安徽省合肥市2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合且的元素的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.22.在等差数列中，，，则（）A.20 B.21 C.22 D.233.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在的展开式中，的系数为（）A.15 B.18 C.20 D.305.已知，若函数的值域为，则a的值最小为（）A.e B.2 C.1 D.6.已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C.1 D.27.已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（）A.7 B.8 C.9 D.108.已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（）A.0 B.1 C.2 D.e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.10.已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为2的等比数列，且，则下列说法正确的是（）A.B.数列的前项和为C.对任意的，都有D.存在，使得11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.至少有2个零点B.若，则的解集为C.，使得在上有极值点D.，在上恒有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集为________．13.若由所组成的无重复数字的4位数，其中偶数的个数为______.14.为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”.由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答.已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知幂函数在上单调递增．（1）求的解析式；（2）设，试比较与的大小关系．16.为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表：患流感未患流感接种流感疫苗2070未接种流感疫苗6030（1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为，患流感的人未接种流感疫苗的概率为，求，的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.82817.已知正项数列的前项和为，，，，且为等比数列.（1）求；（2）求的通项公式；（3）求数列的前项和.18.为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）.（1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率；（2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束.（ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率；（ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望.19.已知函数，，且.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）讨论的单调性；（3）当时，设，且，证明：.附：当且时，.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合且的元素的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：A解析：解答过程：因为且，所以有5个元素.2.在等差数列中，，，则（）A.20 B.21 C.22 D.23答案：D解析：思路：根据等差数列基本量计算即可求解．解答过程：设公差为，则，所以．3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：解答过程：对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立，对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立，可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.4.在的展开式中，的系数为（）A.15 B.18 C.20 D.30答案：C解析：解答过程：展开式的通项为，令，得，所以的系数为.5.已知，若函数的值域为，则a的值最小为（）A.e B.2 C.1 D.答案：C解析：解答过程：当时，又，所以；当时，函数在上单调递增，所以；又函数的值域为，所以，解得，所以a的值最小为1.6.已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：思路：根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值.解答过程：已知是定义在R上的偶函数，即，是奇函数，即，则，所以，所以，则.7.已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：D解析：思路：结合题意与等比数列的性质得到，再令，得到，最后确定的值即可.解答过程：设的公比为，由等比数列的性质可知，结合，可知，是方程的两根，解得，或，，根据题意得的前项积存在最大值，则一定是从大于1递减到小于1，于是，，则，即，所以，令，化简得，解得，因此当时，，当时，，故最大，即.8.已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（）A.0 B.1 C.2 D.e答案：B解析：思路：先分别对两个函数求导，设两条切线的切点横坐标，利用公切线斜率、截距相等建立方程组，观察得到的关系代回化简，求出，再代入截距表达式算出的值．解答过程：设在处的切线为，由，得，所以，所以在处的切线方程为，整理得；设在处的切线为，由，得，所以，所以在处的切线方程为，整理得，由题意得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，当时，，当时，，当时，，由，所以，，由，可得，所以，又，所以，解得，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，因为，则得，故A正确；对于B，若取，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，由题意得，因为，所以，故C正确；对于D，由题意得，因为，所以，则，故D正确.10.