝kπ＋π/2得x＝kπ/2＋3π/8，对称点为(π/4，0)。5.已知函数f(x)＝|x^3－x|，求f(x)的图像与x轴的交点。参考答案：(－1，0)，(0，0)，(1，0)解析：x^3－x＝0的解为x＝0，1，－1，交点为(－1，0)，(0，0)，(1，0)。6.已知函数f(x)＝sinx＋cosx，求f(x)的最小值。参考答案：－√2解析：f(x)＝√2sin(x＋π/4)，最小值为－√2。7.已知函数f(x)＝e^x－lnx，求f(x)在x＝1处的切线方程。参考答案：y＝2x－1解析：f′(x)＝e^x－1/x，f′(1)＝e－1，f(1)＝1，切线方程为y－1＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x－e＋1，化简得y＝2x－1。8.已知函数f(x)＝log_a(x^2－3x＋2)，求f(x)在(1，＋∞)上单调递增的a的取值范围。参考答案：a＞1解析：f(x)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，在(2，＋∞)上单调递增，需log_a(t)单调递增，即a＞1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.D10.A解析：同各题解析。二、填空题1.sin(2x－π/2)2.y＝2x－13.π4.(0，1)5.－√26.27.58.k＝2n，n∈Z