已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为2的等比数列，且，则下列说法正确的是（）A.B.数列的前项和为C.对任意的，都有D.存在，使得答案：CD解析：思路：结合题意，建立方程求出公差，得到通项公式判断A，举反例判断B，构造函数并结合导数证明不等式判断C，建立方程，求出特解判断D即可.解答过程：对于A，设的公差为，因为，，成等比数列，所以，得，解得或（舍去），则，故A错误；对于B，由题意得等比数列的公比为2，，则，可得，所以，，得到，经检验，当时，，故B错误；对于C，由题意得，，当时，欲证，则证，即证，故证即可，令，可得，当时，恒成立，则在上单调递增，而，则恒成立，即恒成立，则得证，故C正确；对于D，方程，即，解得，故D正确.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.至少有2个零点B.若，则的解集为C.，使得在上有极值点D.，在上恒有最大值答案：ABD解析：思路：选项A通过利用函数表达式因式分解，直接令各因式为零，从而得到固定零点；选项B将带入函数解析式，再将函数分解为多个因式，分别判断每个因式在不同区间上的符号，再根据“同号得正，异号得负”确定整体符号，从而求解不等式；选项C先对函数求导，分析导函数在所给区间上的符号来判断函数的单调性，从而判断是否存在极值点；选项D利用符号分析确定函数值为正的区间，再结函数图象来判断是否具有最大值.解答过程：对于A，令，即，解得三个可能的根：，或，或，若且，则零点为0，1，，若或，则零点为0，1，所以的零点个数至少是2，故A正确；对于B，当时，，对于不等式，当时，，，此时，不满足，当时，，，，满足，当时，，，，满足，综上，不等式的解集为，故B正确；对于C，，若，当时，，，，所以恒成立，在上单调递增，无极值点，故C错误；对于D，当时，有3个零点0，，1，且，易知在和上为负，在和上为正，作出其大致图象如图，可知在上有最大值，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式的解集为________．答案：解析：思路：由题得，再因式分解约分即可求解．解答过程：由不等式可得，且，所以．13.若由所组成的无重复数字的4位数，其中偶数的个数为______.答案：42解析：思路：按4位偶数的个位数字为0和个位数字为2两种情况分类讨论，再根据分类加法计数原理求和即可.解答过程：若所组成的无重复数字的4位数，则满足条件的4位偶数的个位只能为0或2，当个位数字为0时，千位、百位、十位需从剩余的，共4个数字中任选3个无重复排列，共有种选法，当个位数字为2时，千位不能为0且不能与个位重复，故从中任选1个排在千位，有种排法，再从剩余的3个数字中任选2个无重复数字排在百位和十位，有种排法，则本种情况共有种排法，由分类加法计数原理得共有个偶数.14.为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”.由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答.已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________.答案：解析：思路：先设概率，再应用全概率公式结合条件概率计算求解.解答过程：设闯过红灯概率为，事件：回答问题一，事件：回答的结果为“是”.由题可知，则，，，所以，即，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知幂函数在上单调递增．（1）求的解析式；（2）设，试比较与的大小关系．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用幂函数的定义及性质即可求解；（2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解.（1）因为是幂函数，所以，解得或．当时，，此时在上单调递减，不满足题意；当时，，满足在上单调递增．所以；（2），，因为，所以，即．16.为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表：患流感未患流感接种流感疫苗2070未接种流感疫苗6030（1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为，患流感的人未接种流感疫苗的概率为，求，的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828答案：（1），（2）认为该流感疫苗可以降低流感的患病率解析：思路：（1）根据列联表求出未接种流感疫苗的人数及未接种流感疫苗患流感的人数，即可求得的估计值；求出患流感的人数及患流感未接种流感疫苗的人数，即可求得的估计值.（2）根据列联表，利用公式计算，结合附表作出判断.（1）由列联表可知，未接种流感疫苗的人数为90，其中患流感的人数为60，所以的估计值为.患流感的人数为80，其中未接种流感疫苗的人数为60，所以的估计值为.（2）零假设为：该流感疫苗不能降低流感的患病率.根据列联表中的数据，得.因为，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该流感疫苗可以降低流感的患病率.17.已知正项数列的前项和为，，，，且为等比数列.（1）求；（2）求的通项公式；（3）求数列的前项和.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据数列成等比数列，计算出，利用求；（2）由（1）得，整理得，从而说明是常数列，即可求出的通项公式；（3）求出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和.（1）依题意，得，则，，成等比数列，故，解得（舍去），则.（2）由（1）可知，是以为首项，2为公比的等比数列，则，则，即是常数列.因为，故，故，即.（3）依题意，得，则，两式相减，得，所以.18.为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）.（1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率；（2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束.（ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率；（ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望.答案：（1）（2）（i）；（ii）分布列为812解析：思路：（1）应用对立事件概率公式结合组合数计算求解；（2）（ⅰ）应用超几何分布概率公式计算求解；（ⅱ）先求出概率再列出分布列，最后应用公式计算数学期望即可.（1）设“至少有1份水样超标”为事件，则.（2）（ⅰ）方法一：记其中2份超标水样分别为A和B.当A分到某一组时，其余15份水样需要随机分配到剩余15个空位中，水样B分配到每个空位的概率相等，而A同组中还剩3个空位，所